Lista 2 - Limite. Professora Patrícia 08:30

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Departamento de Matema´tica Pura e Aplicada
MAT 01353 – Ca´lculo e Geometria Anal´ıtica IA
Lista 2 – Limites Ba´sicos
1. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) =


x2 − 16
4x− 16 , x > 4,
x2 − C, x < 4.
a) Determine o valor de C de modo que lim
x→4
f(x) exista.
b) Calcule lim
x→+∞
f(x)
2. Com base no gra´fico abaixo, determine:
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5 y
x
f
bc
bc
b
b
(a) lim
x→3−
f(x) =
(b) lim
x→3+
f(x) =
(c) Baseado nos itens anteriores responda se existe lim
x→3
f(x)
3. Abaixo temos o gra´fico da func¸a˜o f .
a) Existe lim
x→3
f(x)? Justifique.
b) Existe lim
x→−1
f(x)? Justifique.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
y
x
bc
bc
b b
4. Calcule cada limite, justificando suas respostas.
a) lim
x→1+
1
x− 1=
b) lim
x→−∞
1 + ex=
c) lim
x→0
f(x), onde f(x) =


ln(1 + x), x ≥ 0
−x3 − 6x2 + x, x < 0
5. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) =


x2 + x− 2
2x− 2x2 , x > 1,
log3
(
1
2− x
)
, x < 1.
Calcule, caso exista. Justifique sua resposta no caso de na˜o existir.
a) f(f(2))
b) lim
x→1
f(x)
c) lim
x→+∞
f(x)
6. Considere a func¸a˜o f definida por f(x) =


5
x− 1 , x < 1,
0, x = 1,
x3 − 3x2 + 2x
x2 − 1 , x > 1.
Calcule:
a) lim
x→1+
f(x)
b) lim
x→1−
f(x)
c) Com base nos itens anteriores, que se pode afirmar sobre lim
x→1
f(x)?
7. Sendo f(x) =
5x2 − 25
x−√5 , calcule:
a) lim
x→
√
5
f(x)
b) lim
x→−∞
f(x)
8. Calcule lim
x→4
x2 − 8x+ 16
x− 4 caso exista, ou justifique sua resposta, se na˜o existir.
9. Calcule cada limite, usando os limites trigonome´tricos ba´sicos e as identidades trigonome´tricas
necessa´rias.
a) lim
x→0
tan x
sen x
=
b) lim
x→pi
2
cos2 x
1− sen x=
c) lim
x→pi
6
1− 2 cos(2x)
1− 2 sen x =
Respostas
1. a) lim
x→4−
f(x) = 16− c e lim
x→4+
f(x) = 2 logo c = 14.
b) lim
x→+∞
f(x) = +∞.
2. a) lim
x→3−
f(x) = 4
b) lim
x→3+
f(x) = 1
c) O limite na˜o existe pois os laterais sa˜o diferentes.
3. a) lim
x→3
f(x) = −1 pois os dois laterias existem e sa˜o iguais a −1;
b) lim
x→−1
f(x) = 6 ∃ pois lim
x→−1−
f(x) = 1 e lim
x→−1+
f(x) = 0 sa˜o diferentes.
4. a) +∞
b) 1
c) E´ 0, pois ambos limites laterais existem e valem zero.
5. a) −1
b) 6 ∃, o limite a` esq. e´ 0 e a` direita e´ −3/2.
c) −1/2.
6. a) lim
x→1+
f(x) = −1/2
b) lim
x→1−
f(x) = −∞
c) lim
x→1
f(x) na˜o existe, porque os laterais sa˜o diferentes.
7. a) lim
x→
√
5
f(x) = 10
√
5
b) lim
x→−∞
f(x) = −∞.
8. lim
x→4
x2 − 8x+ 16
x− 4 = 0.
9. a) lim
x→0
tan x
sen x
= 1
b) lim
x→pi
2
cos2 x
1− sen x = 2
c) lim
x→pi
6
1− 2 cos(2x)
1− 2 sen x = −2.