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1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
IGEO - CCMN 
DEPARTAMENTO DE GEOGRAFIA 
DISCIPLINA DE CARTOGRAFIA 
NOTAS DE AULA
Professor: Paulo Márcio L. de Menezes 
1 - INTRODUÇÃO 
1.1 DEFINIÇÕES E CONCEITO DE CARTOGRAFIA
Etmologicamente Cartografia é uma palavra derivada do grego “graphein”, significando 
escrita ou descrita e do latim “charta”, com o significado de papel, mostra portanto uma estreita 
ligação com a apresentação gráfica da informação, através da sua descrição em papel. Foi criada 
em 1839 pelo historiador português Visconde de Santarém, em carta escrita em Paris e dirigida 
ao historiador brasileiro Adolfo Varnhagen. Antes do termo ser divulgado e consequentemente 
consagrado na literatura mundial, usava-se tradicionalmente como referência, o vocábulo 
Cosmografia, que significa astronomia descritiva (OLIVEIRA, 1980). 
Uma definição simplista pode ser estabelecida, apresentando-a como a “ciência que 
trata da concepção, estudo, produção e utilização de mapas” (ONU, 1949). Outras definições, 
mais complexas e mais atualizadas fornecem uma visão mais profunda dos elementos, funções e 
processos que a compõem, tais como a estabelecida pela Associação Cartográfica Internacional 
(ICA), em 1973, que a apresenta como: “A arte, ciência e tecnologia de construção de mapas, 
juntamente com seus estudos como documentação científica e trabalhos de arte. Neste contexto 
mapa deve ser considerado como incluindo todos os tipos de mapas, plantas, cartas, seções, 
modelos tridimensionais e globos, representando a Terra ou qualquer outro corpo celeste”. A 
mesma ICA em 1991, apresentou uma nova definição, nos termos seguintes: “ciência que trata 
da organização, apresentação, comunicação e utilização da geoinformação, sob uma forma que 
pode ser visual, numérica ou tátil, incluindo todos os processos de elaboração, após a 
preparação dos dados, bem como o estudo e utilização do mapas ou meios de representação em 
todas as suas formas”.
Esta é uma das definições mais atualizadas, incorporando conceitos que não eram 
citados anteriormente, mas nos dias atuais praticamente já estão diretamente associados à 
2
Cartografia. Ela extrapola o conceito da apresentação cartográfica, devido à evolução dos meios 
de apresentação, para todos os demais compatíveis com as modernas estruturas de representação 
da informação. Apresenta o termo geoinformação, caracterizando um aspecto relativamente 
novo para a Cartografia em concepção, mas não em utilização, pois é uma abordagem 
diretamente associada à representação e armazenamento de informações. Trata-se porém, de 
associar a Cartografia como uma ciência de tratamento da informação, mais especificamente 
de informações gráficas, que estejam vinculadas à superfície terrestre, sejam elas de natureza 
física, biológica ou humana. Dessa forma a informação geográfica sempre será a principal 
informação contida nos documentos cartográficos. 
Fica também evidenciado, de uma maneira geral, que a Cartografia tem por objetivo o 
estudo de todas as formas de elaboração, produção e utilização da representação da informação 
geográfica. Continua a caracterizar a importância do mapa, como uma das principais formas de 
representação da informação geográfica, incluindo outras formas de representação e aspectos de 
armazenamento da informação cartográfica, principalmente os definidos por meios 
computacionais. 
A utilização de mapas e cartas é um aspecto bastante desconsiderado pelos usuários da 
Cartografia. Uma grande maioria de usuários utiliza mapas e cartas, sem conhecimentos 
cartográficos suficientes para obtenção de um rendimento aceitável que o documento poderia 
oferecer. Geralmente um guia de utilização é desenvolvido, através de manuais distintos ou 
legendas específicas e detalhadas, destinados a usuários que possuem uma formação cartográfica 
limitada. Ao usuário, no entanto, cabe uma boa parcela do sucesso de um documento 
cartográfico, podendo a divulgação e a utilização de um documento cartográfico ser equiparada a 
um livro. Um documento escrito sem leitores, pode perder inteiramente a finalidade de sua 
existência e da mesma forma isto pode ser estendido para um mapa, ou seja um mapa mal lido ou 
mal interpretado pode induzir a informações erradas sobre os temas apresentados. 
1.2. CARTOGRAFIA E GEOGRAFIA: UMA RELAÇÃO IMPORTANTE 
Face à Geografia, a Cartografia apresenta-se funcionalmente, como uma ferramenta de 
apoio, permitindo, por seu intermédio, a espacialização de toda e qualquer tipo de informação 
geográfica. Desta forma, para o geógrafo, é imprescindível o conhecimento dos aspectos básicos 
da cartografia bem como dos fundamentos de projeto de mapas. O cartógrafo geográfico deve ser 
distinto de outras áreas de aplicação da Cartografia, pois a sua representação pode ser 
considerada ao mesmo tempo como ferramenta e, ao mesmo tempo, produto do geógrafo 
(DENT, 1999). 
3
O geógrafo, como cartógrafo, deve perceber a perspectiva espacial do ambiente 
geobiofísico, tendo a habilidade de abstrai-lo e simboliza-lo. Deve conhecer projeções e 
seleciona-las; ter a compreensão das relações de áreas e também conhecimentos da importância 
da escala na representação final de dados e informações. 
Por outro lado deve ter a capacidade, devido à intimidade com a abstração da realidade 
e sua representação, de avaliar e revisar o processo, visando facilitar o entendimento por parte do 
usuário final. É fundamental a sua participação no projeto e produção de mapas temáticos, 
associando também a representação de outros tipos de informações , tais como sensores remotos. 
SAUER, (1956) sintetiza claramente a importância da Cartografia para o geógrafo, 
através da seguinte citação: 
Mostre-me um geógrafo que não necessite deles (mapas) constantemente e os queira ao 
seu redor e eu terei minhas dúvidas se ele fez a correta escolha em sua vida. O mapa 
fala através da barreira da linguagem. (SAUER, 1956). 
2 - COMUNICAÇÃO CARTOGRÁFICA 
 A Cartografia é, em princípio, um meio de comunicação gráfica, exigindo portanto, 
como qualquer outro meio de comunicação (escrita ou oral), um mínimo de conhecimentos por 
parte daqueles que a utilizam. A linguagem cartográfica é praticamente universal: um usuário 
com uma boa base de conhecimentos, será capaz de traduzir satisfatoriamente qualquer 
documento cartográfico, seja sob qual forma esteja se apresentando. 
 Considerando-se a Cartografia como um sistema de comunicação, pode-se verificar que a 
fonte de informações é o mundo real, codificado através do simbolismo do mapa, sendo que 
o vetor entre a fonte e o mapa é caracterizado pelo padrão gráfico bidimensional estabelecido 
pelos símbolos.
MAPA USUÁRIO
 Concepção
Cartográfica
Mundo
 Real
Fonte Tratamento Apresentação Utilização
SISTEMA CARTOGRÁFICO
Sistema de Comunicação Cartográfica
4
 Figura 1.1 - Sistema de Comunicação Cartográfica 
 Na realidade, de uma forma simplificada, o sistema de informação está restrito ao mundo 
real, ao cartógrafo e ao usuário, gerando três realidades distintas, como se fossem conjuntos 
separados. Quanto maior a interseção destas três realidades, mais se aproxima o mapa ideal para 
a representação de um espaço geográfico em qualquer dos seus aspectos. 
 Figura 1.2 - Mapa Ideal 
 O modelo de comunicação cartográfica envolve então, em uma forma simplista, quatro 
elementos distintos: o cartógrafo ou o elemento de concepção, o mapa juntamente com o tema e 
o usuário. Uma pergunta pode descrever todo este modelo como um todo: “Como eu posso 
descrever o que para quem ?” . Eu, refere-se ao cartógrafo (elaborador), como ao mapa, o que
ao tema e para quem ao usuário. O modelo pode ser apreciado pela figura 3. 
 Figura 1.3 - Modelo Simples de Comunicação Cartográfica 
REALIDADE
MUNDO REAL
Realidadedo
Cartógrafo
Realidade
 do
 Usuário
COMUNICAÇÃO CARTOGRÁFICA
Cartógrafo
Tema do
(O que) 
MAPA
(Como)
 Usuário
(Para que?)
Modelo Simples
5
 Por outro lado, podem ser descritos, segundo esses conceitos, os ciclos de comunicação 
da informação cartográfica que podem ser alcançados no processo: 
 - Ciclo ideal da comunicação cartográfica 
 Figura 1.4 - Esquema do ciclo ideal da comunicação cartográfica 
 Aqui o cartógrafo faz a leitura e interpretação do mundo real, codificando as informações 
para o documento de comunicação, o mapa. O usuário por sua vez, sem contato com o mundo 
real, apenas com o documento, vai fazer a leitura e interpretação das informações contidas no 
mapa, para ao decodifica-las, possa reconstituir o mundo real. Este tipo de ciclo não é alcançado 
na maioria das vezes. Consegue-se uma aproximação atrvés de fotomapas ou ortofotocartas, 
dependendo ainda do tipo de informação que se vai veicular. 
 - Ciclo de Comunicação Cartográfica Ideal Cartógrafo-Usuário 
 Figura 1.5 - Esquema do ciclo real entre cartógrafo e usuário 
Mundo RealCartógrafo
Mapa Usuário
Leitura e
Interpretação
C
od
ifi
ca
Leitura e
Interpretação
D
ec
od
ifi
ca
Ciclo Ideal da Comunicação Cartográfica
Mundo Real
Cartógrafo
Mapa Usuário
Leitura e
Interpretação
Co
dif
ica
Leitura e
Interpretação
D
ec
od
ifi
ca
Ciclo de Comunicação Cartográfica Ideal Cartógrafo-Usuário
Visão do Cartógrafo
Criação
6
 Este modelo mostra que na leitura e interpretação pelo cartógrafo do mundo real, na 
realidade ele criará um modelo segundo a sua visão, só passando a sua codificação para o mapa 
após a elaboração dessa visão própria. Segundo o usuário agora, a leitura e interpretação dessa 
informação, vai permitir no máximo que se chegue até a visão do cartógrafo do mundo real. Não 
se consegue chegar ao mundo real, porém alcança-se a comunicação, com o sucesso do usuário 
em decodificar o mundo real na visão do cartógrafo. 
 - Ciclo de Comunicação Falho 
 Figura 1.6 - Esquema do ciclo falho de comunicação 
 Neste esquema, o usuário não consegue, no processo leitura, interpretação e posterior 
decodificação da informação transmitida pelo mapa, chegar a visão do mundo real definida pelo 
cartógrafo. É criada uma outra visão, agora definida pelo usuário, segundo a qual ele ve o mundo 
real. Neste processo, as distorções de visão tanto podem ser do cartógrafo, que não soube 
codificar a sua visão do mundo real no mapa, como também do usuário, em não saber como 
decodificar essas informações. De uma ou outra maneira, aqui a comunicação cartográfica não é 
alcançada.
3- HISTÓRICO DA CARTOGRAFIA
 O histórico da Cartografia é tão extenso quanto a própria história da humanidade. Não se 
sabe quando o primeiro “cartógrafo” elaborou o primeiro mapa. Não há dúvidas porém que este 
seria uma representação bastante bruta em argila, areia ou desenhada em uma rocha. 
Mundo Real
Cartógrafo
Mapa Usuário
Leitura e
Interpretação
Codi
fica
 Leitura e
Interpretação
De
co
dif
ica
Ciclo Falho de Comunicação Cartográfica Cartógrafo-Usuário
Visão do Cartógrafo
Criação
Visão do Usuário
7
 Na Antiguidade, um dos mapas mais antigos conhecidos, data de aproximadamente 5000 
AC, mostrando montanhas, corpos d`água e outras feições geográficas da Mesopotâmia, 
gravadas em tábuas de argila. 
 Datam desta época também mapas com a mesma estrutura, do vale do Rio Eufrates e do 
rio Nilo. 
 Aos fenícios são atribuídas as primeiras cartas náuticas, que serviam de apoio à 
navegação, bem como as primeiras sondagens e levantamentos do litoral. 
 Na Grécia, à época de Aristóteles (384-322 AC), a Terra foi reconhecida como esférica 
pelas evidências da diferença de altura de estrelas em diferentes lugares, do fato das embarcações 
aparecerem “subindo o horizonte” e até mesmo pela hipótese de ser a esfera a forma geométrica 
mais perfeita. 
 Por volta de 200 AC, o sistema de latitude e longitude e a divisão do círculo em 360q já 
era bem conhecida. 
 Estimativas do tamanho da Terra foram realizadas por Eratóstenes (276-195 AC) e 
repetido por Posidonius (130-50 AC), através da observação angular do Sol e estrelas. 
 O processo de Eratóstenes consistia em medir a diferença da vertical do Sol ao longo do 
meridiano que unia Alexandria a Syene (atual Aswan) 
 Sabendo-se que a distância 
entre as duas cidades - 5000 estádias 
(1st = 185m), verificou-se que a 
diferença entre a posição do Sol nas 
duas cidades - 7q12’ equivalia a 1/50 
do círculo completo, logo ter-se-ia 
como o valor da circunferência 
terrestre cerca de 46250 km, ou seja, 
valor apenas 15% maior do que o 
real, o que para os métodos da época 
são valores bastante razoáveis. 
 Eratóstenes errou por duas razões: a distância entre a s duas cidades 
 Figura 1.7 - O processo de eratóstenes não era exatamente de 5000 st, nem as 
duas cidades estavam situadas no mesmo meridiano. Caso isto tivesse ocorrido, o seu erro estaria 
em torno de 2% da medida real! 
Polo Norte
SOL
Alexandria
Syene
Equador
Trópico de Cancer
7 12’o
7 12’o
5000 st
Vertic
al
8
 Pelas referências existentes, os mapas eram documentos de uso corrente para os gregos, 
como pode ser verificado pela edição de 26 mapas, trabalhados por Claudius Ptolomeu (90-160 
DC), em seu tratado simplesmente entitulado GEOGRAFIA. 
 Os romanos interessavam-se pela Cartografia apenas com fins práticos: cartas 
administrativas de regiões ocupadas e representações de vias de comunicação, como pode ser 
observado nas tábuas de PEUTINGER. 
 Na Idade Média, como praticamente ocorreu em toda a humanidade, há um retrocesso no 
desenvolvimento da Cartografia. Existem poucas referências, e as que existem carecem de 
qualquer base científica. São apenas esboços e croquis desprovidos de beleza e funcionalidade. O 
de melhor representação são devido aos árabes. Os europeus são pobres, sem nenhuma base 
científica.
 Com o Renascimento inicia-se também o ciclo das grandes navegações. As descobertas 
marítimas dos Escandinavos não acrescentam nenhum material novo ao conhecimento do 
mundo, exceto a descoberta da bússula a partir do século XIII. 
 Ao fim da Idade Média e início da Moderna, surgem os PORTULANOS, cartas com a 
posição dos portos de diferentes países, bem como indicação do Norte e Sul (Rosa dos Ventos), 
voltadas para a navegação e comércio. As cartas passam a ser artisticamente desenhadas, 
surgindo a impressão das primeiras cartas com Gutemberg, em 1472 ( Etmologia de Isidoro de 
Sevilha / 1560 - 1632). 
 Desenvolve-se neste períodoo primeiro sistema de projeção cartográfica, devido a 
Gerhardt Kremer dit Mercator. Deve-se a Abraham Oertel dit Ortelius (1527 - 1598) a edição do 
primeiro ATLAS em 1570 sob o nome de THEATRUM ORBIS TERRARUM. 
 A Idade Moderna trás com a política de expansão territorial e colonial a necessidade de 
conhecimentos mais precisos das regiões. Surgem as primeiras triangulações no século XVIII 
com os franceses e italianos, estabelecendo-se um modelo matemático geométrico perfeito de 
representação terrestre. 
 Cassini desenvolve o primeiro mapa da França, com auxílio da astronomia de posição 
(escala de 1/86 400), em 1670. 
 Os processos de cálculo, desenho e reprodução são aprimorados. Nomes como Clairout, 
Gauss, Halley, Euler desenvolvem a base matemática e científica da representação terrestre. 
 Utiliza-se correntemente a Topografia, Geodésia e Astronomia de precisão nos 
desenvolvimentos de mapas. 
 Os sistemas transversos de Mercator, aperfeiçoados por Gauss e Krüger sào criados e 
aplicados no mapeamento da Alemanha. 
9
 No século XX, muitos fatores ajudam a promover uma aceleração acentuada no 
desenvolvimento da Cartografia. Pode-se incluir o aperfeiçoamento da litografia, a invenção da 
fotografia, da impressão a cores, o incremento das técnicas estatísticas, oaumento do transporte 
de massas. 
 A invenção do avião foi significante para a Cartografia. A junção da fotografia com o 
avião, tornou possível o desenvolvimento da fotogrametria, ciência e técnica que permite o 
rápido mapeamento de grandes áreas, através de fotografias aéreas, gerando mapas mais precisos 
de grandes áreas, a custos menores que o mapeamento tradicional. Desenvolvem-se técnicas de 
apoio que incrementam a sua utilização. 
 Surgem os equipamentos eletrônicos para determinação de distâncias, aumentando a 
precisão das observações, assim como a rapidez na sua execução. 
 O emprego de técnicas de fotocartas, ortofotocartas e ortofotomapas geram documentos 
confiáveis e de rápida confecção. 
 A utilização de outros tipos de plataformas imageadoras para a obtenção da informação 
cartográfica, tais como radares (RADAM, SLAR), satélites artificiais imageadores (LANDSAT, 
TM e SPOT), satélites RADAR (RADARSAT), vem modernamente revolucionando as técnicas 
de informação cartográfica para o mapeamento, abrindo novos e promissores horizontes, através 
de documentos tanto confiáveis como de rápida execução.. 
4 - O CAMPO DE ATUAÇÃO DA CARTOGRAFIA 
 Pelo histórico apresentado, é fácil ver que a Cartografia é uma atividade bastante antiga, 
porém pode-se perfeitamente delimitar aplicações específicas ao longo da sua história. 
Inicialmente como apoio às explorações, especialmente os mapas de navegação e aplicação 
comercial. Poucas eram as aplicações que fugiam a esses objetivos. Por outro lado eram poucos 
os que se dedicavam à elaboração e construção de mapas, isto no decorrer de séculos, 
praticamente até o século XIX. 
 No decorrer do século XIX e início do século XX, conforme o aumento da demanda de 
mapas para fins mais específicos, foram criadas instituições que se dedicam exclusivamente à 
elaboração de cartas e mapas, tanto com propósitos gerais, como com propósitos definidos. 
 Hoje em dia a maior parte dos países possuem organizações governamentais dedicadas à 
construção de cartas, com as mais diversas finalidades. Existem outras organizações, públicas e 
privadas, com finalidades semelhantes, para atuação cartográfica apenas nas suas áreas 
específicas.
10
 Os avanços técnicos nos processos de construção de cartas, a necessidade crescente de 
informação georreferenciada, tanto para a educação, pesquisa, como apoio para tomada de 
decisões, à nível governamental ou não, caracteriza o mapa como uma ferramenta importante, 
tanto para análise de informações, como para a sua divulgação, em quaisquer áres que trabalhem 
com a informação distribuída sobre a superfície terrestre. 
 - Caracterizar uma tabela com uma distribuição de ocorrência de cólera. 
 - Mostrar a tabela e um mapa. 
 - Definir o que se pode obter com a visualização do mapa. 
 - A tabela oferece uma visão quantitativa do fenômeno. 
 - O mapa oferece tanto esta visão, como a distribuição espacial, permitindo cruzamento de 
outros tipos de informações e a consequente análise deste cruzamento. 
 Por Ex: - Ocorrência c/ águas poluídas 
 - Ocorrência c/ consumo de pescado 
 - Ocorrência c/ favelas 
 - Ocorrência c/ migração 
 Dividir a Cartografia em áreas de aplicação é tão difícil quanto classificar os tipos de 
cartas e mapas. 
 Normalmente usa-se caracterizar duas classes de operações para a Cartografia: 
 - preparação de mapas gerais, utilizados para referência básica e uso operacional. Esta 
categoria inclui mapas topográficos em grande escala, cartas aeronáuticas hidrográficas. 
 - preparação de mapas usados para referência geral e propósitos educacionais e 
pesquisa. Esta categoria inclui os mapas temáticos de pequena escala, atlas, mapas rodoviários, 
mapas para uso em livros, jornais e revistas e mapas de planejamento. 
 Dentro de cada categoria existe uma considerável especialização, podendo ocorrer nas 
fases de levantamento, projeto, desenho e reprodução de um mapa topográfico. 
 A primeira categoria trabalha inicialmente a partir de dados obtidos por levantamentos
de campo ou hidrográficos, por métodos fotogramétricos ou de sensores remotos.
 São fundamentais as considerações sobre a forma da Terra, nível do mar, cotas de
elevações, distâncias precisas e informações locais detalhadas.
 Utilizam-se instrumentos eletrônicos e fotogramétricos complexos e o sensoreamento 
remoto tem pêso importante na elaboração dos mapas. 
 Este grupo inclui as organizações governamentais de levantamento.
 No Brasil são as seguintes: 
11
 - Fundação IBGE 
 - Diretoria de Serviço Geográfico 
 - Diretoria de Hidrografia e Navegação 
 - Instituto de Cartografia Aeronáutica 
 A outra categoria que inclui a Cartografia Temática, trabalha basicamente com os mapas 
elaborados pelo primeiro grupo, porém está mais interessada com os aspectos de comunicação 
da informação geral e a delineação gráfica efetiva dos relacionamentos, generalizações e 
conceitos geográficos. 
 O domínio específico do assunto pode ser extraído da História, Economia,
Planejamento Urbano e Rural, Sociologia, Engenharias e outras tantas áreas das ciências 
físicas e sociais, bastando que exista um georeferenciamento, ou seja uma referência espacial
para a representação do fenômeno. 
 Orgãos que no Brasil dedicam-se à elaboração de mapas temáticos: 
 - Fundação IBGE 
 - DNPM / CPRM - Mapas geológicos 
 - EMBRAPA - solos, uso de solos, pedologia 
 - Institutos de Terras - planejamento rural 
 - Governos Estaduais e Municipais (incipiente) 
 - DNER - mapas rodoviários 
5 DEFINIÇÃO DE MAPA 
5.1 CONCEITOS E DEFINIÇÕES 
O termo mapa é utilizado em diversas áreas do conhecimento humano como um sinônimo 
de um modelo do que ele representa. Na realidade deve ser um modelo que permita conhecer a 
estrutura do fenômeno que se está representando. Mapear então, pode ser considerado mais do 
que simplesmente interpretar apenas o fenômeno, mas o sim ter-se o próprio conhecimento do 
fenômeno que se está representando. A Cartografia vai fornecer um método ou processo que 
permitirá a representação de um fenômeno, ou de um espaço geográfico, de tal forma que a sua 
estrutura espacial será visualizada, permitindo que se infira conclusões ou experimentos sobre a 
representação (KRAAK & ORMELING, 1996). 
Os mapas podem ser considerados para a sociedade tão importantes quanto a linguagem 
escrita. Caracterizam uma forma eficaz de armazenamento e comunicação de informações que 
12
possuem características espaciais, abordando tanto aspectos naturais (físicos e biológicos), como 
sociais, culturais e políticos. 
5.1.1 Conceito de Mapa 
A apresentação visual de um mapa pode variar de uma forma altamente precisa e 
estruturada, até algo genérico e impressionista, como um esboço ou croquis. 
 Devido a esta variedade de representações, não é fácil definir o termo MAPA, muito 
embora o seu significado seja claro em todos os contextos. 
 Por outro lado, a palavra “mapa” possui algumas características significantes restritivas, 
seja qual for a forma que se apresente: 
 - A representação é dimensionalmente sistemática, uma vez que existe um 
relacionamento matemático entre os objetos representados. Este relacionamento, 
estabelecido entre a realidade e a representação, é denominado escala.
 - Um mapa é uma representação plana, ou seja, esta sobre uma superfície plana. Uma 
exceção é a representação em um globo. 
 - Um mapa pode mostrar apenas uma seleção de fenômenos geográficos , que de 
alguma forma foram generalizados, simplificados ou classificados. É diferente de 
uma fotografia ou imagem, que exibe tudo que afetou a emulsão do filme ou foi 
captado pelo sensor. 
O conceito de mapa é caracterizado como uma representação plana, dos fenômenos sócio-
bio-físicos, sobre a superfície terrestre, após a aplicação de transformações, a que são submetidas 
asinformações geográficas (MENEZES, 1996). Por outro lado um mapa pode ser definido 
também como uma abstração da realidade geográfica e considerado como uma ferramenta 
poderosa para a representação da informação geográfica de forma visual, digital ou tátil 
(BOARD, 1990). 
Para a Geografia é também indiscutível a importância da forma de representação da 
informação geográfica, em essência dos mapas e da Cartografia. Através deles o geógrafo pode 
representar todos os tipos de informações geográficas, bem como da estrutura, função e relações 
que ocorram entre elas. Pela caracterização de sua aplicação em quaisquer campos do 
conhecimento que permitam vincular a informação à superfície terrestre. Dentro da divisão da 
Cartografia, um dos cartógrafos temáticos é o geógrafo por excelência, tanto por ser a Geografia 
a ciência mais integrativa dentro do conhecimento humano, como por ter a necessidade de 
13
visualizar os relacionamentos entre conjuntos de informações que isoladamente não permitem 
quaisquer conclusões. 
3.2.2 Definição de Mapa 
As definições de mapas, com ligeiras diferenças, englobam um núcleo comum, que uma 
vez caracterizado, não deixa nenhuma margem de dúvida sobre seus objetivos e abrangência. 
Este núcleo envolve as informações que serão representadas, as transformações à que estarão 
sujeitas, para que possam ser representadas por alguns dos possíveis meios gráficos de 
visualização. 
De 1708, por exemplo, tem-se a definição devida a Harris (1708, apud ANDREWS, 
1998), definindo mapa como “uma descrição da Terra, ou uma parte de sua área, projetada 
sobre uma superfície plana, descrevendo a forma dos países, rios, situação das cidades, colinas, 
florestas e outras feições”.
Outra definição, de 1736, estabelece que um mapa “é uma figura plana, representando 
diversas partes da superfície terrestre, de acordo com as leis da perspectiva ou projeção da 
superfície do globo ou parte dele em um plano, descrevendo os diversos países, ilhas, mares, 
rios, com a situação das cidades, florestas, montanhas, etc. Mapas universais, são os que exibem 
toda a superfície terrestre, ou os dois hemisférios; mapas particulares exibem uma porção 
definida da superfície terrestre”, (BAILEY, 1736, apud ANDREWS, 1998)). 
 Em 1896, a Enciclopédia Concisa Cassel (1896, apud ANDREWS, 1998)), definiu mapa 
como “a delineação de uma porção da superfície terrestre sobre papel ou outro material 
similar, mostrando os tamanhos proporcionais, formas e posições de lugares”.
 Para estabelecer um padrão comparativo entre as definições dos séculos XVIII e XIX, são 
apresentadas as definições devido a dois cartógrafos e uma instituição cartográfica americana. A 
primeira, estabelecida por Robinson (1995), diz que “mapa é a representação gráfica de 
conjuntos geográficos”. 
O USGS (United States Geological Survey) define mapa como “a representação da Terra 
ou parte dela”, uma definição bastante simplista, mas de conteúdo bastante extenso. 
 Umas das mais modernas definições é devida à Thrower (1996), dizendo que um mapa “é
uma representação usualmente sobre uma superfície plana, de toda ou uma parte da superfície 
terrestre, mostrando um grupo de feições, em termos de suas posições e tamanhos relativos” . 
A definição formal de mapa, aceita e difundida pela Sociedade Brasileira de Cartografia, 
estabelece como “a representação cartográfica plana dos fenômenos da sociedade e da 
natureza, observados em uma área suficientemente extensa para que a curvatura terrestre não 
14
seja desprezada e algum sistema de projeção tenha que ser adotado, para traduzir com 
fidelidade a forma e dimensões da área levantada” (SBC, 77). 
3.2.3 Classificação dos Mapas 
Classificar os mapas em categorias distintas é uma tarefa quase impossível devido ao 
número ilimitado de combinações de escalas, assuntos e objetivos. Existem tentativas de 
classificações, que permitem agrupar mapas segundo algumas de suas características básicas, não 
existindo porém um consenso com respeito à essas classificações. Nesse contexto serão 
apresentadas aqui as classificações que melhor estão adaptadas para este trabalhos. Algumas 
destas classificações são conclusões oriundas de aglutinações e combinações de diversos autores. 
 Inicialmente a própria divisão da Cartografia já fornece uma divisão formal, pela função 
exercida pelos mapas. Encontram-se assim os mapas de referência ou de base e os mapas 
temáticos, possuindo as características e funções já descritas na divisão da Cartografia. 
Quanto à escala de representação, os mapas podem ser classificados em: muito pequena, 
pequena, média, grande e muito grande. Alguns autores (ROBINSON, 1995; BAKKER, 1965) 
dividem apenas em três grandes grupos: pequena, média e grande. ë difícil porém estabelecer o 
limiar de cada escala. O conceito de grande, médio e pequeno é bastante subjetivo e esta 
associação à um valor numérico de escala é definida para estabelecer uma referência ao tamanho 
relativo dos objetos representados. Também é possível classifica-los segundo características 
globais, regionais e locais, mas também encontra-se outro conceito bastante subjetivo, gerando 
polêmicas quando de sua associação à escalas numéricas (ROBINSON, 1995; MENEZES, 1996; 
BAKKER, 1965). 
 Para a primeira classificação citada, vincula-se a seguinte associação de escalas (tabela 
3.1):
 Tabela 3.1 Classificação dos Mapas segundo Escala de Representação 
Escalas Classificação 
< 1:5 000 000 muito pequena Globais 
1: 5 000 000 – 1:250 000 pequena Geográficas 
1: 250 000 – 1: 50 000 média Topográficas 
1: 50 000 – 1: 5 000 grande Cadastrais 
> 1: 5000 muito grande Plantas 
15
Define-se ainda como plantas, os mapas caracterizadas por escalas grandes e muito 
grandes. São mapas locais e normalmente não exigem métodos geodésicos para sua elaboração, 
utilizando a topografia para a sua elaboração, envolvendo apenas transformações de escala. 
Podem ser definidas como: “a representação cartográfica plana, dos fenômenos da natureza e 
da sociedade, observados em uma área tão pequena que os erros cometidos nessa 
representação, desprezada a curvatura da Terra, são negligenciáveis” (SBC, 77). 
 É comum a referência ao termo carta para referenciar um mapa. Procurando fornecer um 
conceito e não uma definição formal, os mapas são caracterizados por representar um todo 
geográfico, podendo estar em qualquer escala, seja ela grande, média ou pequena. Por exemplo: 
mapa de Minas Gerais na escala 1: 2 500 000; Mapa do Brasil em escala 1:5 000 000, mapa da 
Ilha do Fundão na escala 1: 10 000, mapa do Maciço da Tijuca na escala 1: 5 000. A carta por 
sua vez é caracterizada por representar um todo geográfico em diversas folhas, pois a escala de 
representação não permite a sua representação em uma única folha. Como exemplos, podem ser 
citadas as escalas de mapeamento sistemático do Brasil, caracterizando diversas cartas de 
representação: Carta do Brasil em 1:100 000, 1:250 000, carta do Município do Rio de Janeiro 
em escala 1: 10 000. O conjunto de todas as folhas caracteriza a carta, ou seja, a representação do 
todo geográfico que se deseja mapear. 
1.X Meios e Mídias de Apresentação de Mapas 
Até o início da década de 80, os mapas em papel eram considerados um dos poucos meios 
cartográficos de representação e armazenamento da informação geográfica, além de ser o 
produto final de apresentação desta mesma informação. O desenvolvimento tecnológico ampliou 
a capacidade de representação e armazenamento da informação, incorporando conceitos de 
exibição de mapas em telas gráfica de monitores de vídeo, mapas voláteis, bem como 
caracterizando os meios magnéticos de armazenamento da informação, tais como: CD-ROM, 
discos rígidos, fitas magnéticas, disquetes, etc, como uma forma numérica de representação. 
Os mapas em papel possuem uma característica analógica, sendo uma forma de 
representação permanenteda informação, definindo um modelo de dados e armazenamento, 
como também um modelo de transferência da informação para os usuários (CLARKE, 1995). 
Os mapas apresentados em telas gráficas correspondem àqueles que possuem uma 
capacidade de visualização temporária da informação, sendo a transferência estabelecida 
segundo a vontade ou a necessidade de ser visualizada. A sua visualização também pode se dar 
através de cópias em papel, neste caso assumindo a característica de visualização dos mapas em 
papel. São muitas vezes denominados como mapas ou cartas eletrônicas. 
16
Sob ese enfoque, os mapas podem ser classificados segundo seus atributos de visibilidade e 
tangibilidade, (MOELLERING, 1980; CROMLEY, 1992; KRAAK, 1996): 
- Mapas analógicos ou reais, de características permanentes, diretamente visíveis e tangíveis, 
tais como os mapas convencionais em papel, as cartas topográficas, atlas, ortofotomapas, 
mapas tridimensionais, blocos-diagramas. Existe uma característica da informação ser 
permanente, não podendo ser atualizada, a não ser por processos de construção de novo 
mapa. 
- Mapas virtuais do tipo I, diretamente visíveis, porém não tangíveis e voláteis, ou seja, não 
permanentes, como a representação em um monitor de vídeo e mapas cognitivos. Neste caso 
apenas a visualização não é permanente. A informação porém possui os mesmos problemas 
de atualização. 
- Mapas virtuais do tipo II, aqueles que não são diretamente visíveis, porém possuem 
características analógicas e permanentes como meio de armazenamento da informação. 
Como exemplos, pode-se citar os modelos anaglifos de qualquer espécie, dados de campo, 
hologramas armazenados, CD-ROM, laser-disc, etc. A informação contida só poderá ser 
modificada através de processos completos de atualização. 
- Mapas virtuais do tipo III, têm características não visíveis e não permanentes, podendo-se 
incluir nesta classe a memória, discos e fitas magnéticas, animação em vídeo, modelos 
digitais de elevação (inclusos aqui os modelos digitais de terreno) e mapas cognitivos de 
dados relacionais geográficos. 
Ainda pode-se incluir uma quinta categoria, descrevendo os mapas que podem ser 
considerados dinâmicos. Nesta categoria algumas distinções poderão ser ainda serem tratadas 
(MENEZES, 1996; PETERSON, 1998): 
- Mapas que apresentam dinamismo das informações, mais precisamente representando fluxos, 
movimentos ou desenvolvimentos temporais de um dado tipo de informação; 
- Mapas animados, que apresentam as mesmas características dos mapas anteriores, porém 
mostrando o dinamismo em seqüências animadas. São de características tipicamente 
computacionais. 
- Mapas dinâmicos em tempo real, que por serem associados à sensores que fornecem a 
informação em tempo real, têm a capacidade de associa-la e representa-la praticamente ao 
mesmo tempo da recepção. 
Segundo essa abordagem, os mapas podem ser vistos como um modelo de apresentação 
gráfica da realidade geográfica. 
17
 O Brasil está enquadrado na Carta do Mundo ao Milionésimo. A partir deste 
enquadramento foram estabelecidas as cartas de mapeamento sistemático. O quadro abaixo 
fornece as escalas, o número de folhas de cada escala 
Escala Nq Total de Folhas 
Nq de Folhas Executadas 
% Mapeada 
1/ 1 000 000 46 46 100,00 
1/ 500 000 154 68 44,00 
1/ 250 000 556 529 95,1 
1/ 100 000 3049 2087 68,4 
1/ 50 000 11928 1641 13,7 
1/ 25 000 47712 548 1,2 
1.6- DIVISÃO DA CARTOGRAFIA
Modernamente a Cartografia pode ser dividida em dois grandes grupos de atividades 
(TYNER, 1992; DENT, 1999) 
- de propósito geral ou de referência 
- de propósito especial ou temática 
O primeiro grupo trata da cartografia definida pela precisão das medições para confecção 
dos mapas. Preocupa-se com a chamada cartografia de base. Procura representar com perfeição 
todas as feições de interesse sobre a superfície terrestre, ressalvando apenas a escala de 
representação. Tem por base um levantamento preciso e normalmente utilizam como apoio, a 
fotogrametria, a geodésia e topografia. Seus produtos são denominados mapas gerais, de base ou 
de referência. 
O segundo grupo de atividades de mapeamento depende do grupo anteriormente citado. 
Mapas de ensino, pesquisa, atlas e mapas temáticos, bem como mapas de emprego especial, 
enquadram-se nessa categoria. Estes mapas são denominados mapas de temáticos. 
Os mapas temáticos podem representar também feições terrestres e lugares, mas não são 
definidos diretamente dos trabalhos de levantamentos básicos. São compilados de mapas já 
existentes (bases cartográficas), que servirão de apoio à todas as representações. Distinguem-se 
essencialmente dos mapas de base, por representarem fenômenos quaisquer, que sejam 
geograficamente distribuídos, discreta ou continuamente sobre a superfície terrestre. Estes 
fenômenos podem ser tanto de natureza física, como por exemplo a média anual de temperatura 
ou precipitação sobre uma área, ou de natureza abstrata, humana ou de outra característica 
qualquer, tal como a taxa de natalidade de um país, condição social, distribuição de doenças, 
entre outros. Estes mapas dependem de dados reunidos através de fontes diversas, tais como 
informações censitárias, publicações industriais, dados governamentais, pesquisa local, etc. 
18
A exigência principal para que um fenômeno qualquer possa ser representado em um 
mapa, é a associação da distribuição espacial ou geográfica. Em outras palavras, deve ser 
conhecida e perfeitamente definida a sua ocorrência sobre a superfície terrestre. Este é o elo de 
ligação entre o fenômeno e o mapa. Assim, qualquer fenômeno que seja espacialmente 
distribuído, é passível de ter representada a sua ocorrência sobre a superfície terrestre através de 
um mapa. Um fenômeno assim caracterizado é dito como georreferenciado. 
 Quanto à natureza a Cartografia pode ser dividida em: 
 - Topográfica 
 - Temática 
 - Especial 
 A Topográfica se propõe a representar os aspectos físicos da superfície terrestre. 
Enquadram-se todas as cartas topográficas. Normalmente serve de base à múltiplos usuários. ë 
incluído aqui todo o mapeamento sistemático, identificando-se com os mapas de propósito geral 
ou de referência.. 
A Cartografia Temática, já explanado os seus objetivos, pode ser dividida três sub-classes 
(GUÉNIN, 1972; BÉGUIN & PUMAIN, 1994):
 - Inventário 
 - Estatística ou Analítica 
- Síntese 
A Cartografia Temática de Inventário é definida através de um mapeamento qualitativo. 
Possui uma característica discreta, realizando apenas a representação posicional da informação 
no mapa. Normalmente estabelecida pela superposição ou justaposição, exaustiva ou não, de 
temas, permite ao usuário saber o que existe em uma área geográfica. 
A Cartografia Analítica é eminentemente quantitativa, mostrando a distribuição de um ou 
mais elementos de um fenômeno, utilizando para isso informações oriundas de dados primários, 
com as modificações necessárias para a sua visualização. De uma forma geral ela classifica, 
ordena e hierarquiza os fenômenos a representar. 
A Cartografia de Síntese é a mais complexa e a mais elaborada de todas, exigindo um 
profundo conhecimento técnico dos assuntos a serem mapeados. Integrativa por excelência, 
exige o concurso de várias especialidades integradamente. Representa a integração de 
fenômenos, feições, fatos ou acontecimentos que se interligam através da distribuição espacial. 
Permite que se desenvolva um aspecto analítico, para estabelecer um estudo conclusivo-analítico 
sobre a integração e interligação dos fenômenos que estejam sendo estudados. 
19
 A Cartografia Temática de caráter especial é destinada a objetivos específicos, servindo 
praticamente a um único tipo de usuário. Por exemplo a definida por mapas e cartas náuticas, 
aeronáuticas, sinóticas, de pesca entre outras. 
 O mapeamento temático trata muitas vezes de fenômenos que não necessitam de um 
posicionamentopreciso, pelo tipo de ocorrência do fenômeno, como por exemplo um mapa 
pedológico. Deve haver porém a preocupação com uma correta apresentação da ocorrência da 
sua distribuição, necessitando para isso de uma base cartográfica com precisão compatível às 
suas necessidades. Não se pode confundir precisão da base cartográfica com a precisão do 
fenômeno a representar. 
A preparação de uma apresentação eficaz, requer uma visão crítica dos dados a serem 
mapeados bem como o simbolismo ou convenções que serão utilizadas para representá-los. É 
necessário ser considerado para o projetista do mapeamento temático os seguintes aspectos: 
- conhecimento profundo dos princípios que fundamentam a apresentação da informação e 
o projeto da composição gráfica efetiva; 
- ter um forte sentido de lógica visual, e uma habilidade especial para escolher as palavras 
corretas que descreverão o gráfico, o mapa ou o cartograma; 
- conhecimento do assunto a ser mapeado, ou estar com uma equipe multidisciplinar. 
3.6 INFORMAÇÃO GEOGRÁFICA x INFORMAÇÃO CARTOGRÁFICA 
Como já referenciado, a informação geográfica pode ser conceituada como toda aquela, 
de natureza física, biológica ou social, que possua um relacionamento com um sistema de 
referência sobre a superfície terrestre. 
Define-se informação cartográfica como a informação contida em um mapa. Pode ser de 
natureza estritamente cartográfica, como a rede de paralelos e meridianos, canevá geográfico, 
pontos cotados, como também, principalmente, as representações das informações geográficas, 
inclusive as legendas. Em outras palavras, a informação cartográfica representa a informação 
geográfica, após ter sido submetida a um processo de transformação, o que permitirá que venha a 
ser representada em um mapa, conforme pode ser observado na figura 3.7. 
Figura 3.7 – Esquema representativo da transformação da informação geográfica em cartográfica 
Informação Geográfica
Informação
 Cartográfica
Mundo Real Mapa
Processo
 de
Transformação
20
As transformações a que as informações geográficas são submetidas, possuem natureza 
diferenciada, porém todas são inter-relacionadas. São elas: 
- Transformações geométricas; 
- Transformações projetivas; 
- Transformações cognitivas. 
As transformações geométricas são caracterizadas por um relacionamento de escala e 
orientação entre sistemas de referência. As projetivas referem-se às transformações da superfície 
tridimensional curva da Terra, para a superfície de representação de um mapa, bidimensional 
plana. As transformações cognitivas, por fim referem-se às transformações do conhecimento da 
informação, em relação ao que será efetivamente representado no mapa, generalização 
cartográfica e simbolização cartográfica. 
2 - O Geóide e o Problema da Representação Cartográfica 
2.1 - Introdução 
 A Geodésia é uma ciência que se ocupa do estudo da forma e tamanho da Terra no 
aspecto geométrico e com o estudo de certos fenômenos físicos tais como a gravidade e o campo 
gravitacional terrestre, para encontrar explicações sobre as irregularidades menos aparentes da 
própria forma da Terra. O assunto é intimamente ligado com mapeamento e Cartografia. 
 A maior parte das evidências sobre a forma e tamanho da Terra é baseada em 
levantamentos geodésicos. Por outro lado é necessário se conhecer o tamanho da Terra e sua 
grandeza, para se poder representá-la em mapas, em uma escala desejada. 
 Sabe-se que a Terra é um planeta de forma aproximadamente esférica e sobre o qual 
existem irregularidades da superfície definida pelas terras, mares, montanhas, depressões etc. 
Estas irregularidades topográficas não representam mais do que uma pequena aspereza da 
superfície, comparadas ao tamanho da Terra. Considerando-se o raio da Terra com 
aproximadamente 6.371 Km, a maior cota em torno de 9 Km (Monte Everest) e a maior 
depressão por volta dos 11 Km (Fossa das Marianas), a representação da Terra como um globo 
de 6 cm de raio mostra que a variação entre as duas cotas representará apenas 0,2 mm, ou seja, o 
limite de percepção do olho humano. 
 A idéia da Terra esférica data da época dos geômetras gregos, em torno de 600 AC. O 
primeiro trabalho com embasamento científico foi a experiência clássica de Eratóstenes, 
21
definindo as primeiras dimensões conhecidas para a Terra. Ainda durante o período grego, 
Aristóteles, através dos estudos sobre os movimentos da Terra, concluiu que deveria haver um 
achatamento nos pólos. 
 Somente próximo ao fim do século XVII, ISAAC NEWTON demonstrou que a forma 
esférica da Terra era realmente inadequada para explicar o equilíbrio da superfície dos oceanos. 
Foi argumentado que sendo a Terra um planeta dotado de movimento de rotação, as forças 
criadas pelo seu próprio movimento tenderiam a forçar quaisquer líquidos na superfície para o 
Equador. Newton demonstrou através de um modelo teórico simples que o equilíbrio hidrostático 
seria atingido, se o eixo equatorial da Terra fosse maior que o seu eixo polar. Isto é, equivalente 
a um corpo que seja achatado nos pólos. 
2.2 - O Geóide 
 A forma da Terra, na realidade, é única. É definida como um Geóide, que significa a 
forma própria da Terra. 
 O geóide é definido pela superfície do nível médio dos mares supostamente prolongado 
sob os continentes. Assim ele está ora acima, ora abaixo da superfície definida como a superfície 
topográfica da Terra, ou seja, a superfície definida pela massa terrestre. 
 A superfície do Geóide (nível 
médio dos mares) é propriamente 
definido como sendo uma superfície 
equipotencial - igual potencial 
gravitacional -, onde a direção da 
gravidade é perpendicular a ela em 
todos os lugares. 
 Devido á variações na 
densidade dos elementos constituintes da Terra e também por serem estes irregularmente 
distribuídos, o Geóide normalmente eleva-se sobre os continentes e afunda nas áreas oceânicas. 
Isto mostra outras perturbações e depressões com uma variação de 60 m. 
 A significância do Geóide para o mapeamento e a Cartografia é efetiva, uma vez que 
todas as observações na Terra são realizadas sobre o Geóide. 
 Como o Geóide é irregular, a direção da gravidade não é, em todos os lugares, 
direcionada para o centro da Terra, e por outro lado, a sua forma não permite uma redução 
precisa das observações, por não ser matematicamente definido. 
Superfície do 
Elipsóide
Superfície do Geóide
Superfície Topográfica
Superfícies Terrestres
22
2.3 - O Elipsóide ou Esferóide 
 Além das irregularidades causadas pelas variações da densidade terrestre, da distribuição 
dos elementos componentes da Terra, o Geóide é ainda mais deformado da aproximação de uma 
esfera, pela existência do movimento de rotação terrestre. 
 Devido à rotação em torno do seu eixo, a Terra incha na área equatorial, enquanto achata-
se nos pólos, efetuando o equilíbrio hidrostático da sua massa. A diferença real entre o raio 
equatorial e o polar é de aproximadamente 23.0 km, sendo o raio equatorial maior que o polar. 
 Para o mapeamento preciso de grandes áreas, tais como o mapeamento geodésico, uma 
figura regular geométrica deve ser considerada, matematicamente definida, para que os cálculos 
sejam igualmente precisos. 
 As reduções ao Geóide são inconsistentes devido às diferenças na direção da gravidade. 
Esta limitação pode ser contornada pela redução ou transferência dos dados para uma figura 
geométrica que mais se aproxime do Geóide. 
 Esta figura é um elipsóide de revolução, gerada por uma elipse rotacionada em torno do 
seu eixo menor. 
 A elipse possui dois eixos 2a (eixo maior) e 2b (eixo menor), a e b representam os semi-
eixos maior e menor, respectivamente. 
 A razão que exprime o 
achatamento ou a elipticidade é dada pela 
expressão: f 
�( )a b
a
 Para a Terra esse valor é definiido 
em torno da razão de 1/300. 
 Sabe-se que a diferença entre os 
dois semi-eixos terrestres é de 
aproximadamente 11,5 Km,ou seja, o eixo 
polar é cerca de 23 Km mais curto que o 
eixo equatorial. 
 Para uma redução de escala de 1/100.000.000, o que representa a Terra com um raio 
equatorial de 6 cm, a diferença para o raio polar será da ordem de 0,2 mm, valor imperceptível, 
uma vez que é a largura do traço de uma linha. 
 Equivale a dizer com o que foi explanado acima, que para pequenas escalas o 
achatamento é menor do que a largura das linhas usadas para o desenho, portanto, 
negligenciável. 
ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO
a
b
23
 Tira-se uma importante conclusão sob o ponto de vista cartográfico, que permite 
estabelecer a Terra como esférica para 
determinados propósitos. 
 Entretanto deve-se notar que qualquer 
tentativa de representar o elipsóide terrestre 
por meio de um elipsóide reconhecível, deve 
envolver um considerável exagero, uma vez 
que é imperceptível a diferença entre os dois 
semi-eixos. 
Isto pode conduzir por sua vez a uma 
má interpretação de algumas ilustrações 
retratando a geometria do elipsóide. 
 Como o elipsóide de revolução aproxima-se muito da esfera, é também tratado na 
literatura como esferóide. Ambos os termos (elipsóide e esferóide) têm o mesmo significado. 
 As medições da figura da Terra são desenvolvidas de cinco diferentes formas, 
determinando seu tamanho e sua forma: 
 - medição de arcos astro-geodésicos na 
superfície terrestre; 
 - medições da variação da gravidade na 
superfície; 
 - medição de pequenas perturbações na 
órbita lunar; 
 - medição do movimento do eixo de 
rotação da Terra em relação às estrelas; 
 - medição do campo gravitacional 
terrestre a partir de satélites artificiais. 
 Estas medições, além de definirem o 
Geóide pela determinação da sua superfície 
equipotencial, estabelece o elipsóide melhor 
adaptado à superfície terrestre, seja ele de âmbito global ou local. 
Geóide
Elipsóide
Desvio da
Vertical
Ondulação
Geoidal
Superfície Física
24
 O relacionamento entre o Geóide e o elipsóide indica o desvio da vertical da superfície do 
Geóide, permitindo determinar as cartas geodésicas, estabelecendo o desnível geoidal 
(diferença entre o Geóide e o elipsóide em uma dada região). São elaboradas por sua vez mapas 
geoidais, que mostram esses desníveis entre o geóide e o elipsóide. 
 O elipsóide por sua vez pode ser determinado para adaptar-se a uma região, país ou 
continente, evitando a ocorrência de desníveis geoidais muito exagerados. A relação abaixo 
mostra alguns dos mais de 50 elipsóides existentes no mundo: 
Nome Data a b f Utilização
Delambre 1810 6376428 6355598 1/311,5 Bélgica 
Everest 1830 6377276 6356075 1/300,80 Índia,Burma
Bessel 1841 6377997 6356079 1/299,15 Europa 
Central e 
Chile
Airy 1849 6377563 6356257 1/299,32 Inglaterra 
Clarke 1866 6378208 6356584 1/294,98 USA 
Hayford 1924 6378388 6356912 1/297,0 Mundial 
Krasovsky 1940 6378245 6356863 1/298,30 Rússia 
Ref. 67 1967 6378160 6356715 1/298,25 Brasil e 
América 
ALTITUDE GEOIDAL - Elipsoide WGS 84
25
do Sul 
WGS 84 1984 6378185 6356??? 1/298,26 Mundial 
levantame
nto de 
satélites 
2.4 - A escolha de uma Superfície Adequada de Referência para o Mapeamento 
 O conhecimento da forma e tamanho da Terra é necessário para descrevê-la 
momentaneamente, visando as necessidades de mapeamento. 
 O aumento de complexidade do modelo matemático muitas vezes é desnecessário face à 
magnitude dos valores expressos por um modelo mais simples. Assim, dependendo do objetivo e 
a significância dessas variações, deve-se considerar a possibilidade da utilização de diferentes 
superfícies de referência, que descrevam adequadamente a forma e o tamanho da Terra para o 
propósito que se destina. 
 A superfície terrestre é geometricamente mais complicada que o elipsóide, porém as 
variações do Geóide não ultrapassam algumas centenas de metros, variações essas que são 
praticamente negligenciáveis para a maior parte dos levantamentos e para a Cartografia. 
 Pode-se simplificar o problema apresentado e considerar-se três diferentes formas de 
representar a forma e tamanho da Terra para diferentes propósitos: 
 - Um plano tangente à superfície terrestre; 
 - Uma esfera perfeita de raio apropriado; 
 - Um elipsóide de revolução de dimensões e achatamento adequados. 
 Essas três hipóteses estão listadas em ordem ascendente de refinamento, assim um 
elipsóide adequado representa melhor a forma da Terra do que uma esfera de raio equivalente. 
 Estão também ordenados em ordem crescente de dificuldade matemática. As formulações 
necessárias para definir posições; para estabelecer as relações entre ângulos e distâncias sobre 
um plano, são muito mais simples do que as definições para uma superfície curva de uma esfera, 
que por sua vez são mais simples do que as formulações estabelecidas para um elipsóide. 
26
2.4.1 - A Superfície Plana de Representação 
 Pode parecer um retrocesso assumir a Terra com uma representação plana. Esta 
representação é no entanto, muito útil por assumir simplificações que facilitam o trabalho de 
mapeamento. 
 Supor a Terra plana evita o problema da existência de um sistema de projeção a 
elaboração de um mapa ou levantamento. 
 Um plano tangente à superfície curva, tal como a figura mostra, tangente em A, está 
próximo à superfície na vizinhança deste ponto. 
 Se deseja-se mapear ou levantar feições que estejam 
próximos a A, pode-se assumir que a Terra é um plano, desde que 
os erros cometidos por esta hipótese simplificadora, sejam 
suficientemente pequenos para que possam influenciar no 
mapeamento executado. 
 Sendo a hipótese justificada, o levantamento pode ser 
calculado com a utilização da geometria plana. A plotagem na 
planta pode ser executada pela simples redução das dimensões na 
superfície pelo fator de escala considerado. 
 O problema central da argumentação é a definição da representação da “vizinhança do 
ponto A”, ou seja, qual o limite de representação da Terra plana, de forma que os erros advindos 
desta representação não tenham significância na área mapeada. Imediatamente isto implica, até 
intuitivamente, que a hipótese plana deva ser confinada à elaboração de mapas de pequenas 
áreas.
 De uma forma geral, utiliza-se a hipótese plana no desenvolvimento de Cartografia 
cadastral, de áreas urbanas, plantas e outras formas de representação, em escalas variando de 
1/500 até 1/10.000. 
 O limite de representação plana, sem outras considerações é definido por um círculo de 8 
km de raio em torno do ponto de tangência do plano. 
 Apesar de não ser necessário o seu emprego, existem tipos de projeções com utilização 
específica na hipótese plana. 
2.4.2 - A Hipótese Esférica 
 O fato de que em uma escala superior a 1/100.000.000 não existe praticamente diferença 
entre o tamanho dos eixos do elipsóide, implica que o uso principal da hipótese esférica ocorrerá 
Plano Tangente
27
na preparação de mapas de formato muito pequenos, mostrando grandes partes da superfície 
terrestre, isto é, um hemisfério, continente ou mesmo um país. Tal como aparecem nos Atlas. 
 Neste aspecto, questiona-se qual a escala máxima aproximada que justifica a utilização da 
hipótese esférica. 
 Estudos realizados, principalmente por Willian Tobler, através da comparação de erros 
angulares e lineares, mostraram que a maior escala possível de representação para uma área de 
aproximadamente 8.000.000 Km2 , estaria algo em torno de 1/500.000, porém os erros padrões 
indicavam que este número era muito otimista. 
 Genericamente, pela consideração do erro gráfico de 0,2 mm representando de 7 a 8 km, 
estar-se-ia limitado a uma representação em torno de 1/15.000.000 ou menor. 
 Em termos cartográficos práticos, assume-se a escala média de 1/5.000.000 como 
possível de representar a Terra como uma esfera. 
 O raio de representação é normalmente definido pelo raio terrestre médio, estabelecido 
pela formulação: R = M N. , onde M é o raio da seção meridiana e N o raioda seção normal ao 
elipsóide, para o centro da latitude da região a representar. 
 Em termos gerais, valores de 6370 a 6372 km são utilizados normalmente para definir o 
raio terrestre com uma razoável precisão, na assunção da Terra como uma esfera. 
2.4.3 - A Hipótese Elipsóidica 
 Obviamente o elipsóide ou o esferóide adapta-se melhor ao Geóide do que a esfera. Em 
razão disto, esta é a superfície de referência mais amplamente empregada em levantamentos e 
mapeamentos. Por outro lado possue uma superfície matematicamente desenvolvida, que permite 
a execução de cálculos diversos com uma precisão necessária para a cartografia de grandes áreas. 
 Para a execução do levantamento de um país, inicialmente é determinada uma rede de 
pontos sobre a sua superfície, que servirão de apoio à determinações posteriores. 
 Essa rede de pontos são determinados de 1a ordem, ou de precisão, e estende-se por toda 
a região a se levantar. 
 Possuem alta precisão (da ordem do milímetro), podendo ser desenvolvida pelos 
processos clássicos planimétricos (Triangulações, Trilateração) ou modernamente com o auxílio 
de satélites de posicionamento geodésicos (NNSS e GPS). 
 Para que os cálculos possam ser desenvolvidos, determina-se o elipsóide que melhor se 
adapte à região (maior tangência e menores desníveis geodésicos). 
28
 Esta hipótese da figura elipsóidica gera menores erros na definição de uma superfície de 
referência para a Terra, sendo portanto a superfície ideal para o cálculo de precisão (cálculo 
geodésico).
 Esta superfície portanto é apropriada à todas as escalas de mapeamento topográfico e de 
navegação, assim como para todas as cartas temáticas e especiais que se apoiem nestes 
levantamentos. Estima-se como o limite, a escala aproximada de 1/4.000.000 a 1/5.000.000. 
 A seleção de um elipsóide particular para uma região, é devido ao fato de parâmetros de 
um adaptar-se melhor aos dados observados do que qualquer outro. 
 No Brasil, a rede primária inicialmente estava desenvolvida sobre o elipsóide 
Internacional de Hayford, de 1924, sendo a origem de coordenadas estabelecida no ponto Datum 
de Córrego Alegre. 
 A partir de nossas observações e cálculos, o sistema geodésico brasileiro foi mudado para 
o SAD - 69 (South American Datum - 69) com elipsóide de referência de 67 e o ponto Datum 
estabelecido no ponto CHUÁ Astro Datum (Minas Gerais). 
3. Posicionamento de Pontos na Superfície Terrestre 
3.1 – Introdução 
 Para se determinar a localização de uma ocorrência qualquer sobre a superfície da Terra, 
deve-se sempre conhecer alguns elementos básicos, que podem ser definidos por duas perguntas 
simples: onde ocorre e como chegar-se até ele? 
 Em termos urbanos, um sistema de localização composto do nome do Estado, nome da 
cidade, nome do bairro, nome da rua, número do prédio e número do apartamento, é o suficiente 
para localizar um morador de uma cidade. Supondo-se agora que o morador em tela está 
localizado em um espaço plano, surgirão obstáculos que impedem a materialização matemática 
de um sistema assim descrito, ou seja como representa-lo em forma matemática. 
 A instituição de um sistema de coordenadas vem a tornar um método bastante 
conveniente de registro de uma posição no espaço, qualquer que seja a dimensão que se esteja 
referenciando. Por coordenada entende-se qualquer dos membros de um conjunto que determina 
univocamente a posição de um ponto no espaço. O conjunto é formado por tantos membros 
quantas as dimensões do espaço considerado, e o número de membros constitui característica 
29
intrínseca do espaço. A coordenada pode ser uma distância, um ângulo, uma velocidade, um 
momento, etc. 
 Um espaço 0-dimensional, não possui dimensão mensurável. Pode ser visualizado e 
materializado atrvés de um ponto. 
 Para um espaço unidimensional, onde só se percebe uma dimensão, por exemplo, um 
comprimento ou uma distância entre dois pontos, necessita-se apenas de um ponto origem, e uma 
escala de unidade que permita, através dessa origem e a quantidade de unidades medida na 
escala, estabelecer o posicionamento de um ponto a outro. Neste caso, a coordenada é definida 
pela distância da origem até o ponto, em unidades especificadas. 
 Figura 3.1 - Coordenada unidimensional 
Existindo um plano, define-se um sistema bidimensional, onde a sua definição é dada por 
duas dimensões, estabelecendo uma origem única para cada dimensão. Utiliza-se um sistema de 
coordenadas, que permita portanto a locação conjunta dessas duas dimensões. Em termos de um 
mapa, isto será possível pela definição de uma grade de referência. Duas coordenadas serão o 
suficiente para posicionar um ponto no espaço. Duas retas que se interceptam definem um plano, 
também definido por uma retae um ponto ou três pontos. 
 A definição da posição de um ponto em 3 dimensões ou tridimensional,é um pouco mais 
difícil, principalmente se essa localização tiver que ser realizada sobre a superfície de uma esfera 
ou de um esferóide. Sistemas apropriados de representação são desenvolvidos, para que se possa 
representar com precisão a localização exata de um ponto. Porém necessita-se em qualquer dos 
sistemas, três coordenadas, as quais posicionarão o ponto no espaço. Um espaço é definido pela 
intercessão de três planos (três retas não coplanares que se inteceptam em um ponto. 
 A utilização de Geometria plana e no espaço é fundamental para o desenvolvimento e 
possibilidade de se estabelecer um sistema unívoco de posicionamento, no plano e no espaço. 
Qualquer posição, seja em qual dimensão for, terá apenas uma única representação no sistema e 
vice-versa. A cada representação de um ponto corresponderá a uma e apenas uma posição no 
espaço.
 De qualquer forma, dois pontos não podem ocupar o mesmo lugar no espaço. 
Origem
PO
30
3.2 Sistema de Coordenadas Planas 
 Existe uma infinidade de maneiras de se referenciar pontos sobre um plano, entre sí. 
Algumas são mais apropriadas ou mais simples, adaptando-se melhor aos propósitos de 
localização a que se prestam. 
3.2.1 Sistema de Coordenadas Retangulares 
 A definição de um sistema de um par fixo de eixos permitindo a medição linear em duas 
direções. é considerado como sendo um sistema cartesiano. 
 Um sistema de coordenadas genérico compreende conjuntos ou famílias de linhas que se 
interceptam umas às outras, formando uma rede ou malha quando desenhada. 
 As condições necessárias que devem ser preenchidas pelo sistema são: 
 1 - as duas famílias sejam distintas entre si; 
 2 - que qualquer linha de uma família deva interceptar as linhas da outra família em 
apenas um ponto; 
 3 - duas linhas de uma mesma família não podem se interceptar. 
 Desta forma, um sistema cartesiano pode abranger famílias de retas ou curvas que se 
interceptem sob quaisquer ângulos, conforme pode ser visualizado na figura abaixo: 
Origem
Eixos Coordenados
Malha ou grade
31
 Entretanto existem vantagens significativas para o 
caso especial de se tornar ambas as famílias de linhas 
como retas, ou que se interceptem segundo direções 
ortogonais (perpendiculares entre si). A esse sistema dá-se 
o nome de sistema plano retangular de coordenadas. 
 Na figura, a origem do sistema retangular é o 
ponto O, através do qual foram traçados os eixos OX e 
OY, definindo a direção das duas famílias de linhas. 
 Sendo os eixos linhas retas e perpendicular um ao 
outro, segue-se que todas as linhas de uma mesma família serão paralelas entre si e todos os 
pontos de interseção dentro da rede são obtidos através de famílias de linhas retas 
perpendiculares.
A posição de um ponto P é definido pelas duas medidas lineares PN = x e PM = y, 
tomado da origem O nos dois eixos, traçados de P como perpendiculares aos eixos X e Y. 
 PM é paralelo a OY e PN é paralelo a OX. 
 A convenção matemática estabelece o eixo horizontal OX como eixo X, definindo a 
coordenada denominada abcissae o eixo vertical OY como eixo Y, definindo as coordenada 
denominada ordenada.
Famílias de Curvas e Retas
 Sistema de Eixos
Y
O X
0 X
Y
P
x
y
N
M
32
 Em Geodésia, Cartografia ou Topografia, esta convenção pode ser modificada, podendo 
para o leigo trazer alguma confusão. 
 A notação para designação de um ponto P, através das observações x = PN e y = PM, é 
dado pelo par de coordenadas P (x,y). 
 As unidades que os eixos para a finalidade de medições são bastante arbitrárias: 
milímetros, centímetros, metros, quilômetros, polegadas, pés, ou seja, quaisquer sistema de 
unidades métricas podem servir para medições desde que sejam coerentes com o fim a que se 
destina. A convenção de sinal adotada no uso da 
coordenadas retangulares é um pouco diferente da 
convenção trigonométrica. 
 As quatro regiões resultantes da divisão do 
espaço pelos eixos X e Y são denominados quadrantes
e numerados no sentido horário, de 1 a 4, a partir do 
quadrante superior direito, no sentido horário, enquanto os quadrantes trigonométricos são 
numerados em sentido antihorário. 
 Assim, o sinal convencional das coordenadas são: 
 10 quadrante + x e + y 
 20 quadrante + x e - y 
 30 quadrante - x e - y 
 40 quadrante - x e + y 
 A posição absoluta de um ponto, será sempre 
estabelecida através das 
suas coordenadas, em 
relação à origem do sistema de coordenadas. 
 A diferença de coordenadas entre dois pontos 
estabelece uma quantidade linear, equivalente a 
projeção da medida linear entre estes dois pontos em 
cada eixo coordenado. 
 Tendo-se dois pontos genéricos A e B, definidos por suas coordenadas, 1 (x1 , y1) e 2 (x2 , 
y2), pode-se determinar a diferença de coordenadas entre 1 e 2, genericamente, pelas grandezas
'x12 = ( x2 - x1 ) e 'y12 = ( y2 - y1 ) e
'x21 = ( x1 - x2 ) e 'y21 = ( y1 - y2 ),
 cartesiano
(topográfico)
1
2
4
3
 Trigonométrico
12
43
1 Q
o
2 Q
o
4 Q
o
3 Q
o
x +
y +
x +
y -
x -
y +
x -
y -
0
Y
X
P
O
px
ry
sx
rx
qx
sy
qy
py
QR
S
33
verificando-se que o valor de cada diferença é idêntico, porém de sinal contrário, ou seja têm o 
mesmo valor absoluto e sinal contrário.
'x12 = -'x21
 Através destas igualdades, verifica-se que as coordenadas de um ponto podem ser 
perfeitamente determinadas se forem conhecidas as cordenadas de um deles e adiferença de 
coordenadas entre eles. 
 x2 = x1 + 'x12 y2 = y1 + 'y12
 x1 = x2 - 'x21 y1 = y2 - 'y21
 As relações trigonométricas que envolvem coordenadas e diferenças de coordenadas são 
as seguintes: 
 O ângulo D, definido pelas diferenças de coordenadas, é calculado pelas funções 
trigonométricas 
tg y
x
D '
'
 ou D arctg y
x
'
'
 e ainda D 
�
�
arctg
y y
x x
( )
( )
2 1
2 1
.
 O ângulo E por sua vez é determinado pelas relações 
E arctg x
y
'
'
 ou E �
�
arctg
x x
y y
( )
( )
2 1
2 1
 e 
tg x
y
E '
'
 
 A determinação do comprimento da linha entre 1 e 2, é desenvolvida através da 
formulação da distância entre dois pontos da geometria plana: 
0
1 (x ,y )
2 (x ,y )
1 1
22
D
E
'y
'x
X
Y
34
� � � �> @d x x y y12 2 1 2 2 1 2 1 212 � � � / ou d x y12 2 2 �' '
 Por sua vez, pode-se em função do comprimento d, medido entre 1 e 2 e do ângulo 
formado por esta linha e o eixo X, que estabelece o ângulo D, pode-se também determinar as 
diferenças de coordenadas:
'x12 = (x2 - x1) = d cos D
'y12 = (y2 - y1) = d sen D
 Estabelecendo-se o cálculo em função do ângulo E, definido pelo eixo Y e a direção da 
linha considerada, as relações são as seguintes: 
� �'x x x d d12 2 1 12 12 090 � �sen sen( )E D
� �'y y y d d12 2 1 12 12 090 � �cos cos( )E D
 Para a determinação de E
tg x
y
x x
y y
E �
�
'
'
( )
( )
2 1
2 1
 e
E �
�
arctg
x x
y y
( )
( )
2 1
2 1
 A posição relativa é estabelecida sempre entre dois pontos, ou seja, considerando-se um 
ponto 1 e um ponto 2, genéricos quaisquer, tem-se a posição relativa de 1 em relação a dois e 
vice-versa. Este posicionamento relativo é definido através das diferenças de coordenadas de um 
ponto em relação ao outro. 
 Define-se um dos pontos como uma suposta 
origem de um novo sistema de coordenadas, no 
qual, em lugar das coordenadas absolutas de cada 
ponto, são consideradas as diferenças de 
coordenadas entre estes mesmos pontos. 
 O cálculo das diferenças de coordenadas 
através dos ângulos D e E complica-se com a 
posição relativa dos pontos em outra posição 
diferente de valores das diferenças de coordenadas 
exclusivamente positivas (1o quadrante). Tem-se com isto que verificar continuamente a posição 
dos pontos, para se determinar qual o ângulo que está sendo computado para o cálculo, sinal da 
Y
X
O
P
1
23
4
' xp3
' xp1
' xp4
' xp2
' yp4 ' yp1
' yp2
' yp3
E p1
Dp4
Dp3
D p2
Dp1
E p3
E p4
E p2
35
diferença de coordenadas, sinal do seno, coseno ou tangente, uma vez que os ângulos D e E são 
sempre menores que 90q, portanto fornecendo valores referidos ao 1o Quadrante. 
 Facilita-se o problema, através da adoção de um ângulo, que tem como origem o ponto 
que se deseja definir a diferença de coordenadas, tomando-se como origem angular uma paralela 
ao eixo Y passando por este ponto e o valor angular contado no sentido horário até a direção do 
segundo ponto. 
 Pode ser facilmente verificado que a diferença entre os dois ângulos T12 e T21 será
sempre de 180q , ou seja: 
 T12 = T21 + 180o
 Por outro lado, o cálculo das diferenças de coordenadas pode ser facilmente obtido a 
partir desta direção base, fazendo-se 
'x12 = d12. senT12 e 'y12 = d12. cosT12
3.2.2 Coordenadas Planas Polares 
 As coordenadas polares definem uma posição por meio de uma medição linear e uma 
medição angular. 
 O par de eixos ortogonais é substituído por uma linha simples, OQ, passando pela origem 
O, agora denominado origem ou polo do 
sistema. 
 A posição de qualquer ponto P é 
definida por meio de uma medição linear da 
origem ou polo ao ponto considerado e o 
X
Y
1
2
3
4
421
443
412434
O
Q
P
O - polo
OQ - Eixo Polar
OP=r - Raio Vetor
T - Ângulo Vetorial
T
r
36
ângulo formado entre o eixo polar OQ e a direção OP, respectivamente por meio da distância 
OP = r e o ângulo QÔP = T, definindo um par de coordenadas, caracteristica de um sistema plano 
de posicionamento. 
 A linha OP é denominada raio vetor e o ângulo T ângulo vetorial, ângulo que o raio 
vetor faz com o eixo polar. 
 Assim a posição de P é definida pelo par de coordenadas P (r, T).
 O ângulo vetorial pode ser expresso em unidades sexagesimal (graus), centesimais 
(grados) ou ainda, em radianos. 
 360q = 400g = 2S rd 
 A direção de medição do ângulo vetorial é convencionalmente tomado no sentido 
antihorário pela matemática, a partir do eixo polar, pode porém esta convenção ser modificada, 
sendo possível a sua adoção em sentido horário. É convencional. 
 As coordenadas polares relacionam-se com as 
coordenadas planas retangulares, através de relações 
trigonométricas simples. 
 Toma-se o ponto P, de coordenadas planas 
retangulares (x, y). Assumindo-se agora o sistema 
polar onde a origem esteja em O, o eixo polar seja o 
eixo cartesiano OY, r = OP e T = YOP e as 
coordenadas x = PN e y = PM, pela triângulo 
PON tiram-se as relações: 
 x = r sen T
 y = r cos T
Estabelece-se assim o relacionamento de transformação de coordenadas polares para planas. 
 O relacionamento inverso pode ser obtido de diversas formas: 
 tg T = x / y 
 r = y sec T
 r = x cosec T
 r2 = x2 + y2
 sen T = x / r 
 cos T = y / r 
 Este relacionamento é bastante simples, uma vez que as origens dos dois sistema estão 
coincidentes. Havendo um deslocamento entre origens, deve ser considerada a diferença de 
coordenadas entre os dois sistemas. 
0 X
Y
P
y
x
T
r
N
M
37
 Neste caso, todos os relacionamentoanteriores são 
válidos, levano-se em consideração a diferença de 
coordenadas entre as duas origens O e O’ (x0 , y0). As 
coordenadas de P em relação à origem O serão: 
 xp = 'x + x0
 yp = 'y + y0
3.3 - Transformação de Coordenadas Cartesianas 
 As relações entre coordenadas cartesianas e polares fornecem o embasamento para as 
transformações entre sistemas cartesianos. São considerados dois sistemas de eixos coordenados 
planos, entre os quais deseja-se definir o relacionamento de transformação de um sistema de 
coordenadas (x, y), para um sistema de coordenadas (x’, y’). 
 Existem três transformações básicas, assim definidas: 
 - translação de eixos ou mudança de origem; 
 - alteração de escala de um sistema para outro e 
 - rotação de eixos segundo uma origem comum. 
3.3.1 - Translação de eixos 
 Esta transformação introduz uma falsa origem na malha. 
É necessário que os eixos dos dois sistemas sejam paralelos entre 
sí.
 Considerando-se o ponto A ( x , y ) no sistema inicial de 
origem O, para se determinar as coordenadas no sistema O’, 
onde ocorre um deslocamento entre as duas origem de x’’ e y’’ 
respectivamente, as novas coordenadas para o ponto serão: 
 x’ = x r x’’ e
 y’ = y r y’’ 
O sinal de x’’ e y’’ dependem da direção do deslocamemnto aplicado aos sistemas 
3.3.2 - Mudança de Escala de um Sistema a Outro 
O X
Y
y
N
M
P
rT
x
'x
'y
0
0
O'
O'
O
x''
y''
X'
X
Y' Y
A
y
y'
xx'
38
 Considerando-se dois ponto A e B distinto, comuns aos dois sistemas de coordenadas, 
considere-se os segmentos que os une: AB no primeiro sistema e ab no segundo. 
 Se o comprimentoAB é diferente de ab, um fator de escala deve ser aplicado para 
converter as coordenadas do primeiro para o segundo sistema, de tal forma que: 
m ab
AB
 , seguindo-se que 
 x’ = m . x 
 y’ = m . y 
3.3.3 - Rotação dos Eixos em Relação à Origem 
 Assumindo-se que os dois sistemas tem uma 
origem comum O, rotaciona-se os eixos do sistema X’Y’, 
em sentido horário do ângulo D.
 São conhecidas as coordenadas do ponto P ( x , y ) 
e o ângulo de rotação D.
 Do sistema XY tira-se: 
 x = r senT e y = r cosT
T = AÔY 
 O ângulo AÔY’ = T - D, logo 
 x’ = rsen (T - D ) e y’ = rcos (T - D ). Desenvolvendo pelo seno e coseno da diferença de 
dois ângulos 
 sen (T - D ) = senT cosD - cosT senD
 cos (T - D ) = cosT cosD + senT senD , logo 
 x’= rsenT cosD - rcosT senD
 y’= rcosT cosD - rsenT senD . Substituindo 
 x’= xcosD - ysenD
 y’= ycosD + xsenD
O
P
X'
X
YY'
x x'
yy'
r
4
D
39
 Se a rotação for efetuada em sentido antihorário, determina-se de forma semelhante as 
relações de transformação: 
 x’= xcosD + ysenD
 y’= ycosD - xsenD
3.3.4 - Transformação Conjunta 
 Considerando-se agora uma transformação que envolva as três condições precedentes, 
rotação, escala e translação, assumindo-se uma rotação antihorária, as relações de transformação 
são as seguintes: 
 x’= m.x.cos D + m. y. sen D + x” 
 y’= m.y.cos D - m. x. sen D + y” 
Fazendo m.sen D = a e m.cos D = b, as fórmulas reduzem-se a 
 x’ = x” r ax + by 
 y’ = y” r bx - ay 
3.4 - Transformação Isogonal e Afim 
 De uma forma genérica é possível fazer-se a transformação de coordenadas entre 
diferentes sistemas, conhecendo-se as coordenadas de controle, ou seja algumas coordenadas que 
são conhecidas nos dois sistemas, determinando-se os parâmetros de rotação, translação e escala, 
que permitirão transformar todas as demais coordenadas. 
 A transformação definida acima, pode ser reescrita para a forma 
 x’ = ax + by + c 
 y’ = bx + ay + d 
 Esta transformação é denominada de transformação isogonal, possuindo quatro 
parâmetros envolvendo escala, rotação e translação. Esta transformação pressupõeos eixos 
perpendiculares entre sí. 
 Um mínimo de dois pontos de coordenadas conhecidas resolve um sistema de equações 
possível e determinado da forma 
 x’1 = ax1 + by1 + c
 y’1 = bx1 + ay1 + d
 x’2 = ax2 + by2 + c
40
 y’2 = ax2 + by2 + d
 Em uma transformação afim, o processo é semelhante, supondo-se agora que não existe 
ortogonalidade entre os eixos coordenados, aumentando o número de paâmetros de 4 para 6. A 
estrutura de transformação será definida pelas equações: 
 x’ = ax + by + c 
 y’ = dx + ey + f 
São necessários agora as coordenadas de três pontos para a determinação do sistema. 
 Em ambos os casos, normalmente utilizam-se mais coordenadas, criando-se um sistema 
indeterminado, que só poderá ser resolvido por intermédio de um método de ajustamento 
estatístico, tal como o método dos mínimos quadrados. 
3.5 - Sistemas de Referência Tridimensionais 
 Os sistemas tridimensionais são sistemas espaciais, portanto necessitam de três 
coordenadas para o posicionamento de um ponto no espaço. Alguns sistemas são extensões dos 
sistemas planos e outros são trabalhados de forma a definerem um sistema de representação mais 
específico para determinada aplicação. 
3.5.1 - Sistema Cartesiano e PolarTridimensional 
 A extensão de um sistema cartesiano plano retangular para um espaço tridimensional é 
simples e de fácil compreensão. 
 Um espaço tridimensional possui evidentemente 3 dimensões físicas: x, y, caracterizando 
um plano e a 3a coordenada z, constituída por uma família de planos. 
 A definição agora, não mais refere-se a família de linhas ortogonais dois a dois. O 
sistema de eixos coordenados, será caracterizado pela interseção destes planos: OXZ, OYZ e 
OYX.
41
 Qualquer ponto no espaço será definido pela 
interseção dos planos paralelos nos planos origem 
considerados. 
 Assim um ponto será determinado por um terno 
coordenado P (x, y, z). 
 Considerações semelhantes podem ser deduzidas 
para um sistema polar no espaço, que através de uma 
distância ao ponto pela origem (r) e dois ângulos vetoriais, 
tem a sua posição determinada: P ( r, D, E ). 
3.5.2 Sistemas de Coordenadas na Esfera e no Elipsóide 
 Esfera e elipsóide (ou esferóide) são corpos sólidos e em conseqüência, um sistema de 
posicionamento de pontos sobre ou sob a sua superfície, é necessariamente tridimensional, 
sendo portanto exigidas três coordenadas para a sua materialização. 
 A idéia de latitude, longitude, paralelos ou meridianos, muitas vezes já é conhecida, 
porém sem os fundamentos que levaram à sua caracterização. 
 É desejável portanto alguns comentários um pouco mais profundos sobre a geometria da 
Terra, quando é assumida como uma esfera perfeita, para introduzir uma notação padronizada 
para esta hipótese e mostrar algumas diferenças básicas para o esferóide. 
 Inicialmente deve ser entendido o que é precisamente representado por planos, arcos e 
ângulos em um e em outro. 
 Sabe-se que: 
 - uma esfera é um corpo sólido cuja superfície é eqüidistante do centro; 
 - toda esfera tem raio constante; 
 - a normal a um plano tangente à superfície no ponto de tangência é um raio da esfera; 
 - a distância entre dois pontos na superfície pode ser medida como distância angular ou 
distância arco. 
 Estas são as propriedades principais da esfera e que serão essenciais para o 
prosseguimento das definições seguintes. 
 - Se um plano intercepta uma esfera, a seção resultante da superfície curva que é traçado 
no plano é um círculo. 
Z
X
Y
P
O
z
y
x
E
D
r
r1
42
 - Um círculo máximo ou grande círculo é o 
círculo de uma seção que passa pelo centro da esfera. Em 
outras palavras, o círculo PP’CD e ABCD são círculos 
máximos. Todos com centros em O, centro da esfera. 
 Um e somente um círculo máximo pode ser traçado 
entre dois pontos na superfície da esfera, que não sejam 
diametralmente opostos. 
 O menor arco de um círculo máximo passante por 
dois pontos, é a menor distância entre estes pontos na 
superfície esférica. 
 - Se o plano de interseção com a esfera não passa pelo centro da esfera, determina 
também uma seção circular, porém de raio menor que o raio da esfera. Esses círculos

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