Álgebra Linear Unidade I

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Álgebra Linear
Professoras conteudistas: Isabel Espinosa e Valéria Carvalho
Sumário
Álgebra Linear
Unidade I
1 MATRIzEs ..............................................................................................................................................................2
1.1 Matriz ...........................................................................................................................................................2
1.1.1 Introdução ....................................................................................................................................................2
1.1.2 Alguns tipos especiais de matrizes .................................................................................................. 12
1.1.3 Operações com matrizes ...................................................................................................................... 15
Unidade II
2 DETERMInAnTEs ............................................................................................................................................. 27
2.1 Introdução ............................................................................................................................................... 27
2.1.1 Determinante (n < 3) ........................................................................................................................... 27
2.1.2 Teorema fundamental de Laplace .................................................................................................... 32
2.1.3 Determinantes e resolução de sistemas lineares n x n ............................................................ 32
2.1.4 Determinantes e análise de sistemas ............................................................................................. 33
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Unidade I5
10
15
20
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30
35
ÁLgebra Linear
introdução
Estudaremos neste material alguns conceitos fundamentais 
da álgebra linear. Esse campo de estudo tem importantes 
aplicações na própria matemática, e vem sendo cada vez 
mais utilizado nas outras ciências. sua utilização na solução 
de diversos problemas tem crescido em ordem proporcional 
ao avanço da tecnologia, área que a álgebra linear também 
subsidia.
As aplicações desse poderoso campo de estudo, que é a 
álgebra linear, podem ser encontradas na engenharia, ciência da 
computação, matemática, física, biologia, economia, estatística 
e outras. Buscaremos apresentar, neste material, algumas dessas 
aplicações para contextualizar alguns conceitos que serão aqui 
abordados. 
É importante salientar, também, que o material foi 
desenvolvido para um curso introdutório de álgebra linear e, 
sendo assim, busca-se aqui uma abordagem mais objetiva e 
simplificada, sendo que a consulta aos livros que constam nas 
referências bibliográficas será essencial para um aprofundamento 
nos temas propostos.
Para terminar essa breve introdução e começarmos nossos 
estudos, queremos fazer uma última observação: estudaremos 
aqui conceitos que levaram séculos e até milênios para 
serem desenvolvidos, sistematizados e colocados em bases 
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formais e rigorosas. seria no mínimo pretensioso acreditar 
que podemos compreendê-los sem esforços ou com pouco 
tempo de estudos, ou seja, será necessária muita motivação, 
dedicação, erros (pois esses fazem parte do processo de ensino 
e aprendizagem da matemática), e a utilização de materiais 
complementares (pesquisas em livros, sites, resolução de 
problemas e exercícios). 
nosso estudo será divido em dois módulos, sendo que 
essa divisão não significa de forma alguma que esses temas 
sejam disjuntos, muito pelo contrário, eles estão muito ligados 
por meio de articulações entre os conceitos e suas possíveis 
aplicações. Essa divisão diz respeito apenas a uma escolha 
organizacional. 
na unidade 1 estudaremos as matrizes e na unidade 2 
estudaremos os determinantes. Desejamos que esse material 
possa auxiliá-lo nessa caminhada. 
Bom estudo!
1 Matrizes
1.1 Matriz
1.1.1 Introdução
Inicialmente apresentaremos os conceitos básicos sobre 
matrizes. Esses conceitos aparecem naturalmente na resolução 
de muitos tipos de problemas científicos ou do cotidiano e são 
essenciais, não apenas porque eles “ordenam e simplificam” tais 
problemas, mas também porque fornecem novos métodos de 
resolução.
Chamamos de matriz uma tabela de elementos dispostos 
em linhas e colunas. Por exemplo, ao fazer uma pesquisa e 
recolhermos os dados referentes à altura, peso e idade de 
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um grupo de quatro pessoas, podemos dispô-los na seguinte 
tabela:
Altura (m) Peso (kg) Idade (anos)
Pessoa 1 1,70 70 23
Pessoa 2 1,75 60 45
Pessoa 3 1,60 52 25
Pessoa 4 1,81 72 30
Ao abstrairmos os significados das linhas e colunas, temos 
a matriz:
170 70 23
175 60 45
160 52 25
181 72 30
,
,
,
,






É importante perceber que em um problema onde o 
número de variáveis e de observações é muito grande, 
essa disposição ordenada dos dados em forma 
de matriz torna-se absolutamente indispensável 
(BOLDRInI et al., 1984).
Outros exemplos de matrizes são:
2 1
2 3
0
3 0 1 1
x
x
−





[ ] [ ]
Os elementos de uma matriz podem ser números (reais ou 
complexos), funções, vetores ou ainda outras matrizes.
Por convenção representa-se uma matriz de m linhas e n 
colunas da seguinte forma:
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A
a a a
a a a
a a a
mxn
n
n
m m mn
=



11 12 1
21 22 2
1 2
...
...
... ... ... ...
...



=  aij mxn
Ainda, por convenção, usaremos sempre letras maiúsculas para 
denotar matrizes, e quando quisermos especificar a ordem de uma 
matriz A (isto é, o número de linhas e colunas), escreveremos Amxn. 
Também são utilizadas outras notações para matriz além de colchetes, 
como parênteses ou duas barras, como no exemplo abaixo: 
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
n
n
mn
=






11
21
1
12
22
2
1
2
M M
L
L
L
M
ou:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
n
n
mn
=






11
21
112
22
2
1
2
M M
L
L
L
M
ou ainda:
A
a
a
a
a
a
a
a
a
am m
n
n
mn
=
11
21
1
12
22
2
1
2
M M
L
L
L
M
Utilizaremos neste material a representação por meio de 
colchetes.
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Para localizar um elemento de uma matriz, dizemos a linha e a 
coluna (nessa ordem) em que ele está. Por exemplo, na matriz:
A x2 3
1 0 4
4 3 2
=
−
−




o elemento que está na primeira linha e terceira coluna é –4, 
isto é, a13 = - 4, ainda nesse exemplo, temos a11 = 1, a12 = 0, a21 
= 4, a22 = - 3 e a23 = 2.
Exemplo 1
Quando escrevemos as matrizes A aij x
= ( )2 3 , onde a i jij = − 2 ,
B bij x
= ( )3 3 , onde b i jij = . , C cij x= ( )4 1 , onde c i jij = +2 e 
D dij x
= ( )1 3 , onde d i jij = +2 , obtemos respectivamente:
A) A =




2 3 4
3 2 1
, B =






1 2 3
4 5 6
6 8 8
, C = − − − −[ ]1 2 3 4 , D =






2
3
4
B) A =




1 3 5
0 2 4
, B =






1 2 3
4 5 6
1 2 3
, C =






9
7
5
3
, D = [ ]4 3 2 
C) A =
− − −
− −




1 3 5
0 2 4
, B =






1 2 3
2 4 6
3 6 9
, C =






3
5
7
9
, D = [ ]2 3 4
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D) A =




1 2 4
0 3 4
, B =






1 2 3
4 1 6
1 2 1
, C =






0
0
0
0
, D = [ ]1 1 1 
E) A =
− − −
−




1 3 5
0 2 4
, B =






1 2 3
2 1 6
3 6 3
, C =






1
2
3
4
, D = − − −[ ]2 3 4
Resolução:
sabemos que: A = (aij)2x3 , onde aij = i - 2j, B = (bij)3x3,
onde bij = i.j, C = (cij)4x1, onde cij = 2i + j e D = (dij)1x3, onde 
dij = i
2 + j. Para resolver este exercício, o dividiremos em quatro 
partes, em cada parte iremos determinar uma matriz solicitada 
no enunciado; vamos aos cálculos:
(i) A = (aij)2x3 onde aij = i -2j, que é uma matriz com duas 
linhas e três colunas.
A
a a a
a a a
=




11 12 13
21 22 23
Determinando os elementos da primeira linha da matriz A, 
temos:
a i j
a
a
a
ij = −
= − = − = −
= − = − = −
= − = − = −
2
1 21 1 2 1
1 2 2 1 4 3
1 2 3 1 6
11
12
13
( )
( )
( ) 55
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Determinando os elementos da primeira linha da matriz A, 
temos:
a i j
a
a
a
ij = −
= − = − =
= − = − = −
= − = − = −
2
2 21 2 2 0
2 2 2 2 4 2
2 2 3 2 6 4
21
22
23
( )
( )
( )
Logo A =
− − −
− −




1 3 4
0 2 4
(ii) B = (bij)3x3, onde bij = i.j, que é uma matriz com três linhas 
e três colunas.
B
b b b
b b b
b b b
=






11 12 13
21 22 23
31 32 33
Determinando os elementos da primeira linha da matriz B, 
temos:
b i j
b
b
b
ij =
= =
= =
= =
*
*
*
*
11
12
13
1 1 1
1 2 2
1 3 3
Determinando os elementos da segunda linha da matriz B, 
temos:
b i j
b
b
b
ij =
= =
= =
= =
*
*
*
*
21
22
23
2 1 2
2 2 4
2 3 6
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Determinando os elementos da terceira linha da matriz B 
temos:
b i j
b
b
b
ij =
= =
= =
= =
*
*
*
*
31
32
33
3 1 3
3 2 6
3 3 9
Logo B =






1 2 3
2 4 6
3 6 9
(iii) C = (cij)4x1, onde cij = 2i + j, que é uma matriz com quatro 
linhas e uma coluna.
C
c
c
c
c
=






11
21
31
41
Determinando os elementos da matriz C, temos:
c i j
C
c
c
c
c
ij = +
=






=
+
+
+
+



2
2 1 1
2 2 1
2 3 1
2 4 1
11
21
31
41
*
*
*
*




=
+
+
+
+






=






2 1
4 1
6 1
8 1
3
5
7
9
(iv) D = (dij)1x3 , onde dij = i
2 + j, que é uma matriz com uma 
linha e três colunas.
B = (b11 b12 b13), sabendo que dij = i
2 + j, temos:
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B = (b11 b12 b13) = (1
∧2 + 1 1∧2 + 2 1∧2 +3) = 
= (1 +1 1 + 2 1 + 3) = (2 3 4) 
Resposta: alternativa C.
Exemplo 2
Determine a matriz A = (aij)2x2, tal que aij = 3i +j
2.
A
B
C
D
)
)
)
)
4 7
7 10
3 2 0
1 0 1
1 2 3
3 2
2 3
1 0
0 0




−










−






E)
0 1
1 0
Resolução:
A matriz solicitada é do tipo A = 
a a
a a
11 12
21 22




, com duas 
linhas e duas colunas sendo aij = 3i + j
2, temos:
a i j Temos
a
a
a
ij = +
= + = + =
= + = + =
= + =
3
3 1 1 3 1 4
3 2 1 6 1 7
3 1 2
2
11
2
21
2
21
2
:
.
.
. 33 4 7
3 2 2 6 4 1022
2
+ =
= + = + =a .
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: G
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ci
o 
- 
17
/0
1/
12
Portanto, temos A = 
4 7
7 10




Definição: duas matrizes Amxn = |aij|mxn e Brxs = |bij|rxs são 
iguais, A = B, se elas têm o mesmo número de linhas (m = r) e 
colunas (n = s), e todos os seus elementos correspondentes são 
iguais (aij = bij).
Resposta: alternativaA.
Exemplo 3 
Dadas as Matrizes A e B
sen
=






=






3 1 1
2 2 5
9 2 0
2 4 5
2
2
log pi
, 
verificar se A=B, ou seja, se 
3 1 1
2 2 5
9 2 0
2 4 5
2
2
log sen





=






pi
.
Resolução:
Lembre-se que para duas matrizes serem consideradas 
iguais, cada termo da matriz A que possui a mesma posição na 
matriz B deve ser igual. A seguir listamos a posição de cada 
termo de A, faremos a comparação posição a posição com o 
termo correspondente em B e iremos verificar se formam uma 
sentença verdadeira.
 
a =3 =9=b (V) a =1=sen(
2
)=b (V) a =log1=0=b (V)
a =2=
11
2
11 12 12 13 13
21
pi
22=b (V) a =2 =4=b (V) a =5=5=b (V)21 22
2
22 23 23
Como se verificou a igualdade em cada posição das duas 
matrizes, vale a igualdade. se a igualdade não se verificasse em 
pelo menos uma posição, as duas matrizes seriam diferentes.
11
Álgebra linear
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Exemplo 4
Determine os valores de x, y, e z que satisfaçam a seguinte 
igualdade:
1 2
3 5 1
1 2 3 4
6 5 0
−
−



 =
−
−




x
y z
/
A) x = ¼ y = 2 z = 0
B) x = 3 y = -2 z = 1
C) x = 4 y = 2 z = 0
D) x = ¾ y = -2 z = 1
E) x = ¾ y = 1 z = -1
Resolução:
Comparando cada elemento, respeitando a respectiva 
posição (tanto de linha quanto de coluna) das matrizes dadas, 
obtemos as seguintes igualdades: 
X = ¾
3y = -6 => Dividindo ambos os lados da igualdade por 3, 
temos:
y = -6/3
y = -2
z – 1 = 0 => somando um a cada termo da igualdade, 
temos:
z = 1
Resposta: alternativa D
12
Unidade i
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1.1.2 Alguns tipos especiais de matrizes
Ao desenvolver um estudo com matrizes, observa-se que 
existem algumas que, seja pela quantidade de linhas ou colunas, 
ou ainda, pela natureza de seus elementos, têm propriedades 
que as diferenciam de uma matriz qualquer. Além disso, esses 
tipos de matrizes aparecem frequentemente e, por isso, recebem 
nomes especiais.
Consideremos uma matriz com m linhas e n colunas que 
denotamos por Amxn:
Matriz quadrada é aquela cujo número de linhas é igual ao 
número de colunas (m=n). 
Exemplos:
1 2 0
3 0 1
4 5 6
8
−





[ ]e
no caso de matrizes quadradas Amxm, costumamos dizer que 
A é uma matriz de ordem m.
Observação: na matriz quadrada A de ordem m, definimos as 
seguintes sequências:
• diagonal principal de A: é a sequência dos elementos 
de A que apresentam os dois índices iguais, ou seja: 
(aij / j = i) = (a11, a22, ... ,ann).
• diagonal secundária de A: é a sequência dos elementos 
de A em que a soma dos índices é igual a n + 1, ou seja: 
(aij / i + j = n + 1) = (a1n, a2, an-1 ... ,an).
13
Álgebra linear
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1/
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Matriz nula é aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Exemplos:
A e Bx x2 2 3 5
0 0
0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
=



 =






Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
Exemplos:
1
4
3−









e
x
y
Matriz linha é aquela que possui uma única linha (m = 1). 
Exemplos:
3 0 1 1 2−[ ] [ ]e
Matriz diagonal é uma matriz quadrada (m=n) onde 
ai j = 0, para i ≠ J, isto é, os elementos que não estão na “diagonal” 
são nulos. 
Exemplos:
7 0 0
0 1 0
0 0 1
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
−












e
Matriz identidade quadrada é aquela em que ai i = 1 e
ai j = 0, para i ≠ j.
14
Unidade i
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1/
12
Exemplos:
I e I3 2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0
0 1
=






=




Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde 
todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, isto é, m = n 
e ai j = 0, para i > j. 
Exemplos:
2 0 0 0
1 1 0 0
1 4 1 0
1 5 7 4
5 0 0
7 0 0
4 1 3












e
Matriz triangular inferior é aquela em que m = n e 
ai j = 0, para i < j. 
Exemplos:
2 1 3
0 1 4
0 0 3
0
−
−









e
a b
c
Matriz simétrica é aquela onde m = n e ai j = aj i. 
Exemplos:
4 3 1
3 2 0
1 0 5
−
−












e
a b c d
b e f g
c f h i
d g i k
15
Álgebra linear
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1/
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Observe que, no caso de uma matriz simétrica, a parte superior 
é uma “reflexão” da parte inferior, em relação à diagonal.
1.1.3 Operações com matrizes
Ao utilizar matrizes, surge naturalmente a necessidade de 
efetuarmos certas operações:
Adição 
A soma de duas matrizes de mesma ordem, Amxn = [aij] e 
Bmxn = [bij] , é uma matriz m x n, que denotaremos A + B, cujos 
elementos são somas dos elementos correspondentes de A e B. 
Isto é: A + B = [aij + bij]mxn. 
A B
a b
a b
a b
a b
a b
a bm m m m
n n
mn mn
+ =
+
+
+
+
+
+



11 11
1 1
12 12
2 2
1 1
M M
L
M M
L 

Exemplo:
1 1
4 0
2 5
0 4
2 5
1 0
1 3
2 5
3 5
−





+ −






=






Para a adição das matrizes acima definidas, valem as 
seguintes propriedades:
I. Associativa: A B C A B C A B C Mmxn+ +( ) = +( ) + ∀ ∈ ℜ( ), , , ; 
II. Comutativa: A B B A A B MMXN+ = + ∀ ∈ ℜ( ), , ;
III. Existe uma matriz 0 (chamada matriz nula) ∈ ℜ( )Mmxn 
tal que A A A MMXN+ = ∀ ∈ ℜ( )0 , ;
IV. Dada uma matriz A Mmxn∈ ℜ( ) existe uma matriz (-A) , 
também mxn, tal que A + (-A) = 0
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1/
12
Multiplicação por escalar 
seja A = [aij]mxn e k um número, então definimos uma nova 
matriz k . A = [kaij]mxn.
 
Exemplo 1
−
−



 =
− −
−



2
2 10
1 3
4 20
2 6
Exemplo 2
sejam A =




2 2 4
1 1 2
, B =
−



1 0 1
0 2 1
 e C =
−



1 4 5
7 0 3
, 
então 2A + B +C e – 3C são, respectivamente, as matrizes:
A e
B e
)
)
3 5 4
2 4 2
3 12 15
21 0 9
4 4 8
2 2 4
0 4 6
7 2 4




−







−







− −
− −








− −
C e
D e
)
)
4 4 8
2 2 4
3 12 15
21 0 9
4 0 14
9 4 8
3 12 155
21 0 9
4 0 8
4 4 2
3 12 15
21 0 9
− −




− −






E e)
Resolução:
Calculando 2A + B + C
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Álgebra linear
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- 
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/0
1/
12
2A B C 2
2A 
+ + =



 +
−


 +
−


*
2 2 4
1 1 2
1 0 1
0 2 1
1 4 5
7 0 3
++ + =



 +
−


 +
−
 B C 
2 2 2 2 2 4
2 1 2 1 2 2
1 0 1
0 2 1
1 4 5
7 0 3
* * *
* * * 


+ + =



 +
−


 +
−


2A B C 
4 4 8
2 2 4
1 0 1
0 2 1
1 4 5
7 0 3
+( ) + = − + +
+ + +



 +
−



+
2A B C 
2A 
4 1 4 0 8 1
2 0 2 2 4 1
1 4 5
7 0 3
 B C + =



 +
−


 =
+ − +
+ + +


3 4 9
2 4 5
1 4 5
7 0 3
3 1 4 4 9 5
2 7 4 0 5 3


+ + =



2A B C 
4 0 14
9 4 8
Calculando -3C, temos:
− = −
−


 =
− − − −
− − −




− =
3 3
1 4 5
7 0 3
3 1 3 4 3 5
3 7 3 0 3 3
3
C
C
*
* * ( ) *
* * *
−− −
− −




3 12 15
21 0 9
Para essa operação que transforma cada par (a,A) de ℜXMmxn 
na matriz real aA ∈ Mmxn(ℜ), valem as seguintes propriedades:
Quaisquer que sejam as matrizes A e B e quaisquer que sejam 
os números reais a e b:
(I) (ab)A = a(bA);
(II) (a + b)A = aA + ba;
(III) a(A + B) = aA + aB;
(IV) 1A = A.
Resposta: alternativa D.
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Unidade i
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M
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1/
12
Transposição 
Dada uma matriz A = [aij]mxn, podemos obter outra matriz 
A’ = [bij]mxn, cujas linhas são as colunas de A, isto é, bi j = a j i. A’ 
é denominada transposta de A. 
Exemplo:
A A
x
x
=
−






′ =
−



2 1
0 3
1 4
2 0 1
1 3 4
3 2
2 3
Propriedades:
I. Uma matriz é simétrica se, e somente se ela é igual à sua 
transposta, isto é, se, e somente se A = A’.
II. A’’ = A. Isto é, a transposta da transposta de uma matriz é 
ela mesma.
III. (A + B)’ = A’ + B’.
IV. (k A)’ = k A’, onde k é qualquer escalar.
Multiplicação de matrizes
Dadas duas matrizes:
A = (aik), com 1< i < m e 1< k < p, e
B = (bkj), com 1< k < p e 1< j < m
Chamamos de produto da matriz A pela matriz B a matriz:
C = (cij), com 1< i < m e 1< j < n, tal que:
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ... + aip bpj, ou seja, o elemento cij 
é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da 
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 / 
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1/
12
i-ésima linha de A pelos elementos da j=ésima coluna de B e 
somando-se esses produtos.
Para indicar que C é o produto de A por B, escrevemos:
C = AB
É importante observarmos que só se define o produto de 
duas matrizes quando o número de colunas da primeira é igual 
ao número de linhas da segunda:
Amxp . Bpxn = C 
Verificada essa condição, a matriz-produto terá o número de 
linhas da primeira e o número de colunas da segunda:
Amxp . Bpxn = Cmxn
 
Exemplo 1
sejam A =




1 0 3
1 1 2
, B =
−



1 0 1
0 2 1
 e C =






1
2
3
, então 
A–B e AXC são, respectivamente, as matrizes:
A e
B e
C
)
)
)
0 0 4
1 3 3
1 0 9
2 2 4
2 0 2
1 1 1
10
9
0 0 2
1








−








11 1
9
10
2 0 2
1 1 1
10
9
2 0 2
1 1 1








−




−
−




− −
− −
e
D e
E
)
)







e
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9
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Unidade i
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1/
12
Resolução:
(i) Calculando A - B
A B A 1 B – *
( ) *
= + −( )
− =



 + −
−



−
A B
A B
1 0 3
1 1 2
1
1 0 1
0 2 1
==



 +
− − − −
− − −




− =
1 0 3
1 1 2
1 1 1 0 1 1
1 0 1 2 1 1
1 0 3
1
( ) * ( ) * *
* * *
A B
11 2
1 0 1
0 2 1
1 1 0 0 3 1
1 0 1 2 2 1
2



 +
−
− −




− =
+ + −
+ − −




− =
A B
A B
00 2
1 1 1−




(ii) Para calcularmos AXC, devemos multiplicar cada linha 
da matriz A pela coluna da matriz C , respeitando a posição dos 
elementos. 
Para obtermos (a*b)11 – o primeiro elemento da primeira linha 
de A deve ser multiplicado pelo primeiro elemento da coluna de 
B, segundo elemento da primeira linha de A com o segundo 
elemento da coluna de B e o terceiro elemento da primeira 
linha de A com o terceiro elemento da coluna de B; isso feito 
devemos somar os resultados dos produtos. O resultado dessa 
soma é o valor de (a*b)11. Realizamos procedimento análogo 
para calcularmos (a*b)21 e (a*b)31. Veja o esquema apresentado 
a seguir.
1
1
0
1
3
2
A*C
1
2
3
(1*1)+(0*2)+(3*3)
(1*1)+(1*2)+(2*3)
21
Álgebra linear
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1/
12
1
1
0
1
3
2
A*C1
2
3
(1)+(0)+(9)
(1)+(2)+(6)
1
1
0
1
3
2
A*C
1
2
3
10
9
Portanto A*C = 
10
9




Resposta: alternativa B.
Exemplo 2
Considere as seguintes afirmações:
I. Para quaisquer matrizes A e B, A.B = B.A.
II. É sempre possível fazer o produto de matrizes 
independentemente do número de linhas e colunas.
III. Dadas as matrizes A, B e C de mesma ordem mxn, então 
A + B = B + A e A + (B + C) = (A + B) + C.
A alternativa correta é a que apresenta a(s) afirmação(ões):
A) I e II 
B) I, II e III 
C) I 
D) II e III 
E) III
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1/
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Resolução:
A afirmação I é falsa porque o produto de matrizes não tem 
a propriedade comutativa.
A afirmação II é falsa porque para que exista o produto de 
duas matrizes é necessário que o número de linha da primeira 
matriz seja igual ao número de colunas da segunda matriz.
só a afirmação III é verdadeira.
Resposta: alternativa E.
Propriedades da multiplicação de matrizes
Podemos demonstrar que, quaisquer que sejam as matrizes 
Amxn, B e C (convenientes) e qualquer que seja o número real a, 
valem as seguintes propriedades:
Associativa: (AB)C = A(BC)
Distributiva à esquerda: C(A + B) = CA + CB
Distributiva à direita: (A + B)C = AC + BC 
Elemento neutro: AIn = InA = A 
(aA)B = A(aB) = a(AB) 
A . 0mxn = 0mxn e A . 0mxn . A = 0mxn
Observações importantes sobre a multiplicação de matrizes:
1. A multiplicação de matrizes não é comutativa. 
Vejamos quais são as possibilidades de produto de duas 
matrizes A e B:
a. Pode existir o produto AB e não existir o produto BA. Por 
exemplo, se A é do tipo 3 x 4 e B é do tipo 4 x 5, existe AB (que 
é do tipo 3 x 5) e não existe BA.
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1/
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b. Podem existir ambos os produtos AB e BA, sendo eles, 
porém, de tipos diferentes. Por exemplo, se A é do tipo 3 x 
4 e B é do tipo 4 x 3, temos (AB)3x3 e (BA)4x4.
c. Podem existir os produtos AB e BA, sendo ambos do 
mesmo tipo e AB ≠ BA. nesse caso, A e B são matrizes 
quadradas de mesma ordem.
Por exemplo:
Se A =
−



 =




=
−





1
3
2
1
3
4
1
3
1
3
2
1
3
4
1
3
e B temos
AB
, :
. 






=



 −








.
. .
11
5
7
0
3
4
1
3
1
3
2
1
9
13
5
5
BA
d. Podem existir ambos os produtos AB e BA. sendo AB = BA, 
dizemos que as matrizes A e B são comutáveis.
2. Na multiplicação de matrizes, não vale a lei do 
anulamento do produto:
 
sabemos que se a e b são números reais e a . b = 0, então 
a = 0 ou b = 0. Em outras palavras, se o produto é nulo, então 
um dos fatores (ou ambos) é nulo.
 
Isso, porém, não é um fato para o produto de matrizes, pois 
podemos ter uma multiplicação entre as matrizes A e B, ambas 
não nulas, mas o resultado ser uma matriz nula. 
Por exemplo:
Considerando as matrizes:
A =



 =




2
3
0
0
0
4
0
1
e B , calculando AB, temos:
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 / 
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- 
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1/
12
AB =







 =




2
3
0
0
0
4
0
1
0
0
0
0
. e, portanto, AB = 02x2
Entretanto, apesar de o produto ser nulo, nem A nem B são 
matrizes nulas.
3. Na multiplicação de matrizes, não vale a lei do 
cancelamento do produto:
Quando trabalhamos com números reais, a seguinte 
propriedade é verdadeira:
se c ≠ 0 e a . c = b . c, então a = b.
Entretanto, tal propriedade não é verdadeira para o produto 
de matrizes.
Exemplo 1
Sendo A =



 =




=





2
5
3
1
4
2
2
1
2
5
3
1
4
2
2
1
e C temos
AC
, :
. 

 =




=




=




14
22
7
11
1
2
5
7
1
2
5
7
Sendo B , :temos
BC  

 =



.
4
2
2
1
14
22
7
11
Ou seja, neste exemplo, temos: AC = BC e C ≠ 02x2. Mas, 
apesar disso, A ≠ B.
Exemplo 2
Qual dessas propriedades a seguir não pertence às 
multiplicações de matrizes
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I – Associativa: (AB) C = A (BC)
II – Distributiva à esquerda: C(A+B) = CA + CB
III – Distributiva à direita: (A+B)C = AC + BC
IV – Comutativa: A+B = B+ A ∀ A,B ∈ MMXn (ℜ)
A) I e II
B) III e IV
C) somente a alternativa I
D) somente a alternativa IV
E) nenhuma das alternativas
Resolução:
A afirmação IV é uma propriedade de soma de matrizes não 
de multiplicação. As afirmações I, II e III são propriedades de 
multiplicações de matrizes.
Resposta: alternativa D.
Exemplo 3
Indique V ou F conforme cada uma das afirmações seguintes 
seja, respectivamente, verdadeira ou falsa:
( ) sendo A e B matrizes, se existe A*B também existe B * A
( ) Existem matrizes A e B, com A ≠ B, tais que A * B = B * A
( ) sendo A e B matrizes, para existir A*B e B*A, A e B devem 
 ser obrigatoriamente matrizes quadradas
A) F, F, F 
B) F, V, F
C) V, V, V
D) V, F, V
E) F, F, V
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Resolução:
sendo A e B matrizes, se existe A.B também existe 
B*A. (F): o fato de existir A*B não implica que também exista 
B*A. Por exemplo se A2x3 e B3x4 A*B existe, pois o número de 
colunas de A – três, é igual ao de linhas de B – três. Por outro 
lado B*A não existe porque o número de colunas de B – quatro, 
é diferente do número de linhas A – dois.
Existem matrizes A e B, com A ≠ B, tais que A * B = B * A 
(V). se você construir A e B como sendo matrizes quadradas 
e pelo menos uma delas simétrica, verá que tal propriedade 
é válida. Perceba que duas condições devem ser satisfeitas! O 
exemplo mais trivial, ou seja, simples, é considerar como uma 
das matrizes a identidade de ordem dois e uma matriz A também 
de ordem dois,temos que I*A = A*I, qualquer que seja a matriz 
A2x2. Os exemplos mais simples de matriz simétrica são quaisquer 
matrizes identidade. 
sendo A e B matrizes, para existir A*B e B*A, A e B devem ser 
obrigatoriamente matrizes quadradas ( V ).
Resposta: alternativa correta B.