Análise cinemática de um manivela-seguidor, equacionamento utilizado para um mecanismo de limpador de para-brisas

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS
FACULDADE DE ENGENHARIA
MECANISMO 4 BARRAS – MANIVELA BALANCIM
João Paulo Gatto Schardong
Matheus Braga Gomes
Dourados MS
2016
Mecanimos 4 Barra – Manivela Balancim
João Paulo Gatto Schardong
Matheus Braga Gomes
Relatório do projeto apresentado como requisito parcial para aprovação na disciplina Dinâmica de Máquina e Mecanismos, Universidade Federal da Grande Dourados
Prof. Dr. Marcus Varanis
		
Dourados
2016
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO
1.1 Condição de Grashof e Aplicações
O mecanismo tratado no trabalho será um manivela-balancim, demonstrado na seguinte figura:
Para que a barra C2 consiga realiza uma revolução, a soma de seu tamanho com o tamanho da maior barra deve ser menor que a soma das outras duas barras, ou seja:
Em que S é o comprimento da barra menor, L o comprimento da barra maior, P e Q é o comprimento das barras remanescentes.
A equação acima se trata da Condição de Grashof. Caso a condição seja satisfeita, uma das barras pode completar o movimento de uma revolução. A condição de Grashof para nosso trabalho encontra-se no item 3.1. 
O mecanismo manivela-balancim é utilizado em limpadores de para-brisas, bombas de captação de água em poços artesianos, freio de bicicleta, comando de válvulas em um motor, entre outros.
1.2. Grandezas
Com o tamanho das barras C1, C2, C3 e C4, e também a velocidade angular e aceleração angular da barra motora, é possível descrever o a posição, velocidade e aceleração de qualquer ponto ao longo das barras.
A posição é um importante quesito informativo para o projeto, com ela conseguimos determinar a localização de terminada barra dado um ângulo . Além disso, é necessário determinar a posição em relação ao seu ângulo de referencia da barra para determinar a velocidade e aceleração da barra em questão.
Encontrando a posição das barras, conseguimos determinar a velocidade de cada barra do sistema dado um ângulo e velocidade de entrada. Determinar a velocidade, além de necessário para determinar a aceleração, é essencial para determinarmos a energia cinética armazenada no nosso corpo. A aceleração é o parâmetro mais importante a ser determinado, é necessária para determinarmos a força presente nas barras a partir da fórmula . A força é necessária para calcularmos as tensões nos componentes da barra, por exemplo. Essas tensões servem pra assegurar que o corpo não falhará sobre condições operacionais.
 2. OBJETIVOS
 
O objetivo do trabalho é a análise de um mecanismo 4 barras, sendo conhecidas algumas variáveis de entrada como o ângulo, a velocidade angular e a aceleração angular da barra motora, e assim, determinar as posições, velocidades e acelerações de cada barra.
 Com essas informações conseguimos analizar os valores encontrados no experimento do mecanismo fabricado, com os valores encontrados matematicamente, e com isso, analisar os resultados obtidos.
Analisamos também a posição, a velocidade angular e a aceleração angular graficamente usando softwares.
 3. DESENVOLVIMENTO
3.1. Análise de posição – Mecanismo 4 barras
Para realizar a análise de posição de um mecanismo quatro barras definimos o tamanho das barras como C1, C2, C3 e C4, em que todos os tamanhos são conhecidos. O ângulo que cada barra faz com seu eixo de referência é definido como , , e . O ângulo é zero. A equação vetorial é obtida da analise da figura abaixo.
 (1)
A equação vetorial (1) na forma complexa é dada por:
 (2)
Aplicando a relação de Euler na equação (2):
 (3) 
Separando a parte real da imaginária na equação (3).
 (4.1)
 (4.2)
Isolando o ângulo nas equações (4.1) e (4.2).
 (4.3)
 (4.4)
Elevando as equações (4.3) e (4.4) ao quadrado, somando-as e simplificando, temos:
 (5)
Elevando os termos do lado direito da equação (5) ao quadrado:
 (6)
Manipulando a equação (6) algebricamente, tem-se:
( (7)
Com finalidade de simplicar a equação (7), foram definidas algumas constantes K1, K2 e K3.
 (8.1)
 (8.2)
 (8.3)
Aplicando as constantes (8.1), (8.2), (8.3) na equação (7), chegamos na equação de Freudenstein, dada por:
 (9)
Utilizando identidades trigonométricas (9.1) e (9.2) e tambem as constantes das equações (9.3), (9.4) e (9.5), a equação (7) é simplificada para a equação (10):
 (9.1)
 (9.2)
 (9.3)
 (9.4)
 (9.5)
 (10)
Isolando o termo desconhecido na equação (10), é obtido pela seguinte equação:
 (11)
Para encontrar o ângulo na configuração aberta do mecanismo, é usado o sinal negativo na equação (11). Caso seja a configuração fechada, o sinal é positivo.
Para determinar o ângulo , a análise é feita de forma similiar à . Isolamos os termos com da equação (4.1) e (4.2):
 (12.1)
 (12.2)
Definimos constantes K4, K5, D, E e F para simplificar a equação posteriormente.
 (13.1)
 (13.2)
 (13.3)
 (13.4)
 (13.5)
Elevando ambos os lados das equações (12.1) e (12.2), somando-as e simplificado com as constantes (13.1), (13.2), (13.3), (13.4) e (13.5), temos:
 (14)
Da equação (14), é obtido por:
 (15)
Para encontrar o ângulo na configuração aberta do mecanismo, é usado o sinal negativo na equação (15). Caso seja a configuração fechada, o sinal é positivo.
Resumindo, o ângulo e são encontrados a partir de e do tamanho das barras pela seguintes equações:
3.2. Análise de velocidades – Mecanismo 4 barras
Para realizar a análise de velocidades do mecanismo quatro barras, derivamos a equação vetorial na forma complexa (2) em relação ao tempo. O tamanho das barras C1, C2, C3 e C4 são conhecidos, assim como a velocidade angular da barra motora () e também os angulos e. Os ângulos e foram obtidos a partir da análise de posição. A velocidade angular da barra fixa ( é zero.
 (2)
Derivando (2) em relação ao tempo, temos a equação vetorial na forma complexa da velocidade de um mecanismo quatro barras:
 (16.1)
Simplificando a equação (16.1):
 (16.2)
Aplicando a relação de Euler na equação (16.2) temos:
 (17.1)
Organizando a equação (17.1):
 (17.2)
Separando em parte real e imaginaria a equação (17.2):
 (18.1)
 (18.2)
As equações (18.1) e (18.2) podem ser resolvidas por substituição direta, encontrando a velocidade angular da barra C3 e C4.
3.3. Análise de acelerações – Mecanismo 4 barras
Para realizar a análise de aceleração do mecanismo quatro barras, derivamos a equação vetorial na forma complexa (16.2) em relação ao tempo. O tamanho das barras C1, C2, C3 e C4 são conhecidos, assim como a velocidade angular e também a aceleração angular . é zero.
Os ângulos e foram obtidos a partir da análise de posição. As velocidades angular e foram obtidas a partir da análise de velocidade descrita acima.
 (16.2)
Derivando (16.2) em relação ao tempo:
 (19)
Aplicando a relação de Euler na equação (19) temos:
 (20.1)
Multiplicando os termos pelo operador j na equação (20.1) e rearranjando chegamos em:
 (20.2)
Separando em parte real e imaginaria a equação (20.2):
 (20.1)
 (20.2)
Para simplificar a resposta, são definidas as seguintes constantes:
 (21.1)
 (21.2)
 (21.3)
 (21.4)
 (21.5)
 (21.6)
Resolvendo o sistema de equações, e aplicando as constantes (21.1), (21.2), (21.3), (21.4), (21.5) e (21.6) temos que e é dado por:
 (21.1)
 (21.2)
 4. RESULTADOS
Toda a análise foi feita pelo software SolidWorks e posteriormente comparado à um script escrito no software MatLAB (Apêndice 1). Os resultados foram o mesmo para ambos os casos.
4.1. Condição de Grashof
O tamanho das barras de nosso mecanismo foi definido como:
Verificamos se a condição de Grashof é satisfeita:
A condição de Grashof é satisfeita, portanto pelo menos um dos elos do mecanismo é capaz de fazer uma revolução completa.
4.2. Análises Computacionais
Todas asbarras usadas no mecanismo foram desenhadas no SOLIDWORKS e, além disso, foi feita a montagem a fim de simular o mecanismo. O mecanismo e a trajetória de suas juntas móveis estão representados na seguinte imagem:
Com o uso da ferramenta SOLIDWORKS Motion, é possível adicionar uma rotação constante na barra motor ( e assim, verificar a variação dos ângulos , e .
 Além disso, é possível gerar gráficos para as velocidades angulares e em função do tempo e também aceleração angular e em função do tempo.
Para fins de simulação, foi definido como 12 RPM, para que a barra motora execute uma revolução completa em 5 segundos.
A variação do ângulo (graus) em uma revolução da barra motora é dada por:
A variação do ângulo (graus) em uma revolução da barra motora é dada por:
A variação do ângulo (graus) em uma revolução da barra motora é dada por:
Como a velocidade angular (graus/segundo) é constante, seu gráfico reduz-se a uma linha.
A velocidade angular (graus/segundo) em uma revolução completa é dada pelo seguinte gráfico:
A velocidade angular (graus/segundo) em uma revolução completa é dada pelo seguinte gráfico:
A aceleração angular durante uma revolução completa é dada por:
A aceleração angular durante uma revolução completa é dada por:
Com todos os gráficos gerados, podemos comparar com o script feito no MatLAB.
	4.3. Comparação com script feito no MatLAB
A entrada do tamanho das barras no script feito em MatLAB é em milímetros, portanto:
A velocidade angular também deve ser convertida de RPM para rad/s.
A aceleração angular é zero.
Para efeito de comparação entre resultado no script e gráficos gerados pelo SOLIDWORKS, será , que deve ser convertido para radianos.
O resultado do script com os valores acima é:
Fazendo as devidas conversões, os valores apresentados como resultado no script do MatLAB coincidem com os valores gráficos gerados pelo SOLIDWORKS.
 5. CONCLUSÃO
O procedimento desenvolvido nesse trabalho apresentou resultados satisfatórios, permitiu analisar a posição, velocidade angular e aceleração angular de um mecanismo de 4 barras utilizando-se o SOLIDWORKS e a programação de um script funcional no MatLAB. Ambos os métodos possibilitaram precisão nos resultados, de acordo com as necessidades estabelecidas.
Outro ponto positivo é que o trabalho resumiu o aprendizado do funcionamento de um mecanismo de 4 barras.
 6. APÊNDICE
6.1 Programação feita no MatLAB
%Analise posição, velocidade e aceleração
%Mecanismos 4 Barras
clear all
clc
 
%Entrada de valores
a=input('Entre com o valor da barra motora [mm]: ');
b=input('Entre com o valor da segunda barra "L" [mm]: ');
c=input('Entre com a valor da terceira barra "P" [mm]: ');
d=input('Entre com o valor da barra chão [mm]: ');
o2=input('Entre com o angulo O2 inicial [rad]: ');
w2=input('Entre com a velocidade angular da barra motora [rad/s]: ');
a2=input('Entre com a aceleração angular da barra motora [rad/s^2]; ');
 
%% Analise de posição
%Constantes
K1=d/a;
K2=d/c;
K3=(a^2-(b)^2+c^2+d^2)/(2*a*c);
K4=d/b;
K5=(c^2-d^2-a^2-b^2)/(2*a*b);
 
A=cos(o2)-K1-(K2*cos(o2))+K3;
B=-(2*sin(o2));
C=K1-(K2+1)*cos(o2)+K3;
 
D=cos(o2)-K1+(K4*cos(o2))+K5;
E=-2*sin(o2);
F=K1+(K4-1)*cos(o2)+K5;
 
 
%Calculo da posição
o4a=2*atan((-B-sqrt(B^2-4*A*C))/(2*A));
o4c=2*atan((-B+sqrt(B^2-4*A*C))/(2*A));
 
o3a=2*atan((-E-sqrt(E^2-4*D*F))/(2*D));
o3c=2*atan((-E+sqrt(E^2-4*D*F))/(2*D));
 
%% Analise de velocidade
%Calculo da velocidade
w4=((a*w2)/c)*((sin(o2-o3a))/((sin(o4a-o3a))));
w3=-(a*w2*sin(o4a-o2))/(b*sin(o3a-o4a));
 
%% Analise de aceleração
%Constantes
G=c*sin(o4a);
H=b*sin(o3a);
I=a*a2*sin(o2)+a*(w2^2)*cos(o2)+b*(w3^2)*cos(o3a)-c*(w4^2)*cos(o4a);
J=c*cos(o4a);
K=b*cos(o3a);
L=a*a2*cos(o2)-a*(w2^2)*sin(o2)-b*(w3^2)*sin(o3a)+c*(w4^2)*sin(o4a);
 
%Calculo da aceleração
a3=((I*J)-(G*L))/((G*K)-(H*J));
a4=((I*K)-(H*L))/((G*K)-(H*J));
 
%% Mostrar valores
%Posição
disp(' ')
disp('Mecanismo aberto')
disp('Valor do angulo o3 [rad]: ')
disp(o3a)
disp('Valor do angulo o4 [rad]: ')
disp(o4a)
 
 
disp('Mecanismo fechado')
disp('Valor do angulo o3 [rad]: ')
disp(o3c)
disp('Valor do angulo o4 [rad]: ')
disp(o4c)\
 
%Velocidade
disp(' ')
disp('Velocidade angular da barra L [rad/s]: ')
disp(w3)
 
 
disp('Velocidade angular da barra P [rad/s]: ')
disp(w4)
 
%Aceleração
disp(' ')
disp('Aceleração angular da barra L [rad/s^2]: ')
disp(a3)
 
 
disp('Aceleração angular da barra P [rad/s^2]: ')
disp(a4)
7. REFERÊNCIAS
Norton, R. L., 2013, Dinâmica de Máquinas e Mecanismos (Segunda Edição), MaGraw-Hill, New York, NY.
Fisher, F., 2013, Analysis of a 4 bar crank-rocker mechanism using SolidWorks Motion. Disponível em http://personal.stevens.edu/~ffisher/me345/4bar_veloc_wiper_Feb13.pdf
Animation of 4-Bar Linkage Using SolidWorks. Disponível em http://www.me.unlv.edu/~mbt/320/SolidWorks/4Bar%20SW%20Animation.htm
Sakshat Virtual Labs, 2013, Four bar mechanism. Disponível em http://iitkgp.vlab.co.in/?sub=40&brch=127&sim=682&cnt=1
Mekanizmalar, 2014, Four bar linkage and coupler curve. Disponível em http://www.mekanizmalar.com/fourbar.html