Cálculo 1 Cap.V

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31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.V. Limite, Teorema do Confronto, Teorema do Anulamento e Limites Laterais
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 Cálculo I 
 01   02   03   04   05   06   07   08   09   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26 
 
 
Cap.V. Limite , Teorema do Confronto , Teorema do Anulamento
           e  Limites Laterais
 
  V­1. Limite    V­2. Limites Laterais 
 
V­1.  Limite     (  )
 
  Introdução     Definição de Limite    Propriedades de Limite   Observação 5­1 (Produto Notável)   Exemplo 5­1 
 Teorema do Confronto ( Teorema do Sanduíche )   Observação 5­2 ( Teorema do Anulamento )  Exemplo 5­2 
 
Introdução :     (  )
     Considere  a  função     ,    Dom f  =  IR – {1} .
     Fatorando  o  numerador  da  função  f ,  temos
 
 
    A  função  f  não  está  definida  em  1 ,  mas  está  definida  em  todo  x  "próximo"  de  1 .
 
     Vamos ,  observar  o  que  acontece  com  o  valor  de  f ( x )  a  medida  que  x  se  aproxima  de  1 :
 
 
    Agora ,  vamos  observar  no  gráfico  da  f .
 
 
    O  valor  de     parece  aproximar­se  de  2  quando  x  aproxima­se  de  1 .  Se  isto ,  de  fato ,  acontece , 
dizemos  que  o  limite  de     quando  x  aproxima­se  de   1   é   2  ,   e  denotamos  por :
 
 
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Definição  de  Limite :     (  )
 
        Seja  f uma  função    definida    em    todo    ponto    de    um    intervalo    aberto    que    contém    a  ,    exceto 
possivelmente  em  a .
 
    A  função  f  tem  limite  L  quando  x  tende  para  a  ( isto  é ,  quando  x  aproxima­se  de  a  )  ,   que 
denotamos  por
 
 
 .
 
    Isto  é ,
 
 
 
    Observe  a  definição  de  limite  na  animação  abaixo .
 
 
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Algumas Propriedades de Limite     (  )
 
1.  O  limite  se  existe  é  único .   ( unicidade  do  limite )             ( demonstração )
 
 
( figura propriedade 2 ­ i )       ( figura propriedade 2 ­ i i )       ( figura propriedade 2 ­ i i i )       ( demonstração )
 
( demonstração )
 
                 ( figura propriedade 4 )                ( demonstração )
 
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                 ( figura propriedade 5 )                ( demonstração )
 
( demonstração )
 
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Observação 5­1 :     (  ) 
 
Produto  Notável  para  resolver  algumas  indeterminações  envolvendo  raízes  ou  fatores  do  tipo  " x n – a n "
 
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Exemplo 5­1 :     (  )
 
(a)         (solução)      (b)         (solução)
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(c)         (solução)      (d)         (solução)
(e)         (solução)      (f)         (solução)
(g)         (solução)      (h)         (solução)
 
Solução :
 
(a)         (voltar para o enunciado)
 
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(b)         (voltar para o enunciado)
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(c)         (voltar para o enunciado)
 
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(d)         (voltar para o enunciado)
 
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(e)         (voltar para o enunciado)
 
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(f)         (voltar para o enunciado)
 
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(g)         (voltar para o enunciado)
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(h)         (voltar para o enunciado)
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Teorema  do  Confronto  ( Teorema  do  Sanduíche ) :      (  )
 
 
( demonstração )
 
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Observação 5­2 :  ( Teorema  do  Anulamento )     (  )
 
( demonstração )
 
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Exemplo 5­2 :     (  )
 
(solução)
 (solução)
 
Solução :
 
  
 
 
( ver gráfico )
 
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V­2.  Limites  Laterais     (  )
 
  Definição de Limite à Esquerda     Definição de Limite à Direita      Observação 5­3      Exemplo 5­3  
 
 
Definição  de  Limite  à  Esquerda :      (  )
 
 
 
Definição  de  Limite  à  Direita :      (  )
 
 
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Observação  5­3 :      (  )
 
 
    Portanto ,
 
 
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Exemplo 5­3 :     (  )
 
    
 
      (a)         
(solução)  
      (b)         
(solução)  
      (c)         
(solução)  
      (d)         
(solução)  
 
Solução :31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.V. Limite, Teorema do Confronto, Teorema do Anulamento e Limites Laterais
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(a)         ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
 
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(b)         ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
 
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(c)         ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
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(d)         ( ver o gráfico desta função )      (voltar para o enunciado)
 
 
 
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