Cálculo 1 Cap.X

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31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia
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 Cálculo I 
 01   02   03   04   05   06   07   08   09   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26 
 
 
Cap.X. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade ,
           Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia
 
  X­1. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade    X­2. Regras Básicas de Derivação    X­3. Regra da Cadeia 
 
X­1. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade     (  )
 
 Teorema 10.1  
 (Derivabilidade e Continuidade)    Observação 10.1    Observação 10.2  
 Observação 10.3  
 (Diferenciabilidade e Continuidade)    Exemplo 10.1 
 
Teorema  10.1 :  ( Derivabilidade  e  Continuidade )     (  )
 
    Se  a  função  f  é  derivável  em  a ,  então  f  é  contínua  em  a .      (demonstração)
 
Observação  10.1 :     (  )
 
    Como  conseqüência  do  teorema  anterior ,  temos  que :
 
f  NÃO  é  contínua  em a    f  NÃO  é  derivável  em  a .
 
Observação  10.2 :     (  )
 
    A  recíproca  do  teorema  10.1  NÃO  é  verdadeira ,  isto é ,  uma  função  pode  ser  contínua  em  a  e  não  ser 
derivável  em  a .
 
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Observação  10.3 :  (Diferenciabilidade e Continuidade)     (  )
 
    Dizemos  que  a  função  f = f ( x )  é  diferenciável  em  a  se  f  é  derivável  em  a .
 
( Isto não ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
    Dizemos  que  a  função  f = f ( x )  é  diferenciável  se  f  é  derivável  em  todo  a  Dom f .
 
( Isto não ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
    Se  a  função  f  é  diferenciável  em  a ,  então  f  é  contínua  em  a .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
    Se  a  função  f  NÃO  é  contínua  em  a ,  então  f  NÃO  é  diferenciável  em  a .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
    Se  f  NÃO  é  uma  função  contínua  ,  então  f  NÃO  é  uma  função  diferenciável .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
 
    Apenas  sabendo  que  f  é  contínua  em  a ,  nada  podemos  afirmar  sobre  a diferenciabilidade  da  f  em  a .
 
( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo )
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Exemplo 10 ·1 :     (  )
 
    Estude  a  continuidade  e  a  diferenciabilidade  das  seguintes  funções :
 
   (solução)   (gráfico)    (solução)   (gráfico)
   (solução)   (gráfico)  
 
Solução :
 
     (gráfico)
 
 
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(veja o gráfico desta função)
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     (gráfico)
 
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     (gráfico)
 
 
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X­2. Regras Básicas de Derivação     (  )
 
  Regras Básicas de Derivação   Observação 10.4  (Derivada do Valor Absoluto) 
 Exemplo 10.2 
 (Cálculo de Derivadas) 
 Exemplo 10.3 
 (Retas Tangentes e Retas Normais) 
 
    Você  já  deve  ter  percebido  que  é  " muito  trabalhoso "  calcular  derivada  pela  definição .  Para  facilitar  o 
cálculo  da  derivada  vamos  aprender  algumas  regras  de  derivação .
 
Regras Básicas de Derivação :     (  )
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( i )  Se  u  e  v  são  funções  deriváveis  em  x ,  então  u  v  também  é  derivável  em  x  e
 
 
( ii )  Se  u  é  uma  função  derivável  em  x  e  c  é  uma  função  constante ,  então  c u  também  é  derivável  em  x  e
 
 
( iii )  Se  u  e  v  são  funções  deriváveis  em  x ,  então  u v  também  é  derivável  em  x  e
 
 
( iv )  Se  u  e  v  são  deriváveis  em  x  e  v ( x )  0 ,  então     também  é  derivável  em  x  e
 
 
( v )  Se  f ( x ) = c ,  então  f ´ ( x ) = 0
 
( vi )  Se  f ( x ) = x ,  então  f ´ ( x ) = 1
 
( vii ) Se  f ( x ) = x n   e   n  é  um  número  racional ,  então  f ´ ( x ) = n x n – 1 .
 
(demonstração)
 
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Observação 10.4:  ( Derivada  da  função  valor  absoluto )     (  )
 
    H ( x ) = | x | ,  então    ,  para  todo  x  0  e  H  não  é  derivável  em  0 .
 
(demonstração)
 
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Exemplo 10 ·2 :     (  )
 
    Calcule  a  derivada  e  simplifique  o  resultado  para  cada  uma  das  seguintes  funções  dadas  abaixo :
 
   (solução)    (solução)
   (solução)    (solução)
   (solução)    (solução)
 
Solução :
 
 
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Exemplo 10 ·3 :     (  )
 
         (solução)
 
        (solução)
        (solução)
       
  (solução)
 
Solução :
 
 
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X­3. Regra  da  Cadeia     (  )
 
  Introdução    A Regra da Cadeia    Exemplo 10.4   Observação 10.5  (Derivada de uma Função Elevado à um Expoente) 
 Observação 10.6 
 (Derivada do Valor Absoluto de uma Função)   Exemplo 10.5   Exemplo 10.6 
 
Introdução :     (  )
 
       Se  quisermos  derivar  funções  do  tipo  ( a x + b ) n   com  conhecimento  somente  das   Regras   Básicas   de 
Derivação  teremos  que  primeiro  expandir  esta  função  polinomial .  Isto  pode  ser  muito  trabalhoso .
 
    Por  exemplo ,  vamos  derivar   H (  x  ) = ( 2 x + 1 ) 9 .
 
    Reescrevendo  H  para  usarmos  as  Regras  Básicas  de  Derivação :       ( cálculos )
 
 
    Derivando :
 
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    Se  quisermos  estudar  o  sinal  desta  derivada ,  teremos  que  fatorá­la .  Isto  certamente  nos  tomará  muito 
tempo .
 
      ( cálculos )
    Uma  regra  que  nos  permita  obter  a  derivada  de  H  diretamente  e  na  forma  acima  ( já  fatorada )  é  muito 
útil .
 
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A  Regra  da Cadeia :     (  )
 
    Se  u  é  derivável  em  a ,  f  derivável  em  u ( a ) ,  então  a  função  composta  f o u  é  derivável  em  a  e 
 
       (demonstração)
 
Exemplo 10 ·4 :     (  )
 
    Usando  a  Regra  da  Cadeia ,  derive  a  função  H (  x  ) = ( 2 x + 1 ) 9  .
 
( a  mesma  função  que  na  introdução  encontramos  a  derivada  apenas  com  as  Regras  Básicas  de  Derivação )
 
Solução :
 
 
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Observação 10.5:  ( Derivada  de  uma  função  elevado  à  um  expoente )     (  )
 
    Se  u  é  uma  função  diferenciável ,  então :
 
     (demonstração)
 
Observação 10.6:  ( Derivada  da  função  valor  absoluto  de  uma  função )     (  )
 
    Se  u  é  uma  função  diferenciável ,  então :
 
     (demonstração)
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Exemplo 10 ·5 :     (  )
 
    Calcule  e  simplifique  a  derivada  de  cada  uma  das  funções  dadas  abaixo :
 
   (solução)    (solução)
   (solução)    (solução)
   (solução)    (solução)
 
Solução :
 
 
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Exemplo 10 · 6 :     (  )
 
      
       (solução)
       (solução)
 
Solução :
 
 
 
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