F129 aula 5 Propagação de erros.pdf

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Propagação	
  de	
  erros	
  
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Propagação	
  de	
  erros	
  
( )z,.....y,x, ωω =
... z, y, x,
A	
  velocidade	
  da	
  esfera	
  que	
  atravessa	
  o	
  photogate	
  
Prof. Jonhson Ordoñez 
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14
	
  
Propagação	
  de	
  erros	
  
( )z,.....y,x, ωω = para um número grande de medidas podemos admitir que o valor médio de ω é verdadeiro e a 
incerteza padrão σω é o valor verdadeiro. 
•  os erros das variáveis (x, y, z, ...) são independentes entre si. 
•  a incerteza padrão de ω é σω → o desvio padrão é verdadeiro. 
A expressão geral para o cálculo da incerteza padrão propagada da grandeza ω : 
...2
2
2
2
2
2
2 +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂= zyx zyx
σωσωσωσω
Esta expressão é utilizada quando as grandezas de entrada (primárias) são 
medidas repetidas vezes 
x, y, z são valores médios 
σx, σy, σz,... são desvios padrões das médias 
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Propagação	
  de	
  erros	
  –	
  Expressão	
  geral	
  
...2
2
2
2
2
2
2 +⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂= zyx zyx
σωσωσωσω
Esta é uma expressão que é função do desvio padrão pois desprezamos os 
erros instrumentais. 
Na prática, devemos utilizar os erros TOTAIS das grandezas! 
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Propagação	
  de	
  erros	
  –	
  Exemplo	
  1	
  
) s,,(σt
) mm,,(σd
t
d
0001009500
0500019
±=±
±=±
t
d
t
dv
σ
σ
±
±=0
d e t são os valores médios das grandezas 
),(00 tdvv =
2
2
02
2
02
0 txv t
v
d
v σσσ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂=
td
v 10 =⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂
2
0
t
d
t
v =⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
∂
∂
2
2
2
2
2
2 1
0 txv t
d
t
σσσ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛= 2
2
2
2
2 1
0 txv tt
d
dt
d σσσ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
×
+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
×
×=
como e 
⇒
222
0
0 ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
tdv
tdv σσσ
então 
22
3
322
0 0950,0
0001,0
1000,19
1005,02,0
0
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
×
×=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛= −
−
td
v tdv
σσσ
⇒
= 0,003 m/s 
v0 v0 
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Propagação	
  de	
  erros	
  –	
  Exemplo	
  2	
  
volume	
  de	
  um	
  cilindro	
  
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sã
o	
  
14
	
  
Cálculo do volume de um cilindro de comprimento L = 2,0+0,1 mm 
e raio R = 4,0+0,2 mm 
322 53,1000,20,4 mmLRV =××=××= ππ
Cálculo da incerteza do volume do cilindro 
),( LRVV = ⇒
3)24,1153,110( mmV ±=
Propagação	
  de	
  erros	
  –	
  Exemplo	
  2	
  
volume	
  de	
  um	
  cilindro	
  
222 2
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ
R
R
L
L
V
V
222 2
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ=⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ
R
R
L
L
V
V 22 2
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Δ=Δ⇒
R
R
L
LVV
3
22
24,11
0,4
2,02
0,2
1,053,100 mmV =⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ×+⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=Δ
3310)01,011,0( doarredondan mmV −±=→→