Prova1 - 2014 - Professor Ivan - Cálculo 3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DE PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
1ra PROVA
Prof. Dr. Iva´n Gonza´les
25 de setembro de 2014
ALUNO :
OBS:Escolher uma u´nica pergunta entre (4) e (5).
Escolher uma u´nica pergunta entre (6) e (7). A per-
gunta (8) e´ opcional.
PERGUNTAS:
1.) [2 ptos] Calcule
∫
C
F · dr se F (x, y) = (ex+x2y)~i+
(ey−xy2)~j onde a curva C e´ a circunfereˆncia x2 +
y2 = 25 orientada no sentido antihora´rio.
2.) [2 ptos] Considere o campo vetorial F (x, y) =
x3+2
x−1 ~i +
y
(y−2)3~j e sejam γ1, γ2, γ3 e γ4 os cami-
nhos exibidos na figura ao lado. Sabendo que∮
γ3+γ4
F · d~r = 10, calcule ∮
γ1+γ2
F · d~r.
3.) [2 ptos] Calcule a integral∫
C
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy,
quando:
a. C e´ o c´ırculo x2 + y2 = 1.
b. C e´ a elipse x2 + y
2
4 = 1.
4.) [2 ptos] [Nu´mero de voltas] Calcule a integral de
linha ∫
C
y
x2 + y2
dx− x
x2 + y2
dy
onde C1 e´ a curva que da´ uma volta ao longo da
circunfereˆncia x2 + y2 = 1 orientada em sentido
hora´rio . Calcule a mesma integral de linha para
a curva C2 que da´ duas voltas ao longo da mesma
circunfereˆncia. Mostre que se Cn e´ a curva que da´
n-voltas ao longo da mesma circunfereˆncia enta˜o
a integral e´ 2npi.
5.) [2 ptos] Calcule
∮
C
Pdx + Qdy onde P = −y3 +
(1 + 2x2)yex
2
cos(y2), Q = x3 + xex
2
(cos(y2) −
2y2 sin(y2)), onde C : x2 + y2 = 1 percorrida no
sentido hora´rio.
6.) [2 ptos] Seja F o campo de forc¸as definido por
F (x, y, z) = y~i+ z~j + yz~k.
Calcule o trabalho realizado ao deslocar uma
part´ıcula ao longo da curva definida por C : r(t) =
cost~i+ sent~j + et~k quando t varia de 0 a pi.
7.) [2 ptos] Considere o campo vetorial F (x, y, z) =
(y2z, 2xyz, xy2).
a. Sabendo que o campo e´ conservativo, encontre
uma func¸a˜o potencial f para F .
b. Calcule o trabalho de f ao longo da espi-
ral parametrizada pelo caminho C : α(t) =
(2 cos t, 2 sin t, t), com t ∈ [0, pi/4]. Se a curva C
fosse fechada em R2, o que pode dizer sobre o tra-
balho F ao longo de C?.
8.) [1 pto] Calcule
∮
f(x)dx + g(y)dy sobre qualquer
curva C, onde f e g sa˜o func¸o˜es diferencia´veis.
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