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31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 1/21 Cálculo I 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Cap.X. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade , Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia X1. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade X2. Regras Básicas de Derivação X3. Regra da Cadeia X1. Derivabilidade, Diferenciabilidade e Continuidade ( ) Teorema 10.1 (Derivabilidade e Continuidade) Observação 10.1 Observação 10.2 Observação 10.3 (Diferenciabilidade e Continuidade) Exemplo 10.1 Teorema 10.1 : ( Derivabilidade e Continuidade ) ( ) Se a função f é derivável em a , então f é contínua em a . (demonstração) Observação 10.1 : ( ) Como conseqüência do teorema anterior , temos que : f NÃO é contínua em a f NÃO é derivável em a . Observação 10.2 : ( ) A recíproca do teorema 10.1 NÃO é verdadeira , isto é , uma função pode ser contínua em a e não ser derivável em a . voltar para o início desta seção voltar para o início Observação 10.3 : (Diferenciabilidade e Continuidade) ( ) Dizemos que a função f = f ( x ) é diferenciável em a se f é derivável em a . ( Isto não ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo ) Dizemos que a função f = f ( x ) é diferenciável se f é derivável em todo a Dom f . ( Isto não ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo ) Se a função f é diferenciável em a , então f é contínua em a . ( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo ) Se a função f NÃO é contínua em a , então f NÃO é diferenciável em a . ( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo ) Se f NÃO é uma função contínua , então f NÃO é uma função diferenciável . ( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo ) Apenas sabendo que f é contínua em a , nada podemos afirmar sobre a diferenciabilidade da f em a . ( Isto também ocorre para as funções de mais de uma variável que estudarão no próximo curso de Cálculo ) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 2/21 voltar para o início desta seção voltar para o início Exemplo 10 ·1 : ( ) Estude a continuidade e a diferenciabilidade das seguintes funções : (solução) (gráfico) (solução) (gráfico) (solução) (gráfico) Solução : (gráfico) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 3/21 (veja o gráfico desta função) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (gráfico) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 4/21 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 5/21 (veja o gráfico desta função) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início (gráfico) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 6/21 (veja o gráfico desta função) voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início X2. Regras Básicas de Derivação ( ) Regras Básicas de Derivação Observação 10.4 (Derivada do Valor Absoluto) Exemplo 10.2 (Cálculo de Derivadas) Exemplo 10.3 (Retas Tangentes e Retas Normais) Você já deve ter percebido que é " muito trabalhoso " calcular derivada pela definição . Para facilitar o cálculo da derivada vamos aprender algumas regras de derivação . Regras Básicas de Derivação : ( ) 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 7/21 ( i ) Se u e v são funções deriváveis em x , então u v também é derivável em x e ( ii ) Se u é uma função derivável em x e c é uma função constante , então c u também é derivável em x e ( iii ) Se u e v são funções deriváveis em x , então u v também é derivável em x e ( iv ) Se u e v são deriváveis em x e v ( x ) 0 , então também é derivável em x e ( v ) Se f ( x ) = c , então f ´ ( x ) = 0 ( vi ) Se f ( x ) = x , então f ´ ( x ) = 1 ( vii ) Se f ( x ) = x n e n é um número racional , então f ´ ( x ) = n x n – 1 . (demonstração) voltar para o início desta seção voltar para o início Observação 10.4: ( Derivada da função valor absoluto ) ( ) H ( x ) = | x | , então , para todo x 0 e H não é derivável em 0 . (demonstração) voltar para o início desta seção voltar para o início Exemplo 10 ·2 : ( ) Calcule a derivada e simplifique o resultado para cada uma das seguintes funções dadas abaixo : (solução) (solução) (solução) (solução) (solução) (solução) Solução : 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 8/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 9/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 10/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início Exemplo 10 ·3 : ( ) (solução) (solução) (solução) (solução) Solução : 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 11/21 voltar para o enunciadodeste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 12/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 13/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 14/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início X3. Regra da Cadeia ( ) Introdução A Regra da Cadeia Exemplo 10.4 Observação 10.5 (Derivada de uma Função Elevado à um Expoente) Observação 10.6 (Derivada do Valor Absoluto de uma Função) Exemplo 10.5 Exemplo 10.6 Introdução : ( ) Se quisermos derivar funções do tipo ( a x + b ) n com conhecimento somente das Regras Básicas de Derivação teremos que primeiro expandir esta função polinomial . Isto pode ser muito trabalhoso . Por exemplo , vamos derivar H ( x ) = ( 2 x + 1 ) 9 . Reescrevendo H para usarmos as Regras Básicas de Derivação : ( cálculos ) Derivando : 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 15/21 Se quisermos estudar o sinal desta derivada , teremos que fatorála . Isto certamente nos tomará muito tempo . ( cálculos ) Uma regra que nos permita obter a derivada de H diretamente e na forma acima ( já fatorada ) é muito útil . voltar para o início desta seção voltar para o início A Regra da Cadeia : ( ) Se u é derivável em a , f derivável em u ( a ) , então a função composta f o u é derivável em a e (demonstração) Exemplo 10 ·4 : ( ) Usando a Regra da Cadeia , derive a função H ( x ) = ( 2 x + 1 ) 9 . ( a mesma função que na introdução encontramos a derivada apenas com as Regras Básicas de Derivação ) Solução : voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início Observação 10.5: ( Derivada de uma função elevado à um expoente ) ( ) Se u é uma função diferenciável , então : (demonstração) Observação 10.6: ( Derivada da função valor absoluto de uma função ) ( ) Se u é uma função diferenciável , então : (demonstração) voltar para o início desta seção 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 16/21 voltar para o início Exemplo 10 ·5 : ( ) Calcule e simplifique a derivada de cada uma das funções dadas abaixo : (solução) (solução) (solução) (solução) (solução) (solução) Solução : voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 17/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 18/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início 31/03/2016 Cálculo 1 Cap.X. 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Derivabilidade e Continuidade, Regras Básicas de Derivação e Regra da Cadeia http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap10_Calc1.html 21/21 voltar para o enunciado deste exemplo voltar para o início desta seção voltar para o início capítulo anterior índice próximo capítulo
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