ÁRVORES DE DECISÃO

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOSPROCESSOS ESTOCÁSTICOS
2012 - 1º Semestre2012 - 1º Semestre
ÁRVORE DE DECISÃOÁRVORE DE DECISÃO
Professor André Alves Gandolpho
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLISUNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS
 
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INTRODUÇÃO:
Forma gráfica de visualizar as conseqüências de 
decisões atuais e futuras bem como os eventos 
aleatórios relacionados. 
Permite a conceitualização e o controle de um bom 
número de problemas de investimentos sujeitos a riscos. 
Modelos utilizam a estratégia de dividir para 
conquistar: um problema complexo é decomposto em 
sub-problemas mais simples e recursivamente esta 
técnica é aplicada a cada sub-problema.
 
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INTRODUÇÃO:
Uma árvore de decisão tem:
Nós de decisão: representados por um quadrado e indicam 
que uma decisão deve ser tomada neste ponto do processo. Os 
ramos que saem do nó são as alternativas da decisão.
Nós de aleatório: representados por um círculo e indicam 
que um acontecimento aleatório deve ocorrer nesse ponto. Os 
ramos que saiem do nó são os resultados possíveis da experiência 
aleatória.
 
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Estrutura de uma árvore de decisão:
 
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EXEMPLO: Devemos criar um protótipo do novo simulador de vôo? Os 
requisitos do projeto foram mal definidos.Como resultado, existe um 
risco de que o produto final não seja aprovado no teste de aceitação do 
cliente.Um protótipo iria reduzir substancialmente o custo do refazer o 
trabalho em caso de falhas no teste de aceitação do cliente.
Custo da Construção do Protótipo R$98.000,
Probabilidade de aprovação do Cliente:
Com protótipo 90%
Sem protótipo 20%
Custo do re-trabalho após teste de
 aceitação:
Com protótipo R$20.000,
Sem protótipo R$250.000
 
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EXEMPLO: Custo da Construção do Protótipo R$98.000,
Probabilidade de aprovação do Cliente:
Com protótipo 90%
Sem protótipo 20%
Custo do re-trabalho após teste de aceitação:
Com protótipo R$20.000,
Sem protótipo R$250.000.
 
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EXEMPLO 1: Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de 
vender camisas esportivas. As camisas seriam compradas por $10,00 e vendidas 
por $35,00. Como a qualidade do material é baixa, estima-se que haja 30% de 
perda para o vendedor ambulante. Independente da quantidade adquirida, seus 
custos de transporte e manutenção serão de $1.000,00 por dia. As camisas não 
vendidas terão um valor residual de $2,00. A demanda diária pelas camisas 
depende das condições de vigilância nas ruas: se a vigilância for ostensiva, o 
vendedor somente consegue vender 50 camisas, vendendo 4 vezes mais se a 
vigilância das ruas for fraca. Caso a vigilância for média, o vendedor consegue 
colocar 120 camisas. As camisas só podem ser compradas em lotes pré - 
determinados: 80, 160, 240 ou 320 unidades. A experiência tem mostrado que 
há 40% de chance de que a vigilância seja fraca contra 30% de vigilância 
ostensiva. Em consequência ela é média 30% das vezes. Calcule:
a) Qual a quantidade de camisas que o vendedor ambulante deverá comprar 
para maximizar o seu lucro esperado?
b) Disponha os resultados sob forma de matriz de receitas.
 
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EXEMPLO 1: Solução:
a) Quantidade de camisas que maximiza o lucro esperado.
Alternativas: A. compra de 80 camisas; B. compra de 160 camisas;
C. compra de 240 camisas; D. compra de 320 camisas
Alternativa A:
Custo da alternativa: 80 x 10,00 + 1.000,00 = 1.800,00
Camisas vendáveis: 80 x 0,7 = 56 camisas
Receitas: Para vigilância ostensiva: 50 x 35,00 + 6 x 2,00 = 1.762,00
 Para vigilância média: 56 x 35,00 = 1.960,00
 Para vigilância fraca: 56 x 35,00 = 1.960,00
Receita líquida: Para vigilância ostensiva (o): 1.762,00 - 1.800,00 = -38,00
 Para vigilância média (m): 1.960,00 - 1.800,00 = 160,00
 Para vigilância fraca (f): 1.960,00 - 1.800,00 = 160,00
 
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EXEMPLO 1: Solução:
Alternativa B:
Custo da alternativa: 160 x 10,00 + 1.000,00 = 2600,00
Camisas vendáveis: 160 x 0,7 = 112 camisas
Receitas: Para vigilância ostensiva: 50 x 35,00 + 62 x 2,00 = 1874
 Para vigilância média: 112 x 35,00 = 3.920,00
 Para vigilância fraca: 112 x 35,00 = 3.920,00
Receita líquida: 
Para vigilância ostensiva (o): 1.874,00 - 2.600,00 = -726,00
Para vigilância média (m): 3.920,00 - 2.600,00 = 1.320,00
Para vigilância fraca (f): 3.920,00 - 2.600,00 = 1.320,00
 
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EXEMPLO 1: Solução:
Alternativa C:
Custo da alternativa: 240 x 10,00 + 1.000,00 = 3400,00
Camisas vendáveis: 240 x 0,7 = 168 camisas
Receitas: Para vigilância ostensiva: 50 x 35,00 + 118 x 2,00 = 1.986,00
Para vigilância média: 120 x 35,00 + 48 x 2 = 4.926,00
 Para vigilância fraca: 168 x 35,00 = 5.880,00
Receita líquida: 
Para vigilância ostensiva (o): 1.986,00 - 3.400,00 = -1.414,00
Para vigilância média (m): 4.296,00 - 3.400,00 = 896,00
Para vigilância fraca (f): 5.880,00 - 3.400,00 = 2480,00
 
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EXEMPLO 1: Solução:
Alternativa D:
Custo da alternativa: 320 x 10,00 + 1.000,00 = 4200,00
Camisas vendáveis: 320 x 0,7 = 224 camisas
Receitas: Para vigilância ostensiva: 50 x 35,00 + 174 x 2,00 = 2.098,00
 Para vigilância média: 120 x 35,00 + 104 x 2 = 4.408 ,00
 Para vigilância fraca: 200 x 35,00 + 24 x 2 = 7.048,00
Receita líquida: 
Para vigilância ostensiva (o): 2.098,00 - 4.200,00 = -2.102,00
Para vigilância média (m): 4.408,00 – 4.200,00 = 208,00
Para vigilância fraca (f): 7.048,00 – 4.200,00 = 2.848,00
 
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EXEMPLO 1: 
 
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EXEMPLO 1:
As receitas líquidas esperadas são as seguintes:
E(A) = 0,3 x (-38) + 0,3 x 160 + 0,4 x 160 = 100,60
E(B) = 0,3 x (-726) + 0,3 x 1320,00 + 0,4 x 1320,00 = 706,20
E(C) = 0,3 x (-1.1414) + 0,3 x 896 + 0,4 x 2480 = 836,60
E(D) = 0,3 x (-2.102) + 0,3 x 208,00 + 0,4 x 2.848,00 = 571,00
Desta forma, a melhor alternativa é a C, que consiste na compra de 240 
camisas.
 
 
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EXEMPLO 2: Uma empresa de consultoria precisa decidir quanto a 
contratação de um novo profissional para fazer parte do staff da 
empresa. Depois de analisar o problema a diretoria definiu duas 
possíveis alternativas de ação: contratar um gerente para projetos de 
auditoria ou contratar um gerente para projetos de consultoria. Cada 
alternativa de decisão tem um ganho e/ou uma perda. Sabe-se que a 
demanda por serviços de auditoria e consultoria ou é alta (com 
probabilidade de 80%) ou é baixa (com probabilidade de 20%). Na 
tabela a seguir temos os resultados esperados para cada um das 
alternativas possíveis. Estes valores consideram o retorno que a 
empresa tem ao escolher contratar cada um dos profissionais em cada 
um dos cenários possíveis.
CENÁRIOS
ALTERNATIVAS DE DECISÃO Mercado em Alta
Demanda ($)
Mercado em Baixa
Demanda ($)
Contratar gerente de auditoria 240.000 5.000
Contratar gerente de consultoria 360.000 - 50.000
 
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EXEMPLO 2: 
Considerando os dados acima, represente o problema descrito 
na forma de uma árvore de decisão e calculeos valores monetários 
esperados (VME) em cada uma das opções.
Resultado: 
VME para Contratar Gerente de Auditoria = 
(0,80)*$240.00 + (0,20)*$5.000 = 193.000
VME para Contratar Gerente de Consultoria = 
(0,80)*$360.00 + (0,20)*(-$50.000) = 278.000
 
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EXEMPLO 3: 
Um dono de hotéis está planejando ampliar seu negócio, abrindo uma 
pousada numa cidade turística no litoral do Rio de Janeiro. O gerente já 
determinou que cada pousada tem capacidade de acomodar 250 pessoas por 
dia. A época de maior concentração de turistas são 14 semanas que vão de 
dezembro a abril. A primeira pousada irá operar com 90% da capacidade se as 
condições de economia estiverem ruins, cuja probabilidade de ocorrer é de 
30%. Durante tempos normais a pousada deve operar com 100% da 
capacidade, e o excesso de pessoas irá para a segunda pousada, o que irá 
acontecer em cerca de 50%. Finalmente, se as condições econômicas estiverem 
boas, cuja probabilidade é de 20%, a utilização da 2ª pousada irá aumentar 
para 90%. O custo anual de instalar uma pousada está estimado em $50.000. O 
custo anual de instalar duas pousadas é somente $90.000 se instaladas ao 
mesmo tempo. Ao serem utilizadas elas tem um custo de $200.000 cada uma, 
independente da sua taxa de utilização. A diária custa cerca de $20,00 por 
pessoa por dia. Pede-se representar este problema em termo de uma árvore de 
decisão e calcular qual decisão deve ser tomada pelo dono das pousadas, 
justificando com seus cálculos.
 
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EXEMPLO 3: Solução:
O lucro total de cada pousada operando a 100% da capacidade 
durante os sete dias das 14 semanas é:
(250 pessoas) * (98 dias) * ($20/cliente * dia) = $490.000
Desta forma tem-se:
Alternativa A: apenas uma pousada funcionando
Total = (0,3) * 191 + 0,5 * 240 + 0,2 * 240 = $ 225.300,00
Condições Econômicas Calculo do Retorno Esperado
Ruim 0,9 * (490) – (50 + 200) = 191
Normal 1,0 * (490) – (50 + 200) = 240
Ótima 1,0 * (490) – (50 + 200) = 240
 
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EXEMPLO 3: Solução:
Alternativa B: Duas pousadas funcionando
Total = (0,3) * 151 + 0,5 * 245 + 0,2 * 441 = $ 256.000,00
Condições Econômicas Calculo do Retorno Esperado
Ruim 0,9*(490) – (90+200) = 151
Normal 1,5*(490) – (400+200) = 122,5
Ótima 1,9*(490) – (400+200) = 88,20
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