Prova2B - pROFESSOR IVAN - CÁLCULO3

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 2a PROVA
Prof. Dr. Ivan Gonzales
23 de outubro de 2014
ALUNO :
PERGUNTAS:
OBS: Fazer uma u´nica pergunta entre (4) e(5). A
pergunta (7) e´ opcional.
1.) [2 ptos] Determine
∫∫
S
F · ndS onde
F (x, y, z) = xi + yj + zk e S e´ a superf´ıcie
mostrada na figura, com orientac¸a˜o para fora
(a fronteira de um cubo horadado, cubo com
a parte interna quase totalmente removida).
2.) [2 ptos] Seja F (x, y, z) = (3x2yz−3y)~i+(x3z−
3x)~j + (x3y + 2z)~k. Calcule
∫
C
F · d~r, onde C
e´ a curva com in´ıcio em (0, 0, 2) e te´rmino em
(0, 3, 0) como mostra a figura.
3.) [2 ptos] Calcule o fluxo do campo veto-
rial F atrave´s da superf´ıcie aberta S, onde
F (x, y, z) = (xy2 +ey)~i+(yz2 +sen2x)~j+(5+
zx2)~k, e S : z =
√
4− x2 − y2, z ≥ 0, com ~n
tendo componente z positiva.
4.) [2 ptos] Calcule a a´rea da parte da esfera x2 +
y2 + z2 = a2 que esta´ acima do plano z = 1.
5.) [2 ptos] Sejam F (x, y, z) e G(x, y, z) campos
vetoriais definidos num aberto U ⊂ R3. Seja
f(x, y, z) uma func¸a˜o diferencia´vel definida em
U . Mostre que:
i.) div(f(x, y, z)F (x, y, z)) =
f(x, y, z)divF (x, y, z) +∇f(x, y, z) · F (x, y, z),
ii.) rot(f(x, y, z)F (x, y, z)) =
f(x, y, z)rotF (x, y, z) + ∇f(x, y, z) ×
rotF (x, y, z), onde : ¨·¨ e´ o produto escalar,
e ¨×¨ e´ o produto vetorial em R3. Mostre
tambe´m que rot∇f = 0 e div rotF = 0.
6.) [2 ptos] Calcule a integral de superf´ıcie
∫∫
S
F ·
dS, onde F (x, y, z) = x3~i + 3yz2~j + 3y2z~k e S
e´ a superf´ıcie x2 + y2 + z2 = 1.
7.) [1 pto] Use o Teorema de Green na forma da
Equac¸a˜o∮
C
F · nds =
∫∫
D
divF (x, y)dA,
para provar a primeira identidade de
Green∫∫
D
f∇2gdA =
∮
C
f(∇g) · nds−
∫∫
D
∇f · ∇gdA,
onde D e C satisfazem as hipo´teses do Teorema
de Green e as derivadas parciais apropriadas de
f e g existem e sa˜o cont´ınuas.
1