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Lista Cálculo II

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Lista de Exercícios Cálculo Diferencial e Integral II 
Sistema Unificado 
 
 
 
 
1) Seja f(x,y)=
√𝑥𝑦−𝑦
2
𝑥
 defina o mapa do domínio. Calcule Z, para os valores, se possível: (0,0); (1,0); (1,1); 
(1,2); (-1,0); (1,7); (3,4); (5,2); (-5,3); (10,10). Esboce os pontos graficamente. 
 
 
2) O potencial elétrico no ponto (x,y) é dado pela equação 𝑉(𝑥, 𝑦) =
4
√9−𝑥2−𝑦2
2 . Trace as curvas 
equipotenciais de V em 1/4, 1/2, 1, 4, 8, 12, 16. 
 
 
3) A temperatura T em um ponto (x,y) de uma placa de metal plana é dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 𝑦2. Trace 
as isotermas para T=0; 1; 4; 8; e 12 (dica: use a equação da elipse) 
 
 
4) Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 𝑥2. Determine graficamente: 1) o domínio de f(x,y); 2) curvas de níveis e 3) faça o 
gráfico as intersecções com os planos coordenados (∩ 𝑋0𝑌, ∩ 𝑋0𝑍 𝑒 ∩ 𝑌0𝑍 ). (dica: use a equação do 
parabolóide hiperbólico) 
 
 
5) Calcule os limites 
5a)


 yx
yzxyxyzx
Lim
zyx
32
)9,7,1(),,(
 5b) 
3222
)4,1,2(),,(
734( zyxyzyxLim
zyx


) 
5c) 
zy
yzxy
Lim
zyx sec
secsec
),1,3/(),,( 

 
 5d) 



 22
3223
)0,0(),(
2323
yx
yxyyxx
Lim
yx
 
5e)  



 zyx
zee
Lim
yx
zyx )100,0,0(),,(
 5f) 



 53
5223
)0,1,0(),,( zx
zyyx
Lim
zyx
 
5g)  
zyx
zyx
zyx eee
eee
Lim
222
2
)0,0,0(),,( 


 5h)  



 3/23/2
3/43/4
)1,1(),( )1()1(
)1(1
yx
yx
Lim
yx
 
 
 
6) Utilizando 
x
yxfyxxf
x
yxf
x 





),(),(
lim
),(
0
 e 
y
yxfyyxf
y
yxf
y 





),(),(
lim
),(
0
 encontre as 
derivadas parciais das funções: 6a) 
1962),( 2  yxyyxf
 e 6b)
22 23),( yxyxyxf 
 
 
 
7) Encontre as derivadas parciais 
y
f
e
x
f




 das funções: 
7a) 
y
xysenx
zzyxf
cos
),,( 
 
7b) 
2
52 cos
),,(
yx
senyyx
yxf
 
 
7c) 
 cosln.),,( yxyyxf 
 
7d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑦 
7e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 
7f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 + 4𝑥6𝑦2 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥2𝑦6 
7g) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥+𝑦2
𝑥2
 
7h) 
z
yx
zyxf
 coscos),,,( 
 
7i) 3
),,( 






y
e
zyxf
x

 
7j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑙𝑛𝑥 
7l) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2
𝑠𝑒𝑛𝑦
 
7m) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥2+𝑦
𝑥+1
 
7n) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑦3 + √𝑥2 + 𝑦2
2
 
 
8) Prove que: 
𝜕𝑤
𝜕𝑥
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑦
+ 
𝜕𝑤
𝜕𝑧
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2, para 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧 + 𝑧2𝑥

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