TEORIA DAS FILAS TEORIA 2014 1 revisado

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PROCESSOS ESTOCÁSTICOSPROCESSOS ESTOCÁSTICOS
2014 - 1º Semestre2014 - 1º Semestre
TEORIA DAS FILASTEORIA DAS FILAS
Professor André Alves Gandolpho
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLISUNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLISUNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS
Teoria das Filas:
Um sistema de filas é composto de elementos que querem ser atendidos em 
um posto de serviço e que, eventualmente, devem esperar até que o posto esteja 
disponível.
Diversos fatores condicionam a operação de um sistema, ou seja, podem 
interferir tanto que o desempenho do sistema passa a ser função deles. Esses 
fatores podem ser classificados em quatro categorias:
Forma de atendimento;
Modo de espera;
Disciplina da fila;
Estrutura do sistema.
 
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1-Forma de Atendimento:
Existem diversos elementos passíveis de atuação por parte do 
administrados, com o objetivo de aprimorar o desempenho do sistema:
Dimensionamento da capacidade;
Treinamento dos atendentes;
Rotinas administrativas;
Sistemas de informações, etc..
O primeiro passo no estudo de um sistema de filas é o levantamento 
estatístico do número de clientes atendidos por unidade de tempo, ou do tempo 
gasto em cada atendimento. 
A partir deste levantamento é possível determinar a distribuição de 
probabilidades do número de atendimentos ou da duração de cada atendimento.
 
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2-Modo de Chegada:
O modo de chegada também é chamado de processo de chegada. As 
chegadas de clientes a um sistema ocorrem, em geral, de modo aleatório. 
Também deve ser feito um levantamento estatístico para determinar a 
distribuição de probabilidades que identifica o processo de chegadas. No 
processo de entrada as chegadas são chamadas de clientes.
3-Disciplina da Fila:
A disciplina de filas refere-se a maneira como os clientes são escolhidos 
para entrar em serviço após uma fila ser formada. A maioria das disciplinas 
comuns que podem ser observadas na vida diária é FIFO (First-In-First-Out), 
ou seja, o primeiro a chegar é o primeiro a ser servido. Entretanto, existem 
outras disciplinas, tais como, LIFO(Last-In-First-Out), aplicável em sistemas 
de controle de estoque onde o item mais recente é mais fácil de ser apanhado, e 
diversas outras disciplinas baseadas em esquemas de prioridade.
 
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4-Estrutura do Sistema:
Os sistemas de filas podem ter estruturas muito variadas, e cada caso exige 
um estudo analítico variado.
Exemplos:
1) Sistema de uma fila e um canal de atendimento;
2) Sistema de uma fila e três canais de atendimento;
 
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5-Medidas da Efetividade de um Sistema:
No estudo de um sistema de filas, podem ser determinadas várias medidas 
da efetividade do sistema, com a finalidade de indicar seu desempenho. Alguns 
exemplos são:
O percentual de tempo em que o posto de atendimento permanece ocioso ou ocupado;
O tempo médio que cada cliente gasta na fila de espera;
O tempo médio gasto pelo cliente no sistema, ou seja, a média dos tempos 
computados desde o instante de entrada até o momento de saída;
O número médio de clientes na fila, em uma unidade de tempo;
A probabilidade de existir um número n de clientes no sistema.
A escolha do parâmetro depende do objetivo do estudo.
No dimensionamento de um pátio de estacionamento de um pátio poderá 
ser proporcional ao número médio de veículos no sistema. 
A probabilidade de haver um número maior que essa média é o risco que 
se corre de que o pátio não seja suficiente.
 
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6-Notação:
A notação de processos de filas mais utilizada atualmente foi 
proposta por Kendall, em 1953, e é descrita por um série de símbolos, 
tais como, A/B/m/k/M, onde A indica a distribuição de interchegada dos 
clientes, B o padrão de serviço de acordo com uma distribuição de 
probabilidade para o tempo de serviço, m o número de canais de serviços 
paralelos (servidores), k a capacidade do sistema e M a disciplina de 
filas. 
Em muitas situações só os três primeiros símbolos são utilizados, de 
maneira que, é assumido que o sistema tem capacidade ilimitada e possui 
uma disciplina FIFO. Neste caso, M/D/2/∞/FIFO poderia ser indicado 
apenas por M/D/2.
 
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6-Notação:
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
Os modelos mais comuns de filas estocásticos assumem 
que os tempos de interchegada e serviço obedecem uma 
distribuição exponencial ou, equivalentemente, que a taxa de 
chegada e a taxa de serviço seguem uma distribuição de 
Poisson. 
Desse modo, nesta seção será dado ênfase ao Processo de 
Poisson, bem como, sua relação com a distribuição 
exponencial. Contudo, inicialmente será considerado um 
processo de chegada geral.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.1-Processo de Chegada:
Assuma um sistema onde os clientes cheguem com intervalos de 
tempo aleatórios entre chegadas. Estas chegadas são eventos discretos 
assíncronos que dirigem o sistema, ou seja, o sistema só faz uma 
transição de um estado para outro no tempo que um evento ocorre. O 
primeiro cliente chega no tempo T1, o segundo no tempo T2, e assim por 
diante. Assume-se que os tempos de interchegada X1, X2, ... são variáveis 
aleatórias contínuas independentes com a mesma distribuição FX (IID). 
Esta propriedade é referida como estacionaridade do tempo. Para manter 
a trilha do estado do sistema, isto é, quantos clientes chegaram, poderia-
se por exemplo definir:
Sn = Números de chegadas até o tempo Tn.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.1-Processo de Chegada:
Então {Sn : n = 1,2,...} é um processo estocástico de tempo 
discreto. Sob reflexão vê-se que Sn é igual a n para todo n, de modo que, 
este processo não é muito interessante, pois, ele apenas mantém-se 
incrementando por um a cada passo. 
Realmente, a informação interessante não é quantas chegadas tem 
existido, mas quando as chegadas ocorreram, implicando que um 
processo estocástico contínuo pode ser o modelo apropriado. 
Assim, define-se N(t) = Sn para todo Tn ≤ t < Tn+1 como número de 
chegadas até o tempo t>0. Chama-se {N(t) : t ≥ 0} um processo de 
contagem de chegada, ou um processo de chegada, ou um processo de 
contagem.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.2-O Processo de Poisson:
O processo de Poisson tem muitas propriedades interessantes, as mais 
fundamentais são que os incrementos das chegadas são ambos independentes e 
de tempo estacionário. 
Incrementos independentes significa que para um tempo arbitrário t ≥ 0 e 
um intervalo de tempo ∆t ≥ 0, o número de chegadas no período de tempo (t, t + 
∆t] é independente do número de chegadas até o tempo t. 
Quanto ao fato que as chegadas tem incrementos estacionários significa 
que a distribuição do número de chegadas não muda com o tempo, isto é, 
novamente para um tempo arbitrário t ≥ 0 e um intervalo de tempo ∆t ≥ 0.
Resumo: O Número esperado de chegadas em um intervalo de tempo fixo é 
proporcional a taxa de chegada e o comprimento do intervalo de tempo, que é a 
razão porque o parâmetro λ é referido como a taxa do processo de chegada.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.3-Distribuição de Poisson:
A distribuição de probabilidades de Poisson recebeu esse nome devido ao 
matemático francês Simeon Denis Poisson, representa uma das importantes 
distribuições de probabilidades de uma variável aleatória discreta e tem um 
grande número de aplicações. Essa distribuição é aplicável a ocorrências de um 
evento em um intervalo especificado. Por exemplo:
• Clientes chegando ao caixa de um supermercado;
• Acidentes com automóveis em uma determinada estrada;
• No de carros que chegam a um posto de gasolina;
• No de falhas em componentes por unidade de tempo;
• No de peças defeituosas substituídas num veículo durante o 1o ano de vida;
• Usuários de computador ligados à Internet;
• No de requisições para um servidor em um intervalo de tempo t e etc.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.3-Distribuição de Poisson:
Em todas estas situações, temos um conjunto de ocorrências que 
satisfazem as seguintes condições:
• O No de ocorrências de um evento em um intervalo de tempo (espaço) é 
independente do No de ocorrências do evento em qualquer outro intervalo 
disjunto – ocorrências independentes umas das outras;
• A probabilidade de duas ou mais ocorrências simultâneas é praticamente zero;
• O No médio de ocorrências por unidade de tempo (espaço) é constante ao 
longo do tempo (espaço) – ocorrências distribuídas uniformemente sobre o 
intervalo considerado;
• O No de ocorrências durante qualquer intervalo depende somente da duração 
ou tamanho do intervalo; quanto maior o intervalo, maior o No de ocorrências.
Portanto, a variável aleatória X é o No de ocorrências do evento em um 
intervalo que pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade 
análoga.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.3-Distribuição de Poisson:
Condições para Aplicar a Distribuição de Probabilidades de 
Poisson:
As três condições a seguir devem ser satisfeitas para que 
seja aplicada a distribuição de probabilidades de Poisson.
1. X deve ser uma variável aleatória discreta;
2. As ocorrências devem ser aleatórias;
3. As ocorrências devem ser independentes.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.3-Distribuição de Poisson:
Na teoria da probabilidade e na estatística, a distribuição de Poisson é uma 
distribuição de probabilidade discreta. Ela expressa, por exemplo, a 
probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem num dado período 
tempo, caso estes ocorram com uma taxa média conhecida e caso cada evento 
seja independente do tempo decorrido desde o último evento.
onde:
x é a probabilidade (freqüência relativa) de ocorrerem x chegadas na 
unidade de tempo, sendo que λ representa o ritmo médio de 
chegadas.
Média = Variância = λ = n p
Por exemplo para x = 2 tem-se: f(2) = 0,271.
!
)(
x
exf
x λλ −
=
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.3-Distribuição de Poisson:
Exemplo: Em uma fábrica chegam em média 7 pedidos por semana. Qual a 
probabilidade de ocorrer a chegada das quantidades de pedidos abaixo em 
uma mesma semana?
a) zero pedidos; b) 7 pedidos; c) Até 7 pedidos; d) Acima de 7 pedidos.
Solução:
a) b)
c) f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 0,598
d) 1 – (f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7)) = 0,402
001,0
!0
7)0(
70
==
−ef 149,0
!7
7)7(
77
==
−ef
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.3-Distribuição de Poisson:
Conforme vimos, a distribuição de Poisson está 
relacionada com ritmos. Pode-se demonstrar que a distribuição 
Exponencial Negativa é a correspondente da distribuição de 
Poisson quando nos referimos a intervalos entre chegadas. 
Isto significa dizer que quando um fenômeno segue 
Poisson ele também segue a Exponencial Negativa 
dependendo do que estamos medindo.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.3-Distribuição de Poisson:
A fórmula matemática da Distribuição Exponencial 
negativa é: f(x) = λe- λX, onde f(x) é a função densidade sendo 
λ o ritmo de chegada e x representa o tempo. 
Para calcularmos a freqüência relativa de ocorrência de 
chegadas no intervalo t e t + ∆t devemos calcular a integral no 
mesmo intervalo. A integral de x = 0 até x = x é F(x) = 1 – e-λX 
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.4-Distribuição Exponencial:
A distribuição exponencial é uma distribuição contínua que 
pode ser aplicada em situações problemas nas empresas, como 
exemplo, na área de serviços prestados, ela também tem utilidade 
em problemas que envolvem fila de espera.
Quando os serviços prestados por uma empresa para clientes 
externos ou internos são de duração variável, a distribuição 
exponencial é indicada para analisar esses experimentos;
Por exemplo, a duração do atendimento do caixa de um banco 
ou de postos de saúde, o tempo de operação sem interrupção de um 
equipamento, tempo de chegadas a um lavajato, tempo de vida de 
aparelhos, tempo de espera em restaurantes, etc.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.4-Distribuição Exponencial:
Na distribuição de Poisson, a variável aleatória é definida como o No de 
ocorrências em determinado período, sendo a média das ocorrências no período 
definida como λ.
Na distribuição Exponencial a variável aleatória é definida como o tempo 
entre duas ocorrências, sendo a média de tempo entre ocorrências de 1/λ.
Por exemplo, se a média de atendimentos no caixa bancário é de λ = 
6/min, então o tempo médio entre atendimentos é 1/λ = 1/6 de min ou 10 seg.
Condição de aplicação:
a) o número de ocorrências deve seguir uma distribuição de Poisson.
Se nós considerarmos a distribuição de Poisson como o modelo para o No 
de ocorrências de um evento no intervalo de [0,t] teremos:
Nesse caso pode ser demonstrado que a distribuição dos intervalos entre 
ocorrências irá seguir o modelo Exponencial com parâmetro λ.
( )
!
][
x
etxP
tx λλ −
=
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.4-Distribuição Exponencial:
A distribuição Exponencial acumulada vem dada por:
Onde: Valor Esperado: E[T] = 1/λ
Variância: var[T] = 1/λ2 
A distribuição Exponencial é largamente utilizada no campo da 
confiabilidade, como um modelo para a distribuição dos tempos até a falha de 
componentes eletrônicos.
Nessas aplicações o parâmetro λ representa a taxa de falha para o 
componente, e 1/λ é o tempo médio até a falha.
0,1][)(
0
≥−==≤= −−∫ tedxetTPtF tt t λλλ
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.4-Distribuição Exponencial:
Exemplo: Suponha que o tempo médio entre o pedido e o 
atendimento num grande restaurante seja de 10 minutos. 
Suponha ainda que esse tempo tenha distribuição 
exponencial.
Determine a probabilidade de espera:
a) Superior a 10 minutos;
b) Não superior a 10 minutos;
c) Não superior a 3 minutos;
d) entre 3 e 10 minutos.
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLISUNIVERSIDADE CATÓLICA DE PETRÓPOLIS7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.4-Distribuição Exponencial:
Exemplo: Solução: Temos que o tempo médio entre o pedido e o 
atendimento é 1/λ = 10 minutos, e queremos calcular:
a) A prob. de que a espera no restaurante seja mais que 10 minutos, ou seja,
P (T ≥ b) = P (T ≥ 10) = e(-10/10) = e−1 = 0, 3679 ou 36,79%
b) A prob. de que a espera no restaurante seja no máximo, 10 minutos, ou seja,
P (T ≤ b) = P (T ≤ 10) = 1 − e (−10/10) = 1− e−1 = 1 − 0, 3679 = 0,6321 ou 63,21%
c) A prob. de que a espera no restaurante seja no máximo, 3 minutos, ou seja,
P (T ≤ b) = P (T ≤ 3) = 1 − e (−3/10) = 1 − e−0,3 = 0, 2592 ou 25, 92%
d) A probabilidade de que a espera no restaurante seja entre 3 e 10 minutos, ou seja, o 
que se deseja é P (3 ≤ T ≤ 10) . Assim, podemos verificar facilmente que.
P (3 ≤ T ≤ 10) = P (T ≤ 10) − P (T ≤ 3) = 0, 6321 − 0, 2592 = 0, 3729 ou 37, 29%
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.4-Distribuição Exponencial:
Relação entre a Dist. de Poisson e a Dist. Exponencial
A distribuição de Poisson mede o número de ocorrências de 
determinado evento por unidade de tempo, enquanto a distribuição 
exponencial indica o tempo decorrido entre duas ocorrências. 
Assim, quando o número de ocorrências de um determinado 
evento é explicado pela distribuição de Poisson com média λ, o 
intervalo entre duas ocorrências segue a distribuição exponencial 
com média 1/λ.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.5-Processos de Nascimento e Morte:
 Com relação aos modelos de filas que iremos tratar neste curso, 
eles podem ser classificados numa subárea conhecida por 
Processos de Nascimento e Morte.
Definições:
(a) Um Nascimento representa a entrada de um cliente no sistema;
(b) Uma Morte representa a saída de um cliente no sistema;
(c) λn = Taxa Média de Chegada quando há n clientes no sistema;
(d) μ n =Taxa Média de Serviço quando há n clientes no sistema;
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.5-Processos de Nascimento e Morte:
O diagrama abaixo representa as transições de estados sendo 
possível verificar que o fluxo de entrada em um estado é igual ao 
seu fluxo de saída.
Assim, λi e μi serão chamados de taxas de nascimento e 
morte, no estado i, respectivamente.
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.5-Processos de Nascimento e Morte:
Com as condições apropriadas em μn e λn,uma solução de estado de 
equilibrio existe e as equações de balanço para o processo de nascimento 
e morte podem ser geradas como a seguir:
λj-1 Pj-1 + μj+1 Pj+1 − (λj + μj) Pj = 0, para j ≥ 1 (I)
μ1P1 − λ0P0 = 0 (II)
Isolando Pj+1, em (I) ,temos:
(III)
Isolando P1, em (II) , temos: P1 = (λ0/μ1)P0 (IV)
( ) ( )
1-j
1
1
j
1
11
1j PPP
+
−
+
+ −
+
=
j
j
j µ
λ
µ
µλ
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.5-Processos de Nascimento e Morte:
Fazendo j=1, em (III) e em seguida substituindo P1, pela 
equação (IV):
Organizando mais um pouco temos:
(V)
Fazendo j = 2, em (III) , em seguida, substituindo P1, pela 
equação (IV) e P2, pela equação (V) :
( ) ( )
0
2
0
0
1
0
2
11
20
2
0
1
2
11
2 PPP PPP µ
λ
µ
λ
µ
µλ
µ
λ
µ
µλ
−
+
=⇒−
+
=
( ) ( )
21
001
2
21
001
21
001001
2
PP PPPP
µµ
λλ
µµ
λµ
µµ
λµλλ
=⇒−
+
=
( ) ( )
0
2
0
3
1
21
001
3
22
21
3
1
2
3
22
3 P
PP PPP
µ
λ
µ
λ
µµ
λλ
µ
µλ
µ
λ
µ
µλ
−
+
=⇒−
+
=
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.5-Processos de Nascimento e Morte:
Organizando mais um pouco temos:
Podemos perceber que há um padrão se estabelecendo, ou 
seja,
sabemos que tem-se que
( )
 PP PPPPP
123
0012
3
321
0012
21
001
321
00120012
3 µµµ
λλλ
µµµ
λλµ
µµ
λλ
µµµ
λλµλλλ
=⇒−
+
=
∏
=
−
−
−− 



=≥=
n
i i
i
n
nn
nn
n
1
1
0
11
0021 PP ainda,ou , 1)(n, PP
µ
λ
µµµ
λλλ


1P
0
=∑∞
=n
n
1PP
1
0 =+ ∑∞
=n
n
 
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7-Processo de Poisson e Distribuição Exponencial:
7.5-Processos de Nascimento e Morte:
Ou ainda:
Portanto, temos que P0 é a proporção do tempo em que o 
sistema fica vazio, ou seja, os atendentes ficam ociosos, e 
sabemos que pela expressão de Pn é possível calcular os valores 
de probabilidade de ter n clientes no sistema.
1
1n 1
1
0
1n 1
1
0
1n 1
1
0
1n 1
1
00
1n 1
1
00
1P
1
1P 11P
 1 PP 1PP
−
∞
= =
−
∞
= =
−
∞
= =
−
∞
= =
−
∞
= =
−











+=
⇒







+
=⇒=












+
⇒=






+⇒=






+
∑ ∏
∑ ∏
∑ ∏
∑ ∏∑ ∏
n
i i
i
n
i i
i
n
i i
i
n
i i
i
n
i i
i
µ
λ
µ
λµ
λ
µ
λ
µ
λ
 
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8-Modelo M/M/1 :
Nesse item iremos estudar o modelo de sistema de um canal e 
uma fila com população infinita e suas devidas equações. 
As equações do modelo se baseiam nas características dos 
processos de chegada e de serviço (atendimento). 
Ele também é um dos principais modelos de filas conhecidas como 
Markovianas, ou seja, têm as chegadas e os atendimentos seguindo as 
distribuições de Poisson e Exponencial.
Taxa média de chegada (Poisson): λn 
Taxa de serviço médio (Exponencial): μn
Número de atendentes: 1
Disciplina de atendimento: FIFO.
Obs.: Como não há limitações (na fila ou na fonte) as taxas de 
chegada e serviço independem do estado do sistema, isto é, λn = λ e μn 
= μ, n = 1, 2, 3, ...
 
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8-Modelo M/M/1:
O modelo M/M/1 é um modelo de filas onde tanto as chegadas quanto o 
atendimento são markovianas (é o mesmo que dizer que seguem a distribuição 
de Poisson ou a Exponencial Negativa) e que temos um único atendente.
Tempos de interchegada, tanto quanto os tempos de serviço, são assumidos 
serem estatisticamente independentes. 
Clientes chegam a uma estação de Serviço, de um único canal de 
atendimento, de acordo com o processo de Poisson, à taxa λ.
Tempo entre chegadas sucessivas: Variável independente, exponencialmente 
distribuída, com média λ;
Cada cliente, na chegada, vai: Ser atendido, se o canal estiver livre;
Para a fila, se o canal estiver ocupado.
O tempo total de serviço é uma variável aleatória independente, 
exponencialmente distribuída, com média λ :
Quando termina o serviço: O cliente atendido abandona o serviço;
O 1o cliente da fila, se houver, entra no canal de serviço.
 
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8-Modelo M/M/1:
Usando as expressões, deduzidas anteriormente, para P0 e 
Pn, tem-se: se (λ/μ) < 1.
Onde:
(ρ=λ/μ) é denominado fator de utilização da estação de 
serviço:
Pn= (1- ρ) ρn.
nn
i i
i
n
nn
i



=



=
−==


=




+
=
∏
∑∑ ∏
=
−
−
∞
=
∞
= =
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
0
1
1
0
1
1
0n1n 1
0
PPP
, 111 
1
1P
 
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8-Modelo M/M/1:
Com as expressões de P0 e Pn pode-se obter:
Assim, o No médio (esperado) de unidades no sistema é dado por L.
Assim, o No médio (esperado) de unidades na fila é dado por Lq.
( )
)-()-(1
)-d(1)-(1
d
)-(1
d)-(1n)-(1 )-n(1PnL
0n
0n0n
1
0n
n
0n
λµ
λ
ρ
ρ
ρ
ρρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
ρρρρρρρ
===
=



====
∑
∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
∞
=
∞
=
dd
d
n
n
n
nn
( ) ( ) µλµ
λ
-
)P-(1 LPPnP1-nL
2
0
0n0n
n
0n
q ==−== ∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
nn
 
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8-Modelo M/M/1:
Como, L = W (Fórmula de Little) tem-se: W = 1/(µ-λ), que nos 
fornece o tempo médio (esperado) que cada unidade permanece no 
sistema.
E como, Lq = Wq (Fórmula de Little) tem-se Wq = λ/μ(μ− λ) que 
nos fornece o tempo médio (esperado) que cada unidade permanece na 
fila.
Podemos ter ainda as seguintes relações entre as medidas básicas:
 
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8-Modelo M/M/1:
Probabilidade do sistema estar ocioso:
onde: = No médio de clientes em serviço.
Condição de convergência:
Probabilidade de haver n clientes no sistema:
Número médio de clientes no sistema:
Número médio de clientes na fila:
Tempo médio de um cliente no sistema:
Tempo médio de um cliente na fila:
µ
λ
−= 1PO
1<µ
λ
 −= µλµλ 1Pn
n
 
λµ
λ
−
=N
( )λµµ
λ
−
=
2
qN
λµ −
=
1T
( )λµµ
λ
−
=qT
 
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8-Modelo M/M/1:
Exemplo:
1) Uma disposição de serviços de equipamentos tem uma distribuição de 
chegada e taxas de serviço que seguem uma distribuição de probabilidade de 
Poisson e opera uma disciplina de filas por ordem de chegada. As solicitações 
de serviços tem média λ = 3 por dia. A instalação pode atender a uma média de 
µ = 6 máquinas por dia.
Calcular:
a)Fator de utilização;
b)Tempo Médio no Sistema;
c)Número Médio de pessoas no sistema;
d)Tempo Médio de espera na fila (Tq);
e)Probabilidade P de achar n = 2 máquinas no sistema;
f)Número esperado de pessoas na fila (Nq);
g)Porcentagem do tempo que a instalação do serviço está ociosa (%I).
 
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8-Modelo M/M/1:
Exemplo: Resolução:
a)u % = b)T dia
c)N = = 1 máquina
d)Tempo médio de espera: tempo médio no sistema – tempo de atendimento = 
e)Probabilidade de n = 2 máquinas no sistema:
Pn = (prob.de nenhum outro)(prob. dos dois) = 
Nq = (No médio no sistema)(taxa média de chegada) = 
f) % de tempo ocioso = (total) – (% de utilização) = 100 - %u = (110 – 50) = 50%
% 506
3
==µ
λ
3
11
=
−
=
λµ
36
3
−
=
− λµ
λ
dia
6
1
6
1
36
1
)(
11
=−
−
=
−
=−
−
=
λµµ
λ
λλµ
125,0
6
3
6
311
2
=




−= −
n
µ
λ
µ
λ
( ) ( ) 


=



−
=



−
=


−
− 2
1
366
322
λµµ
λ
µ
λ
λµ
λ
 
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8-Modelo M/M/1:
Exemplo:
2) Seja um pedágio instalado em uma rodovia secundária, onde há somente uma 
caixa fazendo o atendimento. Depois de uma análise dos dados observados, 
calcula-se que os carros chegam, em média, a uma taxa de 2 carros por minuto e 
o tempo médio de atendimento de cada carro por parte do operador da caixa é 
de 10 segundos.
•Calcule:
1) tempo médio de permanência de cada cliente no sistema (fila + 
atendimento);
2) tempo médio de permanência na fila;
3) número médio de clientes no sistema;
4) número médio de clientes na fila;
 
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8-Modelo M/M/1:
Exemplo:
2) Solução: A partir dos dados iniciais temos que:
a) Número de servidores = 1
b) Taxa de chegada: = 2 carros a cada 60 segundos
c) tempo de atendimento ou serviço = 10 segundos
d) taxa média de serviço: a cada seg. são atendidos 0,1 carros:
0333,060
2 ==λ
1,010
1 ==µ
 
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8-Modelo M/M/1:
Exemplo:
2) Solução:
a) T = 1 / ( µ - λ) = 15 segundos
b) Tq = (λ /µ) * T = 1/3 * 15 = 5 segundos
c) N = = 0,5 clientes
d) Nq = (λ /µ) * N = 0,16 clientes
− λµ
λ
 
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9-Modelo M/M/s:
 Probabilidade do sistema estar ocioso:
 Condição de Convergência
 Probabilidade de haver n clientes no sistema:
 No médio de clientes na fila:
 Tempo médio de um cliente na fila:
 No médio de clientes no sistema:
 Tempo médio de um cliente no sistema:
 Porcentagem de tempo ocioso: % utilização = 
1
1
0
0 !
1
!
1
−
−
= 



−



+


= ∑ λµ
µ
µ
λ
µ
λ
s
s
sj
P
sjs
j
 
1<


µ
λ
s
 



>


≤


=
sn 
s!
1
s
1
sn 
!
1
0s-n
0
P
P
nnP n
n
n
µ
λ
λ
 
 
( ) 0 2 1 ! 
1 P 
s 
N 
s 
s 
s 
q 
µ 
λ 
µ 
λ 
µ 
λ 
−    
    
 
= 
λ
q
q
L
T =
µ
λ
+= qNN
λ
LT =
µ
λ
s
 
 
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9-Modelo M/M/s:
Exemplo:
1) Um novo correio está sendo projetado com 6 balcões de atendimento. 
Durante as horas de maior afluência, espera-se que os clientes cheguem a uma 
taxa média (distribuição de Poisson) de 4 por minuto. O tempo de serviço é 
uma exponencial negativa, com alguns clientes levando poucos segundos e 
outros levando vários minutos; a média é 1 minuto e 12 segundos. Se todos os 
balcões de atendimento estiverem com assistentes pede-se:
a)Qual é a utilização média da capacidade?
b)Quantos clientes, em média, estarão na linha de espera?
c)Qual o tempo médio de espera deles?
d)Qual o tempo médio no correio?
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