03 funcao de 2o grau

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FUNÇÃO DE 2º GRAU 
 
 
 
A função de 2º grau, ou função quadrática é aquela que possui a forma 
cbxxaxf ++= 2)( , com a, b e c reais e a ≠ 0. Tem uma grande aplicação prática, 
principalmente no cálculo de maximização e minimização. 
 
 
 
 
 
 A ilustração acima, nos dá uma idéia de onde podemos encontrar algumas apli-
cações da função de 2º grau. No 1º desenho temos um arco de ponte, o 2º desenho nos 
mostra uma ponte com passagem para o barco, a 3ª figura que nos mostra um coletor 
solar, embaixo, temos um túnel. Veja que com isso, percebemos que o gráfico da função 
de 2º grau descreve uma curva denominada parábola. 
 
Exemplos de função de 2º grau: 
a) 342 +−= xxy , onde a = 1, b = −4 e c = 3 
b) 32)( 2 ++−= xxxf , onde a = −1, b = 2 e c = 3 
 
 
 
 
 
 
 
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CÁLCULO DOS ZEROS DA FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Denomina-se zero ou raiz da função cbxxaxf ++= 2)( , o valor de x que anula a fun-
ção, isto é 0)( =xf . 
 
Exemplos: 
Calcule os zeros (ou raízes) da função: 
a) 342 +−= xxy 
Basta igualar a função f(x) a zero, daí temos: 
0342 =+− xx (agora temos uma equação de 2º grau, que pode ser resolvida pela 
fórmula de Bháskara) 
02 =++ cbxxa ⇒ 
a
b
x
2
∆±−
= , onde ∆ é chamado de discriminante e é calcu-
lado por acb 42 −=∆ . 
Note que esse discriminante ∆ é quem vai nos dizer a quantidade de raízes que pos-
sui a equação de 2º grau. 
 
 
Se ∆ > 0 (isto é, positivo, significa que teremos duas raízes reais e diferentes na e-
quação) 
Se ∆ = 0 (isto é, nulo, significa que teremos duas raízes reais e iguais, ou uma única 
raiz) 
Se ∆ < 0 (isto é, negativo, significa que não teremos nenhuma raiz real) 
 
Assim, voltando a nossa equação 0342 =+− xx , vamos calcular o valor de ∆ 
acb 42 −=∆ ⇒ 41216314)4( 2 =−=⋅⋅−−=∆ , como ∆ = 4 (positivo, então te-
remos duas raízes reais e diferentes) 
a
b
x
2
∆±−
= ⇒ 
2
24
12
4)4( ±
=
⋅
±−−
=x ⇒ 1
2
2
2
24
==
−
=′x e 
3
2
6
2
24
==
+
=′′x , logo, as raízes são: 1 e 3. 
 
 
b) 32)( 2 ++−= xxxf 
Igualando a função a zero, temos 0322 =++− xx (fica mais fácil fazer as contas, 
se multiplicarmos a expressão 0322 =++− xx por −1) 
O que temos agora 0322 =−− xx , calculando acb 42 −=∆ 
)3(14)2( 2 −⋅⋅−−=∆ 
16124 =+=∆ , mais uma vez, teremos duas raízes reais e diferentes. 
a
b
x
2
∆±−
= ⇒ 
2
42
12
16)2( ±
=
⋅
±−−
=x ⇒ 1
2
2
2
42
−=
−
=
−
=′x e 
3
2
6
2
42
==
+
=′′x , 
logo, as raízes são −1 e 3. 
 
 
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c) xxxf 105)( 2 += 
Igualando a função a zero, temos 0105 2 =+ xx , e podemos notar que a equação de 
2º grau que se apresentou é incompleta, pois está faltando o termo c, que neste caso, 
será zero. 
Fica mais fácil, então, no lugar de usar a fórmula de Bháskara, colocar o x em evi-
dência, assim: 0105 2 =+ xx ⇒ 0)105( =+xx ⇒ 0=′x e 0105 =+x ⇒ 
105 −=x ⇒ 
5
10−
=x ⇒ 2−=′′x , logo, as raízes são 0 e −2. 
 
d) 4)( 2 −= xxf 
Igualando a função a zero, temos 042 =−x , e também podemos notar que essa 
equação, também é incompleta, pois está faltando o termo b, que neste caso, é zero. 
Também fica mais fácil resolver sem usar a fórmula de Bháskara, assim: 
042 =−x ⇒ 42 =x ⇒ 4±=x ⇒ 2±=x , logo, as raízes são −2 e 2. 
 
 
GRÁFICO 
Como vimos, na definição introdutória, o gráfico da função de 2º grau é uma curva de-
nominada parábola, que terá concavidade voltada “para cima” se a > 0 ou voltada “pa-
ra baixo” se a < 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Concavidade voltada para cima (a > 0) 
Corta o eixo x em 
dois pontos, logo, 
temos duas raízes 
reais e diferentes, 
isto é, ∆ > 0 
Corta o eixo x em 
um único ponto, 
logo, temos uma 
única raiz real, 
isto é, ∆ = 0 
Não corta o eixo x, 
logo, não temos 
raízes reais, isto é, 
∆ < 0 
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COORDENADAS DO VÉRTICE 
 Podemos observar que, se a concavidade da parábola, estiver voltada “ para ci-
ma” (ou seja a > 0), a parábola apresenta um ponto que é o “mais baixo” (ponto de mí-
nimo da função), mas, se a concavidade estiver voltada “para baixo” (a < 0), então a 
parábola apresenta um ponto que é o “mais alto” (ponto de máximo da função). Esse 
ponto (mínimo ou máximo) é chamado de vértice ),( VV yxV da parábola e suas coor-
denadas são 
a
b
xv 2
−= e 
a
yv 4
∆
−= , sendo que a reta que contém o vértice da parábola 
e é paralela ao eixo y é denominada de eixo de simetria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eixo de simetria 
V (vértice) 
Eixo de simetria 
V (vértice) 
a > 0 a < 0 
Concavidade voltada para baixo (a < 0) 
Corta o eixo x em 
dois pontos, logo, 
temos duas raízes 
reais e diferentes, 
isto é, ∆ > 0 
Corta o eixo x em 
um único ponto, 
logo, temos uma 
única raiz real, 
isto é, ∆ = 0 
Não corta o eixo x, 
logo, não temos 
raízes reais, isto é, 
∆ < 0 
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Com esses dados, podemos calcular maximização ou minimização em várias situações: 
Exemplo: 
O lucro mensal de uma empresa é dado por 1610)( 2 −+−= xxxL , em que x é a quanti-
dade vendida. 
a) Para que valores de x, o lucro é nulo, ou seja, não houve lucro? 
b) Qual será o valor de x para obtermos o maior lucro possível? 
c) Qual é esse maior lucro? 
 
Resolução 
a) se queremos saber, para que valor de x o lucro é nulo, basta igualar a função a zero 
)1(016102 −=−+− xx ⇒ 016102 =+− xx (usando a fórmula de Bháskara, te-
mos) 2x =′ e 8x =′′ , ou seja, quando para x = 2 ou x = 8 
b) basta calcular o xv, então temos: 
a
b
xv 2
−= ⇒ 5
2
10
12
)10(
==
⋅
−
−=vx , significa que 
quando vender 5 unidades, a empresa terá conseguido seu lucro máximo. 
c) agora é só calcular o yv, que nesse caso, fica mais fácil se substituirmos o xv na fun-
ção assim, 1610)( 2 −+−= xxxL ⇒ 165105)5( 2 −⋅+−=L ⇒ 
9165025)5( =−+−=L , ou seja, quando a empresa tiver conseguido vender 5 uni-
dades, então terá o seu maior lucro que será de 9 unidades monetárias. 
 
EXERCÍCIOS 
 
Questão 01 
Dadas as funções de IR em IR, marque com um X aquelas que são funções de 2º grau: 
a) ( ) 163)( 2 +−= xxxf 
b) ( ) xxy 42 +−= 
c) ( ) 82)( −= xxf 
d) ( ) 73)( += xxf 
e) ( ) 
xx
xf 45)( 2 −= 
f) ( ) 
6
5
8
2
−=
xy 
g) ( ) 3
316)(
x
xf −= 
 
Questão 02 
Dada a função 65)( 2 +−= xxxf , calcule: 
a) f(−1) b) f(0) c) f(1) d) f(2) e) f(3) 
 
Questão 03 
Calcule os zeros (raízes) de cada função: 
a) 2452 −−= xxy 
b) 24 2 +−= xxy 
c) 96)( 2 +−= xxxf 
d) 9)( 2 −= xxf 
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 6 
Questão 04 
Dizer se as funções quadráticas abaixo têm concavidade voltada para cima ou para bai-
xo: 
a) 432 2 +−= xxy 
b) 96)( 2 −+−= xxxf 
c) 2)( xxf = 
d) 162)( 2 +−= xxf 
 
 
Questão 05 
O valor mínimo de y em 652 +−= xxy é: 
a) −0, 25 
b) −0, 5 
c) 0 
d) 2, 5 
e) 3, 0 
 
 
Questão 06 
A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada pela função 
Atttf +−= 7)( 2 , onde t é medido em minutos e A é constante. 
Se, no instante t = 0, a temperatura é de 10º C, o tempo gasto pra 
que a temperatura seja mínima, em minutos, é: 
a) 3, 5 
b) 4, 0 
c) 4, 5 
d) 6, 5 
e) 7, 5 
 
 
 
Questão 07 
Para um indivíduo sadio em repouso, o número N de batimentos cardíacos por minutovaria em função da temperatura ambiente t (em graus Celsius), segundo a função 
9041,0)( 2 +−= tttN . Nessas condições, em qual tem-
peratura o número de batimentos cardíacos por minuto é 
mínimo? 
a) 31º C 
b) 12, 4º C 
c) 20º C 
d) 25º C 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 08 
O físico francês Poiseuille, foi o primeiro a descobrir que o sangue flui mais perto do 
centro de uma artéria do que nas extremidades. 
Testes experimentais mostraram que a velocidade do sangue 
num ponto a r cm do eixo central de um vaso sanguíneo é dada 
pela função )()( 22 rRCrV −= em 
cm/s em que C é uma constante e R é 
o raio do vaso. 
Supondo, para um determinado vaso, 
que seja 4108,1 ⋅=C e 210−=R cm, 
calcule: 
 
a) a velocidade do sangue no eixo central do vaso sanguíneo; 
b) a velocidade do sangue no ponto médio entre as parede do vaso e o eixo central. 
 
 
Questão 09 
Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descrita em fun-
ção do tempo (em segundos) pela expressão 233)( ttth −= , onde h é a altura máxima 
atingida em metros. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? 
b) Qual é a altura máxima, em metros, atingida pelo grilo? 
 
 
Questão 10 
Uma espécie animal, cuja família no início era composta de 200 elementos, foi testada 
num laboratório sob a ação de uma certa droga. Constatou-se que a lei de sobrevivência 
nesta família obedecia à relação battn += 2)( em que n(t) é igual ao número de ele-
mentos vivos no tempo t (dado em horas); a e b são parâmetros que dependem da droga 
ministrada. Sabe-se que a família desapareceu (morreu seu último elemento) quando 
t = 10h (após o início da experiência). Calcular quantos elementos tinha essa família 8 
horas após o início da experiência. 
 
 
Questão 11 
Num certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 horas. Su-
ponhamos que, nesse dia, a temperatura f(t) em graus era uma função do tempo t, medi-
do em horas, dada por 160)( 2 −+−= tbttf , quando 208 ≤≤ t . Obtenha: 
a) o valor de b; 
b) a temperatura máxima atingida nesse dia; 
 
 
Questão 12 
De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro can-
tos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou 
em função de x. 
 
 
 
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Questão 13 
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e 
o espaço em volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 200 m de tela, os direto-
res desejam saber quais devem ser as dimensões do terreno a cercar com tela para que a 
área seja a maior possível. 
 
Questão 14 
Deseja-se construir uma casa térrea de forma retangular. O retângulo onde a casa será 
construída tem 80 m de perímetro. 
Calcule as dimensões desse retângulo sabendo que a área de sua região deve ser a maior 
possível. 
 
Questão 15 
Um fazendeiro precisa construir um galinheiro de forma retangular utilizando-se de uma 
tela de 16 metros de comprimento. Sabendo que o fazendeiro vai usar um muro como 
fundo do galinheiro, determine as dimensões do mesmo para que a sua área seja máxi-
ma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 16 
O espaço percorrido S por um corpo em queda livre, durante um certo tempo t, é dado 
pela função 29,4)( ttS = . 
 
 
Considerando que um corpo está em queda livre: 
 
a) Qual é o espaço, em metros, que ele percorre após 3s? 
b) Em quanto tempo ele percorre 122, 5m? 
 
 
 
 
Questão 17 
Uma bola é lançada ao ar. Suponha que a altura h, em metros, t segundos após o lança-
mento, seja 642 ++−= tth . 
Determine: 
 
 
a) o instante em que a bola atinge a sua altura 
máxima; 
b) a altura máxima atingida pela bola; 
c) quantos segundos depois de lançada, ela toca 
o solo? 
 
x x 
y 
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Questão 18 
A trajetória de uma bola, num chute a gol, descreve aproximadamente uma parábola. 
Supondo que a sua altura h, em metros, t segundos após o chute, seja dada pela fórmula 
tth 62 +−= , determinar: 
 
 
a) em que instante a bola atinge a altura má-
xima? 
b) qual é a altura máxima atingida pela bola? 
 
 
Questão 19 
Nos acidentes de trânsito, uma das preocupações dos especialistas em tráfego é desco-
brir qual a velocidade do veículo antes da colisão. 
Uma das fórmulas utilizadas é 
250
1,0
2v
vd += na qual v é a velocidade, em quilômetros 
por hora, desenvolvida pelo veículo antes do choque e d, a distância, em metros, que o 
mesmo percorre desde que o motorista pressente o acidente até o mesmo parar. 
Essa é uma função do 2º grau que relaciona uma 
distância, muitas vezes determinada pelas marcas de 
pneus na pista, após utilização brusca dos freios, e a 
velocidade que o carro trafegava. 
 
Quantos metros percorre um carro a 80 km/h, desde 
o momento em que vê o obstáculo, até o carro pa-
rar? 
 
 
 
 
 
Questão 20 
O impacto de colisão I (energia cinética) de um automóvel com massa m e velocidade v 
é dado pela fórmula 2vmkI = . Se a velocidade triplica, o que acontece ao impacto de 
colisão de um carro de 1.000 kg? 
 
Questão 21 
Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado pela fórmula 
000.3802 +−= xxC . 
Nessas condições, calcule: 
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo. 
b) o valor mínimo do custo. 
 
Questão 22 
A receita diária de um estacionamento para automóveis é 25100 ppR −= , em que p é 
o preço cobrado por dia de estacionamento por carro. 
a) Qual o preço que deve ser cobrado para dar uma receita diária de R$ 375,00? 
b) Qual o preço que deve ser cobrado para que a receita seja máxima? 
 
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Questão 23 
Sabe-se que o lucro total de uma empresa é dado pela fórmula L = R − C, em que L é o 
lucro total, R é a receita total e C é o custo total da produção. 
Numa empresa em que se produziu x unidades, verificou-se que 2000.6)( xxxR −= e 
xxxC 000.2)( 2 −= . Nessas condições, qual deve ser a produção x para que o lucro da 
empresa seja máximo? 
 
Questão 24 
A venda de x milhares de unidades de um determinado CD-ROM produzido para mi-
crocomputadores Compaq gera uma receita dada por 27 xxR −= unidades monetárias. 
O custo para produzir estas unidades é dado por 5+= xC unidades monetárias (u.m). 
Nestas condições: 
a) determine o valor do lucro máximo (em u.m) 
b) o nível de produção x para que o lucro seja máximo. 
 
 
Questão 25 
Define-se custo médio de produção Cm (x) o valor de produção de uma peça de um lote 
de x peças. Assim, o custo médio é calculado dividindo-se o custo total pelo número de 
peças produzidas: 
x
xC
xCm )()( = . Se o custo médio de produção de certa mercadoria é 
dado por 
x
xxCm 103)( ++−= e a função receita é dada por 2210)( xxxR −= (x é dado 
em milhares), obtenha o número de peças a serem produzidas para que o lucro seja má-
ximo. 
 
Questão 26 
O custo médio de fabricação de x unidades de um produto é x
x
xCm ++= 20000.2)( e a 
função receita é 22200)( xxxR −= . Nestas condições, obtenha a quantidade que deve 
ser produzida e vendida para maximizar o lucro. 
 
Questão 27 
Um sitiante plantou 30 abacateiros e cada árvore produz 100 abacates em média. Pre-
tendendo aumentar o número de árvores, o sitiante consultou um especialista que o in-
formou que cada árvore nova plantada fará diminuir em 2 abacates o número médio 
produzido pelas árvores. Nestas condições, quantas árvores ele deverá plantar para obter 
o número máximo de abacates? 
 
Questão 28 
Para uma determinada viagem, foi fretado uma avião com 100 lugares. Cada pessoa de-
ve pagar à companhia R$ 500,00 além de uma taxa de R$ 6,00 para cada lugar não ocu-
pado do avião.a) Qual a receita arrecadada se compareceram 80 pessoas para a viagem? 
b) Qual a receita máxima que pode ser arrecadada nas condições do problema? 
 
 
 
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RESPOSTAS 
 
 
1. a, b, f 
 
2. a) 12 
b) 6 
c) 2 
d) 0 
e) 0 
 
3. a) −3 e 8 
b) não existe raiz real 
c) 3 
d) −3 e 3 
 
4. a) para cima 
b) para baixo 
c) para cima 
d) para baixo 
 
5. A 
6. A 
7. C 
8. a) 1,8 cm/s 
b) 1,35 cm/s 
 
9. a) após 1 s 
b) 0,75 m 
 
10. 72 elementos 
11. a) 28 
b) 36º C 
 
12. 6004)( 2 +−= xxA 
13. 50 x 50 
14. 20 x 20 
15. x = 4 e y = 8 
16. a) 44,1 m 
b) 5 s 
 
17. a) 2 s 
b) 10 m 
c) 5,16 s 
 
18. a) 3 s 
b) 9 m 
 
19. 33,6 m 
20. O impacto será 9 vezes maior 
21. a) 40 
b) R$ 1.400,00 
 
22. a) 5 ou 15 
b) 10 
 
23. 2.000 
24. a) 4 
b) 3 
 
25. 3.500 peças 
26. 30 unidades 
27. 10 
28. a) R$ 49.600,00 
b) R$ 50.416,00