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Livro Sistemas estruturais Cascas de concreto Armado

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UNIVERSIDADE DE SAG PAULO 
FACULDADE DE ARQUIl~TURA ~ URB~'ISMO 
'. 
SISTEMAS ESTRUTu1l;IS-II - PEF-604 
================================= 
CAS CAS DE CONCRETO ARMAJO - TEORIA DE MEMBRANA 
Sergio Fracaro1 1: 
1976 
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- ----~ - - --- - -
SUMAlUO 
1) Esfor~os - Tensoes - C1assifica~ao 
1.2) C1assifica~ao do~ Esfor~os ...•..•.••••••••••••...•.••••........ 
1.3) Equi1lbrio dasTensoes em .Torno de Om Ponto •••••............... 
. . '- . . ... 
" 1.3.1) Conaldera~oes Geral.a ~ .1J ••• ~ ••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 
1.3.2) Estado de Ter.sao ............. ~ ................................ . 
1.3.3) Conven~ao de Sina,is ........................................... . 
1.3.4) Determina~ao das Tensoes •...•• : •••••• .•.•••.•••••••••••••••..••.• 
1.3.5) Tensoes Principais ••.•••.•.•• ,: ••••••••••••••••••••.••••.•••.••. 
1.3.6) Conc1 usoes lc?ortantes ........••...••••....•.••......•......... 
' 1.3. 7) Interpreta~ao Grafica da Equa~ao 4 ..••••.•••..•.......... ~ ..... . 
1.3.8') Detennina<;ao da Tensao Maxima de Cisalhamento ..............•. ~. 
1.3.9) Interpreta<;ao Grafica da Expressao 8 •.......................... 
1.3.10) Linhas Isos tati cas ..........•......••••.....................•. 
1.4) Exe.mp1os N~ericos ................... : ...... : ................ .. 
1.5) Clrcu10 de ~ohr ................... : '.· •.••.••..•..........•.•....• 
1.5.1) Conven<;ao de Sinais Para 0 Circu10 de Mohr •.•...............•. 
1.5.2) Determina~ao das Tensoes a e ~ Num Plano Qua1quer ..••....•.••.• 
1.5.3) Interpreta<;ao dos Resultados do Circu10 de Mohr .....••...•••••. 
1.6) Exemplo Numerico 
2) Introdu<;ao a Teoria das Ca~cas 
2.1) Geometria cas Superficies das Cas cas ......................... .. 
2.2) C1assifica<;ao das Superficies 
2.3) Influencia cia CU:J;Vatura na Capacidade Resis tente da Casca ...... . 
2.4) Gera<;ao de Superficies .......................................... . 
2.5) Principais Tipo~ de Cascas Segundo sua Curvatura •.•••.•..•••••. 
3) A<;ao de Membrana - Tensoes de Membrana - Estru~uras Infladas -
pag. 
01 
01 
02 
02 
03 
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03 
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04 
05 
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06 
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14 
14 
15 
17 
21 
21 
25 
26 
27 
30 
Membrana de Revo1u<;ao com Dup1a Curvatura ... ,. ...•.......•... 35 
3.1) A<;.ao de Membrana ............•..•.•••••...•.........••..•..... 35 
3.2) Tensoes de Membrana ........... ~.. .•..•...•.....•....... ... ... 35 
3.3) Membranas de Revo1u<;ao - Tensoes de Membrana .. ....••.......... 39 
3.4) Exemp10 Numerico .......•......••••••.••••.•••..•••.•...•....•. 40 
3.5) Membrana Esferica Sujeita a A<;ao do Peso Proprio .•.....••.•••• 40 
3.6) Membrana Esferica Sujeita a A~ao de uma Carga Uniform~ente Di~ 
tribulda sobre um Plano Horizontal •••....••..••...•..••••••• .••• 41 
3.7) Membrana Conica Sujeita a A<;ao do Peso Proprio ...•..•..••••... 43 
3.8) Membranas Estabi1izadas 43 
.... 
I 
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• 
II SUMARIO 
- 4) Casca Delga~ a de Revo; u~io com Dupla Curvatura ........ . .. .. . . . 
4.1) Genera1idade s ..... .. .... .. ................................... . 
4.2) Considera~oes sobre as Cascas Delgadas Simetricamen'te Carrega -
das ••••.••.•.••••••..•. : ....•••..•..•......................... 
4.3) Tensoes de ~embrana na Casca de Revolu~ao com Simetria Axial •• 
4.4) Exemp10s Nu::ericos ....•......... . .. ................. . ... . ....... 
5) Cascas Fonoadas por Sup"erficies Antic1asticas - Paraboloides Hi 
perbo1icos .. ... . .. .. .. . . .. ....... .. ................... ... .... . 
5.2) Defini~ao ~.i Super f:ci e em ?araboioide Hiperbo lico .... .... ... . 
5.3) Gera~io da Super-fi c:'e em ?arab01oice Hiperbolico ...........•.. 
5.4) Conscru~io ~ratica : v ''Hyper'' . ....... .. . ...•.. . ..... .. ..... .. . 
5.5) Tip0 10gia ~e Apoios dos Pe:aboloices Hiperbolicos . ... . . .. .... . 
5.6) Fixa~ao da ?os i~ao co Par abol oid e ~o Espa~o ....... ~ ... ~ ....•.. 
5.7) Equa~oes Di:e rencia :'s de Equil ibr io - Criterios de Sinais Usa 
dos no Es t u~o Teor : co ........................................ . 
5.8) Solicita~io nas Vigas de Borda '" ..••••.••••......•.•. ... ..•..... 
5.9) Esfor;os Normais a Borda .....•.•...•.•..••••.••..•........••••••. 
5 .10) Equa~oes de Equi 1 ib:- i o .....••••..•.•.••.•.••.••..••....••......•• 
5.11) Estudo do Paraboloi~e Hipe rb olic~ Sujeito a uma Carga Uniformemen-
te Distribuida - Ap l ica~ao das Equa~oes de Equilibrio ....•.•••••• 
. 
5.12) Exemplo Numerico ••...••..••.••••..•••••.••••.••.•••......•••..•.• 
6) Casca de Concreto A:-mado em Forma de Superficie Conoidal .•••.• " ••• 
6.1) Gera~ao da Superficie Conoidal .•...•.•..•••••••.•••••••.••••••••• 
6.2) Caso Parti ct:l ar .....................•.••••.•.•.••..••.....• • ••.•• 
6.3) Equa~ao Ana1itica da Superficie Conoidal 
6.4) Determina~ao dos Es for~os de Memb r ana na Casca de Forma Conoidal. 
6.5) Exemp10 NUllierico .....•................••...•.•.•........••....•.• 
." 
pag. 
..7 
47 
48 
51 
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61 
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62 
65 
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72 
73 
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78 
81 
86 
91 
91 
92 
93 
94 
95 
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Par te 1 
ESTADO PLA~O DE TENSOES 
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J.. 
" II~ 
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'1 
1) ESFORyOS - T~~s6ES - CLASSIFlCAyAO 
1.1. Generalidades 
Todo elemento que faz parte de uma ~strutura. se acha sob a a~&O de 
"esforsos externos",co~o por exemplo, os oriundos de seu peso proprio, ou da 
aplica~ao de cargas] (ativas) e as rea~oes de apoio (reativas)~e se manifes 
tam sob a formade for~as concentradas, for~as distribuidas ou momentos. Estes 
es~or~os propagam-se ao 10ngo do e1emento estrutura1, de modo que, em qual 
qu~r se~ao que se consicere, atuall for~as e momentos, denominados "esforc;os 
solicitantes" e que correspondem aos que se deveriam aplicar nessa se~ao, se 
o e1emento estrutural ai fosse cortado, afim de nao se destruir 0 equilibrio • 
Quaisquer que sejam os esfor~os solicitantes que atu~ em uma se~ao do elemen 
to estrutural considerado, podem ser reduzidos a um oomento e a uma for~a ' ~ 
plicada no Centro de G~avidade da se~ao (fig. 1) 
f ~O-~7 H, . ' ;' " :IV H 
(fig. 1) 
o momento (F.e) pode ser decomposto em dois outros, ~t eM, situados respecti 
vamente no plano da seTao e no que Ihe e normal e que se denominam "momento 
de torsao M 11 e "momento fletor M." 
t 
A for~a F, tambem se decompoe em duas outras, N e Q, uma "normal a sec;ao" e 
outra contida em seu p:ano, e que se chamam "fonia normal" e "forsa cortante", 
respectivame n::e. A fo:-:;:a normal N, pode ser de "tra$ao" ou de "compressao" 
conformese dirija, da sec;:ao para fora ou vice-versa . 
Aos esfor~os so licita :J. :es aci~ definidos, 0 material do elemento estrutural, 
opoe, para ec; wili'bra- los, os "esforsos resistentes " , que se manisfestam sob a 
forma de "tensoe s". Estas podem sempre decompor-se em tensees situadas no pl~ 
no da se~ao, e se denbminam de "censees de c isalh=ento" e em tensoes 
mais" a esse plano e podem ser de "tra<xao" ou de "compressao': 
1.2. Classificayao dos Esforyos 
A classificac;a'o dos esfor~os que acaba de ser feita, pode ser 
mida no seguinte esquema. 
"nor 
resu 
II 
III 
.,. •• 'Co",·~ • ~ 
...... 
Esforljos 
Externos [AtivoS 
Reativos 
Solicitantes 
Internos 
. "~ 
Resistentes 
r.;) 
[ 
Tra~ao 
Compressao For~as normais 
For~as Cortantes 
Momentos Fletores 
Momeotos de Tor~ao 
.(+ ) 
(- ) 
- .. -:-. ' lCompressao (-) [ I~nsoe~ N.o~is rIra~ao _ (+) Te?so~s de Cisalhamento ou Tangenciais 
-. 
' ObservaCjao: Como se ellui1i-:'ra~ · ericr.~ si erllcada ponto dos elementos estrutu-
'. rais e como se distrib·tiem peles seCjoes transversais para equili... 
brar os ' esfor~os solici~ances ~ 0 que se estuda nos itens seguintes. 
1.3. Eouilibrio das Tensoes en Torno de urn Ponto 
1.3.1. Considerasoes Gerais - Se de um ~orpo qualquer, submetido a 
aCjao de esforCjos externos, se retirar 
um elemento de dimensoes infinitamente pequenas, e sempre possivel-restabel~ 
cer 0 estado de tensao em que ele se achava, aplicando em suas faces esfo-r 
Cjos solicitantes iguais aos que nele atuavam quando no interior do corpo. Es 
ses esfor~os sao equilibrados pelos que 0 elemento opee sob a forma de 
"tensoes", que sao grandezas de dimensoes iquais as de uma pressao, isto e , 
as de uma forCja por unidade de area. 
Essas tensoes variam com a direCjao do plano que limita 0 elemento, mas ficam 
perfeitamen te definidas quando se conhecem as que atuam em tres pIanos pe~ 
pendiculares, ou sejam, as que atuam nas faces de urn elemento paralelepipe-
dico (fig. 2-a). No caso mais geral, em que 0 paralelepipedo e solicitado em 
todas as suas faces,.tem-se 0 "estado triplo de tensao" que MO sera estuda-
do neste curso. 
oj 
(fig. 2) 
Se 0 corp'o tiver espessura desprezivel, de modo que possa ser confundido com 
urn plano e se as forCjas que nele atuam estiverem contidas nesse plano, 0 p~ 
ralelepipedo elementar sera solicitado apenas em quaero de suas faces, opo~ 
----.=--==--
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tas duas a duas (fig. 2-b); diz-se que ha, entao, "estado duplo de tensao", 
cujas principais propdedades sao' estudadas a seguir • 
1.3.2. Estado de Tensao - Dizemos que urn plano, retirado de urn corp~ 
encontu-:-se eIQ um "estado duplo de tensaO'~ 
quando 0 mesmo estiver s~licitado, no caso geral', pelas~ tensoes normais r; ,. e 
x 
juntamente ' cis~';'a- t'ens'a'o" cie cisalhament-o ~ .- como se indica na figura 
._" , .', , ~ 
";:""-~ " 
~', 
. • . - 0' . 
(fig. 3) 
1.3.3. Convensao de Sinais As tensaes normais de tra~ao sao consi 
deradas positivas (+); as de compressao 
negativas (-); as tensoes tangeociais ou de c'isalhamento ~xy' 
deradas positivas, quando tem os sentidos indicados na figura 3. 
-sao consi 
Teosoes Agindo em urn Plano Qualquer - De acordo com a fig. 3, 
as tensoes (j e z" sao 
aquelas que atuam no plano definido pelo angulo 6. isto e, no plano 
forma urn angulo 6. com a dire~ao de V
x
' -
que 
1.3.4. Determinasao das tensoes - As tenso es desconheci-
das r; e 6., sao fu~ 
~oes das tensoes conhecidas r;, (, l e do angulo 6 
det~rmina~ao de V e 'z, conside;amo/ a eq~~ao da estatica 
a) Pro j esao de todos os es forsos 'segundo a di resao de r:; 
(fig. 4). Para a 
[F=O. 
o - V. (ds.t)- VCdy.t)sen6-V (dx.t)cos6-C (t.dy)cose-2 (dxt )sene 
x y xy xy 
Da figura 4, tem-se; ' dXKds.cose ; dye ds.sene. 
Substituindo-se e simplificando-se vira; 
Da trigonometria.podemos escrever as seguintes expessoes; 
1 ;cos 2 e- 'I(1+cos2e) ; 2.sene:cose-sen2e. 
Substituindo-se na expressao anterior e simp1ificando-se viral 
r- .!.2( U + (J)- -2l ( r - V) cos2e +Z sen2e 
x y x y xy (1) 
b) Projeejao de todos os esforej0s segundo 
o - C:(tds)- r (tdy)cose + ~ (tdx)sene 
x y 
---",--=-' ,-=--~-----=-----~-
a direCjao de Z 
'X 
+ ~ {tdy)sene - Z (tdx)cose 
xy xy 
, -);. 
\? 
~,-
- . :-
Fazencc-se as substitui~oes como no caso a, chega-se a se~uinte eI?ressao; 
~ " !.( ': - V , sen28 + ~ cos28 2 x y ~ (2) 
1,3.5. ":ensoes Prin c i?2is " - As "tensoes principais", 5ao aquelas 
. que ·correspondem aos valores extremos 
de (), pc. :-a det.e=inadcs va10res de e, isto e, ma~imo ~ e elnimo V2 . As ~en 
soes ()l e V2 ' saO' aenominacias "tensoes principais". P~l:a sua ob~en~ao 
basta derivar em rela~ao a e e iqualar a.z~ro, a expressao 1. Tem-se; 
As solu ~(es des ta equa~ao dao os valores de 8. 
1. 
tg2f, 
1. 
2 .• Z xy 
-' 
v - \ 
x y 
(3) 
(4) 
Os angu lo s 6 . , 
1. 
:: etermina:n os dois "pIanos principais", nos quais at"J.am as ten 
soes principais ~l e ~2' 
Os angu l os 8 . diferem, entre si, de 900 ; de fato, da trigonometria sabemos 
1. 
que; tg29 i -- tg(28 i + 'IT) 
1.3.6. Conclusoes Importantes -
19 - "0 valor maximo ou minim" de G", implica a condic;ao de se 
ter ~ '" 0" (Ver expressoes 2 e 3) e(fig. 5) 
! ',. " tf.-r: 
" 
(fig. ") (Fig. :5) 
29 - "As expressoes 2 e 3, nos mostram que em todos os pontos 
de uma superficie, existirao dois pIanos normais entre si,passando pelo res 
pectivo ponto, subme·tidos um deles a uma tensao normal maxima e 0 outro a 
ma tensao normal mini~. Nestes dois pIanos, a tensao tangencial e nula.(Ver 
equac;ao 3 e fig. 5)" 
-e-
--. 
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39 - "Esses dois ~lanos aSSlm cc ~acteri :ados sc0 os chamados 
"pianos isostat icos de :"ame" 0:; "plane s princ i ?ais" os quais determinam as 
chamadas :'dire,0e s pri n:ipais '.' 
1.3.7. :nterpre : asa o G~~fica ~ e Equa,a0 4 Det ermi~a~ ao das Tensoes 
?rincipci s 
Sa figura 6, ap ~ e senta-se uma ~~ terpreta~ao f~ afica cia expre~ 
sao 4. Dela se tira; 
sen2e. 
1 
+ 
... ... 
CASO 1 
V Ux - G;. ( - 2- ' 
"' 1.',- -, • 
~A~O 1 
o 
+ -Z. 
xy 
+ 2 
cos 2). = - -----=------ --
1 
C AlIO 2 
CASO 2 
Substituindo- se est es va 10r es na equa ~a o (1) , vi ra; 
r' _ (V x .. . v ) : . -..; ~: - ,\. . r - \ -r=r ,... 
V1 ,2- 2 . ~ ~ 5) xy 
ou , fina1me:l:e; 
(J. • \J +r, +\) r - r;' I ( X '.J Y ) ( :r. Vy ) 2 + 2 2 , 1 2 2 xy I (6) 
r;2 = (rx+<Jy V ( Vx - fy 2 2 ) - ) + ~ 2 2 xy (7) 
'-
<" 
Estas tensoes principais atuam nos pIanos principais definidos pelos angulos 
6 1 e 62 , ootidos ca equa ~ ~ : ~. 
... 
I 
j 
fl 
---~-'-'--'=-~ 
1.3.8. Determina~ao da tensao maxima de cisalhamento Z 
Para determinar a tensao maxima de cisalhamento, derivamos a 
expressao (2), em rela~ao a e e iquai.amcs 0 zero. Tem-se; 
Resolvendo esta eq~a~ao encontra-se; 
~x - G' ... ) 
2 Z;, . . 
" .~ .. ~-, .... '. - . 
(8) 
-Aos valores d~ 8. , i ados por esta expressao 
. .J '. ' ~ _ 
salhamento ex·tr emo. 
, 
correspondem aos pIanos de 
1.3.9. Int e = pret~5 i~ grafi ca da expressao 8 -
C1 
Na fi g . 7, apresenta-se uma interpreta~ao grafica da expressao 8. 
- \\(C1,- cr, ) 
C.\SO I CASO , 
CASO 1 CASO 2 
(fig. 7) 
Dai se obtemj 
(G' x - V y.) 
2 
sen 28. = + 
J . V Vx- fy 2 -z2 ( ) + 2 xy 
+ 
~xy 
cos 28. 
J 
Vrx 
-vy 2 2 
) +? . 
2 xy 
Substituindo-se esses valores na equa~ao 2, vira; 
(9) 
m 
Observas:oes: 
19) Das equa~oes (4) e (8), resulta; 
tg 28 i 
- 1• 
• 
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• 
.' ., 
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• "-' 
'. 
) 
_:-<t~:..-lo-.-=--
------ ----------
Os angulos 26 i e 26 J, , di£ere= entre si, de 90
0
; os a~gulos 61.' e diferem 
'j 
entre ,si de ~5°, Os ;:anos cc :isalh~ento caximo, em valo~ abso1uco,sao ~i~ 
sectores dos ;:anos ;:~~ci?a~:. 
29) Sub stitu i~~~-s e • • -?~ e :~ s 2E ., 
-- " - - j , na e~~a~ao l, Vlra; 
~ .-. 
- ..:.. 
... - . -..... . 
Esta e a tensa~ fior~: que a~~a nos ?:anos cia cisalhamento maxima ou ~l~:~O. 
(fig. 8) 
' fig.8 j 
39) Somando-se membr o a membro as e~7~essoes 6 e 7, tem-se; 
( 
x 
-,J '"' :O:lstan:e y (11) 
49) Subrrair.c: - s e me~::o a we ~~ro as expres soe s 6 e 7, t~-se; 
1.3. 10 . t1Li n:-.as isos:Gticas"- As envolventes das dire'ioes principais, 
ou melhor, as 1inhas tangentes aos p1~ 
nos principa:' s, re ce:e= 0 no:::e de "::'nhas isostaticas"; Pode-se dizer que 
em todo ponto de uma s~pe rfi c:'e , passaro duas linhas isostaticas, normais en 
ere si, con st:'tuindo 5eu con~ '';:1to , = dupla familia de curvas, tais que, ca 
da curva de '..:::-<:l das :,,:::iliao . :ort a ~ormalme:1t e a todas as curvas da out ra 
fa milia. Asst::: , na ::,~ , 9, es:ao tra~ad as as linhas isostaticas de uma v iga 
em ba lan~o ,isujeita a uma ca ~ 6 a P, eo sua extremidade livre. 
, l!-
'Il 1 
- - ------ - -=--~-----=--____ ~ _ _::.._~e_""'_ _ _ _ _=__~ _ __'__'_____''___'_~'_ 
L 
'ItI[ ......... 
N 
(fig . .-g) •.•. 
Na fig. '10 estao~t;ra~adas.' a's "linhas isostati~as" de uma viga simplesmente 
... .. . ~ 
~ . . '. 
poiad~, sujeita ' a un carregaoento uniforme~ente distribuido. 
_1 
(fig. 10) 
1.4. Exemplos numericos -
1.4.1. "0 elemento plano, da fig. 11, esta submet ido as tensoes que 
se indicam. Pede-se deter~inar: 
a) as tensoes princi?ais e os pIanos principais 
b) as tensoes extre~s , de c isa1hamento, e os pIanos em que 
elas atua1:1. 
(fig. 11) 
SOlu<jao: 
De acordo com as nota<joes anteriores tem-se; 
~ s 1200 ¥~f/cm2 
x 
\ 
Y 
2 1500 Kgf/co l 
xy 
2 800 Kgf/cm 
• 
=e= 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• ~. '; 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
•• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
- . 
._---
, ---,-
a) Tensoes Principais Ap icando-se as e~~d~oes 6 e 7, Vlr~; 
e; 
r i 1 • -2- ( 1200 + 1500) 
\ 
I 
+ .... ( 
1 
:2 
\ ! (1 '200"1500) 
tg26. 
. 1 
~,. 
V 
2x800 
1200-1500 
(12 00-15 00 )'2 _ 
. :2 
+ 5,33 Dond e; 
-e' 28 2 "" 259
0 
e 8 2 = 129
0 
Para 8=\= 39° 42 ' ,3 eq ud\c-o (1) : ornect.': 
24 , 
42' 
2 1350+ B14:2614 kgf/cm 
2 1350 - B1L c 536 Kgf/cm 
isto 
~ 2 ' -~ 1 = 2614 Kbf / cm ( t:-c~ao)J : ensao ;::-:';1cipal :nan!:",c-. 
Portanto, os pIanos principais e as tensoes ?rincipais sa o as que se indicam 
na figura 12. 
(fig . 12) 
b) Calculo da tensao de cisalhamento maxi~c 
A equa~ao 9, fornecera; 
+ 
A equa~ao 8, fornecera; 
1200-1500 )'2 + 300 2 
2 
tg28. 
J 
(1200-1500) 
2 x BOO 
- 0,188, ou - tg28. ~ 0,188. 
J 
Mas, -tg26.:tg(n- 2e.) :0,188 . Logo; 
':J J 
t , 
\; 
1800 -28. z 100 36' 
J 
29. E 1690 24' 
J 
9 E 84° 42' 
j, 1 
q 
10 
: 
Logo; 13, 2 
J, ::l . 1 J, 
n + _E 
2 
--~~'-'"--. 
- . 
(84 0 42') + 960 - ' 174d '42' 
e e = 84 0 / 2' - 2 Para • '1 ~, a equa~ao ,fornecera; J, 
t- -+ (1200-1 0,00) s~n (1690 24 ') + 800cos(169° 24 i) • - 814 Kgf/cm2 
Considerando - se 0 s e~ :ido ?ositivo, de Z, adotado na figura 3, conclue-~e , 
no caso em questao, que os planos de ·cisalhamento: maximo (em valor absoluto) 
·'e. as tensoes 3 , ten;. ,os .sentidos que se indicam na fig. ~3. 
~ , 
.. ...; . 
-. 1 l!rO ltV""" 
(fig. 13) 
Por outro lade nesses pIanos, atua a tensao normal V~ obtida da equa~ao 
10, isto e; 
1200+1500 
2 
2 1350 Kgf/~ , a qual esta'indicada na 
fig. 13. 
29) ''Um elemento plano, de um corpo, esta submetido a G" - l200Kgf/cm2 
x 
como se indica na fig . 14. 
. 2 G • - 400 Kgf/cm 
xy 
Pede-se determinar ; a) as tensoes normal e de cisalhamento, num plano 
clinado de 300 em rela~ao ao eixo dos x, 
b) as tensoes principais e pIanos principais 
c) as tensoes extremas de cisalhamento • 
• 
4OOk&l=' J.. 
(fig . 14) 
e 
in 
'~ 
" 
• 
• 
• 
• 
." 
• 
. "" • 
• 
• . •• 
.' 
• 
:.'. 
... 
'. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• ., 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Solu'iao 
a ) De .0::: .Jrdo '-~_ expre ssao (l :' :em-s e; 
r .. _ 1_ «( - 0) -
2 x 2 
Fazendo-se 6"300 , resultara: 
1200 
2 
" 
cos28 ~ 2 se~ 26 
xy 
V" • 600 - 600 ' )( OS + 400 x Ja86 ~ 646 Kgf / cm 2 
, ' 
r ,sen 
x 
2~ - G " " ceo:3 " 05x: 200sen5Jo +400xco 5 60e £. 20Kg: 
xy 
(:ig. 15) 
-NOTA - De acor:o com a conve~~ao de sinais adotaci3, essas 
presen:adas na fi g. 15. 
: ens oe£ escao 
~) As : ensoes ?r inc ipGi s ser2 ~ dadas pe1as equa~oe s (s) . 
r 1 ,.... + 
, 1, 2 2 x 
'1 £ 1321 '4, f / cr::. -
tg29 ... - -f~ 
1 Vx 
(x/ 2 
- ~ 2 >..")' 
2 x 400 
1200 
2 6JO \1 2 - 000 + 
C, ~ - 121 Kgf/cm 
2 
-3-" - 0,666 
Logo; 
2 
re 
Os do i s va10res de 26 i ; escao situados no segundo e quarto quacrantes. ~o 
segundo quacra~te, te=-se; 
-tg2 61 - tg(n - 26 1 ) ~ 0,666 
'TT -261 33° ':'0' 
26 1 .. 146
0 
: 0 ' 
61 
73~ 10 ' 
J J 
., ~ 
• ,. '--=: ,. -=--------=-----~. 
12 No quarto quadrante'tem-se; 
." ~ e!":.': 
" ....... ,~ ~'. 
., 
- tg26
2 
= tg(2n - 26 2) '"' 0,666 
2n -26 2 ,. 33
0 40' 
29 2 
326 0 - 20' 
62 163
0 10' 
-Consequentemente.; ~~ pIanos principais sao definidos pelos angulos Et respec-
ti~a.me;;~ iqu-ais a 73"0 10' e 1630 101o'; 'Para. :\ = el = 73
0 
10' e os valores 
de C e Z . a · ~quac;i~ i~~- fornecera: ' 
. x , Y;Y -<> . ... -:-' . - ". 
,.. V = 05 (j' .:. 05 G"' , cos26 + Z sen26 
x 
- ,--, x '-~ ?-' ,i'-' , ":: .:~< _' f:! 
600(- 0 .~J3)+ 400 (0?54) 
. 2 
1321 Kgf/cQ 
Entao .para 9
1
=73 0 10 ' tem-se ~1=132 1 Kgf/ cr: 2 ( t e ns~ o principal de crac;ao ) , 
Para e. = a, = 16:30 10 ' tem-se C; 1 ~ . 2 
2 121Kgf/cm ( tensao ?rincipa1 de compre~ 
sao). como s e mostra ~ a figura 16, 
(fig. 16) 
c) Os \'alores de lom serao dados pela equac;ao (9); 
+ 2 
721Kgf/cm 
Os pIanos de cisalhamento extremo, sao -clados pela equac;ao (8) ; 
_ 0.5 rx 
tg29, -
J 
600 40() = 3/2 = 1,50 
Os angulos 2~j estao, entao, no primeiro e no terceiro quadrantes. Entao: 
29 • - 560 20' 
J 
6 j . l » 28 0 10' 
Por outro lado a equac;ao 
~- 0.5,G' .sen26 + 
x 
Para 6zB ,. 1 28
0 10',' vira; 
(2) 
Z 
xy 
29, 2 J, 
9, 2 J, 
dO , 0 . • 0 
,. rr+ 2o",l=180' -+~' 20-236 20' 
J" 
1180 10' 
fornecera: 
cos29 
2 
+ 721 Kgf/co 
• 
• 
• 
• 
.' 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
.:. 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
--.~~---
------ -------------
Nesses p1a;).)s , a ' : ,, :\5a o nc =al , , cie acordo com a equa<;ao (10), sera: 
-- \ 2 x :,JO Kgf 
2 
':::1 
Na fig. 16. aprese~tam-se ~s resultados obtidos. 
39) 2 itA bar:-a pri s :7. :!tica ce. figu ra 17., possui uma a aa S " 8 em e esta subme 
tioa a. = cs.':::~ .. ; ,o ax:'.:: p = ~. JOO Kgf. De term inar as tensoes r; e 
j: /~ ~--------~s y 
P I ~ :-00 r.;t 
--et--- --- - - - - - - - ,- --
/ 
SOlu<j80: 
1) Calcu 10 de 
? 
S 
x 
-
1-- - --- - -----, -r 
, j// ~--------------~~ 
(fig. 17) 
o 
; .000 Kg: 
3::n 2 
tensao de tra<;aonormal a S. 
2 875kgf/cm 
7 
- no 
2) Calcu 10 das tensoes r; e Z 
t 1,-0 
7 !-
.. • , • Go· I 
C; x <; .' &75 C,t/c.z 
-----'-~ - - - - - :- - -- - - +-....,----i~ 
------__ ...... 1 ~ 
I ~, ., rO 
! (,.0 , 
Tem- se: 
(= Vx+C (-:' r; ) Z 875 875 0 a) c os 2e + sen 28 - - 2- ( OS 6u + 8 
2 2 i: Y xy 2 
(7" .. 875 (1 600 ) ciS (1 _1_ ) - 219 Kgf/cm 2 - cos =--2- - = 2 2 
~= __ 1_ ( t;x -r ) 875 600 + 0 379 Kgf/cm 2 b) sen26 + 
"' 
c0528 
-2-' sen 2 y xy 
Essas tensoes esta o ~ ep resentadas na fig. 18 
" 
(F i g . 18) 
I" 
...:;,.. ... 
1.5) Circulo de Mohr - As expressoes gerais V e "0, que fornecem as ten 
soes no planp def.inido. pelo angulo 8, tem representa<;ao 
grafi.ca ;:;uito sl::!ples, por intermedio do Circu10 de Mohr. De acordo com 0 
que se indica na (fig. 19), considera-se um' sistema de coordenadas once se re 
. ' 
(fig. 19) 
presentam, em abcissas, as tensoes normais e, em ordenadas, as tensoes de Cl 
salhamento. Marcam-se os pontos b(v,?; ) e d«(J, - Z ), em ur.a escala 
x xy y xy 
previamente escolhida; em seguida tra<;a-se a circunferencia que passa pelos 
pontos bed e tern centro no eixo das abcissas. Obtem-se, assim, 0 circulo de 
~ohr para 0 caso gera1 do estado plano de tensoes. 
1.5.1) Convenxao de Sinais para 0 Circulo de Mohr - As tensoes normais 
de tra<;ao sao posi 
tivas; as de coopressao, negativas. Quanto as tensoes de cisalharnento, consi-
dere-se 0 e1emento plano, submetido a tensoes de cisa1hamento da fig. 20. Sao 
positivas as tensoes de cisa1hamento que tendern a gira-lo no sentido 
dextrogiro(sentido dos ponteiros do re logio)e negativas as que tenc~ a gira-
-10 no sentido sinistro~iro. Nessas cond i<;oes sao positivas as tensoes que 
atuam nas faces verticais e negativas as que atuam n~c ~~ces horizo~tais. 
(Fig. 20) 
1.5.2) Det~rminaxao das tensoesC e Z nurn plano qualquer. 
(no sentido 
Para determinar as tensoes (j e . "6, 
\ 
sinistrogiro), em rela<;ao ao elXO dos 
nurn plano inclinado de 8 
x , (Fig. 19) marca-se o 
._._- - --~-;------=---"--"--=---~--..b.."'_ 
.-
• 
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. ~ 
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• 
F 
.. -....:. ' .. 
.. 
angulo 26 ( ~o s en: :do sin : s: r ogirQ ) , a parti r do dia~et ~ o bd cio·Cir=~ ~o de 
~oh~. Os po~:~s e x :: ~~o s de ss2 aia~ e tro re~r~sent 2= as te~ soes ~~s ?la~~~ ~~ 
ralel .:>s aC's ~ :xos ); 
-
y, l S:':- e ' , r;, 
x 
7 e C; ~ xy ' x , ~ ::v 0 =.:,. gu lC' - cc :-
respcnce c~ :iame ::- : e: (::~ . 1° \ 
- ) As coo:-cenacas co ?cr.: ::> . , 5a::> as' :er. 
soes Ii e (; : '.: e a t'.:2-= ~o ?_,,::o def:::idc ?e ~ o angu lo -::(Fi;, ':9 ) , is to e: 
on e 'Z E nf. 
.., 
_~i':5::3') Inn~:>ret a's~: dos r.:sul'tac'::ls Q.p" Ci:- culo ;:e '1on :- . 
.i~-::-·· · 
Se j'a:: . dado s ':5 v.a 10res C-
x
' (y ' e G
xy " que a~uam nas 
ces ' do e1eme:: :o p1a:lo da (F i~. 21 ) . Cons id er am- s e positi;;as as tensoes nor 
:Dais ':2 .~:::;:-02S-:sa:O~ ' 4 .; ·~··ae .C.:E=.::-:2:-:e:::O 52 0 ?.)sici\·2.S ~ua:-.'::2 : 2:1':-2.:: a ;::-~ :- : 
~:e=-e:-.:o n..: !'~1:i cic-·:.-2xt r cg.:.: : ~" negE.. :i vas e:n case c.0n tr ~ ::" o . 
-' . 
xo do s 
( : ig . 
r 
" 
1'£' 
"'-' ------, \ 
' I 1," '-(:~1 1 ~ ~ ~ -;-, 
_. __ ~_u~~~i '·n . 7 f 'W ' 
., 
(L ~ . 21) 
:-. ..:::3 s:.~::.=.a CE: :::- :- ce :: c.:, 2. S cG :-: e zi.a ~ 2s o~: og::-.a:. s, ::::a r ca:n- se 
. ~ (G' ' 
, ... x ' 2 ) xy e d( C v z ). A :- eta ':lei corta xy 
v no ?onto ~, de coc:-~ en adas V'x+V,,-( - ' - ) 
2 
e ze r o , ta l como se indica 
2~ : . 
" -
" 
,. 
: :: ~ . 22 ; 
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o e1 
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It 
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...... . 
I G 
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ji, 
' :t 
_ _ 't.~. ___ _ 
- . 
-~--
o Circu10 de ~:ohr e " que t e:l centro em c e raio igual a cd =V c-k 2 + kd 2 De 
acordo com as construc;oes efetuadas, tem-se; 
cd: raio do circul 0 · r = VB-(t -G)] 2+ l2 = cg=ch"'cl"'Cm 
. 2 x y xy 
Da, figura; 
cj z ck = 1 . k = _1_ ( ( V x) -2- J 2 y 
Logo; 
OC "' _1_ (~ .+ V ) 
2 x y ~ 
....... 
.( 
1 . oh _1_.( c- -+.r ) 2 ' x. y + V[-+< ~ x 
-.Vf+- C (x 
r ) 
.. Y ] + ~/' xy 
.. .. ~: . .... . . ... ~."- .. 
• III> ":; • • ::. 
'" og .. _1 (r: ~ . x + C ) y (J y) ] 2 + z.2. xy 
.... 
, 
Conclusao; o~o.n-t o s - h .e g represen~am. r_~.~pectivamente, as tensoes princi -
pais ~l e ( 2 ' de ac ordo .com as ~xpressoes vistas anteriormente . 
Por outro l aco , de zig. 22 , tem-se; 
-tg -"'" kcd = 2(V -V) 2 ~ xy Esta expressao, coincide ( V x - ~Y) y x 
com a expressao anceriormente ja 
tg28. 
~ 
v i sta, isto e; 
Uma rotac;ao sinistrogira, de 29., a partir do diametro bd(correspondente as 
~ 
tensoes que atuam nas direc;oes x e y), conpuz ao diametro gh correspondente 
aos pIanos principais. 0 plano ,principal esta inc1inado de 8 i em relaC;ao ao 
eixo dos x. 
o raio do circulo de Mohr valera: 
r= (; 
m 
ry)] 2. + 7 .2. ( _ V u tensoes extremas de 
, xy 
Conc1usao; 
19) Os pont o ~ 1 
-"'" 2?)P angulo dc1 
. c isalhamento) 
e :l repr e s entam as tensoes extremas de cisalhamento. 
o . ~ 29 .; di! ere de 2 9 . de 90 ; portanto, os ' angulos, que 
J 1 0-
respondem aos ? 1anos ce cisa1 hamento extrema, sao de 4S , em relac;ao 
planas princi pa i s. 
cor 
aos 
39) Os pontos e e f, correspondentes a urn diametro qua1quer, que faz a an 
Mas; 
gulo 28 com 0 diametro bd, representa as tensoes q~e atuam num plano 1n 
clinado de aem relac;ao ao eixo dos x. 
De fato; 
G'", oc + en ., _1_< r + (J) + (cOcos (28 . - 28 ) .. 2 x Y ~ 
1 r + () + (cO (cos 28 . cos 28 --( +sen28 . sen28 ) 2 x y 1 ~ 
LL21 «( _ C )] 2. +-/ f2 x y xy 
• 
sen26. Xl:: 
1 V [ 1 j= 2 -2-( ex -0"y) . .. 6xy 
1 C- .,.. \ 
'2 x 
cos26 . 
1 V [+( , 2 r; .. z X .v xy 
G"=~«( .. () 
2 ' x y 
_1_ ( v 
2 x V) eos26 .. Z senZ6. y _ xy 
Est,a ult:ma e~:?::.eJ.sao :oinc'ice : .)ni a - ~:-_~'erio:-::ente vi sta. 
Por outro l ;d2.,~~~ ord~ :'ada- do :::-. co =, e; 
0= nf = (cf )s~~( :?9 . - 2:: ) = cf) ( ~e~:? S .cc~::: - cos29 .. se:-.2S) 
1 1 1 
Substitu:ndo-se " s e>=?:-essoes :~ cf, ;en26. e cos26., vem; 
1 1 
0= 0 . ::os2 9 - _1_ < r; -G ) ;-=:-. 22 
xy 2 x y 
Esta exp:-es s;o : o incice eom " i~teric:-=ente ~is ta. 
1.6 ) [xemple ~ume:-ieo - 0 -=: emen:o plano da (fig.23). esta sub~etido as 
te~ soes ~u e ai se indicam. Pede-se dete rminar; 
( :' ~ g . 
a) as tensoes prineipais e 6 5 planos principais. 
b) as tensoes extremas de c isalhamento e as pl anas em que e1 as oeo rrem. 
SOluc;ao; 
De aeord o com 0 q ~e se i~~ic a na ! ig . 23 e a convenc;a c ado tada tem-se; 
V 1200 k!;:/em2 
x , 1500 k~:' / em 2 y 
k;s!/cm2 b as Z = 80.0 fa ces pe rpendieulares ao elXO dos xy x) 
~= -800 " ~ :' I em ' :l a s :.a.:.:.:,:; perpe~cicu:a:-es ao eix~ dos y) 
- -- -
----J 7 
... 
.... 
.. 
... 
----~------=--~ 
II! II 
. 
. 
II 
~ 
. . 
Na(fig.24) e apresentado 0 ~ ircul o :~ Mohr, tra~ado a partir dos ?ontos b 
(1200;800) e d(1500; - 800 ) . Adrniti:u que ° tra~ado houvesse sido feito ern 
escala, .res';lltaria; 
26. 
1 
6 . 
1 
2164 kf : l cm 2 
536 kg :"cm 2 
, ')' ..~ 
Da fig. 24, "I'"e5ulta que"1J angulo"1 = 39°::'2' corresponde a (jl= 2614 kgflcrn2. 
Tern- se en t..~~g"s; pIanos pr inci p~~ .:e~.!,s .,censoes correspondentes, que se .ind i 
cam oa (f 1. g. i 4 ) 
~ . 
-t---.--" ~ 
Et\1Icg.;cm: 
.. 
(fig. 24) 
o ponto 1 e 0 que corresponde ao cisalhamento maximo ; 
Da fig. 
tern-se 
7: ,. + cl = + 814 kgflcm 2 
m 
24, resu1taria; 2° = 169 0 2:' e 5. = 84°42'. Para esse valor de 
J J 
o positivo; atua no sentido dextrogiro. 
(a) (b) 
(F ig. 25) 
.' A tensao normal, nesses pIanose ; 
G' - oc = 1350 kgf/cm2 
e, 
Os pIanos de cisalhamento ext remo e as t enspes , que neles atuam, estao indica 
,gas na fig. (25 b) 
• 
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· ~ 
• 
• 
• 
• t. ~ ., r 
.• ;. ~ . ~-. '~=-
' .• 
• 
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Par::: 2 -
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• 
. 
..... 
2) Ih'TRODUyAO " TSORE )1-.5 c.:"~: ,:,,S 
2.1 Geometria Cos Supe:flcies ~~s Cascas 
Afim de ,~ t~r u= ::Jelh () ~ ~,(endi=,en to c::: comporlamentc estrut ural das 
cascas, veja~cs algumas propr :~~ad es geometr:cas de suas superficies. Estas 
propri edades ?=:en ser civicii:~s em cuas cat~g~rias; 
a) "Proprieda "s Locais" - as c;:.:ais se referem a forma da superficie nas vi 
z~-",-.o'IC;:l5 i::\er.i a:~ de u:n ponto da mes::o.a . 
b) ''P1''dP'rtedaoci'es -G~'r"ns '' - as ' " '';.l is se refe:,,::J a for:.:a da s:.:perflc:e 
urn : Jdo . 
como 
Consi dereftos ' '~~~oi'<itt' Q'- s3'S~:-r~ 's:.:?e.dir:c e (fig. 2 .1 ) -= plane tangente 
a mesma no p~~;~; 
~-
, 
1 
Heclo 1I0P.1t.I.I.. 
I ~'VJ 
;FIG.2.1) 
19~ A perpe n~:cular a~ plano :angente no ponto 0 
superfici;: :10 po,.:~ 0" . 
z: 
chamada "normal a 
29) As curvas sob re a s~?er!~:~e o~tiC:as pe:as int ErseCC;~!s de planos pEr 
pendiculares ao p:ano tan~ente e con tendo a normal no ponto 0, s~o cha 
madas de "se ~:;e S no:-::,ais" de. ;uper:icie . 
Consideremos :.:= si ste=a de e::~Js coe rd enados conforee (:: g.2.1). A sec~ao 
normal, corta~a por :.:= plane :.odo, e a curva z = f (x) sobre a superflcie. 
A inclina~a o = tg ::~a 1.._,." Z = :: (x), :1:.::n ponto PI ' de coorcenadas 
x 
(Xl' O,zl) e chamada de "L'1cj,:::la~ao da Superficie na Dire~ao x no Ponto Pl ", 
e e dada pela seguinte rela~ao; , 
m • ~z J X ClX (1) 
oode; z= f(x,Y) repre senta ae~ua~ao da superficie. Por outro lado, a incli 
Da~ao da superilcie no pont o J, e zero, v:s to 0 eixo x , ser ta::lgente a cur 
2 J 
• 
• 
va. A ' vari~ao da i:1c lin a~2':> m ,no ponto 0, e chamada de "CURVATIJRA 
x 
SUPERFICIE NA DI RE<;AO X NO PO NTO ", e e dada pela rela<;aoj 
(2) 
y - 0 
Consequenci a ,s: 
DA 
19) Quando c 
x 
for ?ositivo, 
-...~ .. . 
a curva z s f(x) e concava para 0 interior, is 
" .:. to .. i .? , -:,~.a dire~ao +' z. 
.. ". 
. - ' . 
29) Qll'Ilncrc; ¢x' for- nQ;gativo, a curva e concava para 0 exterior, isto e na di 
re<;ao - z. 
39) Quando ~'~O ' , 0'2 ,curva ~u ' e ~ uma " linna" r e ta" o u a $.ua curvatu ra, IlIUda 
de -'" (i')' par.a ,-(-) , ~e "_s.t ~ ' ,ca.so ~diz-se que ela tern urn "ponto de inflexao", 
_para x = 0 (lfg: 2.2) . 
~ r z 
c,>O ',<0 "cO 
(fig. 2.2) 
Um pequeno segmento da curva z = f (x) nas imedia<;oes do ponto 0, pode ser 
substituido aprox i maciamen te j o r um area de circulo de raio R , (fig.2.3 ) , 
. x 
chamado "CIRCULO OSCULADOR" A mudan<;a de inclina<;ao entre ° e P .• e 
l 
t. m ii (l- 0 ; ex • 
x 
Para a 
Portanto a curvatura e dad a ?orj 
C :.: 6mx a 
x- -;;;- R a 
x ' 
. ' , 
pequeno, a distancia OP vale; 
1 
(3) 
(4) 
O~ ' 
ClftO.ll.O oscuu.oo" 
z 
(fig. 2 . 3) 
~-----""::""-'-~"='-----=---'----" -'-"'-' - '- " -:: .. :.:::-=-" 
" 
" 
,) 
,~ 
• 
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• 
• 
• 
• 
• 
• 
.... 
" 
... 
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---- - ---
(fig. ~,l); ;:,:~a; 
~ .. " " . ., " . .,. :' '1......... ;... 
[ 
A varia<;ao dE::: , 11,'; ~ j r~ (:;.: ':' , no 
v . " 
P.a ra, ~ .p.:~U~0i~~1; : ," '_'~', ;c i :: 
..... cun'a t UT" a- ;-. ~ '3 i I"~~ <i"o y" f\O 'P()/l\'t.D 
"." 
Cy .. ::.y ~/ -
0, sera 
x =o 
y=o 
y 
: oJ a 
x, :i': ponto J " 
1 
( 5) 
p0r ; 
(6) 
Esta ultima eX:l:-essao, r eprese:: :a a "Curvat ura da SUDerflcie :ia di:<::8:o v :10 Dont o 
0". Analogame~j :e c e;) in-;e: o:) do "ra io de C"' R"A~"o." R , :io circ-.: l o o~cu ado!:1a 
dire<;ao Y, ~ogo ; Y 
49) Ct;rvatur~ : : :si on:;:- ( ": '.: :ST') - ; o~ 5ider ~~,.:> s ~::' pont o p~ , so:',,: _~ cun'a z= '-" 
e a Incll::a;ao rnx : ~ , da S~?e rflCle na Cl re~ao x, no ?::iCO P2 ( : 1g . 2.L ) . 
A ::t.:can:;.a :-2 ~:1 C: ::-._';30 &m", q:Ja:::O a meS"":".2 
LIn =) , - : = 'j : . . !J.. d·s :~:- : ':a : ?')p3rG , ...... 
x • 
se desloca :~ 0 pa:a P~, ~; 
angulo e,, ~~:_eno ~ :' sualaA.=R .. 
.- y 
A curva:~:a te:5i ona! :a supe:~:' .: ie :10 pon t e J , e por def:.~:.;ao ~a~a por: 
t 
xy 
~ m 
x 
6 y 
( 8) 
\; I 
, , 
De acordo com a fig. 2,4 , tem-se 0 si ~nificado fisico da Cl! :~atU!a : o!sio~al ,isto e; 
6m ~ J 
.. 
_ t __ = __ x_ , __ ----1-________ ' 
xy !:>y ",.R R 
i xy xy 
(9) 
'It 
" 
'-
:! : 
--
24 
. 
'., 
.. 
x 
~-: ... rr:"4· 
.-:.. ... ~-::~ ~ -'~~.,. ... . 
.: ....... . 
~ ... -.: ;..:j:.~ . 
. --
z 
(£'.3' 2.t. ) 
Ha Guas dire~oes ortogonais entre si, para as quais a curvatur~ adquire valo 
res m2x imo e mi'niillo respectivarnente; sao os chamados "valores :>:-incipai; de 
curvatura Cl~2~ no ponto cons iderado. As dire~oes nas quais eles 
ocorrem sao charnaC:zs de "ciire~oes principais de curvatura" Por exemplo, no 
topo da cupula eliptica (:ig. 2.5), as curvaturas principais ocorrem nas di 
re~oes do menor e ma~or semi-eixos a e b, respectivamente; assim a maxima 
curvatura Cl "Cx e a minima 
z 
(fig.2.S) 
c y 
No topo da cupula eliptica, a incli na~ao, mx E ~ • 0, e pe~ 
nece QuIa, quando a curva 1, se desloca ao longo da curva 2. Analogamente, a 
inc1ina~ao my " m2 " 0, no topo da cupula, 
va 2, se desloca ao 10ngo da curva 1. 
e permanece nula quando a cur 
• 
• 
.." , ' 
" . . ' 
• 
•• 
• 
• 
• 
-... ~---
~--. 
2.2 - ClaS5~!icas~c ~as ' Su~erficies 
As superfIcies sao classificacas em 3 categorias distintas cie ac c=do 
com a ' varia~~0 dc' s ~a cutva:uta em :oino de urn ponto; 
19) Quandu a ~u rva:_~~ em ~= ponto ! o r de mes mo si nal e~ todas ~ . dire~oes ,a 
superfi c~e e c:-.a::<ad a ce "SP;C' ~.::TlCA" naq uel e pont o . }Oes:= t i po de 
-
supe:-:ic ie, as cur":",:uras ~:-~nci~~~,s~.('''l _' C2 ,t f' em 0 mesmo sinal e seu pr~ 
I!uto e positivo, 'Visto que tii e ;ulo, isOto e, t12 O. Logo, te=-se a 
.. .. 
Condic;ao ;"'W;4 :" ~ ~ > 
~'", 
, ., 
K . "Ci" C
2
> 0- ," ou 
.. K 1 =-.-
R 
' J 
.... . ~ . - _. 
-..... 
"".-, 
I ,· 
~~ 
Rl :R2 
o 
(9) 
o facor "r-; = C C - t 212 ,· e cha=ado de "I!ID I C::: DE C ''''·' . .I,TL-RA , 1 '. _ 
superficie. ~o po~: ~ consi~ erado . 
GA 'S::- " , da 
,29 ) Quando a curvatura num ponto cia superficie e positiva numa : erta c:re~ao 
e negativa :-.a outra, a superficie e chamada de ".;I>"TICLASTICA" , :10 pon:o con 
siderado. Seste cas o tellrse; (1 > 0 e (2 < 
K o 
< 0 ou 
I 
ou 
O. Logo, 
(10) . 
Portanto, "Curva : ura (a_"s i ana ~;e gat iva ". Exemplo:Paraboloi:e Hiper-'olico 
(fig. 2.6 ) 
(fig.2.6 
*. 
I 
It " 
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26 
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I 
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_ Too .... 
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-
.- . -- -
-~ - - - ----
'. --' 
39) Quando a cun'atura num ponto da superficie for positiva numa dire~ao e 
nu1a na outra diresao, 'a superficie e chamada de "Superficie desenvo1vi 
vel" Logo, para este tipo de superficie, tem-se; 
-
[ K _1_ . - 0 1 ~. R2 (10) 
As super fl~"ks:'~.e5envol\·iveis possuem "Curvatura Gaussiana "nula. Exemp10 
"': ,- " 
'. 
(fig. 2.7) 
Note-$e que neste caso um raio de curvatura tem valor infinito, isto e,R~~. 
2.3 - Influencia da Curvatura na Capacidade Resistente da Casca. 
Para se tei uma ide ia da importancia Ca curvatura na capacid'ade resis 
tente da casca, basta considerar por ora, a seguinte expressao da ''Teor-ia de 
membrana" para superfIcies de revoluc;ao; 
onde; Nl e N2 
(fig. 2.8) 
+ 
sao os esfor~os de superf[cie 
"t ig. 2.8) 
P 
r • (11) 
e P , a carga extern a radial. 
r 
p 
, 
~~ 
;; ,. 
! ... ~ 
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'" 
• 
- , 
BIBLIOTECA 5973 
Assi~, se 0 indice de c~rvatu ra e nulo, a absorsao das forcas 
... 
." 
- ' sera me 
nos eficiente que nas cascas de dupla curvatura . Isto pode ser 'visualiz8do 
facilmente (fig. 2.8), pa is se t:Jla das curvaturas '_ '_1_ au 1 for nula. 
~,R'l R2 
a distribui~ao cia carga radial ~xterna sera ma1S restrita. 
Pode-se dizer q~e a capa~idade :ara resistir cargas de lima c~sca de indice 
de curvatura nulo, e menor que a da casca de dupla curvatura. Conclusao; 
as cascas de la curvacura sa: mais eficientes ue as de curvatura sim le~ 
esta asser~ao, t'clem ac~a-se co=;>rovada, pelo ' fa to de que 
ca de dupla curvatura pO'd'e-'se co:,rir grandes espa~os. 
2.4 
- Ger.~J~, #uperfi~,ies 
somente com cas 
~ -.,.:;: . ~ '. :~"' ~"'': 7'" 
'A maioriia e-as..,superf1cles 'i;eometricamente definidas, usadas nas estru 
... 
turas em c~sca." sao gera:as pO.r ' '.::::l dos ;>rocessos basicos; a rota<;:ao ou tran; 
de urna curva. 
No primeiro processo , a :~rva gi r ando ao redor de urna linha cnamada 
I 
I 
I 
I '~ I : . " J '-
J ~,", 
I ~ ~;:--:,: 
__ ....... I_/~~. --=~:Y ~ X 
!~ 
y z 
(fig. 2.9) 
" . e1XO 
No s~gundo processo , a c~rva t:anslada-se paralelamente a si mesma, apoja~ 
do-se constanteoente nu=a curva di retriz, gerando as "Superficies de Trans-
1a~ao " (fig. 2 . 10 ) 
-
(fig. 2.10) 
, .. "! 
..... 
~l 
J 
... 
... 
----"'.' 
, 
f •. 
28 Quando 0 eixo da superficie de revo1u~ao e vertical e a curva intercepta es 
, 
te ~ix~, a superficie e uma "cupula" 
A curva de revo1u~ao e chamada 'de "meridiano",e 0 plano que . 8 contem e cha 
. mado " plano meridiano " da superfil=ie. As sec~oes horizonta~s sao chamada~ , 
de "paralelos". (fig. 2.11). Os meridianos sao pIanos de curvatura princi. 
pal, visto que nao ha mudan~a de inclina~ao horizontal dos paralelos,quando 
~8tes s:_ des~~c_am ortogonalmente aO . longo dos meridianos; seu raio de cur 
Rl ~o. p~ntoP, e um dos raios ·principais de · curvatura. A segunda . 
dire~~o .?~1ncipa1 .de. curvatura e p~rpendicuiar ao meridiano: o ' corresponde~ 
£e ... r~o-tJ.~~curvatura R,2', contido num plano normal ao plano meridi'ano-;-e 0 -
't" ',,' 
\ 
\ 
\ 
. -«Il!O 
\ 
(fig. 2.11) 
raio da esfera tangente ao ponto P'. 
U11:,.'" TA.HGEH'n til ,.-
Par outro lado, R2 e a distancia ao longo da normal a superficie do ponto 
P', sobre a mesma, ate 0 eixo de rota~ao. Qualquer curva pode ser usada como 
meridiano.(fig. 2.12). 
Ib) lel 
(d) Ie) (t) 
(fig.2.12) 
Assim; 
19) Um circulo usado como meridiana gera uma "superficie esferica".(fig.2.12a). 
29) Uma elipse usada como meridiana gera um"elipsoide de revolu<;ao"(fig.2.12b). 
_______________ .....oIJIiIiiii:il:jl. 
• 
• 
• 
• 
39) l'wa para~ ~ la usada como ::!eridiano gera urn "paroooloie,: de re"·;)luc;ao". 
(fig . 2 . 12.:) 
49) . lJzCl h i pe ~:-.' l l! usada como ;:;eridian6 , gera urn "hi "erbolc:'.:ie de :evol'uc;ao". 
59) l'- ' r e t ., ~..l r a l e l :! ao elX0 d e re \'J luC;ao , uS3da 20mO me:-:'diano , gera uma 
"s upcrfi .: :' e c i lindrica". \, iig. 2.12 £.) 
69) l'=a ret .! : :1c li n", ':a em r ,, ~ a ~ao . a o eixo d e rota<;a;),sem- :'::t erce?:ar 0 ::lesmo, 
usada como meridiano ., 
79) ~~:dJ:t~;~Z~: 
gera urn ''hiperboloide de revoluc;ao".(fig. 2.l2d) 
t~:~" ao !c e ixo de rota<;ao, que :'nterCE?ta 0 me~mo, 
g.t;;:s '.ullla· "superficie cor:.ica". (fig. 2.l2£) 
. ..., -' . ' 
Note- se que c3 superficies (a) , (b), (c) , sao sinclasticas; (e) e (f) desenvol 
vi ve i..s "::$, ~~ d ' . ~ ant i .:: , "'~ tic a . .. 
5e a cc"~;a rr.-;;:~·:J i.a~· .. :~·r· re;- :-.=:;e ntac a no plano (x , z ) , pela =quac;a o ; z=f(x ) 
y 
(fig. 2.13) 
rotac;ao, a eq~ac;ao da superficie de revolu"ao em coordenacas cartezianas,s~ 
ra; 
z = f (\j } ... / 1 ) 
Uma su?erfici e ~ gerada por tran.slac;ao, quand o a curva plar:a 1, se desloca 
per:: a:1eCe;-,~:· ? aral e:'a a 5i ::1e sma, soore a Dutra curva plana 2, c sua1mente 
p er p e n~ : cular a ? r lmelra . (fig . 2.1 3) . 
Vis to c.:..e mui, as cornbi::a<;oes c:: cur \,2S pod c!:] ser usadas, u=a grane e v arieead e 
de supe r f i c ie s ?odem se r ob ti eas por .~ rans1ac;ao. 
Trans l a c: and o- s E: a c urv a pl a na : , sobre a reta 2, obtem-se superfic i es ciliE!, 
dricas (c ir cu:ar, e l ip r ica, ca : enar ia , e t c , ). Tran5:adand o-se uma parabola 
, com curva~u:a interna, sobre a outra parabola 2, tambem com curvatura 
ioteroa,obtenrse um "paraboloide eliptico", cujas secc;oes horizontais sao ~ 
lipses.(fig.2.14) . 
Parabola ' 
(fig . 2. 14) . 
-
1.1 
Ii 
1.11 
t 
:1' 
.. ' 
.' 
.' 
" 
~ 1 
:'! 
,.' 
" 
- -
----~-
30 -thDcl>ara-b-o-la 1, cOlD---curvatura para dentro, transladando-se sobre outra par~ 
bola 2, com curvatura para fora (externa), gerara 0 "Parabo1oide hiperbo1i-
co" (fig.l.lS). 
Parabola 1 
,. 
~ 
~ .. 
-e .. · 
-:- ... , - . ~ 
_ ... .... .. . 
(Jig. 2.1S) 
Se a; eq,ua gXs. das .duas curvas ortogonais forem; z = f1 (x) 
qua~ao da su?erficie de transla~ao sera: 
(13) 
2.5 - Principais Tipos de Cascas Segundo Sua Curvatura. 
De acordo co~ 0 item (2-2), os principais tipos de cascas, segundo sua 
I 
curvatura sao; 
'a) Cascas com "Curvatura Gaussi"ana PositivJtsuperficies sin<;lasticas) 
l)Esfericas 
a.1) Cupulas de Revolu5ao 2) Elipt1cas 
3) Parabo1icas 
a.2) Paraboloide E1iptico 
b) Cascas com "Curvatur~ Gaussiara Negativa" (superficies antic1asticas ) 
b ,I) Paraboloides Hiperbolicos 
b.2 ) Conoides 
, ) Cascas com "Curvatura Gaussiana Nu1a" (superficies 'desenvo1viveis) 
c.1) Cascas Ci1indric~ 
c.2) Cas cas Conicas 
• 
• 
• 
• 
• 
• , . 
• 1 
:1 
. ! I 
• 
• 
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• 
• 
• 
• 
t -I 
I 
I 
... 
- - ---:;.- .--:.---~-~--
Abaixo estao representados c:guns exemplos correspondentes as 3 categorias 
acima. 
.•. :-: .. 
Paraboloide 
PARABOLOI C E 
... 
EliPTICO 
Paraboloid~ 
hiperb6licos 
.,. . 
3 J 
I 
.' 
.' . 
- ~-. 
. ..".. ," 
-.. 
--.. 
-t .. 
' . 
Parte 3 
A~AO DE ~ffiMBRA~A - ESTRUTURAS INP~AS 
MEMBRANA DE RE\'OLU~AO COM DUPLA CURVATURA 
. - . - .' 
- -.- - - - -- ----- ---
... 
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111 II 
III 
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•• 
3) M;XO DE MEMBRANA- TENSOES DE ~lliBRANA - ESTRtrrURAS INFLADAS - MEMBRANA DE 
REVOLU<;XO COM DUPLA CURVATURA, 
3.1 - "A~ao de Membrana" 
A "membrana ideal", e uma limi:la muito delgada comparada . com suas ou 
tras duas dimensoes laterais, e na qual so se desenvol'lem tensoes normais e 
tangenciais .. De fato, chamando de h ,a espessura da mesma, sabemos da "Resis 
tencia dos Ma·teria~s", que sua rigidez flexional por unidade de largura, e 
d~O .. ~da . ~:~ac;a~ E ~ '" E [l~~~-; or~, para h SUficientemente pequeno, a ri 
g1dez fl~1~~1il e Dl.ato peql,lena tambeLl ., podendo ser desprezada ; 'consequen-
temente a flexao e ,forc;a cortante, se.Tldo proporcionais . a . rigidez desa 
par.ecem~ .Em outras palavras, embora a membrana seja um elemento estrutural 
bi-dimen~ion~l, stla~!ac;aa. d; .p-iaca'; e desprezlvel,. visto a mesma nao 
sell'tar rigid-ez 'a fl,e.xao. -~~'. 
.. . - . 
apr~ 
A resistencia a compressao de ' = membrana, tambem e aesprezivel, VH 
to que, devido sua pequ.ena espessura, so pode resistir tensao de compressao 
muito pequena. Portanto, uma membrana ideal pode somente absorver as car gas 
externas, atraves de tensoes internas que fte desenvolvem em todas as dire 
c;oes da mesma; consequen temente so po~em ser co nstruidas com materiais que 
resistam bem a tensao de trac;ao. Esses materiais incluem. folhas de metal, 
concreto protendido, armadura plastica, tecidos, tais como "nylon" ou "fi 
ber glass". 
o mecanisme de ac;ao de membrana, e equivalente a ac;ao de urn cabo, tra 
balhando em duas direc;oes;' 0 qual aoscrve as cargas externas atravez de 
tensoes de trac;ao. Por outro lade, devido a seu comportamento bi-d.imensio 
- L. - f' nal, as membranas nao sao 1nstaveis como os cabosj sua orma pode ser sem 
pre uma "superficie funicular" de urr. carreganento, como e tambem 0 caso dos 
cabos. 
3.2 - Tensoes de Membrana. 
A estabilidade propria das m~~anas, deve-se a sua forma geometrica 
e ao tipo de tenso es que a mes~a de se~volve sob a aC;ao das cargas externas. 
Assim, consideremos un elernento reta~gular de lados a e b, paralelos aos ei 
xos x e y respectivawente , c ortados :'.e uma ce.:ilirana curva, de raios de cur 
vatura Rx 1. e Ry= 1 e de curva:ura t orsional txy,nas direc;oes x e y . 
(F ig. 3 -1 ). ~ ~y 
'Sejam: 
1) q - carga uniformemente distribuida por unidade de area. 
2) p - componente da carga q,nadirec;ab .negativa normal ao elemento conside 
rado. 
As forc;as que atuam nas faces do elemento sao 
3) Tx'" tensao de trac;ao por unidade de comprimento sobre 0 lado b. 
4) T '" tensao de trac;ao por unidade de comprimen to sobre 0 lado a. y 
5) S = Q = tensao t~ibencial ?or u~:dade de comprimento em todos os lados 
do elemento (Fig. ·3 - 1;- b ) . 
35 
r 
.' 
" ... 
,.. 
.. ' 
----------------------------------------------------------------------------~~----------------------------~~ 
~. ' 
-, -
.. 
)' 
-, 
.. ) . ..;. 
( Fig. 3 - 1 
.., - ~ 
· 50 . -
(c ) 
b 
"'-T..a r 
Note-se que T , T , S, tc:~ dimensoes de for~as por unidade de com 
x y 
priment o , isto e, tim; kgf/m; g/crn; etc ... 
29) As ten soes tangenciais S, agem no plano tangente a membrana, e na 
ausencia de fl exao , elas se distribuern uniformemente atravez da espessura da 
membrana, ass im como Ix e I y ' respectivamente. 
39) As tres "tensees de membrana", T , T - e S, podem ser 'det.erminadas, 
x _y 
considerando-se 0 -equil ibrio das cargas no elemento considerado, nas dire 
I ~oes -x, y, z respectivamente. Portanto, seu conhecimento nao depende de ne 
nhuma considera~ao da deforrna~ao elastica da membrana; consequentemente as 
"tensoes de membr ana " sao" es tatica::ente determinadas'.'. No caso de se dese 
jar considerar tambem 0 efeito de, flexao, entao devem ser consideradas - tam 
bem as deforma~oes elasticas da membrana , passando a estrutura a ser " es 
taticamente indeterminada. " Note-se que os esfor~os Tx e T , - absorvem 'as 
- y 
cargas atr ave z de urn mecan i smo que podemos chamar de "efeite-cabo em duas 
direcrees". 
Por outro lado, si a e b, sao pequenos em rela~ao a R e R , entao os 
x y 
angulos 6 ( Fig. 3 - 1 ) . - suficientemente ter-se-ia; a e - a sao pequenos e 
- 6 ' ; 6. sen · a = a e sen 
Os lados a e b, nesse caso pode~ ser tooa dos aproximadamente como ar 
cos de circulo, isto e, 
a ,. a • R b 6_. R 
x y 
As resultantes na dire~ao z, das tensoes de tra~ao sobre os lados a e b, 
sao iguais respectivamente a 
(Fig.3-1-a) 
2.T .a. sen 6/2 .. 2.T .a. y y 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• e 
-e··· 
-
• 
<-
'. • e 
• 
• 
• e 
• 
• 
• 
• e 
• 
• 
• e 
e 
• 
• 
• •• 
• 
• 
• I 
• I • • 
• :} 
> , 
.. '\" 
Par outro lado, podemos escrever; ( .1:: _ 0 
p' 
-
_ p' .ab + T • b. a 
' x ~ 
+ T • ba • 0 
Y R 
y 
p'. ah- 'r~. ~ +- ty. ab au 
R. R 
x .y . 
Ix T C • T .T + J. ;. + c 
x x y Y 
R", 
-
Y, 
.'" 
( 51 ) 
.. ,, -. - . -
Do ~ame da ' ~x~ressao . ( 51-Y, ve'-s'e que p'e forr;a" nomal por '~niciade 
de area, absorvida pela "a<;ao de cabo", nas dire<;oes' x e y, atravez das cur 
vatu~at t:;·e. -.e.y.-, ; resp ectiv8IUc:1te. A :orr;a tangencial S, a.:.sorve tambem um 
cwinhao ' das forr;a:~ e:<ter~.~s ·: · atrav~z de 11m oecanislDo, a qual nao uossui equi. 
.. , 
val~te na "ar;ao de cab~''', po r ser es sencia l mente uma ac;ao em duas direr;oes. 
., -
Assim,'indique!Jos ' po: ; 
Sx inclina<;ao ~a direr;2o x, cia membrana ao longo do lado AB do ele-
mento. (Fig. )-2 ) 
s I ,. inc1inar;ao ao longo do lade oposto CD. 
x 
A 
1 z 
(bJ 
( Fig. )-2 ) 
~Sl 
Vista que, t represe~ta 0 valor da v ariar;ao de inc l inar;ao Sx na diTe-
- xy 
c;ao y, por unidade c e compr i~nto b, tem-se; 
s I x - Sx + txy' b . . Analogamente sy = Sy + t xy ' a 
A resultante na direr;ao z, das forc;:as 5 (Fig.3-2-.!:» e por conseguinte igual 
a' , 
- 5.a.sx + 5.a.s ' x - S.D.s + 5.b.s' . ou; Y Y 
Sa.s + 5.a. (s +t .;') - 5. b .sy + 5.b(sy+t ,a)· 2.S.t .ab. x x x)' xy xy 
Portanto, a componente normal p".a.b, na dire<;ao de (-z), deve ser equil~. 
brada pela resultante das forr;as tangenciais 5, isto e; 
p" .a.b .. '" 2.S.ab.Scy ou 
p" .. 2.5.t 
xy ( 52 ) 
Conclusao; p" e 0 quinhao 'de carga por unidade de a r ea, absorvido pelas fo£ 
c;:as tangenciais, atravez da curvatura torsional; isto e, txy L.Portanto; 
s.c ' . y 
p" '" ( 53 ) 
---- ----
J • 
I 
., 
I 
l! II 
I 
iI. 
i 
.-1: 
1 
; ... 
'1-~:'."i~ -
, I 
38 
~. 
Ora, total p=p'+p" , unidade de absorvida pelas " ten a carga por area 
soes de membrana" • ~e£a; igual a; 
.. p' + p" .. T +: T + 2.S P x .J. (54) R R Rxy x y 
( efeito- cabo ) 
Conclusao; analis2{ldo-se a -expressao ( 54 ). ve-se que a capacida.de 
. '. ~:. ..... 
resistente da me~brana, ~:pende ~s~cialmente das caracteristicas geometri 
~ 
cas d·a me sma', ou seja das curvaturas nas dir~~o~_s x eye da curv'atura 
_i"~ .,- , ,,. .. ' <IIJf... " . 
siooa1. -Ass1~,~:wna . ;emor~~' plana (sem curvatura nas dire'ioes x -e y e 
tor 
sem 
co • nao pode absorver 
.ga nor:ma 1 a , mesma . '..;d;.":-:~ 
. ..~. Qu~do · as . direr;~~'s 'x:. e y, ~ao .direr;oesprincipais de curvatura 1 e 2 
,. . 
da :superf lcie- <;la menbrana, entao' a curvatura torsional t .. t .. .. OJ e a a 
XY 12 
. ~ao das t ensoes tangenciais desaparece, resultandoj 
I 
+ !.2. 
R2 (55) 
Caso Particular - No caso da superflcie da membrana ser cilindrica au 
conica, Rl co a forrya normal toma-se, 
(56) 
Neste caso particular, 0 esforryo T2' e chamado de "forrya de arco de 
bar'ril" ou "forrya de tonel". 
A carga total q, por unidade de area sobre a membrana, tern em geral, ~ 
lern da componente p, uma componente atuando no plano tangente .a membrana_ 
Esta componente tangencial de q, e tambem absorvida diretamente pelas tense 
es tangenciais situadas no plano tangente. Portanto, a carga total q, sera 
absorvida pelas tensoes de nembrana, desde que, nao se desenvolva cOlIIPre~ 
sao em nenhuma direryao. A grande estabilidade da oembrana pode ser agora in 
tuitivarnente compreendidaj desde que, a forma da o~brana, nao consiga ab 
sorver a carga total, pela "aryao de cabo", en tao a "ar;ao" de cisalhamento 
passa a absorver 0 excesso de carga, sem que haja uma mudanrya da f~rma da 
mesma. -veja expressao 54 ). 
3.2.1 - Membrana de Tensao ' Uniforme. 
Para esta membrana, como e 0 caso da ''bolha de sabao", os ., esfo!.· 
~os de superflcie sao uniformes em todasas direryoes e como consequencia 
-tesulta T' =T .... T e S .. O. Assim, ' da expressao (55) vir~ ; 
x 'J 
p .. T (_1_ + 1 ) = T ( ~ + c 2 ) 
Rl R2 
Logo; .l ____ + ____ p _____ --l 
_ c l +c 2 ( 57 ) 
• 
• 
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• 
• 
-" 
3.3 - Membranas de :\evolu<j20 
Ja vi.mos que, no cas o de, su?e~ici ~ s de revolu<;ao (fasciC'.:~o 2) as dire 
<;oe s das curvatur as yr inci ?c~s , coi~ci dem com as direc;oes dos planos merid~ 
nos e do ?:3..110 ort0c";o n.1: '" este . '!':~::ldist '.:, se a ::!embrana de re'\o;'uc;ao esti 
ver apoiada e carr~ada _ s~::letri~nte e= re~a<;a~ ao eixo de rotac;ao, os 
esfor <;os tangenciais S, nas sec~es ,=ericiia~s , ces aparecem devido a s~me 
tria do ca~regamento j por conseguin:e, a~ tenso~s nas dir ec;oes princip.a is ' c£. 
inc icie:n con, aquelas > da cu:-.-atura ;::incipa:" Po:",i~so, a notac;ao Tl.:T., den£. 
'tara oesro~c:.-:~lu~e.~~-7~~no , =~ciano; a _riot a<;a o T2 = T3 ' jenotar a 0 
esforc;o at~'.indo-segUfiao,-6s _ ?:l~'z:1~ para~elos, por ~aidage de ,~)..~~~o (F :i g.. ' 
3.3), bem CO'JlO,R l e 0 raio do ' plane '::leridiano e R2 0 raio prin ~i p'~t '~o ,' pla-
C{:." 
no ortogonar ao" _ p_a~io mer'1--ii~0.: :' ~ acon:.:- com 0 que foi d ito a:ras, isto e, 
S = 0 (, simetri a de carre£.;=eneo e c?oio 
001; , 
y ' r ; 
I ~ 
, ,0 
!' + ~ R, 
cia equac; ao (55), vi ra 
( 58 ) 
Ai it.. se~a:adam~te , podemos usar a equac;ao 
que estabelece 0 es eado ':: equil: '::io na ::~re<;ao ver tical do se:or de rrem 
brana situado ,abaixo do ~c :alelo :eiini::o pelo angulo '-P. (fig . 3 . 3) 
T", 
T6 '\"/ ___ --1--------
--_ ....... \ 
/' \ /' \ ........ 
! \-
""--=- --
-.......--
'--
(0 ) 
( :~3 . - 3 - 3 ) 
Devicio as 
carga ? , se 
: ~ndi~:es de si=~t r ia axial , as compon entes hori zontais da 
anulam =utuam~:~ (Fig,3.3 . b); ?or tanto, a resultante 
for<;a '''lrt~c~lc :;ue c:-.ac:aremos de Qz. Por ouero lado, a re rort;a ?, e t.Da 
, -, ('r . 
" 
, 
I 
.. 
'! 
.. 
J 
.. 
~, 
' .. 
If 
~ l 
i ~o 
- -
-~~. 
su1tante das componentes verticais de T~, ap1icadas oos 1imites do setor 
circular de raio r (Fig. _ 3 :3-.a). e igual; 
( . T ~ ' . sen <f. ) ,211 .. r - resul tante das componen,tes verticais de Top -
.. 2~.Tf.r. sen'f''' 211 T
f
. R2 .sen 2'1' 
Logo; 
1: V .. 0 
Portanto 
-. ( 59. ) 
-' -' . 
~ ·f~i •. :~~; . __ • . ,,:~'. 
Res~lveh~ .O:-;£ •. ?8 ) .. :. ( 59) vira 
", . l'": . . . ~~ .. . '" . .... - . 
rTa - R, ( P ,:1'1' 
!\l 
... ' . ~-
( 60') 
3.3.1 - Cas o Particular - ~embrana Esfe rica de Revoluiao. 
.. : - -. 
No caso particular da membrana esferica R1 = R2 .. R. Logo das expre~ 
sces ( 58/ 59/60 ) '. tern-se 
p 61 ) 
( 62 ) 
Te p. R - Tf ( 63 ) 
3.4 - Exemplo Numerico. 
"Um ba1ao de nylon de espessura h=O,05 cm. e raio R-30,48 metros e 
inf1ado com uma pressao de p=O,014 Kgf/cm2 . D~erminar as teosOes de tra~ao 
que se desenvolvem na membrana". 
So 1 u<;-&o; -
1 devido a simetria do carregamento Tf ·= Te - T 
2 da equa~ao ( 61 ) vira; 
p -
Logo; 
L 'Lp 
R 
T .. T T ... ~ .. 0,014 x 3048 ;; 21,33 Kg~ Ion f=.e 2 2 
3 calculo das tens oes 
~ -trac;ao T h ~1,33 0,05 
-.,.e--
-.. 426,0 Kgf I cm2 
3.5 - Membrana Esferica 5ujeita a A~ao do Peso Proprio. 
Seja; ~ .. peso proprio da memb rana ( Fig. 3.5 ) 
... 
• 
• 
• 
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• .• ' 
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• 
• -- 'T 
T~ 
r 3Rsm~ / 
!------~. ~pa.c"sl" 
.. 
-~,,:. 
., ~/ -J. I 
- , / 
-. , , . .ReI> 
. ... ..:- . . " . 
.... 
(Fig', 3.5) 
' jJl, e-O peso w do setor da membrana de abert ura T igual a soma cios pesos 
> 
p ar c iai s :l0S i :1 :: l'ri-tos _nU:n2ros ci~ a?eis paral,o ~os de :argura ?.d 'f ' (Fig .3. 5) .P~ 
d~o,s esc:-eve p,; : l.: = peso do and infinitezi::.d = (2 " r') (R citf')w 
.. ~- , 
(2~ w ) r' c 'f'.R .. (2 Co _) ;\2.se;) 'f 'd f" 
.~ :_ d w . = 2. ~.R 2 wi...c sen Yd '7" = 2~ ,R 2. (l - cos<f)w 
o 
~ condi~ao de eq uilib r ia seguncio a ve:-:ical nos f orne ce a rela~ao; 
na. 
2<;,--, 
'..I 
.-f! ' sen If) . ( 2.': . r ) ou 
" 
~ .s e n ~). ( 2. r . Rsen 'f) = ~ 2 Ii Rsen 2 
-'f .~ 
R ~ . (: - cos'f' ) If 2~R sen 2 'f. )onde; 
'!"'f' = (.:..! _-_c.:..o.:..s=--If...;):....J>;(.,'---.:...-;.R = (;j R. (1 - c os '0) = 
1 - cos: :.p 
"'wR 
(l - cos Lf)) (l-cosY~, (l+cos if) )Logo; 
w R 
(1 ,+ cos 'f) (64) 
I() , 
0 esfor~o Tf acima, e um esfor<;o de tra<;ao e::l todos Assim, para; 
a ) 'f '" '". /2 • wax r~· = w .R 
:,) If' = 0 '. iti'r. '" :.J .:, ..,::; 
= 
- 2- ' 
Com 0 auxilio cias expre3soes (6 3) e ,, 54) , e sendo p 
( t2 I lCO S , - + c os '-? ' 
'--_ ________ -----___ .:..) __ --1.1 
..l .R (65) 
A an;lls2 cia ~x?re5s ao(65)n03 ~ostr ~ U 2 0 2sior~0 
au, 
o s pontos 
= w . cosf, 
sera de 
quando, _ 1 
cos 'i'~ --'--- :'5CO e' 
, 1 + cosf ' 
cos 2 'f+ cos~ - 1 = 0 
Reso lvendo e :a u1tiwa equa<;ao , tem-se; 
- 1/2 + ~ - 0 62 _ 'P; 5io ';'9 ' 
da membra-
vira; 
c:-a<;ao 
Conclusao; descie que 0 an£ulo c: abercura ~ <51 0 49 ', a meo;,:ana esferica ?ode 
absorver pelo "efeito- cabo" , o ~: u peso pr op :'0 . Para -( >5 1° 1.:;' , 0 "efeito-cabo", 
desapa rec e , pois Te passa a seI um esfor<;o ,e compressao. 
3.6 - !1embrana Esferica Suj eit I a ,:..<;.30 de :oa Ca r ga Cnii o=ement e Disc::~ ::; ~i.. 
da Sobre Urn ?lano Horizontal. (Fig . 3-6 ) 
, 
,., 
Ie 
:J 
..I 
,. 
:~ 
" 
, 
" 
II 
'I 
.J 
B. 1 
..... ~ .. 
. 
... ...... ~.~ .. -.. 
~ .. 
"~I"~ ,' •• ", ,1 I 
- .,.- .. - .' . 
. .... 
~~~~~ 
(eJ 
A'a_A ___ ' _ 
... ,.. -,.. .,.. 
~" . 
.\ (Fig. ~3. 6) (b) 
Seja q-e= q' carga un.iformemente distribuida sobre 0 plano horizontal. 
A result~n t e d e q , sera: 
Qz. :' ( 11.r2 ) q = q 11 (R2 , sen2 lf) 
. A result c3 te das componentes verticais de Tf ' e igual a ; 
~Tf 2.11.r) Tf.,sentp= 2\j < R sen 'f) .T'f, sen'f 
Para 0 equilibrio segundo a vertical, tem-se: 
Logo; 
Portanto; 
Qz '" RT 
.p 
q 11 • ( R 2 , s en 2 If' ) 2'11 "( R. sen'f). T'f .sen 'f. 
66 ) 
A co~ponente 
area, e dada p~r; 
gente a I membrana 
,- " 
P', segundo a normal a merrbrana da carga q, por unidade de 
, ' 10 I P = q COST, onde , A' = area da merrbrana segundo a tan-
_ A A' - -
-- '=<fT.' sendo A = area unitaria em projeo;:ao horizontal. 
'cbs" " 
Logo; , A' 
COSf' 
Portanto; 
p >= p'/A' 
. . I 
co sf I 
q.cos'f'l 
1 
COS,/,i 
(Fig, 3.6.b ) 
Coo 0 auxili; das equao;:oes (63) e (66), vira; 
I 'Ie" q.R. <cos 2 tp- 1/2 ) - 1/2.q.R.cos 2'f 
''-----------.1 ( 67 ) 
Do: exame desta ultima expressao. ve-se que, si cos 2,,:: 1/2, isto e, 
cos'f<1~' portanto f >450 ,0 esforro T toma-se negativo, isto e, tor 
. y :2 Y e 
na-se um esforo;:o de compressao. 
Conclusao; quando'f >45 0 , para que a membrana absorva a sobrecarga, P!:, 
o 
10 "efeito-cabo", isto e, sem desenvolver tensoes de compressao segundo oS' 
paralelos, a mesma devera mudar de forma georretrica. Nesse caso, 
que a membrana e instavel para uma abertura angular '1'0>45 0 • .~~ 
diz~ se 
• 
• 
. ' . .....:-
--;..~: - -:"' .:. 
• 
( Fig •. 3-7 
Seja uma Qembrana conica de abertura n, sob a a~ao do seu peso pr~ 
prio w Fi g. 3-7 ). 
De acor.2J .:~m a ( Fig. J-;l ), 0 peso do cone de£inido pelo paral~lo x. 
" 
igual " . c, 
" 
J.Il . • -S ,0 6nd.e; 
S 
Co;:': r = x. sen a , vira ; 
w· . ;X 2hdx 
o 
x . l 2l r · d x 
2tw(sen a) JX xdx. 
o 
... ,[ = (2. r.w ;:2) sen a ='i_ x2 . sen::. = (1i w sen a) x 2 
~ :~ndi~a0 de eqG ilibrio segundo ~ ' verc: cal fornece 
D o:-,~e ; 
2·. r r ).T •. cos a= ~wx2 sen.:::'" '" 
xT '" x 1 
2 cOS .n. ( 68 ) 
, 
~D~e~t~e~rrn~'~:n~a~x~a~-o~d~e~T - De acordo com a equa~ao ( 56 ), tem-se para 0 ca 
- 2 
so de =ambrana conica; 
T2 
P ~ -----~ 
~2 S ; 
p w, sen c:: ~ '"' x. tancr 
Logo ; 
Por tant o ; 
2 
sen ex: ( 69 ) 
cos ex: 
Note-se que ambos os esfor~os neste caso sao de tra~ao. 
3.8 - Meroranas Estabilizadas. 
As melP.branas podern ser estabilizadas por urn "pre-tensionamento", isto 
e, atravez de urn estiramento 0 qual provoca uma tensao de tra~ao inicial, de 
maneira que, a maxi'~ tensao de compressao c evido as cargas externas, seja 
sempre inferior a tensao inicial de tra~ao ccasionada pelo respectivo estira 
mento. 0 "pre-tensio~ntQ ", pode ser obtide por for~as externas apl icadas 
nas bordas das membranas fechadas . ~ facil \'er, que 0 "pre-tensionamen to" ob 
'f;' 
. .1 Ii' 
.P' 
" 
4 ' 
. 
.. 
. . . 
--~--
It It tido ' pOI' for~as externas nas 'bordas das·· me.mbranas pOde ser somente aprrca~-
;a ___ _ 
I' 
no caso das "superficies antic1asticas" ou superficies tipo "sela de cava10i 
assim. pre-tensionand'o '" uma menlbrana descarregada. 0 esforc;o externo P. e 
zero ~ Portanto de ( 55 ), virA ; 
T1 ~~. T2 
o - ---- + ---- . ~ . R2 
oU; 
. ·l_._. ___ . :~1=' _____ :_2_. _.::...... 
. ~ ;··.· 1· 2 
( 70 ) 
Visto que, T1 e Ti , sao ambos esfor~os de tra<;ao. lsto e.pctsi;ti.vOS',l~ 
go para que' 0~" 2:s membra ;;ej-a. po.si.tivo .~~em, os sinais de R1 e R2 • . ;deverao 
s.er opostos. Uca ·d ~ s __ c.u~-r~ra-s ~tr l?;ip~is estari vo1tada para cima e a ou 
tra .para baixo . . -'.~" ""':~ ~..: 
-
"It 
Parte 4 
CASCA DELGADADE REVOLU9AO COM DUPL~ CURVATURA 
I 
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- - -~ _. ---..-
.: 
. 
r 
.. 
:1 
:.. 
4. GASCA DaG.~A DE R::VOLU<;.;O CO~ Dl?U CURYATURA 
4.1 - Generalidades 
A caSC3 delgacia, e uma membra~a curva, a qua l sob a a~ao de cargas ex 
ternas , d~se~~olv e :cnsocs de ~emb :ana, isto e, :c~soes de tra~3o, co~re~ 
sao e t angen.:ial. A casca cie lgacia cieve ser fci ta Ce material que ?ossa :e s i~ 
tir a tensoe; de c o~?:essao como de :ra~ao. Tais ::2:er iai5 poderao se r;~e ta~ 
madeira, Concreto armado, plastico, etc •••• Evidentemente 0 material idea L 
para a co nst.: \..-;ao Ii~s Cqscas delgadas , e 0 concre: o armado, devi::-:: a 
.. .. . ., . . .: ' . fa 
cili dade de aoa?t.lr ':' se · as.· formas ct:: ,·as. Geralmente · as cascas cielgadas 
volur;ao sao "·.:ons ·~i~';Ji~das ··· peT~· : cas~·a propr.cam.e'nte dita , a qual sc apoia e:: u;n 
gnel de borda; es te u ltimo nao sera ~ecessario, se a casca delgada for de 
meia esfera ( ~30'1.··:-.~: rcapac~cade :es~5t~nC2 cia ca sc.~ e dada pelo s :sfo : ~cs que 
- ,..,.. . , "' ~ . " -
s e dcscJlval ·:: ::r ·s~gundo _ a.r.c ".s que s·cguem as d irer; ae s dos oeri dia:c5 ( ii &. 4.1 ). 
Os meridi2:: ':5 ~· rans ::"it etJ esrorr;os c: compressao e os' paraielo s s::uados aci-
ma do parale~ o ci~ fi::icio po: ~ aogu:o Cl = 51949' \ a:1gu lo formad a ~ci3 
cal que ~c5sa ?Cl: cen tr o e 0 raio de curvatura principal R~ ) t:ansc~tem 
esf3rr;os ~e :c::p:essaa , enq~an t o que, os situados aba ixo ciaquel.:: paralelo a 
traz def i:1i::~ , trans::item ~sio r r;os ::e . tra~ a o . 
Afie de ?oc~ : .:iese nv0 1ver " t c<lsoes ci e membrana" s obre toda sua superfici e , 
a casca cie1;acia cievc:a ser au es t a: eorre:a~ent c apoiada ; aSSl:: sendo, um 
apoi o adc<; ":<.io e 2<;..:;::1 e qu e dese nvo1ve t ac:,e;n ":-ear;oes de memilra:1a" , isto e, 
rea~oes que acuam 00 plano tangente a casca, nas bordas, e pen-~te que as 
mes.mas se cies.i.oque ru , isto e', des10camentos estes devicos aos csiorr;os resul 
tantes das : ensoes de memorana . 
Se as :- ea-;:oes de 2;;o io nao rorem tange n t es a cas ea ou se os oes iocamentos da 
memorana :~rern ic?edicios ?e1o s apo l os,2£ cascas ae senvviverao :ambem :ensoes 
provinien tes · da ilexao, as quais s e local i zao nas vi z inhan~ as das bordas , 
ocas.ionancio uma "?e rturo ii~ao de oorda " 
Se a f or::_<. cia ca s ca e os apoi os i or.::= ambos e s co lh idos i nC:l :re taoe:1 te , a 
casca ci~s~:1volve : a tenso~s de f1ex~:l e= coda s..:a superiicie, e conscquente-
mente a ~e5~a nao pode ra s~?orta: as cargas exce~as , somente com a considera 
f! 
J 
(fig. ~ . l ) 
-.. . 
.:.. 
- - ~-----' 
r 
48 
iii 
--
. - . ~- -~ -
ri 
,. 
Y. 
" 
'. 
- -~-. - - --- -:) .. 
4 . 2 - Consice:-a~oes Sobre as C;.sca.s ;)e1gacas Si::let""icamence Car::;:.g adas. 
19) 1.:::la casca de1gada com al ~oios continuos eo coda sua periteria, a?re .-
senca coW?ortamento analo! :o ao da mem:,rana, isto e, desenvo: vera s o:::",n te 
-" . II 
. censo,;s r:or:::alS 
(si:::e ::-ia ) , . " .... ~ 
( tra<;io ou coW?re~ sao ) e e sfor:;o ta:: ge:ocia1 :: .... io 
"': " . 
29 ) So caso cas c ascas serem apoiadas em ?O::ltOS iso1ados ou separaiGs, as 
curvas dos esfor<;os(isostaticas), teriam 0 aspecto aproximado de acordo 
com a ( :ig. 4 . 3) 
39) Se a cas ca de 1 gaca I por ex e:np 10, a cupul a esferica , nao for cie "::le :'2 
esfe:-a II :o~a-se necessario ~olocar na parte inferior da meslLa , 
um anei, 0 qua l ciever~ trabaLhar a tra<;ao, visto que, cera de absorver ao 
e::lpUXO io rizonta l ' cia cupula. Atualmence costuma-se protender c refer: ~: 
a::lel I :0::: 0 ;~= sa consaque uma co~ressao anular nas bordas, ce cal ~ :- ~:O 
~eza G~; an~ia= as :e~soes ce tra~ao, provQcacias pe l a cargas externas,ia c :~~~ 
ao-se 0 ?eso ?roprio. ( fig . ':' . 4). 
(rig . !.. 4 ) 
.----- - --------~'-------.:-----=------"'.~.-
• , 
-~-.. ~-- .... 
-49) Se a casca nao estiver totalmente apoiada em seu contorno, se desenvol-
vera na me sma uoa "perturba~ao" 'na dist-ribui<;ao das tensoes internas 
nos locais ce apoio. Para , resolver este problema • Nervi, em sua obra"Pala-
cio dos Espurtes", ' co loCQU um conjunto de aduelas de forma tr1angular, as 
quais forneciam por um lado, 0 apoio continuo a cupula, e por outro lado 
transmitiam· ca,rgas c:oncentradas as co~unas. (fig. 4.5). 
~ 
.... .... 
(fig. 4.5) 
/ " 
(fig. 4.5) 
49 
50 
-. 
. ~. ~ -
~. 
59) As tensoes de ':lexao(tensoes secundarias)desenvolvidas devido ao impedl 
mento ao deslocamento da borda, podem s~r ilustradas pelo compor~amento 
est:utu r al :ie uma cupula csferica,a qualseachando sob a ac;ao de seu peso 
' pro?rio, a?resenta a tenceneia de se expand'ir segundo os pIanos meridillnos 
(fiE,. 4.6) 
.' . ~~.- .~. tt l . 
. ~. 
- -H H 
--' -.. 
... -':..0..... .:-": ; '.)' ~ ' .. 
- ; 0) (b) 
. .. . ....... 
( : ig . 4.6 ) 
'0 i=?eci~e~ : o ao ceslocawento radial, gera uma reac;ao horizontal radial H 
( t / =), a ~ cal nao send o tangente a casea, gera momento fletor em torno da 
Dorca , :> c;ual por sua vez cria te:lsoes ce flexao ·(Fig. 4.6 . b). 
69 ) A easca delgaca nao pode absorver eargas concentradas, somente por"efei-
to de oembrana ", pe 10 fate de que a deformaC;a~ da easca sob a earga eo~­
centrada, envolve tambem novas curvaturas loeais e portanto tensoes de fIe -
xao tambem. ( fig. 4, 7) 
(fig. 4.7) 
- ' . csta v~sto portanto , para que a casca se comporee como uma membrana, sao ne 
cessarios os segui:1tes req"..!esitos de projeto e cond ic;oes de eargas, isto e; 
la ) A casea devera ser delgada, de espessura constante, ou entao, a mesma de 
~era variar gradativamente de modo que se evite variac;oes bruscas. 
2a) A easea devera ter uma forma adequada, isto e, a superficie da mesma 
deve ser continua e a curvatura nao podera variar senao gradativamente. 
3a ) A casca devera estar submetida a cargas distribuidas que variam 
nua e suavemente, isto e, sem variac;oes bruscas na sua "intensidade. 
conti 
4a) A easca devera estar corretamente apoiada de tal maneira que os esforc;os 
que atuam na borda da mesma, devam ser tangentes a superftciemedia; as de 
for-...acyoes na J or da devem aeomodar-'sc ou aeompanhar as deformacyoes dos ele 
mentos cont1 guos. Como isto na pratica nao e· posslve.r verifiear-se, devem ser 
tomadas as medidas corres pondentes para tornar as eoac;oes um ~n~mo possiveL 
"01/, 
... 
I -, 
.,.' 
--t, . 
:.- ---- .. 
- .-~ 
A "tec:-ia de =cClbrana" pOG-= ser t a::.Jem apl:.cada eo casos t! s pecia :' s; por e 
xemp10, no caso de uua "caq;a linea: " que ?ossa ser decollI?osta segundo a s 
tan ger. : =s a seu mericiano descontim:o como s e indica na fig. 4 . 8 . 
/ 
/ 
.... 
( fif,. 4 .8 ) 
, ... .. -
4 . 3 - :'":156': 5 ce ~!e==~an~ .. _ Casc" de Re\'o luc;ao ::om Simetria !-_x:'a1. 
s eu ::'>:0 CE: :- o ta <;:ao, sao a::;;.logo s ~ aq ue1 E:s da ":::e:'torana ce rota<;:ao "( r ac . 3). 
Cabe 
19) ~~vic o a siCle tr:'ade ca :ga e a? o io,os esfor<;: os tangenci ais S, nos ?la -
nos =-=: idiar.Js e ?a:alelos, desapa:ecec, visto q~e, pela slmet:ia nao ha 
~enc~~~ia Gas sec<;:ces se c~s liz~re= uma eo rela<;:a o a outra naquel$ dire<;:oE5 
29) Os es for~o s uni~arios nos meri~ianos e paralelos, serao ' indicados a::jui 
?or N • .p e 
I 
~ e ' r e specti"lamente, isto e, e 
(fig . ':'.6.<\) 
(fig. 4.8. a) 
-" ;;--.---
, I 
t . 
' .. 
" 
.-
-=-_. -= 
52 (Note-se que estes esfon;os sao por vezes referid· ... s como tensoes de membrana, 
embora eles tenham dimensao de for~a por unidade de comprimento) . 
. Os es for<;os ' 'uni tarios de membr ana \p e ~9 ' . sao ob t idos pe la "equac;ao de 
. met::':>ran a ja vista:1O f<isc r:: ulo 3.:'5,oe ; 
:-I" p · ·R 
· 1 
+ (71 ) 
--~. 
Par outro 2 a.o.o, a equac;ao · 59,fas·clcul.o 3, estabelecendo 0 equilibria vertical 
do s·etor-acima do para1.~lo 
. -:=~- ~. ~ 
'onde, 
.(f i g.4 .8.a ) . nos : :Jrnece· 
. / 
(72 ) 
? =coID?onen t e segundo a normal • da carga q 
Qzzresultante de todas as cargas aciua do parale lo definido pelo angu-
10 ~ . (Esta resultante e vertical devido a simetria) 
Os esfor~os ~'f e Ne sao considerados como positivos quando forec de 
compressao (fig . 4 . 8 .a ) 
Os resul tad os aqui obtidos, sao identicos a aqueles correspondentes ao fasci 
curo.3,com a diferen~a que aqui, os esfor~os de membrana sao ambos positwos 
(compressao ) ou negativcs .U:raC;ao). 
4.3 . . 1 ~Casca Esferica - Tensoes de Membrana 
(fig. 4.9) 
, 
a) Casc a Esferica sujeita a axao do peso proprio w (fig. 4.9) 
1 
Para este tipo de carregamento tearse; 
+ cos If 
I 
I, " 
M 
\ J 
1;1.: 
WR (cos 'f- __ ...:1 ___ ) (7 J) 
1 + cos If 
. ' 
- -
-.- -~ 
Nl "'WR : fJ max "l . ":.1 lIlax 
b) Casca Esfe ric a Suieita. a Acao de Carga Uniformemente Dis::ribuic{a q. 
(fig. ~.9) 
S'f' c .1/2 q.~ 
- 1 
,= q.R(cos-f --Z-) '" 1/2 q . R cos2Cf (is) 
NeJmax liZ q.,R min =-l/Z qR (tra~ao) (76) 
ct't~a~ Esferica $u ¥it.a aA~ao de Uma Pressao 
~ .. -.~ - -,. 
..p. , - .... 
>:s J 
,N e = 2 p.R. (77) 
4 ': 3 :.;~! ·~Ti: :~: 2';:1 i~~':' '~ (~ig.. 4 j O)' 
a ) , .~~~o _ ?e s o ?ro:::-: o _' 
.Para Oe s te ci ?C' i e cc.:-:e gamen: o te.oJ;rse; 
s~ ~:: So 
2) P -'- + -- 0 + ::: ?.2 R2 
sen2 :l N,o =( ) ! .. ;x (i8 ) 
- cas:: 
(fig. 4 . 10 ) 
• j" 
! 
~I :~ .1 
-
- - -- -
. ~ 
!r 
'1\, 
'1" 
if 
, " . 
II 
: ' ... 
~. 
Para 0 
- -
---
N 
x (79) 
s) Efei : o Sob:-eca rga ~-:1iforme-ente Distribuida q. (fig. 4.10) 
A e~ua~ao ~~ equi1ibrio vertical fornece; 
2 0 
Crr r ) q 0= .\: ~x cosc (2 11 r) OU; 
=0 ~ -cosa-:( 2 .1I oo~-o s.l:.n a 
_ .X o 
donde; 
-r. 
1 
·1 
.; ;;.. .. :.. N ":' 2 q.x .tg a .(~9) x 
... .. . 
..... 
-.. ~- . 
0. 0 
calcui.o de :\~ , tOem-se; (R1 & ex> 
~'1' 
II 
'" 
Nc 
+ 
R2 
o sen
3
a) q x ( 
cos a 
N 80 
0 + 
R2 
(81) 
4.3.3 - Casca em For:r.a de Parabo1oide de Revo1uCjao- (fig.4.10 a) 
(hg.4.10 a ) 
A equa~ ao ci a curva meridiana e; 
z = ( ) • f :J (82) 
onde; c = f 
..... 
O. 
... 
--, ----" 
-0s esf.J,:r;os de ::lembrana para este tipo de Cdsca, sao dados ?clas seoguintes 
formul"as; 
a ) Caso do Peso Proprio w 
i VI .., r I I I ~ .. u:C 2 I "If ---r (1 + K~) + K2 J (83) 61< '--I 
2x ~ ;~ce K 
.... _ c. 
~ 
Po'r ou ero lado, Ne. vale; 
.~I ----------------~------; 
_.' . -
Ne.. .. = 
2 
(8 f.) -!.:J C 
';, ' Caso ce Sobrec!![ga uniformemcn te dis::ribuida q. 
I A , 
"';.j . '" -
?ara cs t e caso ) tern-se ; 
'S'f 
Ne 
Casca 
, 
, 
::::1 
~ 
4 
9...£...-
4 
Forma 
) . (~) 
) . ( 1 ) 
V,l + Kil. 
de Elipso ice de 
(85) 
(86) 
Revolur;ao . (fig . 4.:1 ) 
(fig . -. 11) 
~m tal caso, someute se uti1iza a cetade do elipsoide de revolu~ao como se 
indica ~a (f~5 ' 4.11) . 
Os raios de curvatur~ principais em uma elilse de semi-eixos a e b,sao dados 
pe1as seguintes expressoes; 
R, = (87) 
" 
" . .,. 
" 
~'i 
·f- . 
r 2 
.' '. 
+ 
I .... . 
, r 
Empregando-se as coordenadas ortogonais x e y, i~dicadas na ' figura, tem-se; 
.. ; ," 
, 0 2 
I ;1 R, 
(a '. y2 + ~ ... x2 t- (89) 
Rl r r • J::: : 2 .. 1 2 a" b 2 
, ; 
).'._,-1'" 
,. :. 
lima' v'ez:di::'~~nados o~, raios" principais' de curvatura pelas expressoes aci!!la, 
'. -. ..., . 
en tao (fS -es:o'r9'Os"'~r>": - :e , ~' 8 ' poderao ser facilment~~terl!linados com . 0 
-auxilio das expressoes (71) e (72), ' atraz vistas. 
..._ ... -
4. ~ , 
" '. 
19 ) ";';uma ~as c a~se~i':'~ ;{erica de 7 cm de espessu:a e ralO R- 12,0 ~tros, ::e 
_ ..... .. .. . 
concret o armac o , ce ter.ninar a ~axima ce nsao cie tra~ao, devida ao ?eso 
propr io e a uma soorecarga uniforcemente distribuida de intensidade q Q150kgf / . 
. 1m2 • " . 
Solu~ao: 
a) Efe:to do 2eso proprio 
3 - 2 1) W = £I. e 2,4 tim x 0,07m 0,17t/m 
b) Calcul0 de Kj e ~3' 
Segundo as equa~;;es (73) a (76) tea:-se; max N 
If 
Nl 
. <fJ max WR + 1/2 qR '" 
017x12,O+015x12,0 
max NIf' 2,04 + 090 '" 2,94t/m = l.94U kgf/= 
mln ~e NeJ WR-1/2.q.R = - 0,lix12,0-1/2 x 015x12,0 mln 
min Ne - 2,94t/m =-2940 kgf/m 
c) Calculo das cansoes 
G Nil 
2940kgf 2940 
1 ) max 4, 2kgf/= 2 (comp. ) 
c 10O . e 100;.:; 700 
G Ne 
2940k6! 2940 2 2) mln - --- - 4,2kgi/cm (tra<;ao ) 
c lOO.e 100x7 7eO 
Pa ra absorver as tensoes de tra~ao no plano do equador, necessitaria 
-mos de uma arma<;ao metalica igual a; 
S '" f 
2940 Kgf/m 
? 1500kgf / em 2 I , 96 cm 21 m ou 
seja; 1 ferro de f l/ 4" cada 15 cm (categor i.a CA-24) 
29)"Qual seria 0 maxlmo vao de uma cupula esferica de concreto armado,de 7 cm 
de esp~sura, capaz de resistir seu peso proprio, com uma tensao admissivel 
de (j .. 70,0 Kgf/cm 2 , si nao existisse 0 perigo de flambagern?/I 
c 
•• •• 
• •• 
• 
• 
• 
Solu<;ao; 
19) peso proprio W " 6. d " 2,4 c/Jx o,ojm. 017t/m
2 
29) Calculo do e sfor~o ~aX1mo de compressao; 
"G '= max !''f 
c 100. e_ -
N 
'P max 
max N<f= 70,0 x 100 x 7 " 49.00::~g f/m 
Mas sabemos que WR 
'49. OOOkd 1m 
170 kgf/m 2 
288 me-tros 
(j .100.e 
c 
OBSERV,~yAO 
, 
A.considerac;ao do "efeito de flambagem " da casca , reduz subs 
tancialmente esse valor . 
- :----=:---
...,... 
'to ... 
~. ,;;-;', 
... - . .,: .. . 
.. . 
... ; ....... 
----------"" 
. _~~4:--:"""'::":;:. 
_.-..-:..--
• 
- .... 
• e- · 
Par te 5 
CAS CAS E~ PA~~OL6IDE S HIPERBOL ICOS 
.~ 
... ..... -
...... # ~ ' . . • 
:.. .... :: ~ •. -- ~, 
" 
.' 
- . 
-, 
" 
, " 
·f 
5) CASCAS FORNADAS ?OR SUP ERF lc 1£S .~TIICLA5TICAS - PARABOL6IDES :i IPERB6LICOS; . . 
5.1 -Entre as su?er~icies antic~ .ast~cas de defini~ao geometrica simples, ~ 
xiste um grupo de superficies c~amadas "regradas", que apreSe:1tam a propri~ 
d a':e

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