EXERCICIOS II

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Programa de Pós Graduação em Ciência e Engenharia de Materiais - 
PGCEM 
Departamento de Engenharia Mecânica - DEM 
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA 
 
Ciência dos Materiais – Lista de Exercícios II - Estrutura dos Sólidos Cristalinos 
 
1. Qual a diferença entre estrutura atômica e estrutura cristalina? 
2. Considere os sistemas cristalinos 
 (a) Cúbico Simples (CS), 
 (b) Cúbico de Faces Centradas (CFC) e 
 (c) Cúbico de Corpo Centrado (CCC). 
 Para cada um dos sistemas relacionados determine: 
i. Os átomos básicos; 
ii. O número de coordenação; 
iii. A relação entre raio atômico e o parâmetro de rede (a); 
iv. Relação entre o raio atômico e a diagonal do cubo; 
v. O fator de empacotamento atômico; 
vi. As densidades do ouro, nióbio e zinco. 
3. Se o raio atômico do alumínio é 0,143 nm, calcule o volume de sua célula unitária em metros cúbicos. 
4. Mostre que a razão c/a ideal é de 1,633 para a estrutura cristalina HC. 
5. Calcule o raio do átomo de irídio, dado que o Ir possui uma estrutura cristalina CFC, uma massa específica de 
22,4 g/cm
3
 e um peso atômico de 192.2 g/mol. 
6. O zircônio possui uma estrutura cristalina HC e uma massa específica de 6,51 g/cm3. 
 (a) Qual é o volume de sua célula unitária em metros cúbicos? 
 (b) Se a razão c/a é de 1,593, calcule os valores de c e de a. 
7. O peso atômico, a massa específica e o raio atômico para três ligas hipotéticas estão listados na tabela a 
seguir. Para cada uma delas, determine se a estrutura cristalina é CFC, CCC ou cúbica simples e, então 
justifique sua afirmação 
 
Liga Peso atômico 
(g/mol) 
Massa específica 
(g/cm3) 
Raio atômico 
(nm) 
A 77,4 8,22 0,125 
B 107,6 13,42 0,133 
C 127,3 9,23 0,142 
 
8. O rênio possui uma estrutura cristalina HC, um raio atômico de 0,137uma razão c/a de 0,1615. Calcule o 
volume da célula unitária para o Re. 
9. Quais são os indices para as direções indicadas pelos dois vetores na Figura 1 (a)? 
10. Determine os índices para as direções mostradas na célula unitária cúbica da Figura 1(b): 
11. Determine os índices para as direções mostradas na célula unitária cúbica da Figura 1(c): 
 
(a) (b) (c) 
Figura 01 – exercício (a) 9, (b) 10 e (c) 11. 
 
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Ciência dos Materiais – Lista de Exercícios II - Estrutura dos Sólidos Cristalinos 
 
12. Desenhe os seguintes planos e direções em uma célula unitária tetragonal: (0 0 1), (0 1 1), (1 1 3), [1 1 0],[2 0 
1], [1 0 1]. Mostre os eixos. 
13. Mostre por meio de um corte no plano (1 1 0) que a direção [1 1 1] é perpendicular ao plano (1 1 1) no sistema 
cúbico, mas não, em geral no sistema tetragonal. 
14. No desenho de um prisma hexagonal, indique os seguintes planos e direções (1 -2 1 0), (1 0 -1 2), (-1 0 1 1), [1 
1 -1] e [0 2 1]. Mostre os eixos. 
15. Desenhe uma célula unitária mostrando as direções compactas de um cristal cúbico de corpo centrado, CCC. 
Identifique todas essas direções com seus índices apropriados. 
16. Desenhe uma célula unitária mostrando as direções compactas de um cristal cúbico de face centrada, CFC. 
Identifique todas essas direções com seus índices apropriados. 
17. Determine os índices para as direções mostradas nas células unitárias hexagonais da Figura 2 
 
Figura 2 – exercício 17 
18. Determine os indicies de Miller para os planos mostrados na Figura 2 (a), (b) e (c) 
 
(a) (b) (c) 
 
Figura 3 – exercício 18 
 
19. Cite os índices da direção resultante da interseção de cada um dos seguintes pares de planos em um cristal 
cúbico: (a) planos (100) e (010), (b) planos (111) e (11-1) e (c) planos (10-1) e (001). 
 
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20. Considere a célula unitária mostrada abaixo (modelo de esferas 
reduzidas), a qual possui uma origem do sistema de coordenadas 
posicionada no átomo identificado como O. Para os seguintes 
conjuntos de planos, determine quais são equivalentes. 
(a) (00-1), (010) e (-100) 
(b) (1-10), (10-1), (0-11) e (-1-10) 
(c) (-1-1-1), (-11-1), (-1-11) e (1-11) 
21. Determine os índices para os planos mostrados nas células unitárias hexagonais da Figura 4 (a), (b), (c) e (d). 
 
Figura 4 – exercício 21 
22. Converta as direções [110] e [00-1] para os quatro índices de Miller Bravais do sistema hexagonal 
23. Determine os índices para as direções mostradas na seguinte célula unitária hexagonal. 
 
24. (a) Desenhe uma célula unitária ortorrômbica, e dentro da célula trace o plano (02-1). 
 (b) Desenhe uma célula unitária monoclínica unit cell, e dentro da célula trace o plano (200). 
 
 
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25. (a) Desenvolva expressões para a densidade linear em termos de raio atômico R para as direções [100] e [111] 
na estrutura CFC. 
(b) Calcule e compare os valores da densidade linear para essas mesmas duas direções na prata. 
26. (a) Desenvolva expressões para a densidade linear em termos de raio atômico R para as direções [110] e [111] 
na estrutura CCC. 
(b) Calcule e compare os valores da densidade linear para essas mesmas duas direções no tungstênio. 
27. (a) Desenvolva expressões para a densidade planar em termos de raio atômico R para os planos (100) e (111) 
na estrutura CFC. 
(b) Calcule e compare os valores da densidade planar para esses mesmos dois planos no níquel. 
28. (a) Desenvolva expressões para a densidade planar em termos de raio atômico R para os planos (110) e (110) 
na estrutura CCC. 
(b) Calcule e compare os valores da densidade planar para esses mesmos dois planos no vanádio. 
29. Converta as direções [110] e [00-1] para os quatro índices de Miller Bravais do sistema hexagonal 
30. Determine os índices para as direções mostradas na seguinte célula unitária hexagonal. 
 
31. (a) Desenhe uma célula unitária ortorrômbica, e dentro da célula trace o plano (02-1). 
32. (b) Desenhe uma célula unitária monoclínica unit cell, e dentro da célula trace o plano (200). 
 
 
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Resultados de alguns exercícios 
 
3. Vc=6,62x10-29 m3 
5. 0,136 nm 
6. Vc=1,4x10-28 m3 
 a=0,323 nm c=0,515 nm 
7. Liga B - CFC 
8. Vc=8,63x10-3 Nm3 
25. (a) 
22
1
100 R
DL = 
26. (b) 19111 1065,3 −−= mxDL 
27. (a) 
32
1
2111 R
DP = 
28. (a) 219110 10522,1 −= mxDP