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Lista de Exercícios Cálculo Diferencial e Integral II Sistema Unificado 1) Seja f(x,y)= √𝑥𝑦−𝑦 2 𝑥 defina o mapa do domínio. Calcule Z, para os valores, se possível: (0,0); (1,0); (1,1); (1,2); (-1,0); (1,7); (3,4); (5,2); (-5,3); (10,10). Esboce os pontos graficamente. 2) O potencial elétrico no ponto (x,y) é dado pela equação 𝑉(𝑥, 𝑦) = 4 √9−𝑥2−𝑦2 2 . Trace as curvas equipotenciais de V em 1/4, 1/2, 1, 4, 8, 12, 16. 3) A temperatura T em um ponto (x,y) de uma placa de metal plana é dada por 𝑇(𝑥, 𝑦) = 4𝑥2 + 𝑦2. Trace as isotermas para T=0; 1; 4; 8; e 12 (dica: use a equação da elipse) 4) Seja 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦2 − 𝑥2. Determine graficamente: 1) o domínio de f(x,y); 2) curvas de níveis e 3) faça o gráfico as intersecções com os planos coordenados (∩ 𝑋0𝑌, ∩ 𝑋0𝑍 𝑒 ∩ 𝑌0𝑍 ). (dica: use a equação do parabolóide hiperbólico) 5) Calcule os limites 5a) yx yzxyxyzx Lim zyx 32 )9,7,1(),,( 5b) 3222 )4,1,2(),,( 734( zyxyzyxLim zyx ) 5c) zy yzxy Lim zyx sec secsec ),1,3/(),,( 5d) 22 3223 )0,0(),( 2323 yx yxyyxx Lim yx 5e) zyx zee Lim yx zyx )100,0,0(),,( 5f) 53 5223 )0,1,0(),,( zx zyyx Lim zyx 5g) zyx zyx zyx eee eee Lim 222 2 )0,0,0(),,( 5h) 3/23/2 3/43/4 )1,1(),( )1()1( )1(1 yx yx Lim yx 6) Utilizando x yxfyxxf x yxf x ),(),( lim ),( 0 e y yxfyyxf y yxf y ),(),( lim ),( 0 encontre as derivadas parciais das funções: 6a) 1962),( 2 yxyyxf e 6b) 22 23),( yxyxyxf 7) Encontre as derivadas parciais y f e x f das funções: 7a) y xysenx zzyxf cos ),,( 7b) 2 52 cos ),,( yx senyyx yxf 7c) cosln.),,( yxyyxf 7d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑡𝑔𝑦 7e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦𝑙𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 7f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥2𝑦 + 4𝑥6𝑦2 + 3𝑥2𝑦 + 3𝑥2𝑦6 7g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥+𝑦2 𝑥2 7h) z yx zyxf coscos),,,( 7i) 3 ),,( y e zyxf x 7j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑦𝑙𝑛𝑥 7l) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑠𝑒𝑛𝑦 7m) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2+𝑦 𝑥+1 7n) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4𝑦3 + √𝑥2 + 𝑦2 2 8) Prove que: 𝜕𝑤 𝜕𝑥 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2, para 𝑤(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2𝑦 + 𝑦2𝑧 + 𝑧2𝑥
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