Lista Complementar de Processos Estocásticos 2014 2

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Lista Complementar de Processos Estocásticos 
 
Fórmulas de M/M/s 
1
1
0
0
1
1
!
1
!
1
P


 













 












 
s
j
sj
s
sj




 





















sn P
!
11
sn0 P
!
1
P
0
0
n n
sn
n
ss
n




 
 
  02q
P
1!
1
N






s
s
s
s 







 


 qNN
 
λ
N
T
q
q 
 
λ
N
T 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Um novo correio esta sendo projetado com 6 balcões de atendimento. Durante as horas de maior 
afluência, espera-se que os clientes cheguem a uma taxa media (distribuição de Poisson) de 4 por 
minuto. O tempo de serviço e uma exponencial negativa, com alguns clientes levando poucos 
segundos e outros levando vários minutos; a media e 1 minuto e 12 segundos. Se todos os balcões 
de atendimento estiverem com assistentes pede-se: 
a)Qual é a probabilidade de o sistema estar ocioso? 
b)Qual é a probabilidade de haver 2 clientes no sistema? 
c)Quantos clientes, em média, estarão na linha de espera? 
d)Qual o tempo médio de espera deles? 
e)Qual o tempo médio no correio? 
 
Solução: 
a) Calculando a probabilidade de o sistema estar ocioso (P0): 
    0,00609604,16493,8423,2112,2243,1852,118,41
83,0*6
41!6
83,0
4
!5
83,0
4
!4
83,0
4
!3
83,0
4
!2
83,0
4
!1
83,0
4
1
1
1
!
1
!
1
P
11
1
654321
1
1
0
0


















 



















































 



















s
j
sj
s
sj





 
 
b) como n = 2 é menor do que s = 6 temos que: 
 
0,04876900696,0
83,0
4
!2
1
P
!
1
P
2
02 












n
n 
 
 
c) 
   
pessoas 2,07108806096,0
1
83,0*6
4
83,0
4
!6
1
P
1!
1
N
2
83,0*6
4
6
02q



































s
s
s
s
 
d) 
min 0,517772
4
07,2
λ
N
T
q
q 
 
e) 
pessoas 32,58,452,0
83,0
4
52,0NN q  
 
Assim temos: 
min 33,1
4
32,5
λ
N
T 
 
 
2) Num sistema de uma fila e um canal de atendimento, sabe-se que a taxa de ociosidade é de 0,10. 
Qual a probabilidade de que o número de clientes no sistema seja igual a 10? Qual a taxa de 
ocupação do sistema? 
Resposta: 
 P10 = 0,035 
 
3) Em um sistema simples de fila, com uma fila e um canal de atendimento, foram calculados as 
seguintes medidas: 
a) Taxa de ocupação: 0,8; b) Tempo médio gasto na fila: 15 minutos. 
Pede-se: 
a) Qual a probabilidade de haver 10 clientes no sistema? 
b) Qual o tempo médio de 1 cliente no sistema? 
c) Qual a probabilidade do sistema estar ocioso? 
Solução: 
 a) 0,02147 
 b) 18,75 
 c) 0,2 
 
4) Num pedágio com apenas uma cabine de cobrança, o tempo médio para pagar, fazer o troco e 
liberar a cancela é de 10 segundos, com distribuição normal. Também, com distribuição normal, 
chegam, em média, 200 veículos por hora. Calcule: 
a)a probabilidade do pedágio estar vazio; Resp.: 0,4444 = 44,44% 
b)o tempo médio de espera na fila; Resp.: 12,5 seg 
c) o número médio de veículos no pedágio. Resp.: 1,25 veículos 
 
5) O sistema de atendimento de um restaurante fast-food é composto por um caixa e uma fila. Sabe-
se que chegam em média 10 carros por hora. Se o tempo de atendimento de cada cliente é de 4 
minutos e os intervalos de tempo entre chegadas e os tempos de atendimento são exponenciais 
pede-se: 
a) Qual a probabilidade do sistema estar vazio? 
b) Qual o número médio de carros no sistema de atendimento? 
c) Qual o número médio de carros em fila? 
d) Qual o tempo médio de permanência no fast-food? 
e) Qual é o tempo médio de espera em fila? 
f) Qual a probabilidade de haver 2 carros no sistema? 
 
Solução: 
a) 1/3 
b) 2 carros 
c) 4/3 carros 
d) 12 minutos 
e) 8 minutos 
f) 4/81 
 
6) Suponha que no problema anterior (3) foi colocado mais um posto de atendimento. Calcule as 
novas medidas de desempenho para este sistema com fila única e dois postos de atendimento. 
Solução: 
a) 1/2 
b) 0,75 carros 
c) 0,08 carros 
d) 4,5 minutos 
e) 0,008 minutos