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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO IGEO - CCMN DEPARTAMENTO DE GEOGRAFIA DISCIPLINA DE CARTOGRAFIA NOTAS DE AULA Professor: Paulo Márcio L. de Menezes 1 - INTRODUÇÃO 1.1 DEFINIÇÕES E CONCEITO DE CARTOGRAFIA Etmologicamente Cartografia é uma palavra derivada do grego “graphein”, significando escrita ou descrita e do latim “charta”, com o significado de papel, mostra portanto uma estreita ligação com a apresentação gráfica da informação, através da sua descrição em papel. Foi criada em 1839 pelo historiador português Visconde de Santarém, em carta escrita em Paris e dirigida ao historiador brasileiro Adolfo Varnhagen. Antes do termo ser divulgado e consequentemente consagrado na literatura mundial, usava-se tradicionalmente como referência, o vocábulo Cosmografia, que significa astronomia descritiva (OLIVEIRA, 1980). Uma definição simplista pode ser estabelecida, apresentando-a como a “ciência que trata da concepção, estudo, produção e utilização de mapas” (ONU, 1949). Outras definições, mais complexas e mais atualizadas fornecem uma visão mais profunda dos elementos, funções e processos que a compõem, tais como a estabelecida pela Associação Cartográfica Internacional (ICA), em 1973, que a apresenta como: “A arte, ciência e tecnologia de construção de mapas, juntamente com seus estudos como documentação científica e trabalhos de arte. Neste contexto mapa deve ser considerado como incluindo todos os tipos de mapas, plantas, cartas, seções, modelos tridimensionais e globos, representando a Terra ou qualquer outro corpo celeste”. A mesma ICA em 1991, apresentou uma nova definição, nos termos seguintes: “ciência que trata da organização, apresentação, comunicação e utilização da geoinformação, sob uma forma que pode ser visual, numérica ou tátil, incluindo todos os processos de elaboração, após a preparação dos dados, bem como o estudo e utilização do mapas ou meios de representação em todas as suas formas”. Esta é uma das definições mais atualizadas, incorporando conceitos que não eram citados anteriormente, mas nos dias atuais praticamente já estão diretamente associados à 2 Cartografia. Ela extrapola o conceito da apresentação cartográfica, devido à evolução dos meios de apresentação, para todos os demais compatíveis com as modernas estruturas de representação da informação. Apresenta o termo geoinformação, caracterizando um aspecto relativamente novo para a Cartografia em concepção, mas não em utilização, pois é uma abordagem diretamente associada à representação e armazenamento de informações. Trata-se porém, de associar a Cartografia como uma ciência de tratamento da informação, mais especificamente de informações gráficas, que estejam vinculadas à superfície terrestre, sejam elas de natureza física, biológica ou humana. Dessa forma a informação geográfica sempre será a principal informação contida nos documentos cartográficos. Fica também evidenciado, de uma maneira geral, que a Cartografia tem por objetivo o estudo de todas as formas de elaboração, produção e utilização da representação da informação geográfica. Continua a caracterizar a importância do mapa, como uma das principais formas de representação da informação geográfica, incluindo outras formas de representação e aspectos de armazenamento da informação cartográfica, principalmente os definidos por meios computacionais. A utilização de mapas e cartas é um aspecto bastante desconsiderado pelos usuários da Cartografia. Uma grande maioria de usuários utiliza mapas e cartas, sem conhecimentos cartográficos suficientes para obtenção de um rendimento aceitável que o documento poderia oferecer. Geralmente um guia de utilização é desenvolvido, através de manuais distintos ou legendas específicas e detalhadas, destinados a usuários que possuem uma formação cartográfica limitada. Ao usuário, no entanto, cabe uma boa parcela do sucesso de um documento cartográfico, podendo a divulgação e a utilização de um documento cartográfico ser equiparada a um livro. Um documento escrito sem leitores, pode perder inteiramente a finalidade de sua existência e da mesma forma isto pode ser estendido para um mapa, ou seja um mapa mal lido ou mal interpretado pode induzir a informações erradas sobre os temas apresentados. 1.2. CARTOGRAFIA E GEOGRAFIA: UMA RELAÇÃO IMPORTANTE Face à Geografia, a Cartografia apresenta-se funcionalmente, como uma ferramenta de apoio, permitindo, por seu intermédio, a espacialização de toda e qualquer tipo de informação geográfica. Desta forma, para o geógrafo, é imprescindível o conhecimento dos aspectos básicos da cartografia bem como dos fundamentos de projeto de mapas. O cartógrafo geográfico deve ser distinto de outras áreas de aplicação da Cartografia, pois a sua representação pode ser considerada ao mesmo tempo como ferramenta e, ao mesmo tempo, produto do geógrafo (DENT, 1999). 3 O geógrafo, como cartógrafo, deve perceber a perspectiva espacial do ambiente geobiofísico, tendo a habilidade de abstrai-lo e simboliza-lo. Deve conhecer projeções e seleciona-las; ter a compreensão das relações de áreas e também conhecimentos da importância da escala na representação final de dados e informações. Por outro lado deve ter a capacidade, devido à intimidade com a abstração da realidade e sua representação, de avaliar e revisar o processo, visando facilitar o entendimento por parte do usuário final. É fundamental a sua participação no projeto e produção de mapas temáticos, associando também a representação de outros tipos de informações , tais como sensores remotos. SAUER, (1956) sintetiza claramente a importância da Cartografia para o geógrafo, através da seguinte citação: Mostre-me um geógrafo que não necessite deles (mapas) constantemente e os queira ao seu redor e eu terei minhas dúvidas se ele fez a correta escolha em sua vida. O mapa fala através da barreira da linguagem. (SAUER, 1956). 2 - COMUNICAÇÃO CARTOGRÁFICA A Cartografia é, em princípio, um meio de comunicação gráfica, exigindo portanto, como qualquer outro meio de comunicação (escrita ou oral), um mínimo de conhecimentos por parte daqueles que a utilizam. A linguagem cartográfica é praticamente universal: um usuário com uma boa base de conhecimentos, será capaz de traduzir satisfatoriamente qualquer documento cartográfico, seja sob qual forma esteja se apresentando. Considerando-se a Cartografia como um sistema de comunicação, pode-se verificar que a fonte de informações é o mundo real, codificado através do simbolismo do mapa, sendo que o vetor entre a fonte e o mapa é caracterizado pelo padrão gráfico bidimensional estabelecido pelos símbolos. MAPA USUÁRIO Concepção Cartográfica Mundo Real Fonte Tratamento Apresentação Utilização SISTEMA CARTOGRÁFICO Sistema de Comunicação Cartográfica 4 Figura 1.1 - Sistema de Comunicação Cartográfica Na realidade, de uma forma simplificada, o sistema de informação está restrito ao mundo real, ao cartógrafo e ao usuário, gerando três realidades distintas, como se fossem conjuntos separados. Quanto maior a interseção destas três realidades, mais se aproxima o mapa ideal para a representação de um espaço geográfico em qualquer dos seus aspectos. Figura 1.2 - Mapa Ideal O modelo de comunicação cartográfica envolve então, em uma forma simplista, quatro elementos distintos: o cartógrafo ou o elemento de concepção, o mapa juntamente com o tema e o usuário. Uma pergunta pode descrever todo este modelo como um todo: “Como eu posso descrever o que para quem ?” . Eu, refere-se ao cartógrafo (elaborador), como ao mapa, o que ao tema e para quem ao usuário. O modelo pode ser apreciado pela figura 3. Figura 1.3 - Modelo Simples de Comunicação Cartográfica REALIDADE MUNDO REAL Realidadedo Cartógrafo Realidade do Usuário COMUNICAÇÃO CARTOGRÁFICA Cartógrafo Tema do (O que) MAPA (Como) Usuário (Para que?) Modelo Simples 5 Por outro lado, podem ser descritos, segundo esses conceitos, os ciclos de comunicação da informação cartográfica que podem ser alcançados no processo: - Ciclo ideal da comunicação cartográfica Figura 1.4 - Esquema do ciclo ideal da comunicação cartográfica Aqui o cartógrafo faz a leitura e interpretação do mundo real, codificando as informações para o documento de comunicação, o mapa. O usuário por sua vez, sem contato com o mundo real, apenas com o documento, vai fazer a leitura e interpretação das informações contidas no mapa, para ao decodifica-las, possa reconstituir o mundo real. Este tipo de ciclo não é alcançado na maioria das vezes. Consegue-se uma aproximação atrvés de fotomapas ou ortofotocartas, dependendo ainda do tipo de informação que se vai veicular. - Ciclo de Comunicação Cartográfica Ideal Cartógrafo-Usuário Figura 1.5 - Esquema do ciclo real entre cartógrafo e usuário Mundo RealCartógrafo Mapa Usuário Leitura e Interpretação C od ifi ca Leitura e Interpretação D ec od ifi ca Ciclo Ideal da Comunicação Cartográfica Mundo Real Cartógrafo Mapa Usuário Leitura e Interpretação Co dif ica Leitura e Interpretação D ec od ifi ca Ciclo de Comunicação Cartográfica Ideal Cartógrafo-Usuário Visão do Cartógrafo Criação 6 Este modelo mostra que na leitura e interpretação pelo cartógrafo do mundo real, na realidade ele criará um modelo segundo a sua visão, só passando a sua codificação para o mapa após a elaboração dessa visão própria. Segundo o usuário agora, a leitura e interpretação dessa informação, vai permitir no máximo que se chegue até a visão do cartógrafo do mundo real. Não se consegue chegar ao mundo real, porém alcança-se a comunicação, com o sucesso do usuário em decodificar o mundo real na visão do cartógrafo. - Ciclo de Comunicação Falho Figura 1.6 - Esquema do ciclo falho de comunicação Neste esquema, o usuário não consegue, no processo leitura, interpretação e posterior decodificação da informação transmitida pelo mapa, chegar a visão do mundo real definida pelo cartógrafo. É criada uma outra visão, agora definida pelo usuário, segundo a qual ele ve o mundo real. Neste processo, as distorções de visão tanto podem ser do cartógrafo, que não soube codificar a sua visão do mundo real no mapa, como também do usuário, em não saber como decodificar essas informações. De uma ou outra maneira, aqui a comunicação cartográfica não é alcançada. 3- HISTÓRICO DA CARTOGRAFIA O histórico da Cartografia é tão extenso quanto a própria história da humanidade. Não se sabe quando o primeiro “cartógrafo” elaborou o primeiro mapa. Não há dúvidas porém que este seria uma representação bastante bruta em argila, areia ou desenhada em uma rocha. Mundo Real Cartógrafo Mapa Usuário Leitura e Interpretação Codi fica Leitura e Interpretação De co dif ica Ciclo Falho de Comunicação Cartográfica Cartógrafo-Usuário Visão do Cartógrafo Criação Visão do Usuário 7 Na Antiguidade, um dos mapas mais antigos conhecidos, data de aproximadamente 5000 AC, mostrando montanhas, corpos d`água e outras feições geográficas da Mesopotâmia, gravadas em tábuas de argila. Datam desta época também mapas com a mesma estrutura, do vale do Rio Eufrates e do rio Nilo. Aos fenícios são atribuídas as primeiras cartas náuticas, que serviam de apoio à navegação, bem como as primeiras sondagens e levantamentos do litoral. Na Grécia, à época de Aristóteles (384-322 AC), a Terra foi reconhecida como esférica pelas evidências da diferença de altura de estrelas em diferentes lugares, do fato das embarcações aparecerem “subindo o horizonte” e até mesmo pela hipótese de ser a esfera a forma geométrica mais perfeita. Por volta de 200 AC, o sistema de latitude e longitude e a divisão do círculo em 360q já era bem conhecida. Estimativas do tamanho da Terra foram realizadas por Eratóstenes (276-195 AC) e repetido por Posidonius (130-50 AC), através da observação angular do Sol e estrelas. O processo de Eratóstenes consistia em medir a diferença da vertical do Sol ao longo do meridiano que unia Alexandria a Syene (atual Aswan) Sabendo-se que a distância entre as duas cidades - 5000 estádias (1st = 185m), verificou-se que a diferença entre a posição do Sol nas duas cidades - 7q12’ equivalia a 1/50 do círculo completo, logo ter-se-ia como o valor da circunferência terrestre cerca de 46250 km, ou seja, valor apenas 15% maior do que o real, o que para os métodos da época são valores bastante razoáveis. Eratóstenes errou por duas razões: a distância entre a s duas cidades Figura 1.7 - O processo de eratóstenes não era exatamente de 5000 st, nem as duas cidades estavam situadas no mesmo meridiano. Caso isto tivesse ocorrido, o seu erro estaria em torno de 2% da medida real! Polo Norte SOL Alexandria Syene Equador Trópico de Cancer 7 12’o 7 12’o 5000 st Vertic al 8 Pelas referências existentes, os mapas eram documentos de uso corrente para os gregos, como pode ser verificado pela edição de 26 mapas, trabalhados por Claudius Ptolomeu (90-160 DC), em seu tratado simplesmente entitulado GEOGRAFIA. Os romanos interessavam-se pela Cartografia apenas com fins práticos: cartas administrativas de regiões ocupadas e representações de vias de comunicação, como pode ser observado nas tábuas de PEUTINGER. Na Idade Média, como praticamente ocorreu em toda a humanidade, há um retrocesso no desenvolvimento da Cartografia. Existem poucas referências, e as que existem carecem de qualquer base científica. São apenas esboços e croquis desprovidos de beleza e funcionalidade. O de melhor representação são devido aos árabes. Os europeus são pobres, sem nenhuma base científica. Com o Renascimento inicia-se também o ciclo das grandes navegações. As descobertas marítimas dos Escandinavos não acrescentam nenhum material novo ao conhecimento do mundo, exceto a descoberta da bússula a partir do século XIII. Ao fim da Idade Média e início da Moderna, surgem os PORTULANOS, cartas com a posição dos portos de diferentes países, bem como indicação do Norte e Sul (Rosa dos Ventos), voltadas para a navegação e comércio. As cartas passam a ser artisticamente desenhadas, surgindo a impressão das primeiras cartas com Gutemberg, em 1472 ( Etmologia de Isidoro de Sevilha / 1560 - 1632). Desenvolve-se neste períodoo primeiro sistema de projeção cartográfica, devido a Gerhardt Kremer dit Mercator. Deve-se a Abraham Oertel dit Ortelius (1527 - 1598) a edição do primeiro ATLAS em 1570 sob o nome de THEATRUM ORBIS TERRARUM. A Idade Moderna trás com a política de expansão territorial e colonial a necessidade de conhecimentos mais precisos das regiões. Surgem as primeiras triangulações no século XVIII com os franceses e italianos, estabelecendo-se um modelo matemático geométrico perfeito de representação terrestre. Cassini desenvolve o primeiro mapa da França, com auxílio da astronomia de posição (escala de 1/86 400), em 1670. Os processos de cálculo, desenho e reprodução são aprimorados. Nomes como Clairout, Gauss, Halley, Euler desenvolvem a base matemática e científica da representação terrestre. Utiliza-se correntemente a Topografia, Geodésia e Astronomia de precisão nos desenvolvimentos de mapas. Os sistemas transversos de Mercator, aperfeiçoados por Gauss e Krüger sào criados e aplicados no mapeamento da Alemanha. 9 No século XX, muitos fatores ajudam a promover uma aceleração acentuada no desenvolvimento da Cartografia. Pode-se incluir o aperfeiçoamento da litografia, a invenção da fotografia, da impressão a cores, o incremento das técnicas estatísticas, oaumento do transporte de massas. A invenção do avião foi significante para a Cartografia. A junção da fotografia com o avião, tornou possível o desenvolvimento da fotogrametria, ciência e técnica que permite o rápido mapeamento de grandes áreas, através de fotografias aéreas, gerando mapas mais precisos de grandes áreas, a custos menores que o mapeamento tradicional. Desenvolvem-se técnicas de apoio que incrementam a sua utilização. Surgem os equipamentos eletrônicos para determinação de distâncias, aumentando a precisão das observações, assim como a rapidez na sua execução. O emprego de técnicas de fotocartas, ortofotocartas e ortofotomapas geram documentos confiáveis e de rápida confecção. A utilização de outros tipos de plataformas imageadoras para a obtenção da informação cartográfica, tais como radares (RADAM, SLAR), satélites artificiais imageadores (LANDSAT, TM e SPOT), satélites RADAR (RADARSAT), vem modernamente revolucionando as técnicas de informação cartográfica para o mapeamento, abrindo novos e promissores horizontes, através de documentos tanto confiáveis como de rápida execução.. 4 - O CAMPO DE ATUAÇÃO DA CARTOGRAFIA Pelo histórico apresentado, é fácil ver que a Cartografia é uma atividade bastante antiga, porém pode-se perfeitamente delimitar aplicações específicas ao longo da sua história. Inicialmente como apoio às explorações, especialmente os mapas de navegação e aplicação comercial. Poucas eram as aplicações que fugiam a esses objetivos. Por outro lado eram poucos os que se dedicavam à elaboração e construção de mapas, isto no decorrer de séculos, praticamente até o século XIX. No decorrer do século XIX e início do século XX, conforme o aumento da demanda de mapas para fins mais específicos, foram criadas instituições que se dedicam exclusivamente à elaboração de cartas e mapas, tanto com propósitos gerais, como com propósitos definidos. Hoje em dia a maior parte dos países possuem organizações governamentais dedicadas à construção de cartas, com as mais diversas finalidades. Existem outras organizações, públicas e privadas, com finalidades semelhantes, para atuação cartográfica apenas nas suas áreas específicas. 10 Os avanços técnicos nos processos de construção de cartas, a necessidade crescente de informação georreferenciada, tanto para a educação, pesquisa, como apoio para tomada de decisões, à nível governamental ou não, caracteriza o mapa como uma ferramenta importante, tanto para análise de informações, como para a sua divulgação, em quaisquer áres que trabalhem com a informação distribuída sobre a superfície terrestre. - Caracterizar uma tabela com uma distribuição de ocorrência de cólera. - Mostrar a tabela e um mapa. - Definir o que se pode obter com a visualização do mapa. - A tabela oferece uma visão quantitativa do fenômeno. - O mapa oferece tanto esta visão, como a distribuição espacial, permitindo cruzamento de outros tipos de informações e a consequente análise deste cruzamento. Por Ex: - Ocorrência c/ águas poluídas - Ocorrência c/ consumo de pescado - Ocorrência c/ favelas - Ocorrência c/ migração Dividir a Cartografia em áreas de aplicação é tão difícil quanto classificar os tipos de cartas e mapas. Normalmente usa-se caracterizar duas classes de operações para a Cartografia: - preparação de mapas gerais, utilizados para referência básica e uso operacional. Esta categoria inclui mapas topográficos em grande escala, cartas aeronáuticas hidrográficas. - preparação de mapas usados para referência geral e propósitos educacionais e pesquisa. Esta categoria inclui os mapas temáticos de pequena escala, atlas, mapas rodoviários, mapas para uso em livros, jornais e revistas e mapas de planejamento. Dentro de cada categoria existe uma considerável especialização, podendo ocorrer nas fases de levantamento, projeto, desenho e reprodução de um mapa topográfico. A primeira categoria trabalha inicialmente a partir de dados obtidos por levantamentos de campo ou hidrográficos, por métodos fotogramétricos ou de sensores remotos. São fundamentais as considerações sobre a forma da Terra, nível do mar, cotas de elevações, distâncias precisas e informações locais detalhadas. Utilizam-se instrumentos eletrônicos e fotogramétricos complexos e o sensoreamento remoto tem pêso importante na elaboração dos mapas. Este grupo inclui as organizações governamentais de levantamento. No Brasil são as seguintes: 11 - Fundação IBGE - Diretoria de Serviço Geográfico - Diretoria de Hidrografia e Navegação - Instituto de Cartografia Aeronáutica A outra categoria que inclui a Cartografia Temática, trabalha basicamente com os mapas elaborados pelo primeiro grupo, porém está mais interessada com os aspectos de comunicação da informação geral e a delineação gráfica efetiva dos relacionamentos, generalizações e conceitos geográficos. O domínio específico do assunto pode ser extraído da História, Economia, Planejamento Urbano e Rural, Sociologia, Engenharias e outras tantas áreas das ciências físicas e sociais, bastando que exista um georeferenciamento, ou seja uma referência espacial para a representação do fenômeno. Orgãos que no Brasil dedicam-se à elaboração de mapas temáticos: - Fundação IBGE - DNPM / CPRM - Mapas geológicos - EMBRAPA - solos, uso de solos, pedologia - Institutos de Terras - planejamento rural - Governos Estaduais e Municipais (incipiente) - DNER - mapas rodoviários 5 DEFINIÇÃO DE MAPA 5.1 CONCEITOS E DEFINIÇÕES O termo mapa é utilizado em diversas áreas do conhecimento humano como um sinônimo de um modelo do que ele representa. Na realidade deve ser um modelo que permita conhecer a estrutura do fenômeno que se está representando. Mapear então, pode ser considerado mais do que simplesmente interpretar apenas o fenômeno, mas o sim ter-se o próprio conhecimento do fenômeno que se está representando. A Cartografia vai fornecer um método ou processo que permitirá a representação de um fenômeno, ou de um espaço geográfico, de tal forma que a sua estrutura espacial será visualizada, permitindo que se infira conclusões ou experimentos sobre a representação (KRAAK & ORMELING, 1996). Os mapas podem ser considerados para a sociedade tão importantes quanto a linguagem escrita. Caracterizam uma forma eficaz de armazenamento e comunicação de informações que 12 possuem características espaciais, abordando tanto aspectos naturais (físicos e biológicos), como sociais, culturais e políticos. 5.1.1 Conceito de Mapa A apresentação visual de um mapa pode variar de uma forma altamente precisa e estruturada, até algo genérico e impressionista, como um esboço ou croquis. Devido a esta variedade de representações, não é fácil definir o termo MAPA, muito embora o seu significado seja claro em todos os contextos. Por outro lado, a palavra “mapa” possui algumas características significantes restritivas, seja qual for a forma que se apresente: - A representação é dimensionalmente sistemática, uma vez que existe um relacionamento matemático entre os objetos representados. Este relacionamento, estabelecido entre a realidade e a representação, é denominado escala. - Um mapa é uma representação plana, ou seja, esta sobre uma superfície plana. Uma exceção é a representação em um globo. - Um mapa pode mostrar apenas uma seleção de fenômenos geográficos , que de alguma forma foram generalizados, simplificados ou classificados. É diferente de uma fotografia ou imagem, que exibe tudo que afetou a emulsão do filme ou foi captado pelo sensor. O conceito de mapa é caracterizado como uma representação plana, dos fenômenos sócio- bio-físicos, sobre a superfície terrestre, após a aplicação de transformações, a que são submetidas asinformações geográficas (MENEZES, 1996). Por outro lado um mapa pode ser definido também como uma abstração da realidade geográfica e considerado como uma ferramenta poderosa para a representação da informação geográfica de forma visual, digital ou tátil (BOARD, 1990). Para a Geografia é também indiscutível a importância da forma de representação da informação geográfica, em essência dos mapas e da Cartografia. Através deles o geógrafo pode representar todos os tipos de informações geográficas, bem como da estrutura, função e relações que ocorram entre elas. Pela caracterização de sua aplicação em quaisquer campos do conhecimento que permitam vincular a informação à superfície terrestre. Dentro da divisão da Cartografia, um dos cartógrafos temáticos é o geógrafo por excelência, tanto por ser a Geografia a ciência mais integrativa dentro do conhecimento humano, como por ter a necessidade de 13 visualizar os relacionamentos entre conjuntos de informações que isoladamente não permitem quaisquer conclusões. 3.2.2 Definição de Mapa As definições de mapas, com ligeiras diferenças, englobam um núcleo comum, que uma vez caracterizado, não deixa nenhuma margem de dúvida sobre seus objetivos e abrangência. Este núcleo envolve as informações que serão representadas, as transformações à que estarão sujeitas, para que possam ser representadas por alguns dos possíveis meios gráficos de visualização. De 1708, por exemplo, tem-se a definição devida a Harris (1708, apud ANDREWS, 1998), definindo mapa como “uma descrição da Terra, ou uma parte de sua área, projetada sobre uma superfície plana, descrevendo a forma dos países, rios, situação das cidades, colinas, florestas e outras feições”. Outra definição, de 1736, estabelece que um mapa “é uma figura plana, representando diversas partes da superfície terrestre, de acordo com as leis da perspectiva ou projeção da superfície do globo ou parte dele em um plano, descrevendo os diversos países, ilhas, mares, rios, com a situação das cidades, florestas, montanhas, etc. Mapas universais, são os que exibem toda a superfície terrestre, ou os dois hemisférios; mapas particulares exibem uma porção definida da superfície terrestre”, (BAILEY, 1736, apud ANDREWS, 1998)). Em 1896, a Enciclopédia Concisa Cassel (1896, apud ANDREWS, 1998)), definiu mapa como “a delineação de uma porção da superfície terrestre sobre papel ou outro material similar, mostrando os tamanhos proporcionais, formas e posições de lugares”. Para estabelecer um padrão comparativo entre as definições dos séculos XVIII e XIX, são apresentadas as definições devido a dois cartógrafos e uma instituição cartográfica americana. A primeira, estabelecida por Robinson (1995), diz que “mapa é a representação gráfica de conjuntos geográficos”. O USGS (United States Geological Survey) define mapa como “a representação da Terra ou parte dela”, uma definição bastante simplista, mas de conteúdo bastante extenso. Umas das mais modernas definições é devida à Thrower (1996), dizendo que um mapa “é uma representação usualmente sobre uma superfície plana, de toda ou uma parte da superfície terrestre, mostrando um grupo de feições, em termos de suas posições e tamanhos relativos” . A definição formal de mapa, aceita e difundida pela Sociedade Brasileira de Cartografia, estabelece como “a representação cartográfica plana dos fenômenos da sociedade e da natureza, observados em uma área suficientemente extensa para que a curvatura terrestre não 14 seja desprezada e algum sistema de projeção tenha que ser adotado, para traduzir com fidelidade a forma e dimensões da área levantada” (SBC, 77). 3.2.3 Classificação dos Mapas Classificar os mapas em categorias distintas é uma tarefa quase impossível devido ao número ilimitado de combinações de escalas, assuntos e objetivos. Existem tentativas de classificações, que permitem agrupar mapas segundo algumas de suas características básicas, não existindo porém um consenso com respeito à essas classificações. Nesse contexto serão apresentadas aqui as classificações que melhor estão adaptadas para este trabalhos. Algumas destas classificações são conclusões oriundas de aglutinações e combinações de diversos autores. Inicialmente a própria divisão da Cartografia já fornece uma divisão formal, pela função exercida pelos mapas. Encontram-se assim os mapas de referência ou de base e os mapas temáticos, possuindo as características e funções já descritas na divisão da Cartografia. Quanto à escala de representação, os mapas podem ser classificados em: muito pequena, pequena, média, grande e muito grande. Alguns autores (ROBINSON, 1995; BAKKER, 1965) dividem apenas em três grandes grupos: pequena, média e grande. ë difícil porém estabelecer o limiar de cada escala. O conceito de grande, médio e pequeno é bastante subjetivo e esta associação à um valor numérico de escala é definida para estabelecer uma referência ao tamanho relativo dos objetos representados. Também é possível classifica-los segundo características globais, regionais e locais, mas também encontra-se outro conceito bastante subjetivo, gerando polêmicas quando de sua associação à escalas numéricas (ROBINSON, 1995; MENEZES, 1996; BAKKER, 1965). Para a primeira classificação citada, vincula-se a seguinte associação de escalas (tabela 3.1): Tabela 3.1 Classificação dos Mapas segundo Escala de Representação Escalas Classificação < 1:5 000 000 muito pequena Globais 1: 5 000 000 – 1:250 000 pequena Geográficas 1: 250 000 – 1: 50 000 média Topográficas 1: 50 000 – 1: 5 000 grande Cadastrais > 1: 5000 muito grande Plantas 15 Define-se ainda como plantas, os mapas caracterizadas por escalas grandes e muito grandes. São mapas locais e normalmente não exigem métodos geodésicos para sua elaboração, utilizando a topografia para a sua elaboração, envolvendo apenas transformações de escala. Podem ser definidas como: “a representação cartográfica plana, dos fenômenos da natureza e da sociedade, observados em uma área tão pequena que os erros cometidos nessa representação, desprezada a curvatura da Terra, são negligenciáveis” (SBC, 77). É comum a referência ao termo carta para referenciar um mapa. Procurando fornecer um conceito e não uma definição formal, os mapas são caracterizados por representar um todo geográfico, podendo estar em qualquer escala, seja ela grande, média ou pequena. Por exemplo: mapa de Minas Gerais na escala 1: 2 500 000; Mapa do Brasil em escala 1:5 000 000, mapa da Ilha do Fundão na escala 1: 10 000, mapa do Maciço da Tijuca na escala 1: 5 000. A carta por sua vez é caracterizada por representar um todo geográfico em diversas folhas, pois a escala de representação não permite a sua representação em uma única folha. Como exemplos, podem ser citadas as escalas de mapeamento sistemático do Brasil, caracterizando diversas cartas de representação: Carta do Brasil em 1:100 000, 1:250 000, carta do Município do Rio de Janeiro em escala 1: 10 000. O conjunto de todas as folhas caracteriza a carta, ou seja, a representação do todo geográfico que se deseja mapear. 1.X Meios e Mídias de Apresentação de Mapas Até o início da década de 80, os mapas em papel eram considerados um dos poucos meios cartográficos de representação e armazenamento da informação geográfica, além de ser o produto final de apresentação desta mesma informação. O desenvolvimento tecnológico ampliou a capacidade de representação e armazenamento da informação, incorporando conceitos de exibição de mapas em telas gráfica de monitores de vídeo, mapas voláteis, bem como caracterizando os meios magnéticos de armazenamento da informação, tais como: CD-ROM, discos rígidos, fitas magnéticas, disquetes, etc, como uma forma numérica de representação. Os mapas em papel possuem uma característica analógica, sendo uma forma de representação permanenteda informação, definindo um modelo de dados e armazenamento, como também um modelo de transferência da informação para os usuários (CLARKE, 1995). Os mapas apresentados em telas gráficas correspondem àqueles que possuem uma capacidade de visualização temporária da informação, sendo a transferência estabelecida segundo a vontade ou a necessidade de ser visualizada. A sua visualização também pode se dar através de cópias em papel, neste caso assumindo a característica de visualização dos mapas em papel. São muitas vezes denominados como mapas ou cartas eletrônicas. 16 Sob ese enfoque, os mapas podem ser classificados segundo seus atributos de visibilidade e tangibilidade, (MOELLERING, 1980; CROMLEY, 1992; KRAAK, 1996): - Mapas analógicos ou reais, de características permanentes, diretamente visíveis e tangíveis, tais como os mapas convencionais em papel, as cartas topográficas, atlas, ortofotomapas, mapas tridimensionais, blocos-diagramas. Existe uma característica da informação ser permanente, não podendo ser atualizada, a não ser por processos de construção de novo mapa. - Mapas virtuais do tipo I, diretamente visíveis, porém não tangíveis e voláteis, ou seja, não permanentes, como a representação em um monitor de vídeo e mapas cognitivos. Neste caso apenas a visualização não é permanente. A informação porém possui os mesmos problemas de atualização. - Mapas virtuais do tipo II, aqueles que não são diretamente visíveis, porém possuem características analógicas e permanentes como meio de armazenamento da informação. Como exemplos, pode-se citar os modelos anaglifos de qualquer espécie, dados de campo, hologramas armazenados, CD-ROM, laser-disc, etc. A informação contida só poderá ser modificada através de processos completos de atualização. - Mapas virtuais do tipo III, têm características não visíveis e não permanentes, podendo-se incluir nesta classe a memória, discos e fitas magnéticas, animação em vídeo, modelos digitais de elevação (inclusos aqui os modelos digitais de terreno) e mapas cognitivos de dados relacionais geográficos. Ainda pode-se incluir uma quinta categoria, descrevendo os mapas que podem ser considerados dinâmicos. Nesta categoria algumas distinções poderão ser ainda serem tratadas (MENEZES, 1996; PETERSON, 1998): - Mapas que apresentam dinamismo das informações, mais precisamente representando fluxos, movimentos ou desenvolvimentos temporais de um dado tipo de informação; - Mapas animados, que apresentam as mesmas características dos mapas anteriores, porém mostrando o dinamismo em seqüências animadas. São de características tipicamente computacionais. - Mapas dinâmicos em tempo real, que por serem associados à sensores que fornecem a informação em tempo real, têm a capacidade de associa-la e representa-la praticamente ao mesmo tempo da recepção. Segundo essa abordagem, os mapas podem ser vistos como um modelo de apresentação gráfica da realidade geográfica. 17 O Brasil está enquadrado na Carta do Mundo ao Milionésimo. A partir deste enquadramento foram estabelecidas as cartas de mapeamento sistemático. O quadro abaixo fornece as escalas, o número de folhas de cada escala Escala Nq Total de Folhas Nq de Folhas Executadas % Mapeada 1/ 1 000 000 46 46 100,00 1/ 500 000 154 68 44,00 1/ 250 000 556 529 95,1 1/ 100 000 3049 2087 68,4 1/ 50 000 11928 1641 13,7 1/ 25 000 47712 548 1,2 1.6- DIVISÃO DA CARTOGRAFIA Modernamente a Cartografia pode ser dividida em dois grandes grupos de atividades (TYNER, 1992; DENT, 1999) - de propósito geral ou de referência - de propósito especial ou temática O primeiro grupo trata da cartografia definida pela precisão das medições para confecção dos mapas. Preocupa-se com a chamada cartografia de base. Procura representar com perfeição todas as feições de interesse sobre a superfície terrestre, ressalvando apenas a escala de representação. Tem por base um levantamento preciso e normalmente utilizam como apoio, a fotogrametria, a geodésia e topografia. Seus produtos são denominados mapas gerais, de base ou de referência. O segundo grupo de atividades de mapeamento depende do grupo anteriormente citado. Mapas de ensino, pesquisa, atlas e mapas temáticos, bem como mapas de emprego especial, enquadram-se nessa categoria. Estes mapas são denominados mapas de temáticos. Os mapas temáticos podem representar também feições terrestres e lugares, mas não são definidos diretamente dos trabalhos de levantamentos básicos. São compilados de mapas já existentes (bases cartográficas), que servirão de apoio à todas as representações. Distinguem-se essencialmente dos mapas de base, por representarem fenômenos quaisquer, que sejam geograficamente distribuídos, discreta ou continuamente sobre a superfície terrestre. Estes fenômenos podem ser tanto de natureza física, como por exemplo a média anual de temperatura ou precipitação sobre uma área, ou de natureza abstrata, humana ou de outra característica qualquer, tal como a taxa de natalidade de um país, condição social, distribuição de doenças, entre outros. Estes mapas dependem de dados reunidos através de fontes diversas, tais como informações censitárias, publicações industriais, dados governamentais, pesquisa local, etc. 18 A exigência principal para que um fenômeno qualquer possa ser representado em um mapa, é a associação da distribuição espacial ou geográfica. Em outras palavras, deve ser conhecida e perfeitamente definida a sua ocorrência sobre a superfície terrestre. Este é o elo de ligação entre o fenômeno e o mapa. Assim, qualquer fenômeno que seja espacialmente distribuído, é passível de ter representada a sua ocorrência sobre a superfície terrestre através de um mapa. Um fenômeno assim caracterizado é dito como georreferenciado. Quanto à natureza a Cartografia pode ser dividida em: - Topográfica - Temática - Especial A Topográfica se propõe a representar os aspectos físicos da superfície terrestre. Enquadram-se todas as cartas topográficas. Normalmente serve de base à múltiplos usuários. ë incluído aqui todo o mapeamento sistemático, identificando-se com os mapas de propósito geral ou de referência.. A Cartografia Temática, já explanado os seus objetivos, pode ser dividida três sub-classes (GUÉNIN, 1972; BÉGUIN & PUMAIN, 1994): - Inventário - Estatística ou Analítica - Síntese A Cartografia Temática de Inventário é definida através de um mapeamento qualitativo. Possui uma característica discreta, realizando apenas a representação posicional da informação no mapa. Normalmente estabelecida pela superposição ou justaposição, exaustiva ou não, de temas, permite ao usuário saber o que existe em uma área geográfica. A Cartografia Analítica é eminentemente quantitativa, mostrando a distribuição de um ou mais elementos de um fenômeno, utilizando para isso informações oriundas de dados primários, com as modificações necessárias para a sua visualização. De uma forma geral ela classifica, ordena e hierarquiza os fenômenos a representar. A Cartografia de Síntese é a mais complexa e a mais elaborada de todas, exigindo um profundo conhecimento técnico dos assuntos a serem mapeados. Integrativa por excelência, exige o concurso de várias especialidades integradamente. Representa a integração de fenômenos, feições, fatos ou acontecimentos que se interligam através da distribuição espacial. Permite que se desenvolva um aspecto analítico, para estabelecer um estudo conclusivo-analítico sobre a integração e interligação dos fenômenos que estejam sendo estudados. 19 A Cartografia Temática de caráter especial é destinada a objetivos específicos, servindo praticamente a um único tipo de usuário. Por exemplo a definida por mapas e cartas náuticas, aeronáuticas, sinóticas, de pesca entre outras. O mapeamento temático trata muitas vezes de fenômenos que não necessitam de um posicionamentopreciso, pelo tipo de ocorrência do fenômeno, como por exemplo um mapa pedológico. Deve haver porém a preocupação com uma correta apresentação da ocorrência da sua distribuição, necessitando para isso de uma base cartográfica com precisão compatível às suas necessidades. Não se pode confundir precisão da base cartográfica com a precisão do fenômeno a representar. A preparação de uma apresentação eficaz, requer uma visão crítica dos dados a serem mapeados bem como o simbolismo ou convenções que serão utilizadas para representá-los. É necessário ser considerado para o projetista do mapeamento temático os seguintes aspectos: - conhecimento profundo dos princípios que fundamentam a apresentação da informação e o projeto da composição gráfica efetiva; - ter um forte sentido de lógica visual, e uma habilidade especial para escolher as palavras corretas que descreverão o gráfico, o mapa ou o cartograma; - conhecimento do assunto a ser mapeado, ou estar com uma equipe multidisciplinar. 3.6 INFORMAÇÃO GEOGRÁFICA x INFORMAÇÃO CARTOGRÁFICA Como já referenciado, a informação geográfica pode ser conceituada como toda aquela, de natureza física, biológica ou social, que possua um relacionamento com um sistema de referência sobre a superfície terrestre. Define-se informação cartográfica como a informação contida em um mapa. Pode ser de natureza estritamente cartográfica, como a rede de paralelos e meridianos, canevá geográfico, pontos cotados, como também, principalmente, as representações das informações geográficas, inclusive as legendas. Em outras palavras, a informação cartográfica representa a informação geográfica, após ter sido submetida a um processo de transformação, o que permitirá que venha a ser representada em um mapa, conforme pode ser observado na figura 3.7. Figura 3.7 – Esquema representativo da transformação da informação geográfica em cartográfica Informação Geográfica Informação Cartográfica Mundo Real Mapa Processo de Transformação 20 As transformações a que as informações geográficas são submetidas, possuem natureza diferenciada, porém todas são inter-relacionadas. São elas: - Transformações geométricas; - Transformações projetivas; - Transformações cognitivas. As transformações geométricas são caracterizadas por um relacionamento de escala e orientação entre sistemas de referência. As projetivas referem-se às transformações da superfície tridimensional curva da Terra, para a superfície de representação de um mapa, bidimensional plana. As transformações cognitivas, por fim referem-se às transformações do conhecimento da informação, em relação ao que será efetivamente representado no mapa, generalização cartográfica e simbolização cartográfica. 2 - O Geóide e o Problema da Representação Cartográfica 2.1 - Introdução A Geodésia é uma ciência que se ocupa do estudo da forma e tamanho da Terra no aspecto geométrico e com o estudo de certos fenômenos físicos tais como a gravidade e o campo gravitacional terrestre, para encontrar explicações sobre as irregularidades menos aparentes da própria forma da Terra. O assunto é intimamente ligado com mapeamento e Cartografia. A maior parte das evidências sobre a forma e tamanho da Terra é baseada em levantamentos geodésicos. Por outro lado é necessário se conhecer o tamanho da Terra e sua grandeza, para se poder representá-la em mapas, em uma escala desejada. Sabe-se que a Terra é um planeta de forma aproximadamente esférica e sobre o qual existem irregularidades da superfície definida pelas terras, mares, montanhas, depressões etc. Estas irregularidades topográficas não representam mais do que uma pequena aspereza da superfície, comparadas ao tamanho da Terra. Considerando-se o raio da Terra com aproximadamente 6.371 Km, a maior cota em torno de 9 Km (Monte Everest) e a maior depressão por volta dos 11 Km (Fossa das Marianas), a representação da Terra como um globo de 6 cm de raio mostra que a variação entre as duas cotas representará apenas 0,2 mm, ou seja, o limite de percepção do olho humano. A idéia da Terra esférica data da época dos geômetras gregos, em torno de 600 AC. O primeiro trabalho com embasamento científico foi a experiência clássica de Eratóstenes, 21 definindo as primeiras dimensões conhecidas para a Terra. Ainda durante o período grego, Aristóteles, através dos estudos sobre os movimentos da Terra, concluiu que deveria haver um achatamento nos pólos. Somente próximo ao fim do século XVII, ISAAC NEWTON demonstrou que a forma esférica da Terra era realmente inadequada para explicar o equilíbrio da superfície dos oceanos. Foi argumentado que sendo a Terra um planeta dotado de movimento de rotação, as forças criadas pelo seu próprio movimento tenderiam a forçar quaisquer líquidos na superfície para o Equador. Newton demonstrou através de um modelo teórico simples que o equilíbrio hidrostático seria atingido, se o eixo equatorial da Terra fosse maior que o seu eixo polar. Isto é, equivalente a um corpo que seja achatado nos pólos. 2.2 - O Geóide A forma da Terra, na realidade, é única. É definida como um Geóide, que significa a forma própria da Terra. O geóide é definido pela superfície do nível médio dos mares supostamente prolongado sob os continentes. Assim ele está ora acima, ora abaixo da superfície definida como a superfície topográfica da Terra, ou seja, a superfície definida pela massa terrestre. A superfície do Geóide (nível médio dos mares) é propriamente definido como sendo uma superfície equipotencial - igual potencial gravitacional -, onde a direção da gravidade é perpendicular a ela em todos os lugares. Devido á variações na densidade dos elementos constituintes da Terra e também por serem estes irregularmente distribuídos, o Geóide normalmente eleva-se sobre os continentes e afunda nas áreas oceânicas. Isto mostra outras perturbações e depressões com uma variação de 60 m. A significância do Geóide para o mapeamento e a Cartografia é efetiva, uma vez que todas as observações na Terra são realizadas sobre o Geóide. Como o Geóide é irregular, a direção da gravidade não é, em todos os lugares, direcionada para o centro da Terra, e por outro lado, a sua forma não permite uma redução precisa das observações, por não ser matematicamente definido. Superfície do Elipsóide Superfície do Geóide Superfície Topográfica Superfícies Terrestres 22 2.3 - O Elipsóide ou Esferóide Além das irregularidades causadas pelas variações da densidade terrestre, da distribuição dos elementos componentes da Terra, o Geóide é ainda mais deformado da aproximação de uma esfera, pela existência do movimento de rotação terrestre. Devido à rotação em torno do seu eixo, a Terra incha na área equatorial, enquanto achata- se nos pólos, efetuando o equilíbrio hidrostático da sua massa. A diferença real entre o raio equatorial e o polar é de aproximadamente 23.0 km, sendo o raio equatorial maior que o polar. Para o mapeamento preciso de grandes áreas, tais como o mapeamento geodésico, uma figura regular geométrica deve ser considerada, matematicamente definida, para que os cálculos sejam igualmente precisos. As reduções ao Geóide são inconsistentes devido às diferenças na direção da gravidade. Esta limitação pode ser contornada pela redução ou transferência dos dados para uma figura geométrica que mais se aproxime do Geóide. Esta figura é um elipsóide de revolução, gerada por uma elipse rotacionada em torno do seu eixo menor. A elipse possui dois eixos 2a (eixo maior) e 2b (eixo menor), a e b representam os semi- eixos maior e menor, respectivamente. A razão que exprime o achatamento ou a elipticidade é dada pela expressão: f �( )a b a Para a Terra esse valor é definiido em torno da razão de 1/300. Sabe-se que a diferença entre os dois semi-eixos terrestres é de aproximadamente 11,5 Km,ou seja, o eixo polar é cerca de 23 Km mais curto que o eixo equatorial. Para uma redução de escala de 1/100.000.000, o que representa a Terra com um raio equatorial de 6 cm, a diferença para o raio polar será da ordem de 0,2 mm, valor imperceptível, uma vez que é a largura do traço de uma linha. Equivale a dizer com o que foi explanado acima, que para pequenas escalas o achatamento é menor do que a largura das linhas usadas para o desenho, portanto, negligenciável. ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO a b 23 Tira-se uma importante conclusão sob o ponto de vista cartográfico, que permite estabelecer a Terra como esférica para determinados propósitos. Entretanto deve-se notar que qualquer tentativa de representar o elipsóide terrestre por meio de um elipsóide reconhecível, deve envolver um considerável exagero, uma vez que é imperceptível a diferença entre os dois semi-eixos. Isto pode conduzir por sua vez a uma má interpretação de algumas ilustrações retratando a geometria do elipsóide. Como o elipsóide de revolução aproxima-se muito da esfera, é também tratado na literatura como esferóide. Ambos os termos (elipsóide e esferóide) têm o mesmo significado. As medições da figura da Terra são desenvolvidas de cinco diferentes formas, determinando seu tamanho e sua forma: - medição de arcos astro-geodésicos na superfície terrestre; - medições da variação da gravidade na superfície; - medição de pequenas perturbações na órbita lunar; - medição do movimento do eixo de rotação da Terra em relação às estrelas; - medição do campo gravitacional terrestre a partir de satélites artificiais. Estas medições, além de definirem o Geóide pela determinação da sua superfície equipotencial, estabelece o elipsóide melhor adaptado à superfície terrestre, seja ele de âmbito global ou local. Geóide Elipsóide Desvio da Vertical Ondulação Geoidal Superfície Física 24 O relacionamento entre o Geóide e o elipsóide indica o desvio da vertical da superfície do Geóide, permitindo determinar as cartas geodésicas, estabelecendo o desnível geoidal (diferença entre o Geóide e o elipsóide em uma dada região). São elaboradas por sua vez mapas geoidais, que mostram esses desníveis entre o geóide e o elipsóide. O elipsóide por sua vez pode ser determinado para adaptar-se a uma região, país ou continente, evitando a ocorrência de desníveis geoidais muito exagerados. A relação abaixo mostra alguns dos mais de 50 elipsóides existentes no mundo: Nome Data a b f Utilização Delambre 1810 6376428 6355598 1/311,5 Bélgica Everest 1830 6377276 6356075 1/300,80 Índia,Burma Bessel 1841 6377997 6356079 1/299,15 Europa Central e Chile Airy 1849 6377563 6356257 1/299,32 Inglaterra Clarke 1866 6378208 6356584 1/294,98 USA Hayford 1924 6378388 6356912 1/297,0 Mundial Krasovsky 1940 6378245 6356863 1/298,30 Rússia Ref. 67 1967 6378160 6356715 1/298,25 Brasil e América ALTITUDE GEOIDAL - Elipsoide WGS 84 25 do Sul WGS 84 1984 6378185 6356??? 1/298,26 Mundial levantame nto de satélites 2.4 - A escolha de uma Superfície Adequada de Referência para o Mapeamento O conhecimento da forma e tamanho da Terra é necessário para descrevê-la momentaneamente, visando as necessidades de mapeamento. O aumento de complexidade do modelo matemático muitas vezes é desnecessário face à magnitude dos valores expressos por um modelo mais simples. Assim, dependendo do objetivo e a significância dessas variações, deve-se considerar a possibilidade da utilização de diferentes superfícies de referência, que descrevam adequadamente a forma e o tamanho da Terra para o propósito que se destina. A superfície terrestre é geometricamente mais complicada que o elipsóide, porém as variações do Geóide não ultrapassam algumas centenas de metros, variações essas que são praticamente negligenciáveis para a maior parte dos levantamentos e para a Cartografia. Pode-se simplificar o problema apresentado e considerar-se três diferentes formas de representar a forma e tamanho da Terra para diferentes propósitos: - Um plano tangente à superfície terrestre; - Uma esfera perfeita de raio apropriado; - Um elipsóide de revolução de dimensões e achatamento adequados. Essas três hipóteses estão listadas em ordem ascendente de refinamento, assim um elipsóide adequado representa melhor a forma da Terra do que uma esfera de raio equivalente. Estão também ordenados em ordem crescente de dificuldade matemática. As formulações necessárias para definir posições; para estabelecer as relações entre ângulos e distâncias sobre um plano, são muito mais simples do que as definições para uma superfície curva de uma esfera, que por sua vez são mais simples do que as formulações estabelecidas para um elipsóide. 26 2.4.1 - A Superfície Plana de Representação Pode parecer um retrocesso assumir a Terra com uma representação plana. Esta representação é no entanto, muito útil por assumir simplificações que facilitam o trabalho de mapeamento. Supor a Terra plana evita o problema da existência de um sistema de projeção a elaboração de um mapa ou levantamento. Um plano tangente à superfície curva, tal como a figura mostra, tangente em A, está próximo à superfície na vizinhança deste ponto. Se deseja-se mapear ou levantar feições que estejam próximos a A, pode-se assumir que a Terra é um plano, desde que os erros cometidos por esta hipótese simplificadora, sejam suficientemente pequenos para que possam influenciar no mapeamento executado. Sendo a hipótese justificada, o levantamento pode ser calculado com a utilização da geometria plana. A plotagem na planta pode ser executada pela simples redução das dimensões na superfície pelo fator de escala considerado. O problema central da argumentação é a definição da representação da “vizinhança do ponto A”, ou seja, qual o limite de representação da Terra plana, de forma que os erros advindos desta representação não tenham significância na área mapeada. Imediatamente isto implica, até intuitivamente, que a hipótese plana deva ser confinada à elaboração de mapas de pequenas áreas. De uma forma geral, utiliza-se a hipótese plana no desenvolvimento de Cartografia cadastral, de áreas urbanas, plantas e outras formas de representação, em escalas variando de 1/500 até 1/10.000. O limite de representação plana, sem outras considerações é definido por um círculo de 8 km de raio em torno do ponto de tangência do plano. Apesar de não ser necessário o seu emprego, existem tipos de projeções com utilização específica na hipótese plana. 2.4.2 - A Hipótese Esférica O fato de que em uma escala superior a 1/100.000.000 não existe praticamente diferença entre o tamanho dos eixos do elipsóide, implica que o uso principal da hipótese esférica ocorrerá Plano Tangente 27 na preparação de mapas de formato muito pequenos, mostrando grandes partes da superfície terrestre, isto é, um hemisfério, continente ou mesmo um país. Tal como aparecem nos Atlas. Neste aspecto, questiona-se qual a escala máxima aproximada que justifica a utilização da hipótese esférica. Estudos realizados, principalmente por Willian Tobler, através da comparação de erros angulares e lineares, mostraram que a maior escala possível de representação para uma área de aproximadamente 8.000.000 Km2 , estaria algo em torno de 1/500.000, porém os erros padrões indicavam que este número era muito otimista. Genericamente, pela consideração do erro gráfico de 0,2 mm representando de 7 a 8 km, estar-se-ia limitado a uma representação em torno de 1/15.000.000 ou menor. Em termos cartográficos práticos, assume-se a escala média de 1/5.000.000 como possível de representar a Terra como uma esfera. O raio de representação é normalmente definido pelo raio terrestre médio, estabelecido pela formulação: R = M N. , onde M é o raio da seção meridiana e N o raioda seção normal ao elipsóide, para o centro da latitude da região a representar. Em termos gerais, valores de 6370 a 6372 km são utilizados normalmente para definir o raio terrestre com uma razoável precisão, na assunção da Terra como uma esfera. 2.4.3 - A Hipótese Elipsóidica Obviamente o elipsóide ou o esferóide adapta-se melhor ao Geóide do que a esfera. Em razão disto, esta é a superfície de referência mais amplamente empregada em levantamentos e mapeamentos. Por outro lado possue uma superfície matematicamente desenvolvida, que permite a execução de cálculos diversos com uma precisão necessária para a cartografia de grandes áreas. Para a execução do levantamento de um país, inicialmente é determinada uma rede de pontos sobre a sua superfície, que servirão de apoio à determinações posteriores. Essa rede de pontos são determinados de 1a ordem, ou de precisão, e estende-se por toda a região a se levantar. Possuem alta precisão (da ordem do milímetro), podendo ser desenvolvida pelos processos clássicos planimétricos (Triangulações, Trilateração) ou modernamente com o auxílio de satélites de posicionamento geodésicos (NNSS e GPS). Para que os cálculos possam ser desenvolvidos, determina-se o elipsóide que melhor se adapte à região (maior tangência e menores desníveis geodésicos). 28 Esta hipótese da figura elipsóidica gera menores erros na definição de uma superfície de referência para a Terra, sendo portanto a superfície ideal para o cálculo de precisão (cálculo geodésico). Esta superfície portanto é apropriada à todas as escalas de mapeamento topográfico e de navegação, assim como para todas as cartas temáticas e especiais que se apoiem nestes levantamentos. Estima-se como o limite, a escala aproximada de 1/4.000.000 a 1/5.000.000. A seleção de um elipsóide particular para uma região, é devido ao fato de parâmetros de um adaptar-se melhor aos dados observados do que qualquer outro. No Brasil, a rede primária inicialmente estava desenvolvida sobre o elipsóide Internacional de Hayford, de 1924, sendo a origem de coordenadas estabelecida no ponto Datum de Córrego Alegre. A partir de nossas observações e cálculos, o sistema geodésico brasileiro foi mudado para o SAD - 69 (South American Datum - 69) com elipsóide de referência de 67 e o ponto Datum estabelecido no ponto CHUÁ Astro Datum (Minas Gerais). 3. Posicionamento de Pontos na Superfície Terrestre 3.1 – Introdução Para se determinar a localização de uma ocorrência qualquer sobre a superfície da Terra, deve-se sempre conhecer alguns elementos básicos, que podem ser definidos por duas perguntas simples: onde ocorre e como chegar-se até ele? Em termos urbanos, um sistema de localização composto do nome do Estado, nome da cidade, nome do bairro, nome da rua, número do prédio e número do apartamento, é o suficiente para localizar um morador de uma cidade. Supondo-se agora que o morador em tela está localizado em um espaço plano, surgirão obstáculos que impedem a materialização matemática de um sistema assim descrito, ou seja como representa-lo em forma matemática. A instituição de um sistema de coordenadas vem a tornar um método bastante conveniente de registro de uma posição no espaço, qualquer que seja a dimensão que se esteja referenciando. Por coordenada entende-se qualquer dos membros de um conjunto que determina univocamente a posição de um ponto no espaço. O conjunto é formado por tantos membros quantas as dimensões do espaço considerado, e o número de membros constitui característica 29 intrínseca do espaço. A coordenada pode ser uma distância, um ângulo, uma velocidade, um momento, etc. Um espaço 0-dimensional, não possui dimensão mensurável. Pode ser visualizado e materializado atrvés de um ponto. Para um espaço unidimensional, onde só se percebe uma dimensão, por exemplo, um comprimento ou uma distância entre dois pontos, necessita-se apenas de um ponto origem, e uma escala de unidade que permita, através dessa origem e a quantidade de unidades medida na escala, estabelecer o posicionamento de um ponto a outro. Neste caso, a coordenada é definida pela distância da origem até o ponto, em unidades especificadas. Figura 3.1 - Coordenada unidimensional Existindo um plano, define-se um sistema bidimensional, onde a sua definição é dada por duas dimensões, estabelecendo uma origem única para cada dimensão. Utiliza-se um sistema de coordenadas, que permita portanto a locação conjunta dessas duas dimensões. Em termos de um mapa, isto será possível pela definição de uma grade de referência. Duas coordenadas serão o suficiente para posicionar um ponto no espaço. Duas retas que se interceptam definem um plano, também definido por uma retae um ponto ou três pontos. A definição da posição de um ponto em 3 dimensões ou tridimensional,é um pouco mais difícil, principalmente se essa localização tiver que ser realizada sobre a superfície de uma esfera ou de um esferóide. Sistemas apropriados de representação são desenvolvidos, para que se possa representar com precisão a localização exata de um ponto. Porém necessita-se em qualquer dos sistemas, três coordenadas, as quais posicionarão o ponto no espaço. Um espaço é definido pela intercessão de três planos (três retas não coplanares que se inteceptam em um ponto. A utilização de Geometria plana e no espaço é fundamental para o desenvolvimento e possibilidade de se estabelecer um sistema unívoco de posicionamento, no plano e no espaço. Qualquer posição, seja em qual dimensão for, terá apenas uma única representação no sistema e vice-versa. A cada representação de um ponto corresponderá a uma e apenas uma posição no espaço. De qualquer forma, dois pontos não podem ocupar o mesmo lugar no espaço. Origem PO 30 3.2 Sistema de Coordenadas Planas Existe uma infinidade de maneiras de se referenciar pontos sobre um plano, entre sí. Algumas são mais apropriadas ou mais simples, adaptando-se melhor aos propósitos de localização a que se prestam. 3.2.1 Sistema de Coordenadas Retangulares A definição de um sistema de um par fixo de eixos permitindo a medição linear em duas direções. é considerado como sendo um sistema cartesiano. Um sistema de coordenadas genérico compreende conjuntos ou famílias de linhas que se interceptam umas às outras, formando uma rede ou malha quando desenhada. As condições necessárias que devem ser preenchidas pelo sistema são: 1 - as duas famílias sejam distintas entre si; 2 - que qualquer linha de uma família deva interceptar as linhas da outra família em apenas um ponto; 3 - duas linhas de uma mesma família não podem se interceptar. Desta forma, um sistema cartesiano pode abranger famílias de retas ou curvas que se interceptem sob quaisquer ângulos, conforme pode ser visualizado na figura abaixo: Origem Eixos Coordenados Malha ou grade 31 Entretanto existem vantagens significativas para o caso especial de se tornar ambas as famílias de linhas como retas, ou que se interceptem segundo direções ortogonais (perpendiculares entre si). A esse sistema dá-se o nome de sistema plano retangular de coordenadas. Na figura, a origem do sistema retangular é o ponto O, através do qual foram traçados os eixos OX e OY, definindo a direção das duas famílias de linhas. Sendo os eixos linhas retas e perpendicular um ao outro, segue-se que todas as linhas de uma mesma família serão paralelas entre si e todos os pontos de interseção dentro da rede são obtidos através de famílias de linhas retas perpendiculares. A posição de um ponto P é definido pelas duas medidas lineares PN = x e PM = y, tomado da origem O nos dois eixos, traçados de P como perpendiculares aos eixos X e Y. PM é paralelo a OY e PN é paralelo a OX. A convenção matemática estabelece o eixo horizontal OX como eixo X, definindo a coordenada denominada abcissae o eixo vertical OY como eixo Y, definindo as coordenada denominada ordenada. Famílias de Curvas e Retas Sistema de Eixos Y O X 0 X Y P x y N M 32 Em Geodésia, Cartografia ou Topografia, esta convenção pode ser modificada, podendo para o leigo trazer alguma confusão. A notação para designação de um ponto P, através das observações x = PN e y = PM, é dado pelo par de coordenadas P (x,y). As unidades que os eixos para a finalidade de medições são bastante arbitrárias: milímetros, centímetros, metros, quilômetros, polegadas, pés, ou seja, quaisquer sistema de unidades métricas podem servir para medições desde que sejam coerentes com o fim a que se destina. A convenção de sinal adotada no uso da coordenadas retangulares é um pouco diferente da convenção trigonométrica. As quatro regiões resultantes da divisão do espaço pelos eixos X e Y são denominados quadrantes e numerados no sentido horário, de 1 a 4, a partir do quadrante superior direito, no sentido horário, enquanto os quadrantes trigonométricos são numerados em sentido antihorário. Assim, o sinal convencional das coordenadas são: 10 quadrante + x e + y 20 quadrante + x e - y 30 quadrante - x e - y 40 quadrante - x e + y A posição absoluta de um ponto, será sempre estabelecida através das suas coordenadas, em relação à origem do sistema de coordenadas. A diferença de coordenadas entre dois pontos estabelece uma quantidade linear, equivalente a projeção da medida linear entre estes dois pontos em cada eixo coordenado. Tendo-se dois pontos genéricos A e B, definidos por suas coordenadas, 1 (x1 , y1) e 2 (x2 , y2), pode-se determinar a diferença de coordenadas entre 1 e 2, genericamente, pelas grandezas 'x12 = ( x2 - x1 ) e 'y12 = ( y2 - y1 ) e 'x21 = ( x1 - x2 ) e 'y21 = ( y1 - y2 ), cartesiano (topográfico) 1 2 4 3 Trigonométrico 12 43 1 Q o 2 Q o 4 Q o 3 Q o x + y + x + y - x - y + x - y - 0 Y X P O px ry sx rx qx sy qy py QR S 33 verificando-se que o valor de cada diferença é idêntico, porém de sinal contrário, ou seja têm o mesmo valor absoluto e sinal contrário. 'x12 = -'x21 Através destas igualdades, verifica-se que as coordenadas de um ponto podem ser perfeitamente determinadas se forem conhecidas as cordenadas de um deles e adiferença de coordenadas entre eles. x2 = x1 + 'x12 y2 = y1 + 'y12 x1 = x2 - 'x21 y1 = y2 - 'y21 As relações trigonométricas que envolvem coordenadas e diferenças de coordenadas são as seguintes: O ângulo D, definido pelas diferenças de coordenadas, é calculado pelas funções trigonométricas tg y x D ' ' ou D arctg y x ' ' e ainda D � � arctg y y x x ( ) ( ) 2 1 2 1 . O ângulo E por sua vez é determinado pelas relações E arctg x y ' ' ou E � � arctg x x y y ( ) ( ) 2 1 2 1 e tg x y E ' ' A determinação do comprimento da linha entre 1 e 2, é desenvolvida através da formulação da distância entre dois pontos da geometria plana: 0 1 (x ,y ) 2 (x ,y ) 1 1 22 D E 'y 'x X Y 34 � � � �> @d x x y y12 2 1 2 2 1 2 1 212 � � � / ou d x y12 2 2 �' ' Por sua vez, pode-se em função do comprimento d, medido entre 1 e 2 e do ângulo formado por esta linha e o eixo X, que estabelece o ângulo D, pode-se também determinar as diferenças de coordenadas: 'x12 = (x2 - x1) = d cos D 'y12 = (y2 - y1) = d sen D Estabelecendo-se o cálculo em função do ângulo E, definido pelo eixo Y e a direção da linha considerada, as relações são as seguintes: � �'x x x d d12 2 1 12 12 090 � �sen sen( )E D � �'y y y d d12 2 1 12 12 090 � �cos cos( )E D Para a determinação de E tg x y x x y y E � � ' ' ( ) ( ) 2 1 2 1 e E � � arctg x x y y ( ) ( ) 2 1 2 1 A posição relativa é estabelecida sempre entre dois pontos, ou seja, considerando-se um ponto 1 e um ponto 2, genéricos quaisquer, tem-se a posição relativa de 1 em relação a dois e vice-versa. Este posicionamento relativo é definido através das diferenças de coordenadas de um ponto em relação ao outro. Define-se um dos pontos como uma suposta origem de um novo sistema de coordenadas, no qual, em lugar das coordenadas absolutas de cada ponto, são consideradas as diferenças de coordenadas entre estes mesmos pontos. O cálculo das diferenças de coordenadas através dos ângulos D e E complica-se com a posição relativa dos pontos em outra posição diferente de valores das diferenças de coordenadas exclusivamente positivas (1o quadrante). Tem-se com isto que verificar continuamente a posição dos pontos, para se determinar qual o ângulo que está sendo computado para o cálculo, sinal da Y X O P 1 23 4 ' xp3 ' xp1 ' xp4 ' xp2 ' yp4 ' yp1 ' yp2 ' yp3 E p1 Dp4 Dp3 D p2 Dp1 E p3 E p4 E p2 35 diferença de coordenadas, sinal do seno, coseno ou tangente, uma vez que os ângulos D e E são sempre menores que 90q, portanto fornecendo valores referidos ao 1o Quadrante. Facilita-se o problema, através da adoção de um ângulo, que tem como origem o ponto que se deseja definir a diferença de coordenadas, tomando-se como origem angular uma paralela ao eixo Y passando por este ponto e o valor angular contado no sentido horário até a direção do segundo ponto. Pode ser facilmente verificado que a diferença entre os dois ângulos T12 e T21 será sempre de 180q , ou seja: T12 = T21 + 180o Por outro lado, o cálculo das diferenças de coordenadas pode ser facilmente obtido a partir desta direção base, fazendo-se 'x12 = d12. senT12 e 'y12 = d12. cosT12 3.2.2 Coordenadas Planas Polares As coordenadas polares definem uma posição por meio de uma medição linear e uma medição angular. O par de eixos ortogonais é substituído por uma linha simples, OQ, passando pela origem O, agora denominado origem ou polo do sistema. A posição de qualquer ponto P é definida por meio de uma medição linear da origem ou polo ao ponto considerado e o X Y 1 2 3 4 421 443 412434 O Q P O - polo OQ - Eixo Polar OP=r - Raio Vetor T - Ângulo Vetorial T r 36 ângulo formado entre o eixo polar OQ e a direção OP, respectivamente por meio da distância OP = r e o ângulo QÔP = T, definindo um par de coordenadas, caracteristica de um sistema plano de posicionamento. A linha OP é denominada raio vetor e o ângulo T ângulo vetorial, ângulo que o raio vetor faz com o eixo polar. Assim a posição de P é definida pelo par de coordenadas P (r, T). O ângulo vetorial pode ser expresso em unidades sexagesimal (graus), centesimais (grados) ou ainda, em radianos. 360q = 400g = 2S rd A direção de medição do ângulo vetorial é convencionalmente tomado no sentido antihorário pela matemática, a partir do eixo polar, pode porém esta convenção ser modificada, sendo possível a sua adoção em sentido horário. É convencional. As coordenadas polares relacionam-se com as coordenadas planas retangulares, através de relações trigonométricas simples. Toma-se o ponto P, de coordenadas planas retangulares (x, y). Assumindo-se agora o sistema polar onde a origem esteja em O, o eixo polar seja o eixo cartesiano OY, r = OP e T = YOP e as coordenadas x = PN e y = PM, pela triângulo PON tiram-se as relações: x = r sen T y = r cos T Estabelece-se assim o relacionamento de transformação de coordenadas polares para planas. O relacionamento inverso pode ser obtido de diversas formas: tg T = x / y r = y sec T r = x cosec T r2 = x2 + y2 sen T = x / r cos T = y / r Este relacionamento é bastante simples, uma vez que as origens dos dois sistema estão coincidentes. Havendo um deslocamento entre origens, deve ser considerada a diferença de coordenadas entre os dois sistemas. 0 X Y P y x T r N M 37 Neste caso, todos os relacionamentoanteriores são válidos, levano-se em consideração a diferença de coordenadas entre as duas origens O e O’ (x0 , y0). As coordenadas de P em relação à origem O serão: xp = 'x + x0 yp = 'y + y0 3.3 - Transformação de Coordenadas Cartesianas As relações entre coordenadas cartesianas e polares fornecem o embasamento para as transformações entre sistemas cartesianos. São considerados dois sistemas de eixos coordenados planos, entre os quais deseja-se definir o relacionamento de transformação de um sistema de coordenadas (x, y), para um sistema de coordenadas (x’, y’). Existem três transformações básicas, assim definidas: - translação de eixos ou mudança de origem; - alteração de escala de um sistema para outro e - rotação de eixos segundo uma origem comum. 3.3.1 - Translação de eixos Esta transformação introduz uma falsa origem na malha. É necessário que os eixos dos dois sistemas sejam paralelos entre sí. Considerando-se o ponto A ( x , y ) no sistema inicial de origem O, para se determinar as coordenadas no sistema O’, onde ocorre um deslocamento entre as duas origem de x’’ e y’’ respectivamente, as novas coordenadas para o ponto serão: x’ = x r x’’ e y’ = y r y’’ O sinal de x’’ e y’’ dependem da direção do deslocamemnto aplicado aos sistemas 3.3.2 - Mudança de Escala de um Sistema a Outro O X Y y N M P rT x 'x 'y 0 0 O' O' O x'' y'' X' X Y' Y A y y' xx' 38 Considerando-se dois ponto A e B distinto, comuns aos dois sistemas de coordenadas, considere-se os segmentos que os une: AB no primeiro sistema e ab no segundo. Se o comprimentoAB é diferente de ab, um fator de escala deve ser aplicado para converter as coordenadas do primeiro para o segundo sistema, de tal forma que: m ab AB , seguindo-se que x’ = m . x y’ = m . y 3.3.3 - Rotação dos Eixos em Relação à Origem Assumindo-se que os dois sistemas tem uma origem comum O, rotaciona-se os eixos do sistema X’Y’, em sentido horário do ângulo D. São conhecidas as coordenadas do ponto P ( x , y ) e o ângulo de rotação D. Do sistema XY tira-se: x = r senT e y = r cosT T = AÔY O ângulo AÔY’ = T - D, logo x’ = rsen (T - D ) e y’ = rcos (T - D ). Desenvolvendo pelo seno e coseno da diferença de dois ângulos sen (T - D ) = senT cosD - cosT senD cos (T - D ) = cosT cosD + senT senD , logo x’= rsenT cosD - rcosT senD y’= rcosT cosD - rsenT senD . Substituindo x’= xcosD - ysenD y’= ycosD + xsenD O P X' X YY' x x' yy' r 4 D 39 Se a rotação for efetuada em sentido antihorário, determina-se de forma semelhante as relações de transformação: x’= xcosD + ysenD y’= ycosD - xsenD 3.3.4 - Transformação Conjunta Considerando-se agora uma transformação que envolva as três condições precedentes, rotação, escala e translação, assumindo-se uma rotação antihorária, as relações de transformação são as seguintes: x’= m.x.cos D + m. y. sen D + x” y’= m.y.cos D - m. x. sen D + y” Fazendo m.sen D = a e m.cos D = b, as fórmulas reduzem-se a x’ = x” r ax + by y’ = y” r bx - ay 3.4 - Transformação Isogonal e Afim De uma forma genérica é possível fazer-se a transformação de coordenadas entre diferentes sistemas, conhecendo-se as coordenadas de controle, ou seja algumas coordenadas que são conhecidas nos dois sistemas, determinando-se os parâmetros de rotação, translação e escala, que permitirão transformar todas as demais coordenadas. A transformação definida acima, pode ser reescrita para a forma x’ = ax + by + c y’ = bx + ay + d Esta transformação é denominada de transformação isogonal, possuindo quatro parâmetros envolvendo escala, rotação e translação. Esta transformação pressupõeos eixos perpendiculares entre sí. Um mínimo de dois pontos de coordenadas conhecidas resolve um sistema de equações possível e determinado da forma x’1 = ax1 + by1 + c y’1 = bx1 + ay1 + d x’2 = ax2 + by2 + c 40 y’2 = ax2 + by2 + d Em uma transformação afim, o processo é semelhante, supondo-se agora que não existe ortogonalidade entre os eixos coordenados, aumentando o número de paâmetros de 4 para 6. A estrutura de transformação será definida pelas equações: x’ = ax + by + c y’ = dx + ey + f São necessários agora as coordenadas de três pontos para a determinação do sistema. Em ambos os casos, normalmente utilizam-se mais coordenadas, criando-se um sistema indeterminado, que só poderá ser resolvido por intermédio de um método de ajustamento estatístico, tal como o método dos mínimos quadrados. 3.5 - Sistemas de Referência Tridimensionais Os sistemas tridimensionais são sistemas espaciais, portanto necessitam de três coordenadas para o posicionamento de um ponto no espaço. Alguns sistemas são extensões dos sistemas planos e outros são trabalhados de forma a definerem um sistema de representação mais específico para determinada aplicação. 3.5.1 - Sistema Cartesiano e PolarTridimensional A extensão de um sistema cartesiano plano retangular para um espaço tridimensional é simples e de fácil compreensão. Um espaço tridimensional possui evidentemente 3 dimensões físicas: x, y, caracterizando um plano e a 3a coordenada z, constituída por uma família de planos. A definição agora, não mais refere-se a família de linhas ortogonais dois a dois. O sistema de eixos coordenados, será caracterizado pela interseção destes planos: OXZ, OYZ e OYX. 41 Qualquer ponto no espaço será definido pela interseção dos planos paralelos nos planos origem considerados. Assim um ponto será determinado por um terno coordenado P (x, y, z). Considerações semelhantes podem ser deduzidas para um sistema polar no espaço, que através de uma distância ao ponto pela origem (r) e dois ângulos vetoriais, tem a sua posição determinada: P ( r, D, E ). 3.5.2 Sistemas de Coordenadas na Esfera e no Elipsóide Esfera e elipsóide (ou esferóide) são corpos sólidos e em conseqüência, um sistema de posicionamento de pontos sobre ou sob a sua superfície, é necessariamente tridimensional, sendo portanto exigidas três coordenadas para a sua materialização. A idéia de latitude, longitude, paralelos ou meridianos, muitas vezes já é conhecida, porém sem os fundamentos que levaram à sua caracterização. É desejável portanto alguns comentários um pouco mais profundos sobre a geometria da Terra, quando é assumida como uma esfera perfeita, para introduzir uma notação padronizada para esta hipótese e mostrar algumas diferenças básicas para o esferóide. Inicialmente deve ser entendido o que é precisamente representado por planos, arcos e ângulos em um e em outro. Sabe-se que: - uma esfera é um corpo sólido cuja superfície é eqüidistante do centro; - toda esfera tem raio constante; - a normal a um plano tangente à superfície no ponto de tangência é um raio da esfera; - a distância entre dois pontos na superfície pode ser medida como distância angular ou distância arco. Estas são as propriedades principais da esfera e que serão essenciais para o prosseguimento das definições seguintes. - Se um plano intercepta uma esfera, a seção resultante da superfície curva que é traçado no plano é um círculo. Z X Y P O z y x E D r r1 42 - Um círculo máximo ou grande círculo é o círculo de uma seção que passa pelo centro da esfera. Em outras palavras, o círculo PP’CD e ABCD são círculos máximos. Todos com centros em O, centro da esfera. Um e somente um círculo máximo pode ser traçado entre dois pontos na superfície da esfera, que não sejam diametralmente opostos. O menor arco de um círculo máximo passante por dois pontos, é a menor distância entre estes pontos na superfície esférica. - Se o plano de interseção com a esfera não passa pelo centro da esfera, determina também uma seção circular, porém de raio menor que o raio da esfera. Esses círculos
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