Cálculo 1 Cap.XII. Derivada de Ordem Superior

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31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.XII. Derivada de Ordem Superior. Diferencial e Aproximação Linear; Função Implícita e Diferenciação Implícita; Taxas Relacionadas
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 Cálculo I 
 01   02   03   04   05   06   07   08   09   10   11   12   13   14   15   16   17   18   19   20   21   22   23   24   25   26 
 
Cap.XII. Diferencial e Aproximação Linear; Função Implícita
              e Diferenciação Implícita; Taxas Relacionadas
 
  XII­1. Diferencial e Aproximação Linear    XII­2. Função Implícita e Diferenciação Implícita    XII­3. Taxas Relacionadas 
 
XII­1. Diferencial e Aproximação Linear     (  )
 
 Introdução    Definição de Diferenciais    Observação 12.1   (Aproximação Linear)    Exemplo 12.1 
 
Introdução :     (  )
 
       Às   vezes  ,   precisamos   de   uma   estimativa   rápida   da   variação   de   y = f ( x )    resultante   de   uma   pequena 
variação  de   x  em  x ,
 
 
 
Definição  12.1 :    ( Diferenciais )     (  )
 
    Seja  f  uma  função  definida  por  y = f ( x ) .
 
(i)  A  diferencial  de  y ,  denotada  por  d y ,  é  dada  por
 
 
onde  x  está  no  domínio  de     e     é  um  incremento  arbitrário  de  x .
 
(ii)  A  diferencial  de  x ,  denotada  por  d x ,  é  dada  por
 
 
onde     é  um  incremento  arbitrário  de  x ,  sendo  x  um  número  qualquer  no  domínio  de    .
 
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Observação  12.1 :  ( Aproximação Linear )     (  )
 
 
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Exemplo 12.1 ·1 :     (  )
 
(a)  Encontre  um  valor  aproximado  para     e    .     (solução)
(b)  A  medida  de  um  lado  de  um  quadrado  é  encontrada  como  sendo  15 cm ,  com  uma  possibilidade  de  erro 
de  0,01 cm .  Usando  diferencial ,  encontre  o  erro  aproximado ,  usando  esta  medida  no  cálculo  da  área. .    
(solução)
 
(c)   A    resistência   elétrica   de   um    fio    é   proporcional    ao    seu    comprimento    e    inversamente   proporcional    ao 
quadrado  do  seu  diâmetro .  Suponha  que  a  resistência  de  um  fio ,  de  comprimento  dado ,  é  calculada  a  partir 
da  medida  do  diâmetro ,  com  uma  possibilidade  de  erro  de  2 % .  Encontre  a  possível  porcentagem  de  erro  no 
cálculo  do  valor  da  resistência .     (solução)
 
Solução :
 
(a)  Encontre  um  valor  aproximado  para     e    .
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(b)  A  medida  de  um  lado  de  um  quadrado  é  encontrada  como  sendo  15 cm ,  com  uma  possibilidade  de  erro 
de  0,01 cm .  Usando  diferencial ,  encontre  o  erro  aproximado ,  usando  esta  medida  no  cálculo  da  área. .
 
 
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(c)   A    resistência   elétrica   de   um    fio    é   proporcional    ao    seu    comprimento    e    inversamente   proporcional    ao 
quadrado  do  seu  diâmetro .  Suponha  que  a  resistência  de  um  fio ,  de  comprimento  dado ,  é  calculada  a  partir 
da  medida  do  diâmetro ,  com  uma  possibilidade  de  erro  de  2 % .  Encontre  a  possível  porcentagem  de  erro  no 
cálculo  do  valor  da  resistência .
 
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XII­2. Função Implícita e Diferenciação Implícita     (  )
 
  Introdução   Observação 12.2.1   Observação 12.2.2  ( Retas ) 
 Observação 12.2.3 
 ( Circunferência )   Observação 12.2.4 
 Observação 12.2.5 
 ( Rosa de Quatro Folhas )   Exemplo 12.2.1 
 Exemplo 12.2.2 
 ( Reta Tangente ) 
 Exemplo 12.2.3 
 ( Reta Tangente Horizontal e Vertical ) 
 
Introdução :     (  )
 
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Observação 12.2.1:     (  )
 
    
 
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Observação 12.2.2:  ( Retas ) :     (  )
 
    
 
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Observação 12.2.3:  ( Circunferência ) :     (  )
 
    
 
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Observação 12.2.4: :     (  )
 
 
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Observação 12.2.5:  ( Rosa de Quatro Folhas ) :     (  )
 
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Exemplo 12.2.1 :     (  )
 
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       ( solução de a )          ( solução de b )          ( solução de c )          ( gráfico )       
 
Solução :
 
 
 
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 Gráfico :
 
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Exemplo 12.2.2 :     (  )
 
     
 
    ( solução )         ( gráfico )    
 
Solução :
 
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  Gráfico  
 
 
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Exemplo 12.2.3 :     (  )
 
 
    ( solução de a )    ( solução de b )    ( solução de c )    ( gráfico da curva )     
 
Solução :
 
 
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    Observe  os  pontos  encontrados  no  gráfico  da  curva  C .
 
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XII­3. Taxas Relacionadas     (  )
 
 Exemplo 12.3­A   Exemplo 12.3­B   Exemplo 12.3­C   Exemplo 12.3­D   Exemplo 12.3­E 
 Exemplo 12.3­F   Exemplo 12.3­G   Exemplo 12.3­H   Exemplo 12.3­I   Exemplo 12.3­J 
 
Exemplo 12.3 :     (  )
 
(A)  Uma  escada  de  13 m  está  apoiada  em  uma  parede  vertical .  A  base  da  escada  está sendo  empurrada  no 
sentido  contrário  ao  da  parede , a  uma  taxa  constante  de  6 m/min .  Qual  a  velocidade  com  a  qual  o  topo  da 
escada  se  move  para  baixo ,  encostada  à  parede ,  quando  a  base  da  escada  está  a  5 m  da  parede ?      ( solução
)       (  )
 
(B)  Um  tanque  em  forma  de  um  cone  com  o  vértice  para  baixo  mede  12 m  de  altura  e  tem  no  topo  um 
diâmetro  de  12 m .  Bombeia­se  água  à  taxa  de  4 m3/mim  para  o  tanque .  Ache  a  taxa  com  que  o  nível  da 
água  sobe :       (a)  Quando  a  água  tem  2 m  de  profundidade .  (b)  Quando  a  água  tem  8 m  de  profundidade .     
( solução )       (  )
 
(C)  Um  caminhão  e  um  carro  estão  em  estradas  diferentes  que  são  perpendiculares  e  ambas  são  retas .  O 
caminhão  está  se  aproximando  do  cruzamento  com  velocidade  de  60 Km/h  e  o  carro  está  se  afastando  do 
cruzamento    com    uma    velocidade    de    100  Km/h  .    No    instante    em    que    o    carro    e    o    caminhão    estão 
respectivamente  a  5 Km  e  12 km  do  cruzamento ,  eles  estão  se  aproximando  ou  se  afastando ?  A  que  taxa ?     
( solução )       (  )
 
(D)  Um homem  com  2 m  de  altura  está  correndo  à  velocidade  de  3 m/s  e  passa  embaixo  de  uma  lâmpada 
num  poste  a  6 m  acima  do  solo.  Encontre :  (a)  A  velocidade  com  que  o  topo  de  sua  sombra  se  move .  (b)  A 
taxa  de  variação  do  comprimento  de  sua  sombra .      ( solução )       (  )
 
(E)   Uma  antena  de  radar  está localizada  em  um  navio  a  4 Km  de  uma  praia  reta  e  sua  rotação  é  de   3
rad/min .  Qual  é  a  velocidade  da  frente  de  onda  do  radar  que  se  move  ao  longo  da  linha  da  praia,  quando  a 
frente  de  onda  faz  um  ângulo  de  45o  com  a  praia ?      ( solução )       (  )
 
(F)  Um  quadro  de  40 cm  de  altura  está  colocado  numa  parede  vertical  com  sua  base  a  30 cm  acima  do  nível 
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dos   olhos   de   um   observador  .   Se    o    observador    se    aproximar    da    parede    à    razão    de    4  cm/s  ,    com   que 
velocidade  varia  a  medida  do  ângulo  subtendido  pelo  quadro  a  seus  olhos ,  quando  o  observador  estiver  a  10
cm  da  parede ?
( Resolva  após  estudar ,  no  cap. XIV ,  as  derivadas  das  funções  trigonométricas  inversas ) .      ( solução )      
(  )
 
(G)  Um  homem  num  cais  está  puxando  um  barco  à  razão  de  2 cm/s  por  meio  de  uma  corda .  As  mãos  do 
homem  estão  a  40 cm  acima  do  nível  do  ponto  onde  a  corda  está  presa  no  bote .  Com  que  velocidade  varia 
a  medida  do  ângulo  de  deflexão  da  corda  quando  existe  50 cm  de  corda  solta  ?       ( solução )       (  )
 
(H)   Um  balão  é  solto  ao  nível  do  olho  de  um  observador  que  está  a  50 m  de  distância . O  balão  sobe 
verticalmente  a  taxa  de  5 m/s .  Com  que  rapidez  o  ângulo  de  elevação  está  crescendo  6  segundos  após  o 
momento  da  soltura .       ( solução )       (  )
 
(I)  Uma  partícula  se  desloca  no  plano  descrevendo  como  trajetória  a  curva  y + x 2 y = 1 .  Seja     o  ângulo 
entre  o  eixo  x  positivo  e  o  segmento  de  reta  que  une  ( x , y )  à  origem .  Calcule  a  taxa  de  variação  de     no 
instante  em  que  x = 1 ,  sabendo  que  x  aumenta  a  uma  taxa  de  2  unidades  por  segundo .      ( solução )       (  )
 
(J)  Um  ponto  move­se  sobre  a  hipérbole  x y = 4  de  tal  modo  que  a  velocidade  de  é    ,       constante . 
Mostre  que  a  aceleração  da  abcissa  x  é     .      ( solução )       (  )
 
Solução :
 
(A)  Uma  escada  de  13 m  está  apoiada  em  uma  parede  vertical .  A  base  da  escada  está sendo  empurrada  no 
sentido  contrário  ao  da  parede , a  uma  taxa  constante  de  6 m/min .  Qual  a  velocidade  com  a  qual  o  topo  da 
escada  se  move  para  baixo ,  encostada  à  parede ,  quando  a  base  da  escada  está  a  5 m  da  parede ?
 
 
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(B)  Um  tanque  em  forma  de  um  cone  com  o  vértice  para  baixo  mede  12 m  de  altura  e  tem  no  topo  um 
diâmetro  de  12 m .  Bombeia­se  água  à  taxa  de  4 m3/mim  para  o  tanque .  Ache  a  taxa  com  que  o  nível  da 
água  sobe :       (a)  Quando  a  água  tem  2 m  de  profundidade .  (b)  Quando  a  água  tem  8 m  de  profundidade .
 
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(C)  Um  caminhão  e  um  carro  estão  em  estradas  diferentes  que  são  perpendiculares  e  ambas  são  retas .  O 
caminhão  está  se  aproximando  do  cruzamento  com  velocidade  de  60 Km/h  e  o  carro  está  se  afastando  do 
cruzamento    com    uma    velocidade    de    100  Km/h  .    No    instante    em    que    o    carro    e    o    caminhão    estão 
respectivamente  a  5 Km  e  12 km  do  cruzamento ,  eles  estão  se  aproximando  ou  se  afastando ?  A  que  taxa ?
 
 
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(D)  Um homem  com  2 m  de  altura  está  correndo  à  velocidade  de  3 m/s  e  passa  embaixo  de  uma  lâmpada 
num  poste  a  6 m  acima  do  solo.  Encontre :  (a)  A  velocidade  com  que  o  topo  de  sua  sombra  se  move .  (b)  A 
taxa  de  variação  do  comprimento  de  sua  sombra .
 
(a)
 
(b)
 
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(E)   Uma  antena  de  radar  está localizada  em  um  navio  a  4 Km  de  uma  praia  reta  e  sua  rotação  é  de   3
rad/min .  Qual  é  a  velocidade  da  frente  de  onda  do  radar  que  se  move  ao  longo  da  linha  da  praia,  quando  a 
frente  de  onda  faz  um  ângulo  de  45o  com  a  praia ?
 
31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.XII. Derivada de Ordem Superior. Diferencial e Aproximação Linear; Função Implícita e Diferenciação Implícita; Taxas Relacionadas
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap12_Calc1.html 24/27
 
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(F)  Um  quadro  de  40 cm  de  altura  está  colocado  numa  parede  vertical  com  sua  base  a  30 cm  acima  do  nível 
dos   olhos   de   um   observador  .   Se    o    observador    se    aproximar    da    parede    à    razão    de    4  cm/s  ,    com   que 
velocidade  varia  a  medida  do  ângulo  subtendido  pelo  quadro  a  seus  olhos ,  quando  o  observador  estiver  a  10
cm  da  parede ?
 
 
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31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.XII. Derivada de Ordem Superior. Diferencial e Aproximação Linear; Função Implícita e Diferenciação Implícita; Taxas Relacionadas
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(G)  Um  homem  num  cais  está  puxando  um  barco  à  razão  de  2 cm/s  por  meio  de  uma  corda .  As  mãos  do 
homem  estão  a  40 cm  acima  do  nível  do  ponto  onde  a  corda  está  presa  no  bote .  Com  que  velocidade  varia 
a  medida  do  ângulo  de  deflexão  da  corda  quando  existe  50 cm  de  corda  solta  ?
 
 
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(H)   Um  balão  é  solto  ao  nível  do  olho  de  um  observador  que  está  a  50 m  de  distância . O  balão  sobe 
verticalmente  a  taxa  de  5 m/s .  Com  que  rapidez  o  ângulo  de  elevação  está  crescendo  6  segundos  após  o 
momento  da  soltura .
 
 
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31/03/2016 Cálculo 1 ­ Cap.XII. Derivada de Ordem Superior. Diferencial e Aproximação Linear; Função Implícita e Diferenciação Implícita; Taxas Relacionadas
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(I)  Uma  partícula  se  desloca  no  plano  descrevendo  como  trajetória  a  curva  y + x 2 y = 1 .  Seja     o  ângulo 
entre  o  eixo  x  positivo  e  o  segmento  de  reta  que  une  ( x , y )  à  origem .  Calcule  a  taxa  de  variação  de     no 
instante  em  que  x = 1 ,  sabendo  que  x  aumenta  a  uma  taxa  de  2  unidades  por  segundo .
 
 
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(J)  Um  ponto  move­se  sobre  a  hipérbole  x y = 4  de  tal  modo  que  a  velocidade  de  é    ,       constante . 
Mostre  que  a  aceleração  da  abcissa  x  é     .
 
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