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Lista 1 - Função. Professora Patrícia 08:30

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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Lista 1 – Func¸o˜es
1. Responda o que se pede :
a) Na grade abaixo, esboce f(x) = ln(x+ 1).
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
x
b) Usando os procedimentos vistos em aula, deˆ o domı´nio e a imagem da sua inversa, esboce-a
(na mesma grade).
c) Qual a fo´rmula de f−1? Calcule f−1(0).
2. Em uma prac¸a, deseja-se construir um canteiro de 240 m2, circundado por um gramado, con-
forme mostra a figura. Sabendo que o m2 da grama custa R$30,00, expresse o custo total
do gramado, em termos da medida x de um dos lados do canteiro. Atenc¸a˜o: A figura e´
meramente ilustrativa, na˜o esta´ em escala!
canteiro 5m5m
3m
3m
3. Sabendo que a func¸a˜o f(x) = log
3
(x− 2) possui uma func¸a˜o inversa, determine o nu´mero real
a para o qual f−1(a) = 11.
4. Uma empresa fabrica caixas com base retangular, sem tampa e com altura igual ao triplo de
uma das dimenso˜es da base, a qual denotaremos por x. Se a a´rea total de superf´ıcie de cada
caixa deve ser de 600cm2, expresse o volume V da caixa como func¸a˜o de x. Na˜o esquec¸a de
indicar o domı´nio da func¸a˜o V.
5. Simplifique a expressa˜o e indique os valores de x para os quais sua simplificac¸a˜o e´ va´lida:
a) e− lnx b) ln(x ex) c) ex−lnx
d) sen (arcsen x
2
50
) e) cos(arctg x)
6. Um campo retangular esta´ limitado por uma cerca em treˆs de seus lados e por um rio reto
no quarto lado. Sabendo que o terreno esta´ cercado com 1000 m de cerca, expresse a a`rea do
campo retangular em func¸a˜o de um dos seus lados x. Na˜o esquec¸a do domı´mio.
7. Considere f(x) = (x+ 1)3, para todo x real, cujo gra´fico esta´ esboc¸ado abaixo.
a) Justifique o fato de f ser invert´ıvel.
b) Determine f−1(x)
c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f−1, no mesmo sistema de coordenadas dado.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
8. Considere uma caixa na forma de um paralelep´ıpedo, cuja base (retangular) tem uma das
dimenso˜es igual ao dobro da outra, e de forma que a soma de sua altura com o per´ımetro da
base seja de 600 cm. Determine a func¸a˜o que expressa o volume V de uma tal caixa, em termos
da medida x da menor dimensa˜o da base. Atenc¸a˜o: Na˜o esquec¸a de especificar o domı´nio
da func¸a˜o.
9. Considere a func¸a˜o f(x) = 2 sen (x+ 4).
(a) Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f .
(b) Encontre um intervalo I de comprimento ma´ximo, contendo o ponto x = 1, para o qual f
e´ invert´ıvel.
(c) Determine o valor de x que satisfaz f−1(x) = 2pi − 4
10. Um terreno retangular deve ser dividido em quatro partes triangulares, conforme mostra a fi-
gura, e cercado. Na parte exterior deste terreno sera´ colocada uma cerca ao custo de R$ 25,00
o metro e, na parte interior do terreno, sera´ colocada uma cerca que custa R$ 12,00 o metro.
Expresse o custo para colocar tais cercas num terreno
com a´rea igual a 300 metros quadrados, em func¸a˜o da
dimensa˜o do terreno indicada na figura por x.
Atenc¸a˜o: Na˜o esquec¸a de determinar o domı´nio da
func¸a˜o.
x
A figura na˜o esta´ em escala!
11. Considere a func¸a˜o f , cujo gra´fico esta´ esboc¸ado abaixo, definida por f(x) =


x
3
− 2, x ≤ 0,
1
3
x2, x > 0.
a) Justifique o fato de f ser invert´ıvel.
b) Determine f−1(x), especificando seu
domı´nio.
c) Fac¸a, no mesmo sistema de coordena-
das dado, um esboc¸o do gra´fico de f−1.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
b
bc
12. Um terreno retangular dividido em 4 partes iguais conforme mostra a figura, deve ser cercado
interna e externamente com dois tipos de cerca. A cerca externa custa 30 reais o metro linear,
enquanto que a interna custa 20 reais o metro.
Dispondo de 600 reais para custear tais cercas, escreva a
func¸a˜o f que fornece a a´rea de um tal terreno em termos
da varia´vel x, que mede um dos lados do terreno.
Atenc¸a˜o: Na˜o esquec¸a de determinar o domı´nio de f .
A figura e´ meramente ilustrativa, na˜o esta´ em escala!
x
13. Seja f(x) = −1
2
(x− 2)3, para todo x real, func¸a˜o invert´ıvel, cujo gra´fico esta´ esboc¸ado abaixo.
a) Determine f−1(0)
b) Determine uma regra para f−1(x)
c) No mesmo sistema de coordenadas
dado, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f−1.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
Respostas
1. a)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
f = ln(x+ 1)
f−1(x) = ex − 1y
x
b) Na grade acima;
c) f−1(x) = ex − 1 e f−1(0) = 0.
2. Custo=a´rea x prec¸o, x =e´ a base horiz. do canteiro, y =e´ a altura vertical. Assim, a´rea do
gramado= (10 + x)(6 + y)− 240, prec¸o=30, custo=c(x) = [(10 + x)(6 + y)− 240]30. Como a
a´rea do canteiro e´ 240 temos xy = 240. E substituindo na fo´rmula do custo,
c(x) = [(10 + x)(6 +
240
x
)− 240]30.
3. Como f(x) = log
3
(x− 2) possui uma func¸a˜o inversa, o nu´mero real a para o qual f−1(a) = 11
e´ a = f(11) = log
3
(11− 2) = log
3
9 = 2.
4. Dimenso˜es: base x por y e altura 3x, neste caso da a´rea total vem y = 600−6x
2
7x
. Logo o volume
e´: V (x) = 3x2
[
600−6x2
7x
]
e Dom(V ) = [0, 10].
5. a) 1
x
para x > 0; b) x + ln(x) para x > 0; c) e
x
x
para x > 0; d) x
2
50
para x ∈ [−
√
50,
√
50]; e)
1√
1+x2
para x ∈ R.
6. Seja x o lado oposto ao rio e y os outros dois lados.Do per´ımetro y = 1000−x
2
. Como a a´rea e´
A = xy temos A(x) = x
[
1000−x
2
]
. E Dom(A) = [0, 1000].
7. a) E´ mono´tona crescente;
b) f−1(x) = 3
√
x− 1;
c)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
f−1(x) = 3
√
x− 1
f(x) = (x+ 1)3y
x
8. Dimenso˜es da base: x e y. Altura, z. Das condic¸o˜es do problema 2x+ 2y + z = 600 e y = 2x.
Assim V (x) = xyz = 12x2(100− x). Ale´m disso, Dom(V ) = [0, 100].
9. a) Dom(f) = R e Im(f) = [−2, 2];
b) [3pi
2
− 4, 5pi
2
− 4];
c) f−1(x) = 2pi − 4 logo x = f(2pi − 4) = 2sen(2pi − 4 + 4) = 0.
10. A altura sera´ y e a base x, logo xy = 300. Assim, o custo c(x) = 24
√
x2 + 300
3
x
2 + 50(x+
300
x
) e
Dom(c) = (0,+∞).
11. a) f e´ mono´tona crescente;
b) f−1(x) =
{
6 + 3x, x ≤ −2√
3x, x > 0
c)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
f−1(x)
f(x)y
x
12. Temos A = xy onde y e´ a altura, logo A(x) = x(10−x)
2
e Dom(A) = [0, 10].
13. a) f−1(0) = 2 pois f(2) = 0;
b) f−1(x) = 2− 3
√
2x
c)
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
gra´fico de f−1

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