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Prova3d - pROFESSOR IVAN - CÁLCULO3

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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´
CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
3ra PROVA
Prof. Iva´n Gonza´les
24 de novembro de 2014
ALUNO :
PERGUNTAS:
1.) [3 ptos] Estude a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries:
a.
∞∑
n=1
2n
1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1) .
b.
∞∑
n=0
(−1)n−3√n
n+ 4
.
2.) [2 ptos] Encontre o raio e intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias:
∞∑
n=0
(x− 1)n/2.
3.) [2 ptos] Mostre que
pi
4
= 1− 1
3
+
1
5
− 1
7
+
1
9
− · · · =
∞∑
n=0
(−1)n
2n+ 1
.
[Dica: Use a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncia da func¸a˜o f(x) = 11+x2 , logro integre e calcule o
valor da constante da integral sabendo que arctg(0) = 0].
4.) [1.5 ptos] Na figura existem infinitos c´ırculos se aproximando dos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero
de lado 1. Cada c´ırculo toca outros c´ırculos e lados do triaˆngulo. Calcule a a´rea total ocupada
pelos c´ırculos.
5.) [1.5 ptos] Mostre que a se´rie de poteˆncia f(x) =
∞∑
n=0
xn
(n!)2
satisfaz a equac¸a˜o diferencial
xy′′ + y′ − y = 0.
6.) [1 ptos] A se´rie converge ou diverge? :
∞∑
n=1
(−1)n−1 n− 1
n2 + n
.
1

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