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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA Lista 1 – Func¸o˜es 1. Responda o que se pede : a) Na grade abaixo, esboce f(x) = ln(x+ 1). -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 y x b) Usando os procedimentos vistos em aula, deˆ o domı´nio e a imagem da sua inversa, esboce-a (na mesma grade). c) Qual a fo´rmula de f−1? Calcule f−1(0). 2. Em uma prac¸a, deseja-se construir um canteiro de 240 m2, circundado por um gramado, con- forme mostra a figura. Sabendo que o m2 da grama custa R$30,00, expresse o custo total do gramado, em termos da medida x de um dos lados do canteiro. Atenc¸a˜o: A figura e´ meramente ilustrativa, na˜o esta´ em escala! canteiro 5m5m 3m 3m 3. Sabendo que a func¸a˜o f(x) = log 3 (x− 2) possui uma func¸a˜o inversa, determine o nu´mero real a para o qual f−1(a) = 11. 4. Uma empresa fabrica caixas com base retangular, sem tampa e com altura igual ao triplo de uma das dimenso˜es da base, a qual denotaremos por x. Se a a´rea total de superf´ıcie de cada caixa deve ser de 600cm2, expresse o volume V da caixa como func¸a˜o de x. Na˜o esquec¸a de indicar o domı´nio da func¸a˜o V. 5. Simplifique a expressa˜o e indique os valores de x para os quais sua simplificac¸a˜o e´ va´lida: a) e− lnx b) ln(x ex) c) ex−lnx d) sen (arcsen x 2 50 ) e) cos(arctg x) 6. Um campo retangular esta´ limitado por uma cerca em treˆs de seus lados e por um rio reto no quarto lado. Sabendo que o terreno esta´ cercado com 1000 m de cerca, expresse a a`rea do campo retangular em func¸a˜o de um dos seus lados x. Na˜o esquec¸a do domı´mio. 7. Considere f(x) = (x+ 1)3, para todo x real, cujo gra´fico esta´ esboc¸ado abaixo. a) Justifique o fato de f ser invert´ıvel. b) Determine f−1(x) c) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f−1, no mesmo sistema de coordenadas dado. -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y x 8. Considere uma caixa na forma de um paralelep´ıpedo, cuja base (retangular) tem uma das dimenso˜es igual ao dobro da outra, e de forma que a soma de sua altura com o per´ımetro da base seja de 600 cm. Determine a func¸a˜o que expressa o volume V de uma tal caixa, em termos da medida x da menor dimensa˜o da base. Atenc¸a˜o: Na˜o esquec¸a de especificar o domı´nio da func¸a˜o. 9. Considere a func¸a˜o f(x) = 2 sen (x+ 4). (a) Determine o domı´nio e a imagem da func¸a˜o f . (b) Encontre um intervalo I de comprimento ma´ximo, contendo o ponto x = 1, para o qual f e´ invert´ıvel. (c) Determine o valor de x que satisfaz f−1(x) = 2pi − 4 10. Um terreno retangular deve ser dividido em quatro partes triangulares, conforme mostra a fi- gura, e cercado. Na parte exterior deste terreno sera´ colocada uma cerca ao custo de R$ 25,00 o metro e, na parte interior do terreno, sera´ colocada uma cerca que custa R$ 12,00 o metro. Expresse o custo para colocar tais cercas num terreno com a´rea igual a 300 metros quadrados, em func¸a˜o da dimensa˜o do terreno indicada na figura por x. Atenc¸a˜o: Na˜o esquec¸a de determinar o domı´nio da func¸a˜o. x A figura na˜o esta´ em escala! 11. Considere a func¸a˜o f , cujo gra´fico esta´ esboc¸ado abaixo, definida por f(x) = x 3 − 2, x ≤ 0, 1 3 x2, x > 0. a) Justifique o fato de f ser invert´ıvel. b) Determine f−1(x), especificando seu domı´nio. c) Fac¸a, no mesmo sistema de coordena- das dado, um esboc¸o do gra´fico de f−1. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 y x b bc 12. Um terreno retangular dividido em 4 partes iguais conforme mostra a figura, deve ser cercado interna e externamente com dois tipos de cerca. A cerca externa custa 30 reais o metro linear, enquanto que a interna custa 20 reais o metro. Dispondo de 600 reais para custear tais cercas, escreva a func¸a˜o f que fornece a a´rea de um tal terreno em termos da varia´vel x, que mede um dos lados do terreno. Atenc¸a˜o: Na˜o esquec¸a de determinar o domı´nio de f . A figura e´ meramente ilustrativa, na˜o esta´ em escala! x 13. Seja f(x) = −1 2 (x− 2)3, para todo x real, func¸a˜o invert´ıvel, cujo gra´fico esta´ esboc¸ado abaixo. a) Determine f−1(0) b) Determine uma regra para f−1(x) c) No mesmo sistema de coordenadas dado, fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f−1. -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y x Respostas 1. a) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 f = ln(x+ 1) f−1(x) = ex − 1y x b) Na grade acima; c) f−1(x) = ex − 1 e f−1(0) = 0. 2. Custo=a´rea x prec¸o, x =e´ a base horiz. do canteiro, y =e´ a altura vertical. Assim, a´rea do gramado= (10 + x)(6 + y)− 240, prec¸o=30, custo=c(x) = [(10 + x)(6 + y)− 240]30. Como a a´rea do canteiro e´ 240 temos xy = 240. E substituindo na fo´rmula do custo, c(x) = [(10 + x)(6 + 240 x )− 240]30. 3. Como f(x) = log 3 (x− 2) possui uma func¸a˜o inversa, o nu´mero real a para o qual f−1(a) = 11 e´ a = f(11) = log 3 (11− 2) = log 3 9 = 2. 4. Dimenso˜es: base x por y e altura 3x, neste caso da a´rea total vem y = 600−6x 2 7x . Logo o volume e´: V (x) = 3x2 [ 600−6x2 7x ] e Dom(V ) = [0, 10]. 5. a) 1 x para x > 0; b) x + ln(x) para x > 0; c) e x x para x > 0; d) x 2 50 para x ∈ [− √ 50, √ 50]; e) 1√ 1+x2 para x ∈ R. 6. Seja x o lado oposto ao rio e y os outros dois lados.Do per´ımetro y = 1000−x 2 . Como a a´rea e´ A = xy temos A(x) = x [ 1000−x 2 ] . E Dom(A) = [0, 1000]. 7. a) E´ mono´tona crescente; b) f−1(x) = 3 √ x− 1; c) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 f−1(x) = 3 √ x− 1 f(x) = (x+ 1)3y x 8. Dimenso˜es da base: x e y. Altura, z. Das condic¸o˜es do problema 2x+ 2y + z = 600 e y = 2x. Assim V (x) = xyz = 12x2(100− x). Ale´m disso, Dom(V ) = [0, 100]. 9. a) Dom(f) = R e Im(f) = [−2, 2]; b) [3pi 2 − 4, 5pi 2 − 4]; c) f−1(x) = 2pi − 4 logo x = f(2pi − 4) = 2sen(2pi − 4 + 4) = 0. 10. A altura sera´ y e a base x, logo xy = 300. Assim, o custo c(x) = 24 √ x2 + 300 3 x 2 + 50(x+ 300 x ) e Dom(c) = (0,+∞). 11. a) f e´ mono´tona crescente; b) f−1(x) = { 6 + 3x, x ≤ −2√ 3x, x > 0 c) -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 f−1(x) f(x)y x 12. Temos A = xy onde y e´ a altura, logo A(x) = x(10−x) 2 e Dom(A) = [0, 10]. 13. a) f−1(0) = 2 pois f(2) = 0; b) f−1(x) = 2− 3 √ 2x c) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y x gra´fico de f−1
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