Lista_prob1_3

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Lista de Exerc´ıcios 3
MAT02248 - Probabilidade I
Exerc´ıcio 1. Seja X uma v.a. em (Ω,A). Defina, para todo ω ∈ Ω
X+(ω) :=
{
0, se X(ω) < 0,
X(ω), se X(ω) ≥ 0, e X
−(ω) :=
{
X(ω), se X(ω) ≤ 0,
0, se X(ω) > 0.
(a) Para y ∈ R, escreva P (X+ ≤ y) e P (X− ≤ y) em func¸a˜o de P (X ∈ B), para B apropriado. (Dica:
considere separadamente os casos y < 0, y = 0 e y > 0.)
(b) Suponha que X ∼ U(−1, 1). Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de X+ e classifique-a.
Exerc´ıcio 2. Sejam X ∼ N(0, 1), µ ∈ R e σ > 0 .
(a) Determine a densidade de Y = X2 (chamada de distribuic¸a˜o chi-quadrado (leˆ-se qui-quadrado) com
1 grau de liberdade, denotada χ21).
(b) Determine a densidade de Y = eµ+σX (chamda de distribuic¸a˜o log-Normal com paraˆmetros µ e σ2,
denotada logN(µ, σ2)).
(c) Determine a densidade de Y = |µ + σX| (chamada de folded normal distribution com paraˆmetros
µ e σ2, denotada Nf (µ, σ
2)).
(d) Determine a densidade de Y = X−2 (chamada de distribuic¸a˜o de Le´vy e denotada Le´vy(0,1)).
Exerc´ıcio 3. Seja X uma varia´vel aleato´ria com func¸a˜o de distribuic¸a˜o
F (x) = (1 + e−x)−λ, para λ > 0.
(a) Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o de Y = ln(1 + e−X). Que distribuic¸a˜o e´ essa?
(b) Seja X ∼ Exp(λ) (ou seja, FX(x) = 1 − e−λx). Determine a func¸a˜o de distribuic¸a˜o e a densidade
de Y = − ln(eX − 1).
(c) O que os resultados de (a) e (b) significam?
Exerc´ıcio 4. Seja X uma v.a. cont´ınua e na˜o-negativa com densidade f e seja α > 0. Determine a
densidade de Y = Xα.
Exerc´ıcio 5. Seja X uma varia´vel cont´ınua com densidade f e defina Y = X2m, onde m e´ um inteiro
positivo.
(a) Determine a densidade de Y em func¸a˜o de f .
(b) Se X ∼ N(0, 1), como ficaria a densidade de Y ?
Exerc´ıcio 6. Seja X uma v.a com densidade f(x) = 2x/pi2 se x ∈ (0, pi) e 0 caso contra´rio. Determine a
densidade de Y = sin(X).
Exerc´ıcio 7. Seja X uma varia´vel aleato´ria positiva e cont´ınua com densidade f . Determine a densidade
de Y = X1+X . Como fica esta densidade no caso em que X ∼ U(0, 1)?
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