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29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 1/8 APOL 5 PROTOCOLO: 201603261284952777B62DIEGO DANTAS ANDRADE - RU: 1284952 Nota: 90 Disciplina(s): Álgebra Línear Data de início: 26/03/2016 01:40 Prazo máximo entrega: - Data de entrega: 29/03/2016 21:48 Questão 1/10 Sobre a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa correta: ( ) T é um operador linear de R². ( ) é a matriz canônica de T. ( ) T(1,2) = (3,4). ( ) Nuc(T) = {(0,0)} e Im(T) = R². A V F V F B V F F V C F V V F D F F F V Questão 2/10 Seja T a transformação linear de R² em R³ tal que T(0,2) = (1,1,2) e T(2,5) = (1,0,1) e w o vetor tal que w = T(4,10). Neste caso, a soma das coordenadas de w é igual a: Você acertou! Resolução: Item i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de R² em R², portanto, é um operador linear de R². Item ii) Falso: matriz canônica de T é igual a . Item iii) Falso: T(1,2) = (2,6). Item iv) Verdadeiro: Nuc(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e Im(T) = R², pois todo vetor de R² é imagem por T. 29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 2/8 A 4 B 5 C 6 D 7 Você acertou! 29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 3/8 Questão 3/10 Seja T o operador linear de R² tal que T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (3,4). Sendo assim, T(12,13) é igual a: A (50,63) B (51,64) C (52,65) D (53,66) Questão 4/10 Julgue as afirmativas abaixo (FALSO OU VERDADEIRO) sobre as matrizes e , em seguida marque a alternativa correta: ( ) A é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y) = (x+4y, 2x+2y,3x). ( ) B é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y,z) = (x+y, y+2z). ( ) A é a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R³. ( ) B é a matriz canônica de uma transformação linear de R³ em R². A V V V V Você acertou! Como {(1,0),(0,1)} é a base canônica de R², se conhece o efeito de T sobre uma base de R², portanto, podese determinar seu efeito sobre qualquer vetor de R² e, em particular, sobre (12,13). Para isso, escrevese o vetor em questão como combinação linear dos vetores da base dada: Do que se pode concluir que: Portanto, temse: (12,13) = 12.(1,0) + 13.(0,1) E em assim, calcular T(12,13) é o mesmo que calcular T(12.(1,0) + 13. (0,1)). Como T é uma combinação linear, podese fazer: Você acertou! 29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 4/8 B V F V V C F V V V D V V V F Questão 5/10 Sobre transformações lineares, é incorreto afirmar que: A Podem ser descritas matricialmente pela equação w = A.x. B T(x,y) = (2x,3y,4z) é um exemplo de transformação linear de R² em R³. C Têm por núcleo o conjunto dos vetores de seu domínio que são levados no vetor nulo. D T(x,y,z) = (x+y,z+2) é um exemplo de transformação linear de R³ em R². Questão 6/10 Dadas as bases de R²: B = {{1,5);(3,0)} e C = {(2,10);(1,15)}, a matriz de transição de C para B, isto é, a matriz que muda a base de referência de C para B é igual a: A B C D Todas as afirmativas são verdadeiras. Estão corretas as alternativas a, b, c, sendo falsa a alternativa D por não se tratar de uma combinação linear. Você acertou! 29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 5/8 Questão 7/10 Marque a alternativa que apresenta um autovetor de : A B C D 29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 6/8 Questão 8/10 Dada uma matriz , avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a alternativa correta: ( ) Quaisquer que sejam os números reais a e b, M não possui autovalores. ( ) Quaisquer que sejam os reais a e b, M é uma matriz diagonal. ( ) Definidos os escalares reais a e b, M será a matriz canônica de uma transformação linear de R² em R². A V V V B F V V C F F V D V F F Você acertou! Você acertou! i) FALSO: os autovalores de M serão justamente os escalares a e b. ii) VERDADEIRO: M é quadrada e os elementos que não ocupam a diagonal são nulos, portanto, M é uma matriz diagonal. iii) VERDADEIRO: M é 2x2, portanto, é a matriz canônica de um operador linear de R². 29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 7/8 Questão 9/10 Seja M uma matriz qualquer quadrada de ordem 3. Sendo assim, avalie as afirmativas a seguir (FALSO OU VERDADEIRO) e marque a alternativa correta: i. M sempre possui três autovalores distintos que podem ser reais ou imaginários. ii. M pode possuir autovalores reais e/ou autovalores imaginários. iii. Considerando-se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores. A V F F B F F V C V V F D F V V Questão 10/10 Dentre as alternativas abaixo, marque a única que apresenta uma matriz cujos autovalores são iguais a 1, 2 e 3: A B C Você acertou! i. FALSO: os autovalores de M podem não ser distintos. Por exemplo, a matriz M a seguir possui três autovalores iguais (de valor 2): . ii. VERDADEIRO: os autovalores de M podem ser reais ou imaginários, dependendo da formulação de M. iii. VERDADEIRO: considerandose o conjunto dos complexos, M sempre terá autovalores. Você acertou! A matriz apresentada na alternativa c é a única que possui autovalores iguais a 1, 2, e 3. 29/03/2016 AVA UNIVIRTUS http://univirtus277877701.saeast1.elb.amazonaws.com/ava/web/#/ava/AvaliacaoUsuarioHistorico/60451/novo/1 8/8 D
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