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UNIVERSIDADE FEDERAL TECNOLO´GICA DO PARANA´ CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 3ra PROVA Prof. Iva´n Gonza´les 24 de novembro de 2014 ALUNO : PERGUNTAS: 1.) [3 ptos] Estude a convergeˆncia ou divergeˆncia das se´ries: a. ∞∑ n=1 2n 1 · 3 · 5 · · · (2n+ 1) . b. ∞∑ n=0 (−1)n−3√n n+ 4 . 2.) [2 ptos] Encontre o raio e intervalo de convergeˆncia da se´rie de poteˆncias: ∞∑ n=0 (x− 1)n/2. 3.) [2 ptos] Mostre que pi 4 = 1− 1 3 + 1 5 − 1 7 + 1 9 − · · · = ∞∑ n=0 (−1)n 2n+ 1 . [Dica: Use a representac¸a˜o em se´rie de poteˆncia da func¸a˜o f(x) = 11+x2 , logro integre e calcule o valor da constante da integral sabendo que arctg(0) = 0]. 4.) [1.5 ptos] Na figura existem infinitos c´ırculos se aproximando dos ve´rtices de um triaˆngulo equila´tero de lado 1. Cada c´ırculo toca outros c´ırculos e lados do triaˆngulo. Calcule a a´rea total ocupada pelos c´ırculos. 5.) [1.5 ptos] Mostre que a se´rie de poteˆncia f(x) = ∞∑ n=0 xn (n!)2 satisfaz a equac¸a˜o diferencial xy′′ + y′ − y = 0. 6.) [1 ptos] A se´rie converge ou diverge? : ∞∑ n=1 (−1)n−1 n− 1 n2 + n . 1
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