apol 4 álgebra nota 100

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Questão 1/10
Marque a alternativa correta quanto ao conjunto A = {(1,0,2);(0,1,1)}:
	
	A
	A é linearmente independente.                    
Você acertou!
Resolução:
Como A é linearmente independente e não gera R³ e, além disso, não faz sentido falar em base de R², são falsas as alternativas b, c, d.
	
	B
	ger(A) = R³.
	
	C
	A não é base de R³, mas é uma base de R².
	
	D
	A é base de R³, mas não é uma base de R².
Questão 2/10
Considere a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0). Analise as alternativas e responda a correta em relação à como é possível classificá-la?
	
	A
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que é linear.
Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b,c) e v = (d,e,f), tem-se:
T(u + v) = T(a+d,b+e,c+f) = (a+d,0,0).
T(u)+ T(v) = T(a,b,c) + T(d,e,f) = (a,0,0) + (d,0,0) = (a+d,0,0).
 
Portanto, a primeira condição se verificar.
 
Verificação de k.T(u) = T(k.u):
Dados u = (a,b,c) e k real, tem-se:
k.T(u) = k.T(a,b,c) = k.(a,0,0) = (ka,0,0).
T(k.u) = T(ka,kb,kc) = (ka,0,0).
sendo assim, como a segunda condição também se verifica, T é uma transformação linear (neste caso, um operador linear de R³).
	
	B
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0)  obtém-se que não é linear.
	
	C
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que é linear.
	
	D
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y,z) = (x, 0,0), obtém-se que não é linear.
Questão 3/10
Em relação ao conjunto {(1,2,3),(0,1,2),(2,5,7)} pode-se afirmar:
	
	A
	não é uma base de R³.
	
	B
	é uma base de R³. 
Você acertou!
	
	C
	é um conjunto linearmente dependente.
	
	D
	é um conjunto linearmente independente, mas não é base de R³.
Questão 4/10
Considere o conjunto S = {(1,2),(0,1)} que é uma base de R². Encontre as coordenadas de v = (23,18) em relação a esta base.
	
	A
	(v)s = (23; 28)
	
	B
	(v)s = (-23; 28)
	
	C
	(v)s = (23; -28)
Você acertou!
	
	D
	(v)s = (-23; -28)
Questão 5/10
Dada a expressão   c1.u + c2.v = w, em que u, v e w são vetores de R², avalie as afirmativas a seguir e marque V para as verdadeiras ou F para as falsas, depois assinale a aletrnativa correta: 
(   ) Se {u,v} for uma base de R², então a equação sempre terá solução única para qualquer w de R².
(   ) Se houver algum w para o qual a equação não tenha solução, então {u,v} não gera R².
(   ) Se a equação tiver solução para qualquer w de R², então {u,v} é uma base de R².
	
	A
	V V F
Você acertou!
Resolução:
i) VERDADEIRO: se {u,v} for base de R², todo w de R² pode ser escrito de maneira única como combinação linear de u e v.
ii) VERDADEIRO: pela definição de conjunto gerado, para {u,v} gerar todo R² a equação deve ter solução para qualquer w de R².
iii) FALSO: neste caso, pode-se afirmar que {u,v} gera R², mas não que {u,v} é uma base de R², já que não se sabe se {u,v} é linearmente independente (condição necessária para que o conjunto seja uma base de R²).
	
	B
	V F V
	
	C
	F F V
	
	D
	V V V
Questão 6/10
Verifique se o conjunto {(1,2);(0,1);(2,3)} é linearmente dependente ou independente e interprete o significado da classificação encontrada para este conjunto.
	
	A
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SPI.         
Você acertou!
	
	B
	conjunto é LD pois o sistema gerado pela equação é SI
	
	C
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPI.
	
	D
	conjunto é LI pois o sistema gerado pela equação é SPD
Questão 7/10
Qual o procedimento para verificar se uma transformação é linear? E qual o resultado obtido para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1) ?.
Analise as alternativas a seguir e assinale a correta:
	
	A
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que é linear.
	
	B
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que não é linear.
Você acertou!
Resolução:
Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se são verdadeiras as duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) e k.T(u) = T(k.u)
 
Verificação de T(u + v) = T(u)+ T(v):
Dados u = (a,b) e v = (c,d), tem-se:
T(u + v) = T(a+c,b+d) = (a+c,b+d,a+c+1)
T(u)+ T(v) = T(a,b) + T(c,d) = (a,b,a+1) + (c,d,c+1) = (a+c,b+d,a+c+2).
 
Como T(u + v) não é igual a T(u)+ T(v), T não é uma transformação linear.
	
	C
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou  k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que é linear.
	
	D
	Para verificar se T é uma transformação linear, deve-se checar se é verdadeira uma das duas condições dadas na definição de transformações lineares, a saber:
T(u + v) = T(u) + T(v) ou k.T(u) = T(k.u)
Para a transformação T(x,y) = (x, y, x + 1), obtém-se que não é linear.
Questão 8/10
Seja T a transformação linear de matriz canônica igual a     . 
Então, está correta a alternativa:
	
	A
	T é uma transformação de R³ em R².
	
	B
	T é um operador linear de R³.
	
	C
	T(3,4) = (3,10,13). 
Você acertou!
	
	D
	T(3,10,13) = (3,4).
Questão 9/10
Considerando a transformação linear T(x,y) = (x,–y), determine Nuc(T) e Im(T).
	
	A
	Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = {(1, -3)}
	
	B
	Nuc(T) = {(1, -3)} e Im(T) = {(0, 0)}
	
	C
	Nuc(T) = {(0, 0)} e Im(T) = R2
Você acertou!
Resolução:
T é uma transformação linear de R² em R², portanto, é um operador linear de R².
O vetor (1,3) aplicado em T resulta no vetor (1,–3).
De fato, T(u) = (4,5) implica que se tenha u = (4,–5), já que T(u) = T(x,y) = (4,5) implica nas equações x = 4 e –y = 5 (ou ainda, y =–5).
Com isso: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem por T.
	
	D
	Nuc(T) = {(1, 0)} e Im(T) = R³
Questão 10/10
Seja B = {(4,5),(2,1)} e v = (10,20), determine as coordenadas (a, b) de v em relação a B:
	
	A
	a=-5 e b = 5
	
	B
	a=5 e b=-5
Você acertou!
	
	C
	a=5 e b=5
	
	D
	a=-5 e b=-5