reta ponto e plano

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Projeto TEIA DO SABER 2006 UNESP – Campus de Guaratinguetá 
Secretaria de Estado da Educação, SP. Departamento de Matemática 
Diretoria de Ensino da Região de Guaratinguetá Coordenador Prof. Dr. José Ricardo Zeni 
Metodologias de Ensino de Disciplinas da Área de Ciências da Natureza, Matemática e 
suas Tecnologias do Ensino Médio: Matemática I (Curso Inicial) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópicos em Geometria Analítica 
 
Ponto e Reta 
Profª Drª Vera Lia Marcondes Criscuolo de Almeida 
Prof. Carlos Frederico Bastarz 
TEIA DO SABER 2006 − Metodologias de Ensino da Matemática 
Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta Profª Drª Vera Lia Marcondes Criscuolo de Almeida 
 Prof. Carlos Frederico Bastarz 
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Sumário 
 
 
1. Introdução........................................................................................................................... 3 
2. Estrutura do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico .............................................. 4 
3. Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e Espaço............................................................. 6 
4. Ponto................................................................................................................................... 8 
4.1 O Plano Cartesiano ....................................................................................................... 8 
4.2 Distância entre dois pontos........................................................................................... 9 
4.3 Ponto que divide um segmento numa razão dada....................................................... 10 
4.4 Condição de alinhamento de três pontos .................................................................... 12 
5. Reta................................................................................................................................... 13 
5.1 Equação Geral da Reta ............................................................................................... 13 
5.2 Equação reduzida da reta e os coeficientes ................................................................ 13 
5.3 Posição relativa entre duas retas................................................................................. 16 
5.4 Ângulos entre duas retas............................................................................................. 18 
5.5 Distância entre ponto e reta ........................................................................................ 19 
5.6 Área de um triângulo .................................................................................................. 20 
Apêndice............................................................................................................................... 22 
Leitura Introdutória: Atração Fatal................................................................................... 22 
Atividades......................................................................................................................... 24 
Lista de Mapas e Figuras ...................................................................................................... 30 
Bibliografia........................................................................................................................... 31 
TEIA DO SABER 2006 − Metodologias de Ensino da Matemática 
Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta Profª Drª Vera Lia Marcondes Criscuolo de Almeida 
 Prof. Carlos Frederico Bastarz 
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1. Introdução 
 
 
 
Este material foi elaborado com a preocupação de proporcionar aos professores da 
Rede Estadual de Ensino momentos de reflexão sobre o ensino e aprendizagem de 
Matemática, revendo alguns conteúdos importantes que fazem parte do currículo do Ensino 
Médio. 
Optamos por conteúdos de Geometria, pois este é um dos últimos assuntos 
apresentados na maior parte dos livros didáticos e por esta razão, muitos professores 
acabam não tendo tempo para trabalhar este conteúdo. 
O abandono da Geometria em nossas escolas não é um fenômeno local, mas sim um 
acontecimento que pode ser percebido mundialmente. 
A relação entre a Álgebra e a Geometria é, muitas vezes ensinada de forma rápida, 
onde os conceitos são apresentados apenas como definições. 
Por tudo isso, escolhemos trabalhar com Geometria Analítica. O estudo do Ponto e 
da Reta pretende conduzir os professores a interpretações geométricas de fatos algébricos. 
 
 
 
 
 
 
 
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Tópicos em Geometria Analítica: Ponto e Reta Profª Drª Vera Lia Marcondes Criscuolo de Almeida 
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2. Estrutura do Desenvolvimento do Pensamento Geométrico 
Geometria 
Geometria 
Espacial Geometria Plana 
Geometria 
Analítica 
Geometria 
Euclidiana Plana 
Desenho 
Geométrico 
Possui também 
estas 
denominações 
por tratarem de 
problemas 
planos 
Trata no 
plano os 
sólidos e 
superfícies 
geométricas 
Sólidos 
Geométricos 
Geometria 
Descritiva 
Curvas 
Cônicas e 
Superfícies 
Quádricas 
Investiga as formas e 
dimensões dos entes 
matemáticos 
In
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m
 
u
m
 
es
pa
ço
 
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cl
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o
 
É a expressão gráfica da forma 
regida pelos princípios da 
Geometria, a resolução 
gráfica de problemas 
matemáticos 
S
u
a
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s
.
 
C
riad
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 n
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o
 século
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 p
elo
 
m
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ático
 fra
n
cês
 G
a
sp
a
r
 M
o
ng
e
.
 
Estuda as propriedades, formas e 
dimensões de lugares 
geométricos, curvas e superfícies 
características. 
Mapa 1 
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Mapa 2 
Geometria 
Espacial 
Retas no Plano e 
no Espaço 
Medidas de 
Superfícies 
Sólidos 
Geométricos 
Prismas Pirâmides Esferas 
Cilindro Cone 
Poliedros 
Família de Sólidos: 
Prismas, Pirâmides e Esfera. 
Investiga as propriedades dos 
poliedros, curvas cônicas e 
sólidos de revolução e 
calcula medidas de superfícies. 
G
eo
m
et
ri
a
 
Es
pa
ci
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Po
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Po
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e 
pl
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o
s 
e 
re
ta
s.
 
Casos Especiais: 
Cilindro – é um prisma de base circular; 
Cone – é uma pirâmide de base circular; 
G
eo
m
etria
 E
sp
a
cial
 M
étrica
:
 
á
rea
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 volu
m
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 sólid
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s
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s
 e
 secções
.
 
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3. Entes Fundamentais: Ponto, Reta, Plano e Espaço 
 
Os elementos fundamentais (ou conceitos primitivos) de uma teoria não possuem 
definição. O ponto, a reta, o plano e o espaço são entes fundamentais, conceitos 
primitivos ou não definidos da Geometria. 
 
Hoje em dia, o ponto, a reta e o plano são tomados como axiomas* da Geometria 
Plana, mas Euclides de Alexandria (?? a.C. – 365 d.C.) os “definiu” ou, pelo menos 
tentou defini-los: 
 
• Um ponto é o que não tem parte; 
• Uma reta é um comprimento sem largura; 
• Uma superfície é aquilo que tem somente comprimento e largura; 
 
Outras definições enunciadas por Euclides pecam pela circularidade lógica: 
 
• Segmento de reta: “As extremidades de uma reta são pontos”; 
• Reta: “Uma linha reta é uma linha em que os pontos são distribuídos 
regularmente sobre ela”; 
• Plano: “As extremidades de uma superfície são linhas”; 
 
Note que a definição de plano, enunciada por Euclides, nos dá a idéia de que o 
plano seja uma superfície finita. 
No final de século XIX, o matemático alemão, radicado nos Estados Unidos, David 
Hilbert (1862 – 1943), publicou uma obra intitulada Grundlagen der Geometrie, em 
português – “Os Fundamentos da Geometria”. Nesta obra, datada de 1899, Hilbert 
propõem uma axiomatização da Geometria Euclidiana, onde ficam bem claros e 
definidos os entes primitivos e os símbolos utilizados para representá-los: 
 
*Para Aristóteles ( - ) os postulados seriam conceitos menos óbvios e não deveriam pressupor o 
consentimento implícito daqueles que estudam o assunto, pois se referem somente ao assunto em 
discussão. Axiomas (ou noções comuns) devem ser convincentes por elas mesmas – verdades comuns e 
genéricas, aplicáveis a quaisquer estudos que se pretenda fazer. Modernamente, os matemáticos não 
vêem vantagem em se estabelecer qualquer diferença entre postulado e axiomas, preferindo apenas 
utilizar o nome axioma para elaborar as suas teorias, sendo denominadas Teorias Axiomáticas, por este 
fato. 
Figura 1 
 
α
r 
A 
O 
B 
Notação: 
• A e B são pontos da reta r: r B er A ∈∈ ; 
• R é a reta que passa por A e B: ABr = ; 
• O segmento de reta AB: AB ; 
• A semi-reta com origem A, passando por B: AB ; 
• A semi-reta com origem B, passando por A: BA ; 
• A reta r está contida no plano : α⊂r ; 
• OB e OA são semi-retas opostas; 
• o ponto O é a origem das semi-retas OB e OA ; 
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Entes primitivos: 
 
• O ponto; 
• A reta ou “linha reta” (straight line, em inglês); 
• O Plano; 
 
Hilbert adotou ainda seis relações não definidas (fundamentais aos grupos 
axiomáticos contidos em sua obra): 
 
• “estar sobre” ou “estar contido”; 
• “estar em” ou “pertencer”; 
• “estar entre” ou “estar localizado entre”; 
• “ser congruente” ou “ter a mesma medida”; 
• “ser paralelo”; 
• “ser contínuo”; 
 
Os símbolos utilizados para representar os elementos não definidos da Geometria de 
Hilbert são: 
 
• Pontos – Letras latinas maiúsculas: A, B, C, D, E, ...; 
• Retas – Letras latinas minúsculas: r, s, t, l, ou ainda AB , BC etc; 
• Planos – Letras gregas minúsculas: ... , , , γβα ; 
• Raios ou Semi-retas: ABr = , ou seja, “raio r partindo do ponto A, e 
passando por B”; 
• Segmento de Reta: etc; BC ,AB 
• A, B e C pontos distintos pertencentes a uma reta com 
B entre A e C: [A, B, C]; 
 
Ao longo do século XX, várias outras axiomatizações da Geometria Euclidiana 
foram propostas por diversos matemáticos como G. D. Birkhoff e grupos estudiosos, 
como o SMSG*. 
 
O sistema axiomático proposto por Birkhoff - A Set of Postulates for Plane 
Geometry (base on scale and protactor), 1932 ou “Um Conjunto de Postulados para a 
Geometria Plana (baseado em régua e transferidor)”, propõem um conjunto de 
postulados introduzindo conceitos que permitem exprimir medidas através de valores 
numéricos utilizando a régua graduada e o transferidor. Tal axiomatização acaba 
confrontando-se com a abordagem grega da Geometria Plana, onde Euclides propunha 
que todas as construções geométricas fossem criadas a partir de uma régua não 
graduada e um compasso de hastes imóveis. 
 
 
*O SMSG (School Mathematics Study Group) foi um empreendimento financiado pelo Governo Norte-
Americano dirigido por Edward G. Begle (1914 – 1978), que criou e implementou um currículo escolar 
de Matemática desde 1958 até 1977, que se tornou conhecido como “a Matemática Moderna”. 
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4. Ponto 
 
4.1 O Plano Cartesiano 
 
Existe uma relação entre um ponto do plano e um par ordenado de números reais: a 
cada ponto P do plano cartesiano corresponde um par ordenado de números reais e, 
inversamente, a cada par tem como seu correspondente um ponto P do plano. 
Usa-se a notação (a,b) para indicar o par ordenado em que a é o primeiro elemento 
e b é o segundo elemento. 
 
Exemplo 1: 
 
• (2,5) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 2 e o segundo é 5 
• (5,2) é o par ordenado em que o primeiro elemento é 5 e o segundo elemento é 2 
 
Note que os pares (2,5) e (5,2) diferem entre si pela ordem de seus elementos. 
 
Existe uma maneira geométrica para representarmos o par ordenado (a,b): 
 
� 1º Passo: desenhamos dois eixos perpendiculares e usamos a sua intersecção O 
como origem para cada um deles; 
� 2º Passo: marcamos no eixo horizontal o ponto A, correspondente ao valor de a; 
� 3º Passo: marcamos no eixo vertical o ponto B, correspondente ao valor de b; 
� 4º Passo: traçamos por A uma reta r paralela ao eixo vertical; 
� 5º Passo: traçamos por B uma reta s paralela ao eixo horizontal; 
� 6º Passo: destacamos a intersecção das retas r e s chamando-a de P, que é o ponto 
que representa graficamente o par ordenado (a,b), com notação P (a,b); 
 
Nomenclatura: 
 
• o eixo horizontal Ox é o eixo das abscissas; 
• o eixo vertical Oy o eixo das ordenadas; 
• o ponto O, intersecção de Ox e Oy é a origem. 
• o plano que contém Ox e Oy é o Plano Cartesiano; 
 
(eixo das 
ordenadas) 
y 
x (eixo das 
abscissas) 
O 
(origem) 
Figura 2 - 1º Passo. 
 
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Cada uma das quatro partes em que fica dividido o Plano pelos eixos cartesianos, 
chama-se quadrante. A numeração dos quadrantes é feita no sentido anti-horário, a contar 
do quadrante correspondente aos pontos que possuem amas as coordenadas positivas. 
 
 
 
4.2 Distância entre dois pontos 
 
Dados dois pontos distintos A e B do plano cartesiano, chama-se distância entre eles 
a medida do segmento de reta AB que tem os dois pontos por extremidades. 
Determinemos a distância entre os pontosA (x1, y1) e B (x2, y2) a qual indicaremos 
por d. 
O 
y 
x 
B 
b 
A 
a 
Figura 3 - 2º e 3º Passos. Figura 3 - 4º, 5º e 6º Passos. 
O 
y 
x 
r 
s 
P B 
A 
Figura 4 - quadrantes do 
Plano Cartesiano. 
 
x 
y 
1º quadrante 
(I) 
2º quadrante 
(II) 
3º quadrante 
(III) 
4º quadrante 
(IV) 
O 
Figura 5 - d é a distância 
entre os pontos A e B. 
 
y 
x O 
d 
B(x2,y2) 
A(x1,y1) 
C 
y1 
x1 
y2 
x2 
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Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ABC, vem: 
222 CBACd += (1). 
 
Mas: 
12 xxAC −= 
e 
12 yyCB −= 
 
Substituindo-se em (1), segue: ( ) ( )2122122 yyxxd −+−= 
ou ( ) ( )212212 yyxxd −+−= , que é a fórmula procurada. 
 
Exemplo 2: 
 
 Determinar um ponto do eixo y eqüidistante dos pontos A (3,5) e B (-3,-1). 
 
Solução 
Um ponto do eixo y é um ponto do tipo P (0,y), de abscissa nula, resultando: 
( ) ( )22 530 −+−= yPA 
e 
 
( ) ( )22 130 +++= yPB 
Como PBPA = , vem: 
 
( ) ( )22 53 −+− y ( )22 13 ++= y 
 
Elevando-se ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo, segue: 
 
2
2412
12925109 22
=
−=−
+++=+−+
y
.y
.yy.yy
 
 
A resposta é P (0,2). 
 
4.3 Ponto que divide um segmento numa razão dada 
 
Há muitos problemas em Geometria Analítica que envolvem mediatrizes de 
segmentos, medianas e mediatrizes* de triângulos e outros assuntos relacionados com o 
ponto médio de um segmento. 
 
 
*Cevianas e Pontos Notáveis dos Triângulos – Ceviana é todo segmento que une o vértice à reta suporte do 
lado oposto. São cevianas as alturas, medianas, mediatrizes e bissetrizes. Os Pontos Notáveis de um 
triângulo são os pontos obtidos através da intersecção das cevianas: Incentro (bissetrizes internas), 
Circuncentro (mediatrizes), Ex-Incentro (bissetrizes externas) e Ortocentro (alturas). 
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Seja M o ponto médio do segmento com extremidades A (xA,yA) e B (xB,yB). 
Notemos que os triângulos AMN e ABP são semelhantes, pois possuem os três ângulos 
respectivamente congruentes. 
 
Assim: 
 
AP
AN
AB
AM
= 
 
Mas ( )AMAB 2= , pois M é ponto médio de AB . 
Logo, 
2
1
2
=�=
AP
AN
AP
AN
AM
AM
, donde ( )ANAP 2= . 
Assim, temos: ( ) ( )�−=−�−=− AMABANAP xxxxxxxx 22 
2
22 BAMAMAB
xx
xxxxx
+
=�−=−� . 
Mediante procedimento análogo, prova-se que 
2
BA
M
yy
y
+
= . 
 Portanto, sendo M o ponto médio do segmento AB , temos: 
 
�
�
�
�
�
� ++
2
,
2
BABA yyxxM 
 
Exemplo 3: 
 
 Sendo dados os pontos A (4,-1) e B (-2,5), temos: 
 
 
Solução 1
2
24
=
−
=Mx e 22
51
=
+−
=My . 
 
Assim, o ponto médio do segmento AB é M (1,2). 
 
Figura 6 - ponto médio de 
um segmento. 
 
A 
M 
B 
P N 
y 
x O 
yA 
yB 
yM 
xA xB = xP 
 
xM = xN 
 
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4.4 Condição de alinhamento de três pontos 
 
 É possível verificarmos se três pontos do plano, distintos dois a dois, estão 
alinhados. 
 Vamos supor que os pontos A ( )11 , yx , B ( )22 , yx e C ( )33 , yx estejam alinhados: 
 
 
 Prolonguemos a reta horizontal que passa por A, obtendo os pontos P e Q, os quais 
formam os triângulos retângulos ABP e ACQ, que são semelhantes. 
 Decorre a proporção 
BP
CQ
AP
AQ
= , que pode ser escrita como 
12
13
12
13
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
. 
 Desenvolvendo essa expressão, obtemos: 
 
( )( ) ( )( ) 013121213 =−−−−− yyxxyyxx , 
 
Que pode ser escrita sob a forma 0
1
1
1
33
22
11
=
yx
yx
yx
. 
 
Figura 8 – alinhamento de 
três pontos. 
 
A 
B 
C 
Q P 
y 
x O 
y1 
y3 
y2 
x1 x3 x2 
5 
-2 
-1 
B 
A 
M 
4 
y 
x 1 
2 
Figura 7 - Exercício 3 
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5. Reta 
 
 Para que uma reta fique perfeitamente determinada, basta que tenhamos a sua 
direção e um ponto pelo qual ela passe. 
 De fato, note que na figura 9a, existem infinitas retas (todas paralelas entre si) que 
possuem a mesma direção – formam um ângulo θ (não reto) com o eixo das abscissas no 
seu sentido positivo; destas, apenas uma (r) passa pelo ponto P. 
 Da mesma forma, na figura 9b, existem infinitas retas que passam por P e, dentre 
elas, apenas uma (r) tem a direção dada, ou seja, forma um ângulo θ com o eixo das 
abscissas. 
 
 
 
5.1 Equação Geral da Reta 
 
Chamaremos equação geral da reta a equação da reta dada na forma: 
 
0=++ cbyax 
(a e b não simultaneamente nulos) 
 
Toda reta não vertical tem uma equação que pode ser apresentada na forma 
nmxy += , onde m e n são constantes chamadas, respectivamente, de coeficiente angular e 
coeficiente linear. 
 
5.2 Equação reduzida da reta e os coeficientes 
 
 Suponhamos que uma reta r, que passa por P (x,y) e forma um ângulo θ com o eixo 
das abscissas, corte o eixo das ordenadas no ponto Q (0,n). 
 No triângulo PQR, retângulo em R, temos: 
 
x
ny
x
ny
QR
PR
aadjacentecateto
aopostocateto
tg −=
−
−
===
0 
 
θ
θθ 
 
Figura 9a – retas paralelas: 
mesma direção formando 
um ânguloθ não-reto 
com o eixo 
das abscissas. 
 
y 
x 
θ θ θ θ
P 
r 
θ
y 
x 
P 
r 
θ
Figura 9b – 
retas não-parelelas: 
direções diferentes 
e ângulos diferentes. 
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 Fazendo tgθ = m, podemos escrever 
x
ny
m
−
= , ou 
nmxy += . 
 
Daqui em diante utilizaremos a notação nmxyr += : para dizer que a equação da reta r é 
nmxy += . 
 
Esta última expressão é chamada forma reduzida da equação da reta r, ou simplesmente 
equação reduzida da reta r, na qual m, n ℜ∈ e: 
 
• m representa a tangente do ângulo θ formado entre a reta r e o eixo das abscissas, 
no sentido positivo; m é chamado coeficiente angular (ou declividade) da reta r; 
• n representa a ordenada do ponto em que a reta r corta o eixo das ordenadas; n é 
chamado coeficiente linear de r; 
• x e y são as coordenadas de um ponto genérico da reta r. 
• se a reta r é horizontal, ela forma um ângulo nulo com o eixo das abscissas; assim, 
00 == otgm e a equação reduzida da reta torna-se simplesmente ny = (caso 1). 
• se a reta r é vertical, ela forma um ângulo reto com o eixo das abscissas;como não 
existe otg 90 é impossível escrever a forma reduzida da equação de qualquer reta 
vertical (caso 2). 
 
 
Figura 11 
 
y 
x 0 
caso 2: 
 r: x = a 
 
r 
a 
y 
x 0 
caso 1: 
 r: y = n 
 n 
r 
Figura 10 – fazendo 
mtg =θ , podemos 
escrever nmxy += , 
que é a Equação Reduzida 
da reta r. 
 
y 
y 
x x 
r 
θ
P 
θn R Q 
O 
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Exemplo 4: 
 
 Obtenha a equação da reta r indicada na figura. 
 
 Solução 
 
 A equação da reta r é nmxy += , onde 145 == otgm e n = 3. Logo, a 
equação pedida é 3+= xy . 
 
Exemplo 5: 
 
 O triângulo OAB da figura abaixo é eqüilátero de lado 10. Obtenha as equações das 
retas suportes das alturas do triângulo relativas aos lados OB e OA. 
 
 Solução 
 
Sejam r e s as retas suportes das alturas relativas aos lados OB e OA, respectivamente. 
Para a equação da reta r, temos: 
 
r 
s 
o 
θ
θ
M 
N 
x 
r 
45º 
(0,3) 
Figura 12 - Exemplo 4 
O 
y 
x 
A 
B 
Figura 13 - Exemplo 5 
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16 
�
	
�
�
−=
=
+=
5
0
b
a
baxy
, com a sendo o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. 
Portanto a equação da reta r é: 5−=y . 
 
Para a reta s, temos : 
�
	
�
�
−=
=
+=
10
?
b
a
baxy
. 
 
Neste caso, precisamos determinar o valor do coeficiente angular da reta s, e para isto 
utilizaremos a seguinte equação: 
BN
MN
tga == θ . Sendo 
2
35
=BN e 
2
15
2
55 =+=MN , 
logo 3== θtga . 
 
Portanto, a equação da reta suporte s, relativa ao lado OA, é 103 −= xy . 
 
Logo, s: 103 −= xy e r: 5−=y 
 
 
5.3 Posição relativa entre duas retas 
 
Seja P (xP,yP) o ponto de intersecção de duas retas, r e s dadas em sua forma geral 
por 0111 =++ cybxa e 0222 =++ cybxa , respectivamente. 
Substituindo simultaneamente as coordenadas xP e yP nas duas equações, temos: 
 
	
�
=++
=++
0
0
222
111
cybxa
cybxa
PP
PP
 
 
Que constitui um sistema de equações lineares a duas incógnitas (xP e yP), o qual, se 
resolvido (sendo o sistema possível e determinado), fornece as coordenadas do ponto de 
intersecção. 
 
Observações: 
 
1) Um ponto pode ser obtido a partir da intersecção de duas ou mais retas. Note 
que para duas retas, a determinação das coordenadas deste ponto fica 
condicionada à resolução de um sistema linear de duas equações a duas 
incógnitas. Para o caso de três ou mais retas, a determinação das coordenadas do 
ponto de intersecção entre elas, ficará condicionada à resolução de um sistema 
linear de três equações a três incógnitas. Logo, para n retas, deveremos resolver 
um sistema de n equações a n incógnitas. 
 
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17 
2) Discussão de um sistema: 
a. Sistema Possível e Determinado: a solução é única - neste caso, existe 
apenas um ponto de intersecção entre as retas, e elas são ditas 
concorrentes; 
 
b. Sistema Possível e Indeterminado: há infinitas soluções - neste caso, há 
infinitos pontos comuns entre as retas, e elas são ditas coincidentes; 
 
c. Sistema Impossível: nenhuma solução - o sistema não possui solução e 
as retas são ditas paralelas no plano. 
 
 
Figura 14 – Sistema Possível 
e Determinado (solução): 
um ponto. 
 
y 
x 
r s 
Figura 15 – Sistema Possível 
e Indeterminado (infinitas 
soluções): 
infinitos pontos. 
 
y 
x 
sr ≡
Figura 16 – Sistema 
Impossível (não há solução): 
Não há ponto de intersecção. 
 
y 
x 
r s 
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5.4 Ângulos entre duas retas 
 
 Sejam duas retas concorrentes r1 e r2 não perpendiculares entre si. Elas determinam 
dois pares de ângulos congruentes (por serem opostos pelo vértice). Dois desses ângulos 
são agudos e dois obtusos. 
 
Sendo 1α e 2α os ângulos formados pelas retas r1 e r2 com o eixo x, no sentido 
positivo, temos: 2α = 1α + θ , pois 2α é ângulo externo do triângulo. 
 
Daí, θ = 2α - 1α e tgθ = |tg( 2α - 1α )|, pois θ é agudo e tgθ > 0. 
 
 Temos, então, 
12
12
.1 αα
ααθ
tgtg
tgtg
tg
+
−
= . 
 
 Como tg 1α = m1 e tg 2α = m2, podemos escrever: 
 
12
12
.1 mm
mm
tg
+
−
=θ 
 
Observações: 
 
1) Se as retas r1 e r2 forem paralelas, teremos m1 = m2 e θ = 0º; 
2) Se as retas r1 e r2 forem perpendiculares, teremos m1.m2 = -1 e θ = 90º. 
 
Em ambas as hipóteses, resolve-se facilmente o problema. Porém, se uma das retas 
for vertical e a outra oblíqua aos eixos, teremos dois casos: 
Figura 17 
 
1α
θ
O 
y 
x 
r1 
r2 
2α
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19 
 
 Em ambos os casos: 
 
�==��
�
�
�
�
�
−=�−=
1
111
1
cotg
22 α
αθαpiθαpiθ
tg
tgtgtg 
1
1
m
tg =� θ . 
5.5 Distância entre ponto e reta 
 
 Sejam 
0=++ cbyax (1) 
a equação de uma reta r, e P(x1,y1) um ponto não pertencente a essa reta. 
 Deseja-se calcular a distância d do ponto P à reta r. 
A distância d deve ser calculada em função dos dados a, b, c, x1 e y1. 
 Seja I(x,y) o ponto de intersecção das retas perpendiculares r e s. 
 O quadrado da distância do ponto P ao ponto I é: 
 
( ) ( )21212 yyxxd −+−= (2) 
 
 
 
Figura 18 
 
y 
x 
r1 
r2 
1α
θ
y 
x 
r1 
r2 
θ
1α
Figura 19 - distância entre 
ponto e reta. 
 
s 
d 
x1 
y 
x 0 
r P 
I 
y1 
y 
x 
y - y1 
x - x1 
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A equação da reta s que passa pelo ponto P e é perpendicular à r é: 
 
( ) ( )11 xx
a
byy −=− 
 
Substituindo-se em (2), tem-se: 
 
( )
22
1122
2
22
112
ba
cbyaxdba
ba
cbyaxd
+
++
=�+�
�
�
�
�
�
�
�
+
++
−= 
 
 
5.6 Área de um triângulo 
 
 Sejam A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC) três pontos não alinhados do plano cartesiano. 
Para calcular a área do triângulo ABC, devemos fazer: 
 
altura x base x 
2
1
=∆ABCA 
 Notemos que a base pode ser tomada como a distânciaentre os pontos B e C, e a 
altura correspondente será rAA dh ,= . Para achar esta altura devemos inicialmente obter a 
equação da reta r, que passa por B e C. 
 
 
A área do triângulo ABC é dada por: 
Tomemos a base como a distância entre os pontos B e C e a altura hA. 
( ) ( ) ( ) (1) 0
00
1
1
1
=−+−+−�
�=−−−++�=
�����������������
c
bccb
b
bc
a
cb
bcbccbcb
cc
bb
yxyxyxxxyy
yxxyyxyxyxxy
yx
yx
yx
 
Figura 20 - 
área de um triângulo. 
 
r 
B 
A 
C 
hA 
H 
y 
yA 
yC 
yB 
x xB xA xC 
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Como 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) (2) 
2
1
.
2
1
2
1
22
22
,,
bccbabcacbABC
cbcb
bccbabcacb
cbcbrACBABC
yxyxyxxxyyA
xxyy
yxyxyxxxyy
yyxxddA
−+−+−=
�
−+−
−+−+−
−+−==
∆
∆
 
 
De (1) e (2), segue que: 
1
1
1
2
1
cc
bb
aa
ABC
yx
yx
yx
A =∆ . 
 
Observação: Condição de Alinhamento de três pontos: 
 
A condição para que 3 pontos estejam em linha reta, é que a área do triângulo cujos 
vértices são ABC, seja nula, ou seja: 
0
1
1
1
2
1
==∆
cc
bb
aa
ABC
yx
yx
yx
A 
 
 
Exemplo 6: 
 
Determine a área do triângulo de vértices A(0,1), B(2,-3) e C(-3,-2). 
 
 Solução: 
 
Iniciamos pelo cálculo do determinante: 
 
18029430
123
132
110
1
1
1
−=−−−−−=
−−
−=
cc
bb
aa
yx
yx
yx
 
 
A seguir temos 
1
1
1
2
1
cc
bb
aa
ABC
yx
yx
yx
A =∆ , ou seja, 918 x 2
118 x 
2
1
==−=∆ABCA . 
Logo, a área do triângulo ABC vale 9 unidades de área. 
 
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22 
Apêndice 
 
Leitura Introdutória: Atração Fatal 
 
Pegue um esquadro que tenha ângulo de 60º. Pegue ainda lápis e régua. Você vai 
desenhar um caminho. Saindo do ponto A, numa direção que forme (à direita) 60º com a 
reta de partida. 
Chegando na reta seguinte, faça o mesmo: 
saia dela, numa direção que forme (à direita) 60º 
com ela. 
Continue assim até chegar à última reta do 
feixe. 
 
Desenhou esse caminho? Então faça outro. O Jeito de fazer é o mesmo de antes, 
mas o resultado será bem diferente. 
Embora seja o mesmo processo, o caminho de feixe de retas paralelas ficou bem 
diferente do caminho em retas concorrentes, não é? 
 
Os caminhos que você desenhou podem explicar um fato interessante. Você já viu 
uma mariposa rodar sem parar em torno de uma lâmpada? É uma atração fatal. Por que a 
lâmpada atrai a mariposa? 
 
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Acontece que as mariposas orientam seus vôos por feixes de retas paralelas 
existentes na natureza. São raios de luz solar ou lunar. 
 
 
Observe, na figura, o paralelismo dos raios 
solares. Sendo paralelos, eles produzem na placa 
inferior um círculo de luz do mesmo tamanho que a 
abertura circular da placa de cima. 
 
 
 
 
Voltando à mariposa: quando ela voa em certa direção, seu sentido de orientação faz 
com que ela não mude o ângulo entre o seu caminho e os raios solares. Mantendo sempre 
um mesmo ângulo, o caminho resulta numa linha reta. 
Os ângulos assinalados na figura têm um nome na Geometria: ângulos 
correspondentes. Como os raios solares são formados por um feixe de retas paralelas, todos 
têm a mesma medida. Pode conferir: nesse exemplo, todos medem 75º. 
 
A tragédia da mariposa ocorre quando, em vez do 
sol, ela encontra uma lâmpada comum. Nesse caso, como 
você pode observar na figura, os raios de luz não são 
paralelos. Eles equivalem a um feixe de retas 
concorrentes, que se encontram, todas, no centro da 
lâmpada. Só que a mariposa não sabe disso. 
 
 
A coitada, pensando que se trata da 
luz à qual está acostumada, ou seja, a luz 
solar, procura se orientar da mesma 
maneira. Assim, ela mantém sempre o 
mesmo ângulo com os raios de luz. A 
trajetória, em vez de ser uma reta, torna-se 
uma espiral que vai dar no centro da 
lâmpada. Poe isso, a mariposa nunca chaga 
a seu destino... 
 
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Atividades 
 
Atividade 1: Aprendendo e Ensinando com o uso do Geoplano. 
 
a) Identificar no Geoplano os seguintes pontos: (2,5), (-3,4), (-4,4), (5,2), (4,-3) e (-5,3). 
Dizer em qual quadrante cada um dos pontos está situado. 
 
b) Os segmentos AB e CD são determinados pelos pontos A(0,1), B(1,2), C(3,1) e D(4,2). 
Construa os segmentos no Geoplano e diga qual deles é o maior. 
 
c) Dados os polígonos não convexos: A(0,5), B(2,3), C(5,4), D(4,8), E(3,7), F(1,9) e 
G(5,5), H(7,3), I(10,4), J(9,8), K(8,8), L(7,7), M(6,9), calcule suas áreas e diga qual delas é 
a maior. Justifique sua resposta. 
 
Atividade 2: Construção de Ângulos utilizando Régua e Compasso 
 
a) Construir um ângulo de 60º: 
 
Traça-se o segmento de reta AB e, a partir de A (ou de B), abrindo o compasso em um raio 
qualquer, traça-se um arco, obtendo-se o ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com centro em C e mantendo a mesma abertura do compasso, traça-se um arco, obtendo-se 
o ponto D. Ligando, no exemplo, A a D, obtém-se o ângulo de 60º. 
 
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25 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Construir um ângulo de 30º: 
 
A construção do ângulo de 30º pode ser feita através da bissetriz do ângulo de 60º. 
Considere o ângulo de 60º construído anteriormente e vamos traçar sua bissetriz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com o centro em C e D e abertura do compasso maior que CD , traça-se dois arcos, 
obtendo-se o ponto E. Ligando-se o vértice A a E, obtém-se a bissetriz do ângulo DAC, ou 
seja, a bissetriz do ângulo de 60º, onde ficam determinados dois ângulos de 30º. 
 
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c) Construir um ângulo de 45º: 
 
O ângulo de 45º pode ser obtido a partir de uma adição de ângulos (30º + 15º = 45º). Para 
isso, traçaremos um ângulo de 60º, construiremos suabissetriz formando dois novos 
ângulos de 30º, e em seguida, traçaremos uma nova bissetriz em um ângulo de 30º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Considere os ângulos de 30º construídos anteriormente. Com o centro em D e G e abertura 
do compasso maior que DG , traça-se dois arcos, obtendo-se o ponto H. Ligando-se o 
vértice A a H, obtém-se a bissetriz do ângulo DAG, ou seja, a bissetriz do ângulo de 30º, 
onde ficam determinados dois novos ângulos de 15º e um novo ângulos de 45º. 
 
 
 
 
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d) Construir um ângulo de 90º: 
 
A construção de um ângulo de 90º, envolve a o traçado de uma reta perpendicular s a uma 
reta r, a partir de um ponto P dado. Neste caso, o ponto P pode ou não estar contido na reta 
r. 
 
Considere o caso rP ∈ : 
 
Traçar s, perpendicular a r, passando pelo ponto P dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com centro em P, traçar um arco de raio qualquer, obtendo-se A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Com centro em A e raio maior que AP, traçar um arco e, com centro em B e mesmo raio, 
traçar outro arco, obtendo-se o ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traçar CP, obtendo-se rs ⊥ , pelo ponto P. 
 
Considere o caso rP ∉ 
 
Traçar s, perpendicular a r, passando pelo ponto P, exterior a r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com centro em P e raio maior que a distância de P a r, traçar um arco, obtendo-se A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Com centro em A e raio maior que a metade de AB, traçar um arco e, com centro em B e 
mesmo raio, traçar outro arco, obtendo-se o ponto C. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Traçar CP, obtendo-se rs ⊥ , pelo ponto P. 
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Lista de Mapas e Figuras 
 
Mapa 1..........................................................................................................................pág. 04 
Mapa 2..........................................................................................................................pág. 05 
 
Figura 1.........................................................................................................................pág. 06 
Figura 2.........................................................................................................................pág. 08 
Figura 3.........................................................................................................................pág. 09 
Figura 4.........................................................................................................................pág. 09 
Figura 5.........................................................................................................................pág. 09 
Figura 6.........................................................................................................................pág. 11 
Figura 7.........................................................................................................................pág. 12 
Figura 8.........................................................................................................................pág. 12 
Figura 9.........................................................................................................................pág. 13 
Figura 10.......................................................................................................................pág. 14 
Figura 11.......................................................................................................................pág. 15 
Figura 12.......................................................................................................................pág. 15 
Figura 13.......................................................................................................................pág. 16 
Figura 14.......................................................................................................................pág. 17 
Figura 15.......................................................................................................................pág. 18 
Figura 16.......................................................................................................................pág. 18 
Figura 17.......................................................................................................................pág. 18 
Figura 18.......................................................................................................................pág. 19 
Figura 19.......................................................................................................................pág. 20 
Figura 20.......................................................................................................................pág. 21 
 
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31 
Bibliografia 
 
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LELLIS, Marcelo Cestari. Pra que serve a Matemática? - Geometria (2º Grau). 
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