ÁLGEBRA LINEAR - Liista de exercícios B 2013.1 logotipo (1)

Prévia do material em texto

ÁLGEBRA LINEAR 
LISTA DE EXERCÍCIOS B 
2º SEMESTRE 
 
 
 
 
Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve 
estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da 
disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e 
justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve 
apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento 
mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este 
estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o 
professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo 
ministrado em sala. 
 
 André Gustavo 
Lista de Exercícios de Álgebra Linear 
Obs. Esta lista tem como pré-requisito o conteúdo abordado na lista A de exercícios, bem como o 
conhecimento básico de matrizes e determinantes. Os métodos para achar a solução de um sistema 
(escalonamento/ Gauss-Jordan) e discussão de um sistema (Teorema do posto) são pressupostos 
importantes para os temas que serão tratados aqui, dessa forma, torna-se de inteira 
responsabilidade do aluno, revisar os temas apresentados anteriormente para responder as questões 
desta lista. 
 
1) Dados os subespaços abaixo, verifique se U + V é soma direta. 
a) W = ³; U = {(x, y, z); x = y} e V = {(x, y, z); z = 0}. 
b) W = ³; U = {(x, y, z); x = 0} e V = {(x, y, z); y = z = 0}. 
2) Escreva, se possível, cada vetor v abaixo como combinação linear dos 
elementos do conjunto S, justifique a resposta. 
a) ( 
 
) {(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)} 
b) ( ) {( ) ( )} 
c) ( ) {( ) ( )} 
d) ( ) {( ) ( ) ( )} 
3) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços: 
 
a) W = {(x, y, z)  ³; x + z e x - 2y = 0} b) W = {(x, y, z)  ³; x + 2y - 3z = 0} 
 
c) {(
 
 
) ( ) } 
 
d) {(
 
 
) ( ) } 
 
4) Seja W = ³; U = {(x, y, z); x = y} e V = {(x, y, z); z = 0}. Determine 
um sistema de geradores de U, V, U + V e U  V. 
 
 
 
 
Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve 
estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da 
disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e 
justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve 
apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento 
mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este 
estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o 
professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo 
ministrado em sala. 
 
 André Gustavo 
5) Encontre as equações lineares homogêneas que caracterizam os seguintes 
subespaços: 
a) W = [(-2, 1,0), (3, 0, 1), (-1, 2, 1)]  ³ 
b) W = [(2, 1,-2), (4, -2, -4)]  ³ 
c) W = [( 
 
) (
 
 
) (
 
 
) ] ( ) 
d) W = [(2, -2), (-1,1)]  ² 
6) Dados U = [(1, 2, 1), (-1, 0, 4)] e W =[(-1, 1, 0), (1 ,2, -1)] subespaços 
do ³, Determine suas equações lineares homogêneas e o gerador de U  W. 
 
7) Verifique se os conjuntos abaixo são LI ou LD, justifique a resposta: 
a) {(1, -1, 3), (5, 2, 4), (4, 1, 7)} 
b) {(1, 2, -3, 1), (2, 3, -7, 1), (1,4, 1, 5), (0, 3, 5, 5)} 
c) {( 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)} 
d) {( 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)} 
e) { } 
f) { } 
8) Dado W = {(-1,1,-3,4,1), (1,0,-1,2,-3), (1,-2,5,2,7), (2,-1,1,m,-1)} 
tal que W = 5; determine m real para que ele seja linearmente dependente. 
Justifique sua resposta. 
 
9) Determine k de modo que o conjunto {(1,0,k),(1,1,k),(1,k,k²)} seja LI. 
Justifique sua resposta. 
 
 
 
Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve 
estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da 
disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e 
justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve 
apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento 
mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este 
estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o 
professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo 
ministrado em sala. 
 
 André Gustavo 
10) Mostrar que o conjunto de vetores {u, v, w} contido em um espaço vetorial 
V é linearmente independente, então o conjunto {u + v, v + w, u + w} também 
será linearmente independente. 
 
11) Dados os conjuntos de vetores abaixo, verifique (usando a definição) quais 
deles formam uma base dos seus respectivos espaços vetoriais. Justifique sua 
resposta. 
a) { }  ( ) 
b) { }  ( ) 
c) {( 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)}  ( ) 
d) {(1, 1, -1), (2, -1, 0), (3, 2, 0)}  ³ 
e) {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5)}  4 
f) {(0,- 1, 2), (2, 1, 3), (-1, 0, 1), (4, -1, -2)}  ³ 
12) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais: 
a) W = [(1, 0,0), (0, 5, -2), (-1, 0, 2), (0, 5, 0)]  ³ 
b) W = [( 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)]  ( ) 
c) W = {(
 
 
) ( ) }  ( ) 
13) Dados U = {(x, y, z, w)  4; x = y = t} e 
V = {(x, y, z, w)  4; x = z = 0}, subespaços vetoriais do 4, determine 
uma base e a dimensão dos subespaços vetoriais indicados abaixo justificando 
a resposta: 
a) U b) V c) U + V d) U  V 
 
 
 
Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve 
estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da 
disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e 
justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve 
apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento 
mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este 
estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o 
professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo 
ministrado em sala. 
 
 André Gustavo 
14) Determine, se possível, uma base que contenha os conjuntos abaixo. 
Justifique a resposta. 
a) {(1,1,0,0), (2,1,3,0)}  4 
b) {(2,2,-2), (-3,-3,3)}  ³ 
c) {( 
 
) (
 
 
) (
 
 
)} ( ) 
15) Dê, se possível,, exemplos de conjuntos pedidos abaixo. Caso seja 
impossível, justifique sua resposta. 
a) Um conjunto LI de 3 vetores do ². 
b) Um conjunto LI de 2 vetores que geram o ³. 
c) Um conjunto LI do ³ que contenha o conjunto {(1,2,3),(0,0,0)}. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve 
estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da 
disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e 
justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve 
apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento 
mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver alista de exercícios é do aluno, cabe a este 
estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o 
professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo 
ministrado em sala. 
 
 André Gustavo 
---------- GABARITO ------------- 
1) a) não b) sim 
2) a) ( 
 
) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
(
 
 
) 
 
 
(
 
 
) 
 b) ( ) 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 c) Não é possível 
 d) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
3) a) {(2, 1, -2)} b) {(-2, 1, 0), (3, 0, 1)} 
 
 c) {( 
 
) (
 
 
)} d) {( 
 
) (
 
 
)} 
 
4) U = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] , V = [(1, 0, 0), (0, 1, 0)], 
 
 U + V = [(1, 1, 0), (0, 0, 1),(1, 0, 0), (0, 1, 0)] e U  V = [(1, 1, 0)] 
 
5) a) W = {(x, y, z)  ³; x + 2y - 3z = 0} 
 b) W = {(x, y, z)  ³; x +z = 0} 
 c) {(
 
 
) ( ) } 
 d) W = {(x, y)  ²; x + y = 0} 
 
6) SUBESPAÇO U: U = {(x, y, z)  ³; 8x - 5y + 2z = 0} 
 SUBESPAÇO W: W= {(x, y, z)  ³; x + y + 3z = 0} 
 GERADOR DE U  W: U  W = ( 
 
 
 
 
 
 ) 
7) a) LI b) LD c) LD d) LI e) LD f) LI 
8) m = -4 
9) k  0 e k  1 
10) Demonstração a cargo do aluno 
 
 
Todas as respostas e justificativas de cada uma das questões estão a cargo do aluno, este deve 
estudar as definições dadas em sala de aula através das referências bibliográficas da 
disciplina e/ou verificar as anotações pessoais das aulas para respaldar suas respostas e 
justificativas. O gabarito está disponível para auxiliar em algumas respostas e o aluno deve 
apenas consulta-lo após tentar resolver as questões, dessa forma construirá um conhecimento 
mais sólido e seguro. A responsabilidade de resolver a lista de exercícios é do aluno, cabe a este 
estudar arduamente para responder cada uma das questões aqui propostas, eventualmente, o 
professor poderá responder algumas questões dessa lista a fim de consolidar o conteúdo 
ministrado em sala. 
 
 André Gustavo 
11) a) não é base 
 b) é Base 
 c) é Base 
 d) é base 
 e) é base 
 f) não é base 
12) a) {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)}, dim(W) = 3 
 b) {( 
 
) (
 
 
) (
 
 
)}, dim(W) = 3 
 c) {( 
 
) (
 
 
) (
 
 
)}, dim(W) = 3 
13) a) Uma base e a dimensão de U é {(1,1,0,1), (0,0,1,0)} e dim(U) = 2 
 b) Uma base e a dimensão de V é {(1,0,0,0), (0,0,0,1)} e dim(V) = 2 
 c) Uma base e a dimensão de U + V é {(1,1,0,1), (0,0,1,0), (1,0,0,0), (0,0,0,1)} e 
dim(U) = 4 
 d)  i = (x, y, z, w)  U  V  i = (0,0,0,0) , logo dim (U  V) = 0 
14) a) {(1,1,0,0), (2,1,3,0), (0,0, x, y), (0,0,0, z)} 
 b) Impossível, pois o conjunto é LD 
 c) {( 
 
) (
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)} 
15) a) Impossível 
 b) Impossível 
 c) Impossível