Equações Paramétricas

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Equações paramétricas
Unifesp - Diadema
(Notas de aula baseadas no livro e nos materiais de referência!)
Curvas definidas por equações paramétricas;
Cálculo com curvas parametrizadas;
Curvas Definidas por Equações Paramétricas
Imagine que uma partícula se mova ao longo de uma curva C .
Não é possível descrever C com uma equação do tipo y = f (x).
Pois C não passa no Teste da Reta Vertical!
Já as coordenadas x e y são funções do tempo:
x = f (t) e y = g(t).
São então chamadas e equações paramétricas.
Quando t varia, o ponto (x , y) = (f (t), g(t)) varia e traça a curva
C, que chamamos curva parametrizada.
Uma partícula cuja posição é dada por essas equações paramétricas
se move ao longo da curva na direção das setas quando t aumenta.
Exemplo
A curva definida pelas equações paramétricas
x = t2 − 2t e y = t + 1
parece uma parábola. É de fato?
Isso pode ser percebido atribuindo valores para t.
Como resolver?
Nesse caso, pondo t = y − 1 da primeira equação e substituindo na
segunda, temos
x = t2 − 2t
= (y − 1)2 − 2(y − 1)
= y2 − 4y + 3
e assim a curva representada pelas equações paramétricas dadas é a
parábola
x = y2 − 4y + 3
Os pontos consecutivos marcados na curva aparecem em intervalos
de tempo iguais, mas não a distâncias iguais.
Isso ocorre porque a partícula desacelera e então acelera à medida
que t aumenta.
As curvas consideradas podem ser limitadas a intervalos. De forma
geral, a curva com equações paramétricas
x = f (t) y = g(t) a ≤ t ≤ b
tem ponto inicial (f (a), g(a)) e ponto terminal (f (b), g(b)).
Exemplo
Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas?
x = cost y = sent 0 ≤ t ≤ 2π
Observe que
x2 + y2 = cos2t + sen2t = 1
Então, o ponto (x , y) se move no círculo unitário x2 + y2 = 1.
O parâmetro t pode ser interpretado como o ângulo (em radianos).
Quando t aumenta de 0 para 2π, o ponto (x , y) = (cos t, sen t) se
move uma vez em torno do círculo, no sentido anti-horário, partindo
do ponto (1, 0).
Exemplo
Como encontrar as equações paramétricas da equação x = y4−3y2?
Se fizermos o parâmetro ser t = y , então teremos as equações
x = t4 − 3t2 e y = t
Exemplo
E da equação y = sen(x2y)?
Se fizermos o parâmetro ser t = y , não conseguimos escrever x em
termos de t. Então nem sempre é possível!
É muito importante usar ferramentas gráficas!!
A cicloide
A curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo quando ele
rola ao longo de uma reta é chamada cicloide.
Sejam (x , y) as coordenadas de P . Então, notando que |OT | =
arc PT = rθ, temos
x = |OT | − |PQ| = rθ − rsenθ = r(θ − senθ)
y = |TC | − |QC | = r − rcosθ = r(1 − cosθ)
Portanto, as equações paramétri-
cas da cicloide são
x = r(θ − senθ)
e
y = r(1 − cosθ),
onde θ ∈ R.