Geometria Descritiva - Estudo do ponto

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Fonte : PRINCIPE JR, A.R., Noções de Geometria Descritiva V. 1, 36. ed., Sao Paulo : Nobel, 1983.
GEOMETRIA DESCRITIVA
É a ciência que tem por objetivo 
representar num plano (2 D) as figuras do 
espaço (3 D) de maneira tal que, nesse 
GEOMETRIA DESCRITIVA
É a ciência que tem por objetivo 
representar num plano (2 D) as figuras do 
espaço (3 D) de maneira tal que, nesse espaço (3 D) de maneira tal que, nesse 
plano, se possam resolver todos os 
problemas relativos a essas figuras. A 
Geometria Descritiva foi criada no fim do 
século XVIII pelo matemático francês 
GASPAR MONGE (1746-1818). 
espaço (3 D) de maneira tal que, nesse 
plano, se possam resolver todos os 
problemas relativos a essas figuras. A 
Geometria Descritiva foi criada no fim do 
século XVIII pelo matemático francês 
GASPAR MONGE (1746-1818). 
A compreensão da Geometria Descritiva só é 
possível se o estudante for adquirindo 
conhecimentos gradativamente. É impossível 
aprender a ler sem conhecer as cinco vogais. 
Da mesma forma, é impossível estudar 
GEOMETRIA DESCRITIVA
aprender a ler sem conhecer as cinco vogais. 
Da mesma forma, é impossível estudar 
Geometria Descritiva sem conhecer o alfabeto 
do ponto, da reta e do plano, objeto principal 
deste módulo do curso de Desenho. 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
A projeção de um objeto é a sua REPRESENTAÇÃO GRÁFICA num plano. 
Como os objetos têm três dimensões, a sua representação num plano 
bidimensional dá-se em conformidade com artifícios técnicos, para tanto, são 
considerados os elementos básicos da projeção. 
1. Plano de projeção 
2. Objeto 
3. Projetante, ou raio projetante 
4. Centro de projeção
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
A PROJETANTE é a reta que passa pelos pontos do objeto e intercepta o plano de 
projeção. Pode ser oblíqua ou ortogonal ao plano de projeção, dependendo da direção 
adotada.
CENTRO DE PROJEÇÃO é o ponto fixo de onde partem ou por onde passam 
as projetantes.
CLASSIFICAÇÃO: os sistemas de projeções são classificados de 
acordo com a posição ocupada pelo CENTRO DE PROJEÇÃO. 
Esse centro pode ser finito ou infinito, determinando: o 
SISTEMA CÔNICO e o SISTEMA CILÍNDRICO, 
respectivamente. 
Um objeto pode ocupar qualquer posição no espaço em relação ao plano de 
projeção.
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
Vejamos o que acontece com a projeção de um triângulo quando este muda de 
posição no espaço. No exemplo, vamos manter um dos lados do triângulo fixo no 
espaço e movimentar o terceiro vértice.
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
VEJAMOS AGORA CADA POSIÇÃO SEPARADAMENTE
OBJETO PERTENCE A OBJETO PERTENCE A OBJETO PERTENCE A 
UM PLANO PARALELO 
EM RELAÇÃO AO 
PLANO DE PROJEÇÃO. 
A projeção do objeto é 
exatamente igual ao 
objeto do espaço e 
dizemos que a projeção 
está em VERDADEIRA 
GRANDEZA (VG)
OBJETO PERTENCE A 
UM PLANO OBLÍQUO 
EM RELAÇÃO AO PLANO 
DE PROJEÇÃO. 
Há uma acentuada 
mudança na projeção do 
objeto, ele não está em 
VG, pois a projeção não 
apresenta a real 
superfície do objeto. 
OBJETO PERTENCE A 
UM PLANO 
PERPENDICULAR EM 
RELAÇÃO AO PLANO 
DE PROJEÇÃO. 
Neste caso a projeção 
do triângulo reduz-se a 
um segmento de reta. 
• Os elementos são:
• PLANO DE PROJEÇÃO, 
• CENTRO DE PROJEÇÃO NO INFINITO, 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
SISTEMA CILÍNDRICO ORTOGONAL
• CENTRO DE PROJEÇÃO NO INFINITO, 
• RAIOS PROJETANTES PARALELOS, 
• DIREÇÃO DAS PROJETANTES, 
• OBJETO E SUA PROJEÇÃO. 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CILÍNDRICO OU PARALELO ORTOGONAL (SPP)
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CILÍNDRICO OU PARALELO ORTOGONAL (SPP)
As projetantes partem do As projetantes partem do 
infinito e têm direção ortogonal 
em relação ao plano de projeção, 
isto é, formam com o plano um 
ângulo de 90º.
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CILÍNDRICO OU PARALELO OBLIQUA (SPP)
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CILÍNDRICO OU PARALELO OBLIQUA (SPP)
As projetantes 
partem do infinito e partem do infinito e 
têm direção oblíqua 
em relação ao plano 
de projeção.
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CÔNICO OU CENTRAL (SPC)
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CÔNICO OU CENTRAL (SPC)
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
As projetantes partem de 
um ponto determinado e 
deformam a figura 
original
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO 
A projeção ortogonal de um ponto é o pé da perpendicular baixada do ponto 
ao plano. Na Figura, A é a projeção do ponto (A) sobre o plano αααα.
A projeção ortogonal de um ponto é o pé da perpendicular baixada do ponto 
ao plano. Na Figura, A é a projeção do ponto (A) sobre o plano αααα.
(A)
projetante (A)A
Chama-se projetante de
um ponto, a perpendicular
baixada deste ponto ao 
plano de projeção.
(A)A é a projetante
Chama-se projetante de
um ponto, a perpendicular
baixada deste ponto ao 
plano de projeção.
(A)A é a projetante
A
(αααα)
(A)A é a projetante
do ponto (A). Denomina-se
“cota” o comprimento 
da projetante.
(A)A é a projetante
do ponto (A). Denomina-se
“cota” o comprimento 
da projetante.
CONVENÇÃO:
um ponto individualizado
no espaço - ponto objetivo -
é representado por uma letra
maiúscula do alfabeto latino
entre parênteses e sua projeção
pela mesma letra sem 
parênteses. 
CONVENÇÃO:
um ponto individualizado
no espaço - ponto objetivo -
é representado por uma letra
maiúscula do alfabeto latino
entre parênteses e sua projeção
pela mesma letra sem 
parênteses. 
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO 
Determinação do Ponto
Para que um ponto fique bem determinado, podemos empregar dois métodos 
diferentes:
• 1) Método dos Planos Cotados: utiliza-se apenas um plano de projeção e a cota 
(comprimentro da projetante) do ponto. Neste método, o plano de projeção é o plano
horizontal tomado como plano de comparação - este é chamado PLANO COTADO, por 
Determinação do Ponto
Para que um ponto fique bem determinado, podemos empregar dois métodos 
diferentes:
• 1) Método dos Planos Cotados: utiliza-se apenas um plano de projeção e a cota 
(comprimentro da projetante) do ponto. Neste método, o plano de projeção é o plano
horizontal tomado como plano de comparação - este é chamado PLANO COTADO, por horizontal tomado como plano de comparação - este é chamado PLANO COTADO, por 
que nele se inscreve a cota do ponto (positiva acima e negativa abaixo deste
plano).
horizontal tomado como plano de comparação - este é chamado PLANO COTADO, por 
que nele se inscreve a cota do ponto (positiva acima e negativa abaixo deste
plano).
A2
B3
Uma reta será representada pela sua projeção 
horizontal e pelas cotas de dois dos seus 
pontos. A reta (A)(B) da Figura seria 
representada pela projeção horizontal AB e as 
cotas dos dois pontos - o ponto (A) possui 
cota igual a duas (2) unidades e o ponto (B) 
igual a três (3) unidades. 
Uma reta será representada pela sua projeção 
horizontal e pelas cotas de dois dos seus 
pontos. A reta (A)(B) da Figura seria 
representada pela projeção horizontal AB e as 
cotas dos dois pontos - o ponto (A) possui 
cota igual a duas (2) unidades e o ponto (B) 
igual a três (3) unidades. 
PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO 
Determinação do Ponto
• 2) Método das Projeções: ao contrário do método anterior, que utiliza somente um 
plano de projeção, neste método, para que um ponto fique bem determinado, uma só 
projeção não é suficiente. 
Determinaçãodo Ponto
• 2) Método das Projeções: ao contrário do método anterior, que utiliza somente um 
plano de projeção, neste método, para que um ponto fique bem determinado, uma só 
projeção não é suficiente. 
A
(A)A’ A’ 
( pi pi pi pi )
( pipipipi’)( pipipipi’)
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO, PERSPECTIVO OU CENTRAL
• Suponha um ponto (A) no espaço e um plano qualquer (αααα). 
• No sistema de projeção cônico, perspectivo ou central, considera-se um observador 
fixo em (O) (também denominado de centro de projeção).
• Se fizermos passar por (A) um raio visual partindo de (O) até encontrar o plano (αααα), 
vemos que A será a projeção de (A) sobre o plano de projeção (αααα), e a reta (O)(A)A será 
a projetante. 
SISTEMA DE PROJEÇÃO CÔNICO, PERSPECTIVO OU CENTRAL
• Suponha um ponto (A) no espaço e um plano qualquer (αααα). 
• No sistema de projeção cônico, perspectivo ou central, considera-se um observador 
fixo em (O) (também denominado de centro de projeção).
• Se fizermos passar por (A) um raio visual partindo de (O) até encontrar o plano (αααα), 
vemos que A será a projeção de (A) sobre o plano de projeção (αααα), e a reta (O)(A)A será 
a projetante. a projetante. a projetante. 
A
(αααα)
(O)
(A) 
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OU PARALELO
• No sistema de projeção cilíndrico ou paralelo, considera-se o ponto (O) (centro de 
projeção) lançado ao infinito. Conservando-se o mesmo ponto (A) e o plano (α) α) α) α) da 
Figura anterior, a projetante será paralela à uma direção ∆∆∆∆ (delta). 
SISTEMA DE PROJEÇÃO CILÍNDRICO OU PARALELO
• No sistema de projeção cilíndrico ou paralelo, considera-se o ponto (O) (centro de 
projeção) lançado ao infinito. Conservando-se o mesmo ponto (A) e o plano (α) α) α) α) da 
Figura anterior, a projetante será paralela à uma direção ∆∆∆∆ (delta). 
A
(αααα)
∆ ∆ ∆ ∆ 
(A) 
A diferença entre estas projeções 
será melhor entendida quando 
estudarmos a reta...
CLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕESCLASSIFICAÇÃO DAS PROJEÇÕES
Reta (A)(B) projetada no plano (αααα) quando o centro de projeção está a uma distância 
finita (SPC) ou não (SPP) do plano
Reta (A)(B) projetada no plano (αααα) quando o centro de projeção está a uma distância 
finita (SPC) ou não (SPP) do plano
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CILÍNDRICO OU PARALELO (SPP)
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CILÍNDRICO OU PARALELO (SPP)
(O)
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CÔNICO OU CENTRAL (SPC)
SISTEMA DE PROJEÇÃO 
CÔNICO OU CENTRAL (SPC)
A(αααα)
(A) (B)
B B
(αααα)
∆ ∆ ∆ ∆ 
A
(A) (B)
A projeção ortogonal de um objeto num único plano 
não é suficiente para a determinação da forma e da 
posição deste objeto no espaço. VEJA PORQUÊ 
Os objetos são diferentes, mas observe que quando há uma 
sobreposição no espaço, as suas projeções coincidem!
As projeções no 
PLANO VERTICAL 
são diferentes das 
projeções no 
PLANO PLANO 
HORIZONTAL, 
isto faz com que 
os objetos fiquem 
melhor definidos
Gaspar Monge solucionou este problema com a criação de um 
sistema duplo de projeção que tem o seu nome: Projeções 
Mongeanas ou Sistema Mongeano de Projeção. Através da 
aplicação dos conceitos básicos de Projeções Mongeanas, 
qualquer objeto, seja qual for sua forma, posição ou dimensão, 
pode ser representado no plano bidimensional, pelas suas 
projeções cilíndricas ortogonais.
O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção 
projeções cilíndricas ortogonais.
O Sistema Mongeano de projeção utiliza uma dupla projeção 
cilíndrico-ortogonal, onde 2 planos , um horizontal e um vertical, 
se interceptam no espaço, sendo portanto, em função de suas 
posições, perpendiculares entre si. A intersecção desses planos 
determina uma linha chamada Linha de Terra (LT). Esses planos 
determinam no espaço 4 diedros numerados no sentido anti-
horário. Veremos mais detalhes adiante.
Podemos notar que na épura, as duas projeções de um ponto pertencem à 
uma mesma reta perpendicular à L.T. Esta reta é denominada linha de 
chamada. A distância de um ponto ao Plano Horizontal (PH), é denominada 
COTA do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância da 
sua projeção vertical até a linha de terra. 
A distância de um ponto ao Plano Vertical (PV), é denominada AFASTAMENTO 
do ponto; que em projeção é representada em épura pela distância da sua 
projeção horizontal até a linha de terra. 
PV
A2
(A)
PH
A1
AFASTAMENTO
(A)A2
COTA
(A)A1
AFASTAMENTO
(A)A2
COTA
(A)A1
A2
A1
A0
L T
ESTUDO DO PONTO ESTUDO DO PONTO 
MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE PARA DETERMINAÇÃO DO PONTO (A)
“Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares,
um horizontal representado por ( pi pi pi pi ) e outro vertical ( pipipipi’ ), que se interceptam segundo 
uma linha chamada LINHA DE TERRA”.
MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE PARA DETERMINAÇÃO DO PONTO (A)
“Consiste em determinar duas projeções ortogonais sobre dois planos perpendiculares,
um horizontal representado por ( pi pi pi pi ) e outro vertical ( pipipipi’ ), que se interceptam segundo 
uma linha chamada LINHA DE TERRA”.
CONVENÇÕES:
• o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado 
CONVENÇÕES:
• o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado • o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado 
na frente do plano vertical e acima do plano 
horizontal e, a uma distância infinita dos mesmos. 
• a projeção de um ponto (A) no plano horizontal 
(pipipipi) é designada pela letra maiúscula A, sem 
parênteses
• a projeção do mesmo ponto (A) no plano vertical 
(pipipipi‘ ) é designada por A’ 
• o ponto (O), centro de projeção, é sempre situado 
na frente do plano vertical e acima do plano 
horizontal e, a uma distância infinita dos mesmos. 
• a projeção de um ponto (A) no plano horizontal 
(pipipipi) é designada pela letra maiúscula A, sem 
parênteses
• a projeção do mesmo ponto (A) no plano vertical 
(pipipipi‘ ) é designada por A’ A
(A)A’ A’ 
( pi pi pi pi )
( pipipipi’)( pipipipi’)
Sobre cada plano, a projeção do ponto (A) é o pé da 
perpendicular baixada do ponto sobre o plano. 
Sobre cada plano, a projeção do ponto (A) é o pé da 
perpendicular baixada do ponto sobre o plano. 
ESTUDO DO PONTO ESTUDO DO PONTO 
Os planos de projeção, perpendiculares entre si, formam (i) quatro regiões que são 
chamados DIEDROS e, (ii) quatro semi-planos chamados:
Os planos de projeção, perpendiculares entre si, formam (i) quatro regiões que são 
chamados DIEDROS e, (ii) quatro semi-planos chamados:
1º diedro1º diedro
2º diedro2º diedro
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
HORIZONTAL ANTERIOR (pipipipiA)
HORIZONTAL POSTERIOR (pipipipiP)
VERTICAL SUPERIOR (pipipipi’S) 2º diedro2º diedro
3º diedro3º diedro
4º diedro4º diedro
VERTICAL INFERIOR (pipipipi’I)VERTICAL INFERIOR (pipipipi’I) (pipipipiA)(pipipipiA)
(pipipipiP) (pipipipiP) 
(pipipipi’I)(pipipipi’I)
VERTICAL SUPERIOR (pipipipi’S)
ESTUDO DO PONTO ESTUDO DO PONTO 
ÉPURAÉPURA
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
(pipipipiA)
• Para representar no plano 2-D 
as figuras do espaço 3-D, faz-se o 
rebatimento do plano vertical
sobre o plano horizontal, no 
sentido anti-horário => NOSSA 
CONVENÇÃO!
• Isso consiste em fazê-lo girar 
• Para representar no plano 2-D 
as figuras do espaço 3-D, faz-se o 
rebatimento do plano vertical
sobre o plano horizontal, no 
sentido anti-horário => NOSSA 
CONVENÇÃO!
• Isso consiste em fazê-lo girar 
(pipipipi’I)(pipipipi’I)
(pipipipiP) 
• Isso consiste em fazê-lo girar 
90°em torno da linha de terra, de 
modo que (pipipipi’S) venha a ficar em 
coincidência com (pipipipiP) e (pipipipi’I)em 
coincidência com o (pipipipiA).
• Após o rebatimento, têm-se a 
épura, onde a linha de terra é 
representada por uma linha 
horizontal pipipipipipipipi’.
• Isso consiste em fazê-lo girar 
90°em torno da linha de terra, de 
modo que (pipipipi’S) venha a ficar em 
coincidência com (pipipipiP) e (pipipipi’I) em 
coincidência com o (pipipipiA).
• Após o rebatimento, têm-se a 
épura, onde a linha de terra é 
representada por uma linha 
horizontal pipipipipipipipi’. (pipipipi’S) (pipipipiP) 
(pipipipi’I) (pipipipiA)
pipipipi’pipipipi
ESTUDO DO PONTO 
COTA E AFASTAMENTO 
• Chama-se COTA de um ponto a distância deste ponto ao plano horizontal de 
projeção.
• Chama-se de AFASTAMENTO de um ponto a distância deste ponto ao plano vertical 
de projeção. 
AFASTAMENTO
A
(A)
( pi pi pi pi )
COTA
(A)A = COTA
(A)A’ = AFASTAMENTO
A’ A’ 
( pipipipi’)( pipipipi’)
ESTUDO DO PONTO ESTUDO DO PONTO 
LINHA DE PROJEÇÃO LINHA DE PROJEÇÃO 
• Chama-se LINHA DE PROJEÇÃO ou LINHA DE CHAMADA a toda linha 
perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um ponto. 
• Na figura, a linha A’A que une as projeções do ponto (A) é uma linha de projeção.
• Chama-se LINHA DE PROJEÇÃO ou LINHA DE CHAMADA a toda linha 
perpendicular à linha de terra, que une as projeções de um ponto. 
• Na figura, a linha A’A que une as projeções do ponto (A) é uma linha de projeção.
AFASTAMENTO
(pipipipi) (pipipipi’) LT
A’ 
A
A
A’ A’ 
( pi pi pi pi )
( pipipipi’)( pipipipi’)
COTA
(A)
Em relação aos planos de projeção, 
quantas posições diferentes o objeto pode 
ocupar no espaço?
Em relação aos planos de projeção, 
quantas posições diferentes o objeto pode 
ocupar no espaço?ocupar no espaço?ocupar no espaço?
1° DIEDRO -
PH - observador, objeto, plano de projeção.
PV - observador, objeto, plano de projeção. 
Embora o observador esteja no infinito na projeção cilíndrica 
ortogonal, o mesmo foi colocado na ilustração para que se possa 
perceber melhor a ordem em que cada elemento está. 
2° DIEDRO -
PH - observador, objeto, plano de projeção 
PV - observador, plano de projeção, objeto 
3° DIEDRO -
PH - observador, plano de projeção, objeto 
PV - observador, plano de projeção, objeto 
4° DIEDRO -
PH - observador, plano de projeção, objeto 
PV - observador, objeto, plano de projeção 
DIEDRO - é formado por dois planos de projeção ortogonais - um 
horizontal, um vertical.
LINHA DE TERRA - reta determinada pela intersecção dos planos 
Horizontal e Vertical de projeção.
REBATIMENTO – rotação do PH em 90 graus para obtenção da épura.
ÉPURA - representação de figuras no plano bidimensional, pelas suas 
projeções.
RESUMO
projeções.
LINHAS DE CHAMADA - reta perpendicular à linha de terra, que liga 
as projeções horizontais e verticais de pontos. 
COTA – distância de um ponto ao PH.
AFASTAMENTO – distância de um ponto ao PV.
VERDADEIRA GRANDEZA - V.G. - diz-se que uma projeção está em 
V.G. quando o objeto está paralelo ao plano de projeção, projetando o 
mesmo com sua real superfície. 
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
• Em relação aos planos de projeção, o ponto (A) pode ocupar nove (09) posições 
diferentes, a saber:
• Em relação aos planos de projeção, o ponto (A) pode ocupar nove (09) posições 
diferentes, a saber:
1ª POSIÇÃO: o ponto (A) está no 1º diedro1ª POSIÇÃO: o ponto (A) está no 1º diedro
LT
A’ 
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
A’ A’ (A)
(pipipipiP) 
(pipipipiA)
LT
A
A
A0A’1
• Depois do rebatimento, o (pipipipi’S) ficará em coincidência com o (pipipipiP). A projeção vertical A’
acompanhará o plano (pipipipi’S) no seu deslocamento e cairá em A’1 de tal modo que A’1A0 = A’Ao.
• Na épura as projeções são separadas pela linha de terra estando a projeção vertical A’ 
acima e a horizontal A abaixo da linha. Na épura não há a necessidade de representar o 
símbolo Ao. A projeção vertical rebatida A’1 é também apenas representada por A’.
• Depois do rebatimento, o (pipipipi’S) ficará em coincidência com o (pipipipiP). A projeção vertical A’
acompanhará o plano (pipipipi’S) no seu deslocamento e cairá em A’1 de tal modo que A’1A0 = A’Ao.
• Na épura as projeções são separadas pela linha de terra estando a projeção vertical A’ 
acima e a horizontal A abaixo da linha. Na épura não há a necessidade de representar o 
símbolo Ao. A projeção vertical rebatida A’1 é também apenas representada por A’.
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
2ª POSIÇÃO: o ponto (B) está no 2º diedro2ª POSIÇÃO: o ponto (B) está no 2º diedro
(pipipipi )
LT
B’ 
B
(B)
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
B’ B’ 
(pipipipiP) 
(pipipipiA)
B B0B’1
• Após o rebatimento, o B’ se projetará no plano (pipipipiP), sobre BBo (ou seu 
prolongamento), conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento. 
• Na épura, ambas as projeções estão acima da linha de terra. 
• É indiferente B estar acima ou abaixo de B’ - o que caracteriza o ponto no 2 °°°° diedro 
é possuir ambas as projeções acima da linha de terra. 
• Após o rebatimento, o B’ se projetará no plano (pipipipiP), sobre BBo (ou seu 
prolongamento), conforme a cota seja maior ou menor que o afastamento. 
• Na épura, ambas as projeções estão acima da linha de terra. 
• É indiferente B estar acima ou abaixo de B’ - o que caracteriza o ponto no 2 °°°° diedro 
é possuir ambas as projeções acima da linha de terra. 
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
3ª POSIÇÃO: o ponto (C) está no 3º diedro3ª POSIÇÃO: o ponto (C) está no 3º diedro
(pipipipi’S)
(pipipipiA) LT
C
CC
(pipipipiA)
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
pipipipiA
(C)
LT
C ’ 
(piP) 
(pi’I)(pi’I)
C ’ C ’ 
C C0C0
• Após o rebatimento, (pipipipi’S) coincidirá com (pipipipiP) e (pipipipi’I) coincidirá com o plano (pipipipiA). A 
projeção vertical C’ irá cair em C’1 no prolongamento CC0. 
• Na épura, a projeção horizontal C ficará posicionada acima da linha de terra e a 
vertical C’ abaixo desta linha (inverso da épura no 1 diedro)
• Após o rebatimento, (pipipipi’S) coincidirá com (pipipipiP) e (pipipipi’I) coincidirá com o plano (pipipipiA). A 
projeção vertical C’ irá cair em C’1 no prolongamento CC0. 
• Na épura, a projeção horizontal C ficará posicionada acima da linha de terra e a 
vertical C’ abaixo desta linha (inverso da épura no 1 diedro)
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
4ª POSIÇÃO: o ponto (D) está no 4º diedro4ª POSIÇÃO: o ponto (D) está no 4º diedro
(pi’S)(pi’S)
LT
D’DD D
(piA)
(pi’I)(pi’I)
(piP) 
(D)D’ D’ 
D’ 
D
D’1D0D0 D
piA
Depois do rebatimento, a projeção D’ cairá em D’1 sobre DD0 (ou seu prolongamento). 
Ambas as projeções abaixo da linha de terra caracterizam a épura deste ponto no 4°°°° diedro.
Note que a épura de um ponto no 4°°°° diedro é o inverso da épura no 2°°°° diedro.
Depois do rebatimento, a projeção D’ cairá em D’1 sobre DD0 (ou seu prolongamento). 
Ambas as projeções abaixo da linha de terra caracterizam a épura deste ponto no 4°°°° diedro.
Note que a épura de um ponto no 4°°°° diedro é o inverso da épura no 2°°°° diedro.
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
5ª POSIÇÃO: o ponto (E) está no (pipipipi’S)5ª POSIÇÃO: o ponto (E) está no (pipipipi’S)
E’= (E)(E)=E’ (E)=E’ 
(pi’S)(pi’S)
(piP) 
E’1 E
(piA)
LT
E 
• Estando o ponto (E) no plano vertical superior (pi’S) , o seu afastamento será nulo.
• A projeção vertical E’ coincide com o próprio ponto (E) e a projeção horizontal E estará 
sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção E’ cairá em E1’ sobre o plano (piP).
• Na épura a projeção vertical E’ está acima da linha de terra e a horizontal E sobre esta linha.
• Estando o ponto (E) no plano vertical superior (pi’S) , o seu afastamento será nulo.
• A projeção verticalE’ coincide com o próprio ponto (E) e a projeção horizontal E estará 
sobre a linha de terra. Depois do rebatimento, a projeção E’ cairá em E1’ sobre o plano (piP).
• Na épura a projeção vertical E’ está acima da linha de terra e a horizontal E sobre esta linha.
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
6ª POSIÇÃO: o ponto está (F) no (pipipipi’I)6ª POSIÇÃO: o ponto está (F) no (pipipipi’I)
(pi’S)(pi’S)
(piA)
LTF 
(pi’I)(pi’I)
(piP) 
(F)’=F’(F)’=F’
F’1FF
(piA)
F’= (‘F)
• Estando o ponto (F) no plano vertical inferior (’I) seu afastamento será nulo.
• Sua projeção vertical F’ coincidirá com o próprio ponto (F) e sua projeção horizontal F estará 
sobre a linha de terra. Após o rebatimento, a projeção F’ cairá em F’1 sobre o plano A .
• Na épura, a projeção vertical está abaixo da linha de terra e a horizontal permanece sobre 
a linha.
• Estando o ponto (F) no plano vertical inferior (’I) seu afastamento será nulo.
• Sua projeção vertical F’ coincidirá com o próprio ponto (F) e sua projeção horizontal F estará 
sobre a linha de terra. Após o rebatimento, a projeção F’ cairá em F’1 sobre o plano A .
• Na épura, a projeção vertical está abaixo da linha de terra e a horizontal permanece sobre 
a linha.
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
7ª POSIÇÃO: o ponto (G) está no (pipipipiA)7ª POSIÇÃO: o ponto (G) está no (pipipipiA)
LTG’ 
(pipipipiP) 
(pipipipiA)
(G)=GG’G’
G= (G)
• Estando o ponto no plano horizontal anterior (pipipipiA), sua cota será nula. Portanto sua 
projeção horizontal G coincidirá com o próprio ponto (G) = G.
• A projeção vertical G’ estará sobre a linha de terra. Com o rebatimento, nada se altera.
• Na épura, a projeção horizontal G estará abaixo da linha de terra e a vertical G’ sobre a 
linha de terra.
• Estando o ponto no plano horizontal anterior (pipipipiA), sua cota será nula. Portanto sua 
projeção horizontal G coincidirá com o próprio ponto (G) = G.
• A projeção vertical G’ estará sobre a linha de terra. Com o rebatimento, nada se altera.
• Na épura, a projeção horizontal G estará abaixo da linha de terra e a vertical G’ sobre a 
linha de terra.
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
8ª POSIÇÃO: o ponto (J) está no (pipipipiP)8ª POSIÇÃO: o ponto (J) está no (pipipipiP)
J=(J)
(pi’S)(pi’S)
(J)=J
J’
LT
J’
• Nesta posição a cota do ponto é nula.
• Nada se altera com o rebatimento.
• Na épura, a projeção horizontal J está acima da linha de terra e a vertical J’ sobre linha 
de terra.
• Nesta posição a cota do ponto é nula.
• Nada se altera com o rebatimento.
• Na épura, a projeção horizontal J está acima da linha de terra e a vertical J’ sobre linha 
de terra.
(piP) 
(piA)
POSIÇÕES DO PONTO POSIÇÕES DO PONTO 
9º POSIÇÃO: o ponto (M) está na linha de terra9º POSIÇÃO: o ponto (M) está na linha de terra
(pi’S)(pi’S)
(piP) 
M
(piA)
LT
M=M’ 
M’
• Nesta posição o ponto não terá nem cota bem afastamento.
• Nada se altera com o rebatimento já que a linha de terra é fixa.
• Nesta posição o ponto não terá nem cota bem afastamento.
• Nada se altera com o rebatimento já que a linha de terra é fixa.
CONVENÇÕES:
• o ponto (O), centro de projeção, é sempre 
situado na frente do plano vertical e acima do 
plano horizontal, e a uma distância infinita dos 
mesmos. 
• a projeção de um ponto (A) no plano horizontal • a projeção de um ponto (A) no plano horizontal 
(pipipipi) é designada pela letra maiúscula A, sem 
parênteses
• a projeção do mesmo ponto (A) no plano 
vertical (pipipipi‘ ) é designada por A’ 
A
B
C’
D’
D E’
E
G=G’
A’
B’
C
D E’
F’
F
A
A’
Ponto (A) - semiplano vertical inferior
B
B’
Ponto (B) - 3°diedro
C’
C
Ponto (C) - 1°diedro
D’
DD
Ponto (D) - semiplano vertical superior (pipipipi’S)
E’
E
E’
Ponto (E) - semiplano horizontal posterior (pipipipiP)
F’
F
Ponto (F) - 4°diedro
G=G’
Ponto (G) - 2°diedro (caso especial - cota e 
afastamento iguais)
COORDENADASCOORDENADAS
A COTA e o AFASTAMENTO de um ponto constituem as suas coordenadas. 
Na prática, o ponto necessita de mais outra coordenada - a ABSCISSA - que 
não influi na sua posição, sendo tomada sobre a linha de terra a partir de um 
ponto zero (0) considerado origem e arbitrariamente marcado sobre aquela 
linha.linha.
Quando positiva, a coordenada é marcada para a direita da origem.
Quando negativa, a coordenada é marcada para a esquerda da origem.
TAMBÉM A COTA E O AFASTAMENTO PODEM SER POSITIVOS OU 
NEGATIVOS
LT
A’ 
pipipipi
(pipipipiA)
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
(A)
A
A’ A’ 
AA’
A0
Cota
COORDENADASCOORDENADAS
A
(pipipipiP) 
(pi’I)(pi’I)
A0A’1
Afastamento
A figura (A)A’A0A é um quadrilátero (quadrado ou retângulo). Em 
qualquer das hipóteses têm-se que (A)A = A’A0 . Como no rebatimento 
A’ coincide com A’1, isto resulta que A0A’1 também representa a cota e 
está na épura representado pelo segmento A0A’ acima da linha de terra.
LT
A’ 
A0
Cota
COORDENADASCOORDENADAS
A COTA é POSITIVA quando acima do plano 
horizontal (p), portanto no 1° ou 2° diedro. A 
COTA é NEGATIVA quando abaixo deste plano, 
ou seja no 3° ou 4° diedro.
O AFASTAMENTO (A)A’ é POSITIVO quando,
LT
A
A0
Afastamento
O AFASTAMENTO (A)A’ é POSITIVO quando,
observado na figura DE FRENTE, estiver à direita do
plano vertical (p’), isto é, no 1° ou 4° diedro. O
AFASTAMENTO é NEGATIVO quando, observado DE
FRENTE, estiver à esquerda do plano vertical (p’), isto é,
no 2° ou 3° diedro.
(pipipipiP) 
(pi’I)(pi’I)
(pipipipiA)
(pipipipi’S)(pipipipi’S)
(A)
A
A’ A’ 
A0A’1
LT
A’ 
A
A0
Cota
Afastamento
COORDENADASCOORDENADAS
(pi’I)(pi’I)
NO ESPAÇO: cota positiva (+) 1° e 2° diedros
cota negativa (-) 3° e 4° diedros
afastamento positivo (+) 1° e 4° diedros
afastamento negativo (-) 2° e 3° diedros
EM EPURA: cota positiva (+) acima da LT
cota negativa (-) abaixo da LT
afastamento positivo (+) abaixo da LT
afastamento negativo (-) acima da LT
COORDENADASCOORDENADAS
Z = cotaZ = cota
As coordenadas do ponto são pois: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z)As coordenadas do ponto são pois: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z)
Y = afastamentoY = afastamento
X = abscissaX = abscissa
COORDENADASCOORDENADAS
EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]; a unidade é centímetro.
• A abscissa (x) igual a 1, como é positiva é marcada à direita desta origem 
• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]; a unidade é centímetro.
• A abscissa (x) igual a 1, como é positiva é marcada à direita desta origem 
LTO
1 cm
COORDENADASCOORDENADAS
EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]
• O afastamento (y), igual a 2 e sendo positivo, é marcado abaixo da linha de terra
• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]
• O afastamento (y), igual a 2 e sendo positivo, é marcado abaixo da linha de terra
LT
Afastamento
O
2 cm
COORDENADASCOORDENADAS
EXEMPLO 1:EXEMPLO 1:
• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]
• A cota (z), igual a 1 e sendo positiva, é marcada acima da linha de terra
• [1 ; 2; 1 ] equivale à [x, y, z]
• A cota (z), igual a 1 e sendo positiva, é marcada acima da linha de terra
O ponto está portanto no 1o diedro!
A simples inspeção das coordenadas 
já nos indicava isto, pois cota e 
LT
A’ 
Cota
O
1 cm
1 cm
Afastamento 2 cm
já nos indicava isto, pois cota e 
afastamento positivos significa 
ponto no 1o. diedro
Dadas as coordenadas de um ponto, como 
podemos reconhecer onde o mesmo está 
situado em relação aos diedros?
Dadas as coordenadas de um ponto, como 
podemos reconhecer onde o mesmo está 
situado em relação aos diedros?COORDENADAS COORDENADAS 
É possível chegarmos à esta conclusão sem 
representarmos o ponto diretamente na épura? 
É possível chegarmos à esta conclusão sem 
representarmos o ponto diretamente na épura? 
Raciocínio alternativo:
• traçam-se dois eixos ortogonais XX’ e YY’, os quais representam:
Semi eixo OX’: Semiplano horizontal anterior (pipipipiA)
Semi eixo OX : Semiplano horizontal posterior (pipipipiP)
Semi eixo OY : Semiplano vertical superior (pipipipi’S)
Semi eixo OY’: Semiplano vertical inferior (pipipipi’ )
Raciocínio alternativo:
• traçam-se dois eixos ortogonais XX’ e YY’, os quais representam:
Semi eixo OX’: Semiplano horizontal anterior (pipipipiA)
Semi eixo OX : Semiplano horizontal posterior (pipipipiP)
Semi eixo OY : Semiplano vertical superior (pipipipi’S)
Semi eixo OY’: Semiplano vertical inferior (pipipipi’ )
COORDENADAS COORDENADAS 
Semi eixo OY’: Semiplano vertical inferior (pipipipi’I)Semi eixo OY’: Semiplano vertical inferior (pipipipi’I)
Y
X’
Y’ 
X
O
As regiões determinadas por estes
eixos são os diedros que já 
conhecemos!
As regiões determinadas por estes
eixos são os diedros que já 
conhecemos!
EXEMPLO 1: seja o ponto (A) de coordenadas [2; -1; 2], pergunta-se: qual a posição 
do mesmo em relação aos diedros?
EXEMPLO 1: seja o ponto (A) de coordenadas [2; -1; 2], pergunta-se: qual a posição 
do mesmo em relação aos diedros?
COORDENADAS COORDENADAS 
A abscissa, nesta perspectiva, não influi na 
posição do ponto.
O afastamento é negativo (-1).
A abscissa, nesta perspectiva, não influi na 
posição do ponto.
O afastamento é negativo (-1).
Y
*
O afastamento é negativo (-1).
Como o afastamento negativo indica que o
ponto encontra-se à esquerda do plano
vertical (pipipipi’), marcaremos um asterisco 
em cada diedro onde o ponto possa estar 
contido, à esquerda do eixo YY’ - que 
representa o plano vertical. 
- neste exemplo, portanto, os asteriscos 
necessariamente devem estar 
posicionados no 2°e 3°diedros
O afastamento é negativo (-1).
Como o afastamento negativo indica que o
ponto encontra-se à esquerda do plano
vertical (pipipipi’), marcaremos um asterisco 
em cada diedro onde o ponto possa estar 
contido, à esquerda do eixo YY’ - que 
representa o plano vertical. 
- neste exemplo, portanto, os asteriscos 
necessariamente devem estar 
posicionados no 2°e 3°diedros
X’
Y’ 
X
O*
*
*
COORDENADAS COORDENADAS 
A cota é positiva (2).
Como a cota positiva indica que o ponto
A cota é positiva (2).
Como a cota positiva indica que o ponto
Y
** * encontra-se acima do plano horizontal (pipipipi), 
marcaremos um asterisco
em cada diedro onde o ponto possa estar 
contido, acima do eixo XX’ - que representa 
o plano horizontal. 
- neste exemplo, portanto, os asteriscos 
necessariamente devem estar 
posicionados no 1°e 2°diedros. 
encontra-se acima do plano horizontal (pipipipi), 
marcaremos um asterisco
em cada diedro onde o ponto possa estar 
contido, acima do eixo XX’ - que representa 
o plano horizontal. 
- neste exemplo, portanto, os asteriscos 
necessariamente devem estar 
posicionados no 1°e 2°diedros. 
X’
Y’ 
X
O*
*
* *
*
COORDENADAS COORDENADAS 
Resultado: Resultado: 
Y
** * A região contendo dois asteriscos será 
aquela ocupada pelo ponto.
Portanto, o ponto (A) de coordenadas [2; -
1; 2] situa-se no 2°diedro
A região contendo dois asteriscos será 
aquela ocupada pelo ponto.
Portanto, o ponto (A) de coordenadas [2; -
1; 2] situa-se no 2°diedro
X’
Y’ 
X
O*
*
* *
EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B), de coordenadas [-1; 3; -2] ?EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B), de coordenadas [-1; 3; -2] ?
COORDENADAS COORDENADAS 
Y
*
X’
Y’ 
X
O *
*
O afastamento é positivo (3) => asteriscos 
no 1°e 4°diedros.
O afastamento é positivo (3) => asteriscos 
no 1°e 4°diedros.
EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B), de coordenadas [-1; 3; -2] ?EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B), de coordenadas [-1; 3; -2] ?
COORDENADAS COORDENADAS 
Y
*
X’
Y’ 
X
O *
** *
A cota é negativa (-1) => asteriscos no
3°e 4°diedros.
A cota é negativa (-1) => asteriscos no
3°e 4°diedros.
EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B) de coordenadas [-1; 3; -2] ?EXEMPLO 2: a qual diedro pertence o ponto (B) de coordenadas [-1; 3; -2] ?
COORDENADAS COORDENADAS 
Y
O * PORTANTO, O PONTO B ESTÁ PORTANTO, O PONTO B ESTÁ 
X’
Y’ 
X
O *
** *
PORTANTO, O PONTO B ESTÁ 
SITUADO NO 4°DIEDRO
PORTANTO, O PONTO B ESTÁ 
SITUADO NO 4°DIEDRO
EXEMPLO 3: a qual diedro pertence o ponto (C) de coordenadas [1; 0; 2] ?EXEMPLO 3: a qual diedro pertence o ponto (C) de coordenadas [1; 0; 2] ?
COORDENADAS COORDENADAS 
Afastamento nulo => ponto situado no eixo 
YY’, isto é, no plano vertical. 
Coloca-se então um asterisco no semi-eixo 
OY e outra no semi-eixo OY’.
Afastamento nulo => ponto situado no eixo 
YY’, isto é, no plano vertical. 
Coloca-se então um asterisco no semi-eixo 
OY e outra no semi-eixo OY’.
Y
O*
*
A cota postiva (2) => ponto acima do plano 
horizontal, ou seja, no semi-eixo OY.
O ponto C, portanto, está situado no semi-
plano vertical superior (pipipipi’S)
A cota postiva (2) => ponto acima do plano 
horizontal, ou seja, no semi-eixo OY.
O ponto C, portanto, está situado no semi-
plano vertical superior (pipipipi’S)
X’
Y’ 
X
O*
*
Em todos os casos estudados, se recorrermos à epura, teremos confirmadas as 
posições dos pontos pela situação de suas projeções em relação à linha de terra.
Em todos os casos estudados, se recorrermos à epura, teremos confirmadas as 
posições dos pontos pela situação de suas projeções em relação à linha de terra.
SIMETRIA DE PONTOS SIMETRIA DE PONTOS 
(A)
(αααα)
(M)
(αααα)
(B)
• Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação à um plano (αααα), quando este plano é 
o mediador do segmento formado pelos dois pontos. 
• Ou seja, a simetria entre pontos existe quando um plano, perpendicular ao 
segmento formado por estes dois pontos, contém o ponto médio do segmento.
• Note, no desenho acima, que o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B).
• Dois pontos (A) e (B) são simétricos em relação à um plano (αααα), quando este plano é 
o mediador do segmento formado pelos dois pontos. 
• Ou seja, a simetria entre pontos existe quando um plano, perpendicular ao 
segmento formado por estes dois pontos, contém o ponto médio do segmento.
• Note, no desenho acima, que o segmento (A)(M) é igual ao segmento (M)(B).
SIMETRIA DE PONTOS SIMETRIA DE PONTOS 
Vamos considerar a simetria de um ponto em relação:
1) aos planos de projeção
Vamos considerar a simetria de um ponto em relação:
1) aos planos de projeção
2) à linha de terra2) à linha de terra
SIMETRIA DE PONTOS SIMETRIA DE PONTOS 
1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
LT
A’(pi’)(pi’)
A’A’ (A)
Diz-se que um ponto (B) 
é simétrico a um ponto 
(A) em relação ao plano 
horizontal de projeção 
(pipipipi), quando possui:
- a mesma abscissa,
- o mesmo afastamento 
em grandeza e sentido;
Diz-se que um ponto (B) 
é simétrico a um ponto 
(A) em relação ao plano 
horizontal de projeção 
(pipipipi), quando possui:
- a mesma abscissa,
- o mesmo afastamento 
em grandeza e sentido;LT
B’B’ (B)
(pi)
A=B
B’
A=B
em grandeza e sentido;
- a cota de mesma 
grandeza mas de sentido 
contrário.
Note na figura que os 
afastamento dos pontos 
(A) e (B) são iguais e 
ambos positivos (mesmo 
sentido) e suas cotas 
iguais e de sentido 
contrário
em grandeza e sentido;
- a cota de mesmagrandeza mas de sentido 
contrário.
Note na figura que os 
afastamento dos pontos 
(A) e (B) são iguais e 
ambos positivos (mesmo 
sentido) e suas cotas 
iguais e de sentido 
contrário
SIMETRIA DE PONTOS SIMETRIA DE PONTOS 
1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO1) PONTOS SIMÉTRICOS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
(pi)
(pi’) (pi’) 
C’=D’ C’=D’ (C)(D)
LT
D 
C ’= D’ 
(pi) D 
pi
C
C 
Diz-se que um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de 
projeção (pipipipi’), quando possui:
- a mesma abscissa, 
- a mesma cota em grandeza e sentido;
- o afastamento da mesma grandeza porém de sentido contrário.
Note na épura que as projeções verticais C’ e D’ coincidem e as projeções horizontais 
C e D são simétricas em relação à linha de terra.
Diz-se que um ponto (D) é simétrico a um ponto (C) em relação ao plano vertical de 
projeção (pipipipi’), quando possui:
- a mesma abscissa, 
- a mesma cota em grandeza e sentido;
- o afastamento da mesma grandeza porém de sentido contrário.
Note na épura que as projeções verticais C’ e D’ coincidem e as projeções horizontais 
C e D são simétricas em relação à linha de terra.