Prova1b calculo3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DE PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
1ra PROVA
Prof. Iva´n Gonza´les
9 de outubro de 2015
ALUNO :
PERGUNTAS:
OBS: Escolher duas perguntas entre (3), (4)
e (5).
1.) [2 ptos] Seja S o conjunto de todos os pontos
(x, y) 6= (0, 0) em R2 e defina
F (x, y) = P~i+Q~j =
−y
x2 + y2
~i+
x
x2 + y2
~j,
um campo de forc¸as. Mostre que
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
,
e calcule o trabalho realizado pela forc¸a ao mo-
vimentar uma part´ıcula uma u´nica volta ao
longo da cirncunfereˆncia x2+y2 = 1 em sentido
anti-hora´rio. O campo e´ conservativo?.
2.) [2 ptos] Seja ~r = x~i+ y~j + z~k e r = ‖~r‖. Veri-
fique que
a. ∇(1/r) = −~r/r3 .
b. ∇ ln r = ~r/r2.
3.) [1.5 ptos] Se C : x2 + (y − 3)2 = 1, calcule∮
C
−[(y − 3)2 + 3x2y − ln(x2 + ex)]dx+
(2x3 + sin
√
1 + y2)dy.
4.) [1.5 ptos] Calcule a integral∫
C
(1 + xy2)dx− x2ydy
onde C e´ o arco de para´bola y = x2 de (−1, 1)
a (1, 1).
5.) [1.5 ptos] a) Se C e´ o segmento de reta ligando
o ponto (x1, y1) ao ponto (x2, y2), mostre que∫
C
xdy − ydx = x1y2 − x2y1.
b) Se os ve´rtices de um pol´ıgono na ordem an-
tihora´ria sa˜o (x1, y1), (x2, y2), · · · (xn, yn), mos-
tre que a a´rea do pol´ıgono e´ 12 [(x1y2 − x2y1) +
(x2y3−x3y2)+· · ·+(xn−1yn−xnyn−1)+(xny1−
x1yn)]. c) Determine o a´rea do penta´gono com
ve´rtices (0, 0), (2, 1), (1, 3), (0, 2) e (−1, 1).
6.) [2 ptos] Calcule o valor da integral∫
C
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy.
em cada caso?
[a.] C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 1.
[b.] C e´ a elipse x2 + y
2
4 = 1.
7.) [2 ptos] Considere o campo vetorial
F (x, y, z) = (yzexyz, xzexyz, xyexyz).
[a.] Sabendo que F define uma forc¸a con-
servativa, encontre um potencial f para F .
[b.] Calcule o trabalho de F ao longo
da espiral parametrizada pelo camino g(t) =
(5 cos t, 5 sin t, t2), com t ∈ [0, pi/4].
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