FALHA POR FADIGA

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FALHA POR FADIGA
CARGA VARIADA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS IIIRESISTÊNCIA DOS MATERIAIS III
Prof. Marcelo Cavalcanti Rodrigues
1
FADIGA!!!! (CANSAÇO)
Algumas pessoas confundem o mecanismo de fadiga com cansaço ou exaustão eAlgumas pessoas confundem o mecanismo de fadiga com cansaço ou exaustão, e
repetem frequentemente que tal peça rompeu por que o material estava fadigado.
Fadiga é um mecanismo de degradação que se manifesta na forma de trincas e porFadiga é um mecanismo de degradação que se manifesta na forma de trincas e por
conseqüência fratura peças e equipamentos devido a cargas repetidas (cíclicas). Ex:
Eixos, molas, engrenagens, ventiladores, etc.
Os elementos que operam sob tensões constantes ou com variações pouco freqüentes
tais como a maioria dos tanques, vasos de pressão e tubulações usualmente não
sofrem fadiga.sofrem fadiga.
Quando uma peça rompe por fadiga é por que a quantidade de ciclos de tensão
superou seu limite de resistência, não porque o material estava "cansado".p , p q
2
3
4
1. Métodos da Vida sob Fadiga
Existem três métodos fundamentais da vida sob fadiga usados em projetos:
a) Método da vida sob tensão;
b) Método da vida sob deformação e;b) Método da vida sob deformação e;
c) Método da mecânica da fratura linear elástica;
Tais métodos predizem a vida em número de ciclos N até a ocorrência da falhaTais métodos predizem a vida em número de ciclos , N, até a ocorrência da falha.
Obs: A vida de 1 ≤ N ≥ 103 ciclos é denominada de fadiga de baixo ciclo e a fadiga de
alto ciclos ocorre em N > 103 ciclos.
O método a) é baseado apenas em níveis de tensão, é menos preciso, porém maisO método a) é baseado apenas em níveis de tensão, é menos preciso, porém mais
tradicional e usado especificamente para baixa ciclagem. É simples de
implementar para várias aplicações de projeto e possui muitos dados de suporte,
além de representa de forma adequada aplicações com alta ciclagem.p q p ç g
O método b) envolve uma análise mais detalhada da deformação plástica em regiões
onde as tensões e a deformação são consideradas para estimativas de vida. É
eficaz para baixo ciclo, porém pode ocorrer algumas incertezas devido a
considerações feitas.
O método c) assume que a trinca já está presente e tenha sido detectada. Usado para
prever o crescimento da trinca x tensão.
5
1. Métodos da Vida sob Fadiga (Método da vida sob tensão)
Para determinar a vida sob fadiga, amostras são submetidas a forças repetidas ou
variáveis de magnitudes especificadas, onde ciclos e inversões são contados até a
sua destruiçãosua destruição.
Utiliza‐se a maquina de viga rotativa de alta velocidade de R. R. Moore. Onde
submete‐se a amostra a flexão pura de geometria apresentada abaixo.
A amostra é usinada e polida na direção axial (evitar risco circunferenciais).
Existem outras maquinas que submetem as amostras a tensões axiais flutuantes ouq q
invertidas, tensões torcionais ou combinadas.
O primeiro ensaio é feito a uma tensão um pouco inferior à resistência última do
material.
O segundo ensaio é feito a uma tensão menor que a do primeiro ensaio. Continua o
processo para traçar o diagrama S‐N.
6
1. Métodos da Vida sob Fadiga (Método da vida sob tensão)
A ordenada do diagrama S‐N é denominada de resistência à fadiga Sf .
Limite de resistência a 
fadiga ou limite de fadiga 
Se
Diagrama S‐N traçado a partir dos resultados de testes de fadiga axial completamente inversa. Aço 
normalizado; Sut = 116 kpsi; máximo Sut = 125 kpsi.
O gráfico acima jamais se torna horizontal para metais não ferrosos ou ligas neste caso essesO gráfico acima jamais se torna horizontal para metais não – ferrosos ou ligas, neste caso esses
materiais não tem limite de resistência à fadiga.
7
1. Métodos da Vida sob Fadiga (Método da vida sob tensão)
Abaixo observa‐se bandas S‐N para ligas de alumínio (forjado, fundido em molde
permanente e fundido em areia) representativas, excluindo aquelas forjadas com
resistência abaixo S < 38 kpsi Isto se deve ao fato que o alumínio não apresentaresistência abaixo Sut < 38 kpsi. Isto se deve ao fato que o alumínio não apresenta
limite de resistência á fadiga, onde normalmente a resistência a fadiga Sf é relatada a
um número específico de ciclos, N = 5(108) ciclos. (Tabela A‐24)
8
9
2. Limite de Resistência
No gráfico abaixo observa‐se que o limite de resistência varia entre cerca de 40% a
60% da resistência á tração para aços de até 212 kpsi (1460 MPa). Começando
aproximadamente em S = 212 kpsi (1460 MPa) então o espalhamento aumentaaproximadamente em Sut = 212 kpsi (1460 MPa), então o espalhamento aumenta,
mas a tendência parece equiparar‐se na linha horizontal em S’e = 107 kpsi (740MPa).
Gráfico dos limites de resistência x resistência à tração a partir de resultados de ensaios verdadeiros para 
feros forjados e aços. Razões S’e /Sut de 0,60, 0,50 e 0,40 são mostradas nas linhas contínuas e tracejadas. 
Observa‐se a linha horizontal tracejada para S’e = 107 kpsi. 10
2. Limite de Resistência
Para estimar os limites de resistência, têm‐se:
Mischkle analisou uma grande amostra de dados reais e concluiu que:



>⇒
>⇒
≤⇒
=
MPaSMPa
kpsiSkpsi
MPakpsiSMPaoukpsiS
S
ut
ut
utut
e
1460740
212107
)1460(212504,0
'
Em que Sut é a resistência à tração mínima. S’e refere‐se a amostra de viga rotativa.
2.1 Resistência à Fadiga2.1 Resistência à Fadiga
Até cerca de 103 ciclos (baixa ciclagem), a resistência à fadiga Sf é apenas
ligeiramente menor que a resistência à tração Sut .g q ç ut
A figura ao lado indica que o dominio de fadiga de 
alta ciclagem estende‐se de 103 ciclos até o limite 
6Ne (106 a 107 ciclos).
Experiências mostraram que os dados de fadiga de 
alto ciclo são retificados, pois os resultados são 
imais esparsos.
11
2.1 Resistência à Fadiga
Pode‐se então trabalhar com a equação que ajusta a curva:
S = aNb (1)Sf = aNb (1)
em que N é o número de ciclos até a falha e as constantes a e b são definidas pelos
pontos 103 (Sf )103 e 106 S com (Sf )103 = f S Logo obtém os expoentes:pontos 10 , (Sf )10 , e 10 , Se com (Sf )10 = f Sut . Logo obtém os expoentes:
(2)
( )
e
ut
S
fSa
2
=
 fS1
(3)
Onde f é a fração de Sut .



−=
e
ut
S
fSb log
3
1
f ç ut
Há ajustes de curva com f tratado como uma constante, normalmente 0,9, mas
variando com Sut .
S k i 60 90 120 200Sut , kpsi 60 90 120 200
f 0,93 0,86 0,82 0,77
12
2.1 Resistência à Fadiga
Se uma tensão completamente invertida σa for provida, estabelecendo Sf = σa na eq.
(1), o número de ciclos até a falha é:
(4)
A fadiga de baixo ciclo é definida como uma falha que ocorre em um intervalo de
b
a
a
N
/1


= σ
A fadiga de baixo ciclo é definida como uma falha que ocorre em um intervalo de
1≤N≤103 ciclos.
2.2 Fatores Modificadores do Limite de Resistência2.2 Fatores Modificadores do Limite de Resistência
Sabe‐se que uma amostra usada em laboratório para determinar os limites de
resistência é preparado com muito cuidado e ensaiado sob condições controladas.p p ç
Na prática algumas diferenças incluem:
a)Material: composição, etc;
b)Manufatura: método, tratamento térmico, corrosão por microabrasão, condição de
superfície, concentração de tensão;
c)Ambiente: corrosão, temperatura, estado de tensão, etc;
d)Projeto: tamanho, forma, vida, estado de tensão, concentração de tensão.
13
2.2 Fatores Modificadores do Limite de Resistência
Marin identificou fatores que quantificam os efeitos de condição de superfície,
tamanho, carregamento, temperatura, etc.
Uma equação de Marin é escrita como:Uma equação de Marin é escrita como:
(5)
'
efedcbae SkkkkkkS =
Em que
ka = fator de modificação de condição de superfície;
kb = fator de modificação de tamanhokbfator de modificação de tamanho
kc = fator de modificação de carga
kd = fator de modificação de temperatura
ke = fator de modificação de confiabilidadee ç
kf = fator de modificação por efeitos variados
S’e= limite de resistência da amostra de viga rotativa
Se = limite de resistência no local crítico de uma peça de máquina na geometria e na
condição de uso.
Obs.: Utiliza‐se os fatores de Marin para estimar o limite de resistência quando os
ensaios de resistência de peças não estiverem disponíveis.
14
2.2 Fatores Modificadores do Limite de Resistência
2.2.1 Fator de superfície ka
O fator de modificação depende da qualidade de acabamento da peça real e daO fator de modificação depende da qualidade de acabamento da peça real, e da
resistência a tração do material.
Mischke, Lipson, Noll e Horger analisaram e encontraram uma equação para
quantificar os acabamentos mais comuns em peçasquantificar os acabamentos mais comuns em peças.
(6)
Em que Sut é a resistência à tração mínima e a e b são encontrados da Tabela 7‐4.
b
uta aSk =
Em que Sut é a resistência à tração mínima e a e b são encontrados da Tabela 7 4.
Acabamento 
superficial
Fator a Expoente
Sut , kpsi Sut , MPa b
Retificado 1,34 1,58 ‐0,085
Usinado ou 2 70 4 51 ‐0 265Usinado ou 
laminado a frio
2,70 4,51 ‐0,265
Laminado a 
quante
14,4 57,7 ‐0,718
15
Forjado 39,9 272, ‐0,995
2.2.2 Fator de Tamanho kb
O fator de Tamanho foi avaliado usando 133 conjuntos de pontos de dados. Os
resultados para flexão e torção podem ser expresso como:
(7)



≤≤=
≤<
≤≤=
= −−
−
−−
mmddd
indd
inddd
kb 5179,224,1)62,7/(
10291,0
211,0879,0)3,0/(
107,0107,0
157,0
107,0107,0
Para carregamento axial não há efeito de tamanho, kb =1.
O que fazer quando uma barra redonda em flexão não está rodando, ou quando uma
 ≤<− mmdd 2545151,1
,,),(
157,0
O que fazer quando uma barra redonda em flexão não está rodando, ou quando uma
seção transversal não‐circular é usada. Ex: qual é o fator de tamanho para ma barra de
6mm de espessura e 40mm de largura? “ dimensão efetiva de “ que é obtida igualando
o volume do material tensionado, e acima de 95% da tensão máxima ao mesmo,
volume em um espécime de viga rotativa. Para uma seção redonda rodando, a área de
tensão de 95% é a área em um anel tendo um diâmetro externo d e um diâmetro
interno de 0,95d, assim:
(8)22295,0 0766,0])95,0([4
dddA =−= πσ
16
Equação válida também para círculo vazado rodando.
2.2.2 Fator de Tamanho kb
Para um sólido não rotativo ou para elementos circulares vazados, a área de tensão de
95% é duas vezes a área externa de duas cordas paralelas tendo um espaçamento de
0 95d em que d é o diâmetro0,95d, em que d é o diâmetro.
(9)295,0 01046,0 dA =σ
Igualando as eqs. (8) e (9):
(10)dde 370,0= (10)
Uma seção retangular de dimensões h x b tem A0,95σ =0,05hb. Assim:
(11)
Ver Tabela 7‐5.
2/1)(808,0 hbde =
17
2.2.3 Fator de Carregamento kc
Os ensaios de fadiga que são carregados com flexão rotativa, axial e torcional, os
limites de resistência diferem.
 fl ã1
(12)



=
torção
axial
flexão
kc
59,0
85,0
1
2.2.4 Fator de Temperatura kd
Temperatura operacional baixa (menor que a ambiente) = fratura frágil;
Temperatura operacional alta (maior que a ambiente), deve observar o escoamento,
pois a resistência a ele cai rapidamente com a temperatura. Fluência.
Neste caso utiliza‐se um ajuste de curva:
( )(13)
Em que 70≤TF ≤1000°F.
S li it d i tê i d id d d f h id à t t bi t
41238253 )10(595,0)10(104,0)10(115,0)10(432,0975,0 FFFFd TTTTk
−−−− −+−+=
Se o limite de resistência da vida rodando for conhecido à temperatura ambiente use:
(14)
RT
T
d S
Sk =
18
a partir da Tabela 7‐6 ou da eq. (13). ST ‐ resistência a tração a temp de operação.
SRT – resistência a tração a temp ambiente.
RT
Ex: 7‐5 Um aço 1035 apresenta uma resistência á tração de 70 kpsi e deve ser usado
em uma peça que trabalhe a 450°F. Estime o fator de modificação de temperatura de
Marin e (Se )450° , seMarin e (Se )450 , se
a) O limite de resistência a temperatura ambiente por ensaio for (S’e )70° =39 kpsi.
b) Somente a resistência a tração, a temperatura ambiente, for conhecida.
SOLUÇÃO:
a) A partir da eq. (13),
Logo
007,1450)10(595,0450)10(104,0450)10(115,0)450)(10(432,0975,0 41238253 =−+−+= −−−−dk
Logo,
b) Usar a Tab 7‐6, interpolar:
kpsikpsiSkS ede 3,39)39(007,1)()( 70
'
450 === °°
Logo a resistência a tração a 450°F é estimada:
007,1
400500
400450)018,1995,0(018,1)/( 450 =−
−−+== °RTTd SSk
Logo a resistência a tração, a 450 F é estimada:
kpsikpsiSSSS utRTTut 5,70)70(007,1)()/()( 70450450 === °°°
A partir da eq 7‐8,
kpsiSS ute 5,35)5,70(504,0)(504,0)( 450450 === °° 19
2.2.5 Fator de Confiabilidade ke
Leva em consideração o espalhamento (confiabilidade) de dados para um limite de
resistência médio.
(15)zk 0801−= (15)
Onde za é a variante de transformação Gaussiana. Para isso utiliza‐se a Tabela A‐10
(distribuição de função normal Gaussiana) e a Tabela 7‐7 que apresenta fatores de
ae zk 08,01−=
( ç ç ) q p
confiabilidade ke corresondentes a 8% de desvio‐padrão do limite de resistência.
2.2.6 Fator de Efeitos Diversos kff
a) Tensões residuais: podem melhorar (tensões de compressão) ou afetar (tensões
de tração), operações de jateamento, laminação a frio constroem tensões de
compressão melhorando a resistência a fadiga. Isto significa que a direção de
operação modifica a resistência a fadiga.
b) Corrosão: Quando a corrosão e o tensionamento ocorrem ao mesmo tempo.
N j i d i i i f f id d f diNeste caso o projetista deve minimizar os fatores que afetam a vida de fadiga:
• Tensão alternante; freqüência cíclica;
• Tensão média ou estática;
• Concentração de eletrólito fendas locais
20
• Concentração de eletrólito ; fendas locais;
• Oxigênio dissolvido no eletrólito;
• Temperatura; taxas de fluxo de fluido ao redor do espécime;
3. Concentração de Tensão e Sensibilidade a Entalhe
A existência de irregularidades ou descontinuidades (furos ou entalhes) aumenta as
tensões próxima a descontinuidade.
O fator de concentração de tensão Kt (Kts) é usado com a tensão nominal para obter aO fator de concentração de tensão Kt (Kts) é usado com a tensão nominal para obter a
máxima tensão resultante decorrente do defeito.
Alguns materiais não são sensíveis a presença de entalhes, logo:
ou (16)
Em que Kf (fator de concentração de tensão nominal em fadiga) é um valor reduzido
0max σσ fK= 0max ττ fsK=
f
de Kt e σ0 é a tensão nominal. Então Kf é um fator reduzido de Kt devido a
sensibilidade a entalhes.
entalhadomaterialemmáximatensãoK (17)
A sensibilidade ao entalhe q é:
entalhesemmaterialemtensão
K f ____
____=
ou (18)
Se q 0 K 1 o material não tem qualquer sensibilidade ao entalhe Se q 1 K K o
1
1
−
−=
t
f
K
K
q
1
1
−
−=
ts
fs
cis K
K
q
21
Se q=0, Kf =1 o material não tem qualquer sensibilidade ao entalhe. Se q=1, Kf = Kt , o
material tem sensibilidade completa ao entalhe.
3. Concentração de Tensão e Sensibilidade a Entalhe
No projeto encontre Kt a partir da geometria da peça. Especifique o material, encontre
q e solucione para Kf a partir de:
ou eq 7‐31 (19)
Para aços e ligas de alumínio 2024, usa‐se a fig 7‐20 para determinar q para flexão e
)1(1 −+= tf KqK )1(1 −+= tscisfs KqK
ç g g p q p
carga axial. Para carga de cisalhamento, usa‐se a fig. 7‐21. Devido as dispersões dos
resultados, utiliza‐se Kf = Kt toda vez que houver duvida quanto ao valor real de q.
A sensibilidade ao entalhe de ferros fundidos é muito pequena, varia de 0 a 0,20.
recomenda‐se que q = 0,20 seja usado para todos os graus de ferro fundido.
22
3. Concentração de Tensão e Sensibilidade a EntalheA fig 7‐20 tem como base a equação de Neuber:
eq 7‐32 (20)
KK tf /1
1
1 +
−+= eq 7 32 (20)ra /1+
Fig 7‐20: Diagrama de sensibilidade a entalhe para aços e ligas de alumínio forjado UNS A92024‐T submetidas 
a flexão inversa ou a cargas axiais inversas Para entalhes de raio maiores use os valores de q
23
a flexão inversa ou a cargas axiais inversas. Para entalhes de raio maiores, use os valores de q 
correspondentes à ordenada r = 0,16 in (4mm).
Fig 7‐21: Curvas de sensibilidade a entalhe para materiais em torção inversa. Para raios de entalhe maiores, 
utilize os valores de q correspondentes a r = 0 16 in (4mm)
24
utilize os valores de qcis correspondentes a r = 0,16 in (4mm).
Em que √a é definida como a constante de Neuber (material). Igualando as eq 7‐30 e
32 tem‐se:32, tem se:
7‐33 (21)
r
a
q
+
=
1
1
Para o aço, com Sut em kpsi:
7‐34 (22)
r
37242 )10(266978,0)10(150874,0)10(307794,0245799,0 ututut SSSa
−−− −+−= ( )
De modo a usar a eq 7‐32 ou 33 para torção de aços de baixa liga, aumente a
resistência última de 20 kpsi na eq 7‐34 e aplique esse valor de √a.
)(,)(,)(,, ututut
A equação de Neuber modificada, na qual leva‐se em conta o fator de concentração
de tensão de fadiga Kf fornecido por
K
K t eq 7‐35 (23)
S d T b 7 8 ê l d √ f i
r
a
K
K
K
t
t
t
f )1(2
1
−+
=
Sendo que a Tab 7‐8 prevê valores de √a para aços com furos transversais, mangas e
reentrâncias.
25
4. Caracterização de Tensões Flutuantes
Tensões flutuantes observadas em equipamentos rotativos tomam forma senoidal.
Podendo criar outros formatos.
Sabe‐se que em tensões periódicas, o que importa são os picos (alto e baixo) e não a
forma de onda.
Logo, Fmax e Fmin em um ciclo de força podem ser usados para caracterizar o padrão de
força, então define‐se a componente alternante emédia, respectivamente:
FF + FF
e
A figura 7‐23 mostra algumas relações de tempo‐tensão.
2
minmax FFFm
+=
2
minmax FFFa
−=
26
27
Fig 7‐23: (a) tensão flutuante com ondulação de alta frequencia; (b e c) tensão flutuante não‐senoidal; (d) 
tensão flutuante senoidal; (e) tensão repetida; (f) tensão senoidal completamente inversa.
As componentes de tensão são:
σmin = tensão mínima;
σmax = tensão máxima;
σa = componente de amplitude;σa componente de amplitude;
σm = componente média;
σr = variação de tensão;
σs = tensão estática ou estável;s
A tensão estável (estática), não é igual a tensão média podendo ter valor entre σmin e
σmax e existe devido a uma carga fixa ou pré‐carga aplicada a peça. Ex: mola helicoidal.
Assim,
minmax σσ + minmax σσ − (7‐39)
Temos a razão de tensão:
2
minmaxσ =m
2
minmax σσσ =a
max
min
σ
σ=R
m
aA σ
σ=
28
Na ausência de entalhe, σa e σm são iguais as tensões nominais σao e σmo induzidas
pelas cargas F e Fpelas cargas Fa e Fm.
Na presença de um entalhe utiliza‐se Kfσao e Kfσmo contanto que o material permaneça
sem deformação plástica. Assim o fator de concentração de tensão de fadiga Kf ésem deformação plástica. Assim o fator de concentração de tensão de fadiga Kf é
aplicado em ambas as componentes.
Problema: quando a componente estável de tensão é grande o suficiente paraq p g p
provocar escoamento localizado do entalhe. (deformação plástica).
O engenheiro prudente controla o conceito, o material, condição de uso e geometria
para que nenhuma deformação plástica ocorra.
Método da tensão média nominal e da tensão residual.
Neste caso estabelece que σa = Kfσao e σm = Kfσmo , dando resultados aproximados.
O método de Dowling para material dúctil, o qual, para materiais com um ponto de
escoamento pronunciado e comportamento aproximado pelo método elástico‐
f i lá i f d ã d ã K d dperfeitamente plástico, o fator de concentração de tensão Kfm da componente de
tensão estável é
ffm KK = yof SK <max,σ 0=K SK 2>σσ
29
yf ,
mo
aofy
fm
KS
K σ
σ−=
yof SK >max,σ
0=fmK yoof SK 2min,max, >−σσ
Para materiais dúcteis em fadiga:
• Evite a deformação plástica localizada em um entalhe. Estabeleça σa = Kfσao e σm =
Kfσmo .
• Quando a deformação plástica em um entalhe não puder ser evitada, use as eqs 7‐Quando a deformação plástica em um entalhe não puder ser evitada, use as eqs 7
42; ou estabeleça σa = Kfσao e utilize Kmf =1, isto é, σa = Kfσao e σm = σmo.
30
CRITÉRIOS DE FALHA POR FADIGA SOB TENSÃO FLUTUANTE
Depois de definidas as várias componentes de tensão em uma peça sujeita a tensãoDepois de definidas as várias componentes de tensão em uma peça sujeita a tensão
flutuante, vamos variar a tensão média como a amplitude de tensão.
Métodos de representação gráfica serão abordados.
Abaixo observa‐se o diagrama de Goodman modificadoAbaixo observa‐se o diagrama de Goodman modificado.
Fig 7‐24: Diagrama modificado de Goodman
Fig 7‐25: Gráfico das falhas de fadiga por tensões médias em 
ambas as regiões, de tração e compressão.
Sm – Resistência média Su – Resistência última
S Resistência alternante S Limite de resistência
31
mostrando todas as resistências e os valores‐limite 
de todas as componentes de tensão para uma 
tensão média particular.
Sa – Resistência alternante Se – Limite de resistência
O diagrama abaixo, mostra as quatros componentes de tensão e as duas razões de tensão.
A curva que representa o limite de resistência para valores de R, em R=‐1 até R=1, começa
em S no eixo σ e termina em S no eixo σ Curvas de vida constante para N 105em Se no eixo σa , e termina em Sut , no eixo σm. Curvas de vida constante para N=105
ciclos e N=104 ciclos pode ser observada. Qualquer estado de tensão, em A, pode ser
descrito pelas componentes mínima e máxima, ou pelas componentes média e
alternantealternante.
A: 
σmin = 20 kpsi
σmax = 120 kpsi
σm = 70 kpsi
σa = 50 kpsi
32Fig 7‐26: Diagrama mestre de fadiga criado para o aço AISI 4340, com Sut =158 kpsi e Sy = 147 kpsi. 
O diagrama abaixo, é o diagrama de fadiga que mostra os vários critérios de falha. Para
cada critério, pontos na, ou “acima” da, respectiva linha indicam falha.
Um ponto A na linha de Goodman provê a resistência S como o valor limite de σUm ponto A na linha de Goodman, provê a resistência Sm como o valor limite de σm
correspondente a resistência Sa que, emparelhada com σm é o valor limite de σa .
Cinco critérios de falha são marcados: Soderberg Goodman modificado Gerber elípticoCinco critérios de falha são marcados: Soderberg, Goodman modificado, Gerber, elíptico
da ASME e do escoamento.
33
Considerando a linha de Goodman modificado, o ponto A é o limite, com Sa e Sm . A
inclinação da linha de carga é definida: mama SSr σσ // ==
A equação de critério para a linha de Soderberg é:
(7‐43) (7‐48)1=+ ma SS ma 1σσ(7‐43) (7‐48)
Goodman modificado é:
1=+
yte SS nSS yt
m
e
a =+
(7‐44) (7‐49)
O critério de falha de Gerber é:
1=+
ut
m
e
a
S
S
S
S
nSS ut
m
e
a 1=+ σσ
(7‐45) (7‐50)1
2
=


+
ut
m
e
a
S
S
S
S
1
2
=


+
ut
m
e
a
S
n
S
n σσ
O critério elíptico da ASME é:
(7‐46) (7‐51)1
22
=



+



 ma
S
S
S
S 1
22
=



+


 ma
S
n
S
n σσ
O critério de escoamento de Langer e:
 ye SS
1ma
SS
 ye SS
34
(7‐47)1=+
yt
m
yt
a
SS
Tab 7‐9:Amplitude e coordenadas estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para 
critérios de falha de Goodman e Langer
Equações de intersecção Coordenadas da interseção
1=+ ma
S
S
S
S
S eut
uta
a SrS
SrS
S +=
Linha de carga 
ute SS
m
a
S
S
r =
eut
r
S
S am =
SS rSS y=
Linha de carga 
1=+
y
m
y
a
S
S
S
S
m
a
S
S
r =
r
Sa +=1
r
S
S ym += 1
1=+
ut
m
e
a
S
S
S
S
SS
eut
utey
m SS
SSS
S −
−= )(
Fator de segurança de fadiga
1=+
y
m
y
a
S
S
S
S
mya SSS −= macrit SSr /=
Fator de segurança de fadiga
ut
m
e
a
f
SS
n σσ +
= 1
35
Tab 7‐10:Amplitude e coordenadas estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para 
critérios de falha de Gerber e Langer
Equações de intersecção Coordenadas da interseção
1
2
=



+ ma
S
S
S
S
S 






++−=
222 2
11
2
eut
a S
S
S
Sr
S
Linha de carga 
 ute SS
m
a
S
S
r =  
2 utea rSS
r
S
S am =
Linha de carga 
1=+
y
m
y
a
S
S
S
S
a
S
Sr =
r
rS
S ya += 1
S
S ym =mS rm +1
1
2
=



+ ma
S
S
S
S








 −



+−= yeutm S
S
S
S
S
S
S 1
2
11
2
22
mya SSS −= macrit SSr /=
 ute SS
1=+
y
m
y
a
S
S
S
S
 
 eute SSS2
Fator de segurança de fadiga








++−



=
22
2
11
2
1 emaut
f S
S
S
Sn σ
σσ
σ 0>mσ
3636
 2 autem SS σσ
Tab 7‐11:Amplitude e coordenadas estáveis de resistência e intersecções importantes no primeiro quadrante para 
critérios de falha de Langer e ASME elíptico.
Equações de intersecção Coordenadas da interseção
1
22
=



+



 ma
S
S
S
S
222
222
ye
a
SSr
S =
Linha de carga 
 ye SS
m
a
S
Sr =
222
ye
a SrS +
r
SS am =
i h d
1=+
y
m
y
a
S
S
S
S
S
r
rS
S ya += 1
SLinha de carga 
m
a
S
Sr =
r
S
S ym += 1
0S
22  SS
22 ey SS
SSS −= SSr /=1=+
ma
S
S
S
S
,0=aS1=


+



y
m
e
a
S
S
S
S
22
2
ye
ey
SS
SS
+
Fator de segurança de fadiga
aym SSS = macrit SSr /=
1n =
yy SS
373737
22 )/()/( ymea
f SS
n σσ +=
Ex: 7‐11 Uma barra de d = 1,5 in usinada a partir de uma barra AISI 1050 repuxada a frio. A peça
deve suportar carga de tração flutuante variando de 0 a 16 kip. Por causa das extremidades e do raio
de arredondamento o fator de concentração de fadiga Kf é de 1 85 para vida de 106 ciclos ou maisde arredondamento, o fator de concentração de fadiga Kf é de 1,85 para vida de 10 ciclos ou mais.
Encontre Sa e Sm , o fator de segurança contra fadiga e escoamento de primeiro ciclo usando:
a) Linha de fadiga de Gerber;
b) Linha de fadiga elíptica da ASME;
ÃSOLUÇÃO
A partir da Tab A‐20, com aço AISI 1050 repuxado a frio, tem‐se: Sut =100 kpsi e Sy = 84 kpsi.
Como a tração é flutuante entre 0 e 16 kip:
FF 016i ++ FF 016i −−
Os fatores de Marin são:
usinado Tab 7‐4.
kip
FF
Fm 82
016
2
minmax =+=+= kipFFFa 82
016
2
minmax ===
797,0)100(70,2 265,0 == −ak
1k carga axial
carga axial eq 7‐25
e Limite de resistência a fadiga.
1=bk
85,0=ck
1=== fed kkk
kpsiS e 40,50)100(504,0' == kpsiSe 14,34)40,50)(1)(85,0)(1(797,0 ==
As componentes nominais da tensão normal σa0 e σm0 são:
0220 53,4)5,1(
)8(44
m
a
a kpsid
F σππσ ====
Assim,
Sabendo que:
é li h d
mafa kpsiK σσσ ==== 38,8)53,4(85,10
1388/388/
38
que é a linha de carga138,8/38,8/ === mar σσ
Ex: continuação...
a) Linha de Gerber, usando o 1º painel da Tab. 7‐10
222222    kpsi
rS
S
S
Sr
S
ut
e
e
ut
a 90,30)100(1
)14,34(211
)14,34(2
1001211
2
222222
=






++−=






++−=
kpsirSS am 90,30/ ==
A partir da Tab 7‐10, para linha de Langer
(escoamento)
kpsi
r
rS
S ya 422
)84(1
1
==+=
Obs: quando as tensões aumentam, o ponto A se
desloca de encontro a primeira curva que a linha de
kpsirSS
r
am 42/
21
==
+
p q
Gerber.
69,3
38,8
90,30
0
0 )( ====
a
Gerbera
f
S
A
Bn σ
Ou pela Tab 7‐10, o fator de segurança contra fadiga
pode ser também.
68,3
2
11
2
1
22
=






++−


=
aut
em
e
a
m
ut
f S
S
S
Sn σ
σσ
σ
O fator de segurança contra escoamento é
39
O fator de segurança contra escoamento é
NÃO HÁ ESCOAMENTO NO LOCAL01,5
38,8
42
0
0 )( ====
a
Langera
y
S
A
Cn σ
Ex: continuação...
O ponto D indica a mudança de falha por fadiga para escoamento.
A partir da Tab 7‐10, do terceiro painel.
kpsi
S
S
S
S
S
SS yeutm 8,631
2
11
2
22
=







 −



+−=
kpsiSSS
SSS
mya
eute
2,208,6384
2
=−=−=
 

317,08,63/2,20/ === macrit SSr
Obs: Se r=1 e rcrit < r, existe uma ameaça de fadiga
em primeiro lugar.
b) Linha de Fadiga da ASME
Tab 7‐11, painel 1, com r=1
40
Ex: continuação...
b) Linha de Fadiga da ASME
Tab 7‐11, painel 1, com r=1, obtém as coordenadas
Sa e Sm do ponto B.
SSr 8414341 222222
kpsirSS
kpsi
SrS
SSr
S
am
ye
ye
a
6,31/
6,31
84)1(14,34
8414,341
222
222
222
==
=+=+=
A partir do painel 3 da Tab 7‐11 o ponto D de
inersecção entre a linha de Langer (escoamento) e
ASME é:
kpsi
SS
S ey 8123
2 2 ==
kpsiSSS
kpsi
SS
S
aym
ye
a
2,608,2384
81,2322
=−=−=
=+=
O raio critico
Novamente rcrit < r, então a ameaça é de fadiga.
f
395,02,60/8,23/ === macrit SSr
O fator de segurança pode ser calculado como:
77,338,8/6,31/ === aaf Sn σ
015388/42
)( === yaSn
41
77,3
)/()/(
1
22 =+= ymeaf SS
n σσ
01,538,8/42 ===
a
yn σ