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Frente 2 – Aula 21 PARTICULARIDADES SOBRE PRODUTO MATRICIAL Propriedades básicas Dadas as matrizes A m x n , B n x p e C p x q , vale a propriedade associativa para a multiplicação de matrizes: (A.B).C = A.(B.C) Para as matrizes Am x n , B n x p e C n x p , vale a propriedade distributiva (à direita) da multiplicação em relação à adição: A.(B+C) = A.B+A.C Para as matrizes Am x n , B m x n e C n x p , vale a propriedade distributiva (à esquerda) da multiplicação em relação à adição: (A+B) . C = A. C + B . C Representando como O uma matriz nula,para qualquer matriz Amxn valem as propriedades: A m x n . O n x p = O m x p Oq x m . A m x n = O q x n É importante observar que, para o produto matricial, não vale a propriedade Comutatitva: Ou seja, em geral: A.B B.A Se o produto A . B é definido, muitas vezes, o produto B . A nem é definido, devido às ordens de A e B. Mesmo quando este produto é definido, a matriz produto, em geral, é diferente, como podemos ver no exemplo abaixo: A= 30 21 B= 11 42 A.B= 33 20 B.A= 11 82 Matriz identidade Considere, por exemplo, as matrizes: A= 248 621 532 e I= 100 010 001 Vamos calcular o produto A. I: A.I= 248 621 532 . 100 010 001 A.I= 248 621 532 = A Em seguida, vamos calcular o produto I.A= 100 010 001 . 248 621 532 I.A= 248 621 532 =A Observe que, neste caso particular, o produto destas duas matrizes é comutativo e vale a propriedade: A.I=I.A=A Esta matriz I é um exemplo da chamada matriz identidade. De um modo geral, uma matriz identidade de ordem n é a matriz quadrada In onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são nulos. Para qualquer matriz quadrada An vale a propriedade. An.In= In.An=An Potenciação de matrizes Efetuamos uma potenciação de matrizes quadradas com expoente natural por meio de multiplicações de uma matriz por ela mesma. Por exemplo, considere a matriz: A= 10 25 Vamos calcular A 2 : A 2 =A.A A 2 = 10 25 . 10 25 A 2 = 10 1225 Generalizando, dada uma matriz A, quadrada de ordem n, e a um número natural, definimos: 1,.1 1 0 AAA AA IA n Exemplo São dadas as matrizes A= 52 31 e B= 31 18 Determine a matriz X tal que AX = B. Resolução Primeiro vamos descobrir o tipo de matriz X, isto é, seu número de linhas m e de colunas n. A partir do esquema anterior concluímos que a matriz x é do tipo 2 x 1. Podemos então indicá-la da seguinte maneira: X= y x Temos AX=B, ou seja: 52 31 y x = 31 18 Efetuando a multiplicação indicada, temos: yx yx 52 3 = 31 18 Para que essas matrizes sejam iguais, deve-se ter: 3152 183 yx yx Resolvendo esse sistema linear encontramos: x= 3 e y= 5 Logo a matriz procurada é: X= 5 3 Exercícios de Aula 01. (FGV) A, B e C são matrizes quadradas de ordem 3, e I é a matriz identidade de mesma ordem. Assinale a alternativa correta: (A) (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 (B) B.C=C.B (C) (A+B).(A-B)=A 2 -B 2 (D) C.I=C (E) I.A=I 02. (MACK) Considerando o produto das matrizes, 1 10 . 01 1a = 10 01 o valor de α é (A) 0 (B) -1 (C) 2 (D) -2 (E) 1 03. (UNIFESP) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, 1 x 2, e N, 2 x 1: M = [2p q] e N = s r 2 A matriz produto M . N representa o custo da produção de (A) 1 dia. (B) 2 dias. (C) 3 dias. (D) 4 dias. (E) 5 dias. Tarefa Básica 01 (UEL) Sendo A uma matriz mxn e B uma matriz pxq é correto afirmar que (A) (A t ) t = A e (B t ) t = B. (B) sempre é possível efetuar (A + B). (C) se n=p, então A.B=B.A. (D) sempre é possível efetuar o produto A. B. (E) se n=p, então A.B t =B t .A. 02. (VUNESP) Se A, B e C forem matrizes quadradas quaisquer de ordem n, assinale a única alternativa verdadeira. (A) AB=BA. (B) Se AB=AC, então B=C. (C) Se A 2 = On (matriz nula), então A = On. (D) (AB)C=A(BC). (E) (A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 . 03. (PUCCAMP-adaptado) Em um laboratório, as substâncias A, B e C são a matéria-prima utilizada na fabricação de dois medicamentos. O Marcelo-ax é fabricado com 5 g de A, 8 g de B e l0g de C e o Luciano- ax é fabricado com 9g de A, 6 g de B e 4 g de C. Os preços dessas substâncias estão em constante alteração e, por isso, um funcionário criou um programa de computador para enfrentar essa dificuldade. Fornecendo-se ao programa os preços X, Y e Z de um grama das substâncias A, B e C, respectivamente, o programa apresenta uma matriz C, cujos elementos, correspondem aos preços de custo da matéria-prima do Marcelo-ax e do Luciano-ax. Essa matriz pode ser obtida de (A) ZYX 1085 + ZYX 469 (B) 469 1085 . Z Y X (C) ZYX 1085 + 469 ZYX (D) ZYX 1085 . 4 6 9 (E) ZYX . 59 86 104 04. (UFU) Seja A uma matriz de terceira ordem com elementos reais. Sabendo-se que A. 0 0 1 = 2 4 1 conclui-se que 1,4 e 2 são os elementos da (A) diagonal da transposta de A. (B) primeira coluna da transposta de A. (C) primeira linha da transposta de A. (D) última linha da transposta de A. Respostas da tarefa Básica 01. (A) 02. (D) 03. (B) 04. (C) Frente 2 – Aula 22 DETERMINANTES Introdução Sistemas de equações simples, com duas equações e duas incógnitas geralmente podem ser resolvidos por substituição mas, para sistemas com mais incógnitas e equações, o uso deste método toma-se muito trabalhoso. Para sistemas gerais, formados por um número arbitrário de equações do 1 .°grau, existem vários outros métodos gerais de resolução. Em um deles, é usado o chamado determinante, que é um número associado a matrizes quadradas de acordo com algumas regras especiais. Dada uma matriz A, representamos o seu determinante como det A ou como A . Quando representamos os elementos de uma matriz, o seu determinante pode ser representado por esses elementos entre duas barras verticais. Por exemplo, para uma matriz A de ordem 2, temos: Det A= 2221 1211 aa aa Por definição, o determinante de uma matriz de ordem 1 é igual ao único elemento dessa matriz. A= [a11] det A= a11 Determinante de ordem 2 Vamos definir um determinante de ordem 2. Considere uma matriz quadrada de ordem 2: 2221 1211 aa aa Chamamos de determinante de A à um número associado à matriz A detal modo que: Por exemplo: 51 23 = 3 . 5- 1 .2 = 13 Determinante de ordem 3 Considere uma matriz quadrada de ordem 3: A= 333231 232221 131211 aaa aaa aaa O determinante de A é um número associado à A que é dado pela expressão: Esta expressão pode ser obtida pela chamada regra de Sarrus. Inicialmente copiamos do lado direito de A a primeira e a segunda coluna de A. Em seguida, efetuamos os produtos das diagonais de três elementos paralelos à diagonal principal: Depois efetuamos os produtos das diagonais de três elementos paralelos à diagonal secundária e trocamos os sinais dos resultados: Finalmente, o determinante de A é a soma algébrica desses seis produtos obtidos. Exemplo Calcular o determinante da matriz: M= 203 154 231 Resolução det M = 10-9+0-30-0-24= -53 Regra Prática A regra de Sarrus pode também ser aplicada diretamente sem a necessidade de copiar as duas colunas. Observe as figuras seguintes: Exercícios de Aula 01. Calcule os determinantes: a) 34 25 b) 42 71 02. Calcule os determinantes abaixo. a) 122 803 211 b) 732 114 325 3. (VUNESP) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij=-l+2i+j, para 1 i 2, l j 2. O determinante de A é: (A) 22 (B) 2 (C) 4 (D)-2 (E) 4 04. (UEL) O determinante 10 00 101 x x é positivo sempre que: (A) x>0 (B) x>l (C) x<1 (D) x<3 (E) x>-3 Tarefa Básica 01. Calcule os determinantes das seguintes matrizes: a) 51 32 b) 63 42 c) 241 112 113 d) 411 132 123 02. (MACK) Se A = (aij) é uma matriz quadrada de terceira ordem tal que aij= ji se0, ji se3, então o determinante de A vale: (A) -27 (B) 27 (C) 27 1 (D) - 27 1 (E) zero 03. (FUVEST) Resolver a equação 331 43 1 x xx = -3 (A) {l;3} (B) {- l;2} (C) {2;4} (D) {-2;4} (E) {-1/2;2} 04. (MACK) A soma das raízes da equação é: 112 110 011 x x x = 2 (A) -2 (B) 0 (C) -1 (D) 1 (E) 2 05. (UEL) Sejam as matrizes A = (aij)3x2, tal que, aij = 2i - 3j e B = (bjk)2x3, tal que bJk = k-j. O determinante da matriz A.B é igual a (A)-12 (B) -6 (C) 0 (D) 6 (E) 12 06. Dadas as matrizes A= 011 102 e B= 20 11 11 , o determinante da matriz A.B é igual a (A) 12 (B) 4 (C) 0 (D) -4 (E) -12 Respostas da Tarefa Básica 01. a) 7 b) 0 c) 10 d) 20 02. (A) 03. (E) 04. (C) 05. (C) 06. (D) Frente 2 – Aula 23 CÁLCULO GERAL DE DETERMINANTES Cofator Considere uma matriz quadrada A de ordem n > 1, chamamos de determinante da matriz reduzida de A pelo elemento aij ao determinante da matriz que obtemos eliminando de A a linha i e a coluna j. Por exemplo, considere a matriz abaixo a qual vamos calcular o determinante da matriz reduzida de A pelo elemento a23. Em primeiro lugar, eliminamos a linha 2 e a coluna 3. Em seguida, calculamos o determinante da matriz obtida: D23= 782 541 123 Calculando esse determinante, obtemos: D23= 238 Dada uma matriz quadrada A de ordem n> 1 ,chamamos de cofator ou complemento algébrico do elemento aij a um número representado com Aij e dado por: Aij= (-1) i+j . Dij Nessa expressão, Dij é o determinante da matriz reduzida de A pelo elemento aij. Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada de ordem n> 1 é igual a soma dos produtos dos elementos de uma linha (coluna) qualquer pelos respectivos cofatores. Como exemplo, vamos calcular o determinante da matriz M: Desenvolvendo pela 2ª coluna, temos: det M= 3 .A12 +0 . A22 + 0 . A32 +1 . A42, A12= (-1) 1+2 . 430 211 101 = (-1).(- 5)=5 A42= (-1) 4+2 . 211 101 052 = -17 Logo: det M= 3.5 + 1 . (- 17) = 15-17=- 2 Teorema de Jacobi Considere, por exemplo, a seguinte matriz: A= 511 123 021 Calculando o determinante dessa matriz obtemos: detA=-23 Vamos construir uma nova matriz B, de modo que as duas primeiras linhas de B sejam iguais às duas primeiras linhas de A. Para obter a terceira linha de B vamos multiplicar a primeira linha de A por 2, a segunda linha por (-1) e, em seguida, adicionar os resultados à terceira linha. B= 510124132 123 021 = 432 123 021 Dizemos que a terceira linha de B é uma combinação linear das linhas de A. Qual é o determinante de B? Vamos efetuar o cálculo: = (8 -4 + 0) - (0 + 3 + 24) = - 23 Portanto, det B= det A Podemos agora enunciar essa propriedade, que é denominada Teorema de Jacobi. Se a uma fila da matriz A qualquer, adicionamos uma combinação linear das demais, o determinante da nova matriz B, assim obtida, é igual ao de A. A aplicação do Teorema de Jacobi é fundamental para facilitar o cálculo geral de determinantes, na medida em que torna menos trabalhosa a aplicação do Teorema de Laplace. Determinante de matriz triangular Observe as matrizes seguintes: Nessas matrizes, todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal são nulos. Matrizes como essas são denominadas matrizes triangulares. O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos de sua diagonal principal. Exemplo: B= 4000 2300 3410 7512 det B = 2 . (-1). (-3). 4 = 24 Exercícios de Aula 01. Calcule o determinante 2301 1421 1102 2013 02. (UEL) O valor do determinante 1000 3200 1110 2222 é (A) -4 (B) -2 (C) 0 (D) 2 (E) 4 03. (FUVEST) O valor do determinante 4321 3321 2221 1111 é (A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) -1 (E) -2 04. (FUVEST) Seja u= x x x x 000 100 110 021 os valores reais de x, para os quais u 2 -2u+1=0 são (A) x =- 1 ou x= -2. (B) x = 1. (C) x = l ou x = 2. (D) x = -1. (E) x = 2. Tarefa Básica 01. (FUVEST) Calcule os determinantes: A= 110 110 01 a e B= 4110 3000 411 3001 a 02. (FATEC) Calcule x na equação 1111 24010 2505,7 10 1 02 xx = 0 03. (PUCSP) O determinante 2100 110 001 300 x x x representa o polinômio (A) -2x 3 +x 2 +3 (B) -2x 3 -x 2 +3 (C) 3x 3 +x-2 (D) 2x 3 +x 2 -3 (E) 2x 3 -x 2 +3 04.(UFSCAR) Sejam a matriz A x kx xx x 1000 000 0100 0010 0001 e a função f: tal que f(x) = det A e f(-2)=8, então k vale (A) -1 (B) -2 (C) 1 (D) 5 (E) 8 Respostas da Tarefa Básica 01. det A=2; det B=-6 02. x= -2 ou x= -1/2 03. (A) 04. (D) Frente 2 – Aula 24 MATRIZ INVERSA Definição Sendo M uma matriz de ordem n e In a matriz identidade de ordem n, define- se: M -1 é inversa de M M.M -1 =In= M - 1.M Existência da Inversa det M≠0 M é invertível ( não singular) det M=0 M é não invertível (singular) Regra Prática Calcular det(M) Determinar a matriz dos cofatores de M M ’ Determinar a matriz adjunta de M t'MM Aplicar a fórmula: M. Mdet 1 M 1 Observação Para encontrar um elemento da inversa de M, aplicar a fórmula: Mdet deMcofatordoa deMb ji1 ij Propriedades das matrizes inversas (A-1)-1=A (A.B)-1=B-1.A-1 (At)-1=(A-1)t det (A-1)= Adet 1 Exercícios de Aula 01. (FEI) – Se B é a matriz inversa de A= 31 21 então (A) B= 11 32 (B) B= 13 12 (C) B= 11 23 (D) B= 21 13 (E) B= 21 13 02. (FEI) – A inversa da matriz 110 010 001 A é: (A) 110 010 001 A 1 (B) 001 010 100 A 1 (C) 010 100 001 A 1 (D) 000 000 111 A 1 (E) 220 112 112 A 1 03.(ITA) – Sendo 213 230 121 A então o elemento da terceira linha e primeira coluna, de sua inversa, será igual a (A)5/8 (B)9/11 (C)6/11 (D)-2/13 (E)1/13 04. (MACK) – Se det A=5 e 5 2 5 1 a 5 4 A 1 então a é igual a (A) -8/5 (B) 0 (C) 1/5 (D) -3/5 (E) 2/5 Sendo A e B matrizes invertíveis de mesma ordem, resolva as equações 5 a 7 05. A.X = B 06. X. A = B 07. (A.X) -1 =A -1 .B 08. (FGV-2002) – A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det (A) =7. Nessas condições, det(3A) e det(A -1 )valem respectivamente: (A) 7 e -7 (B) 21 e 1/7 (C) 21 e -7 (D) 63 e -7 (E) 63 e 1/7 Tarefa Básica 01. (FGV-EAESP) – A matriz 35 1x A é inversa de 2y 13 B . Nessas condições, podemos afirmar que a soma x+y vale: (A) -1 (B) -2 (C) -3 (D) -4 (E) -5 02.(UNESP-2005) – Os valores de k para que a matriz 3k1 31k 101 A não admita inversa são: (A) 0 e 3 (B) 1 e -1 (C) 1 e 2 (D) 1 e 3 (E) 3 e -1 03. (MACK) – Se B é a matriz inversa de 42 53 A então B é: (A) 4 1 2 1 5 1 3 1 (B) 42 53 (C) 2 3 1 2 5 2 (D) 2 3 1 2 5 2 (E) 35 2 1 2 04. (UNITAU) – Assinale a alternativa que indica o conjunto de valores de x para os quais a matriz x110 213 21x é inversível. (A) {x≠3 e x≠2} (B) {x≠-2 e x≠3} (C) {x=1 e x=-1} (D) {x=0 e x≠2} (E) {x=2 e x≠0} 05. (UNISA) – Dada a matriz A= 111 212 211 . Seja A -1 a matriz inversa de A. A matriz soma A+ A -1 é: (A) 010 100 001 (B) 012 002 200 (C) 120 010 002 (D) 100 021 010 (E) n.d.a. 07. (PUC) – Sendo A e B matrizes invertíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que (X.A) t =B, então: (A) X=A -1 .B t (B) X=B t .A -1 (C) X=(B.A) t (D) x=(AB) t (E) n.d.a 08. (FAAP) – Considere as matrizes y x B e C= y6x5 y5x4 . Então,a inversa da matriz A, tal que AB=C, é: (A) 54 65 (B) 45 56 (C) 65 54 (D) 45 56 (E) não admite inversa 09.(MACK) – Dada a matriz A= 12 k2 , a soma dos valores de K para os quais det A = det A -1 é: (A) 2 (B) -2 (C) 1 (D) -1 (E) 0 10. (FGV) – A e B são matrizes quadradas de ordem 2, com determinantes não-nulos (det(A)≠0 e det(B) ≠0) a) Calcule (A+B).(A-B) b) Que condições devem ser satisfeitas por A e B de modo que (A+B) 2 =A 2 +2.A.B+B 2 ? c) Calcule )Adet( )Adet( d) Se B for a inversa de A, qual a relação entre o determinante de B e o de A? Respostas da Tarefa Básica 01. (C) 02. (C) 03. (C) 04. (A) 05. (D) 06. (B) 07. (B) 08. (E) 09.(B) 10. a) A 2 -AB + BA – B2 b) AB=BA c) 1 d) det B = Adet 1
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