Tema 2 - Noções Sobre Corrente Alternada Senoidal

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Noções sobre corrente alternada
senoidal
Você vai entender a análise de circuitos em corrente alternada (CA) em regime permanente senoidal, as
técnicas de análise de circuitos CA, os circuitos CA trifásicos e a potência CA.
Profa. Isabela Oliveira Guimarães
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender as relações entre tensão e corrente em regime de CA senoidal para fins de resolução de
circuitos no domínio da frequência. Apresentar o sistema trifásico e a relação de potências em CA.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e, se possível, uma calculadora
científica para facilitar seus cálculos com números complexos.
Objetivos
Formular a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal.
 
Aplicar técnicas de resolução de circuitos em CA no domínio da frequência.
 
Reconhecer sistemas trifásicos e relações de potência CA.
Introdução
Olá! Assista ao vídeo para entender o que são as correntes alternadas senoidais e quais são suas aplicações
industriais.
Conteúdo interativo
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1. Relação entre tensão e corrente em CA
Tensão e corrente
Entenda, neste vídeo, a relação entre tensão e corrente em regime permanente senoidal. Veja como essas
grandezas se comportam e influenciam os circuitos elétricos.
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As tensões senoidais disponibilizadas para uso em residências, indústrias e aplicações em geral são
originadas em geradores de CA.
 
Entender a origem dos sinais alternados senoidais é o primeiro passo para aplicar as relações entre tensões e
correntes alternadas para a solução de circuitos com fontes variáveis.
 
A imagem a seguir ilustra a forma de onda de um sinal senoidal, que se repete em intervalos definidos,
caracterizando-o como um sinal periódico.
Representação de forma de onda senoidal.
O sinal periódico senoidal pode ser modelado por uma função cosseno (equação 1). Por se tratar de um sinal
que se repete, é possível obter sua frequência, ou seja, o número de ciclos por segundo, medida em Hertz 
 ou radianos por segundo ( ).
Na equação 1, é possível ainda observar o ângulo , denominado ângulo de fase do sinal senoidal. Ele
determina o deslocamento da função no eixo de tempo (próxima imagem). Essa forma de onda senoidal pode
ser a representação de qualquer forma de onda alternada, como tensões, correntes ou potências.
1
Representação de defasagem entre senoides.
O valor da imagem representa o valor máximo da amplitude do sinal, tanto no semiciclo positivo quanto
no semiciclo negativo. Esse valor também é conhecido como valor de pico, de modo que a amplitude total,
entre os valores máximos positivo e negativo, é denominada valor de pico a pico , conforme mostrado
na equação 2:
A expressão matemática geral que representa um sinal senoidal é dada pela equação 3.
Em que é a amplitude máxima (de pico) do sinal e é o argumento do sinal, determinado pelo
produto da frequência angular com o período do ciclo desse sinal.
Exemplo 1
Considere a forma de onda de tensão senoidal mostrada na imagem a seguir. Essa tensão possui um valor de
pico de 10 V, um período de oscilação de 0,8 s (tempo necessário para completar um ciclo) e uma frequência
de 1,25 Hz (quantidade de ciclos por segundo, ou o inverso do período).
A fórmula para calcular a frequência é dada por:
Em que:
 
 é a frequência em Hertz.
 
 é o período em segundos.
 
Na sequência, veja a ilustração do exemplo:
2
3
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• 
Representação da onda senoidal de tensão variando entre +10 V e -10 V.
Exemplo 2
Sejam e duas tensões senoidais. Determine a frequência desses sinais em Hz e o ângulo de fase
entre elas.
Sejam e duas tensões senoidais. Nosso objetivo é determinar a frequência desses sinais em Hz
e o ângulo de fase entre eles.
 
As expressões das tensões são as seguintes:
Para determinar a frequência, utilizamos a relação entre a pulsação e a frequência , dada por:
Agora, vamos calcular o ângulo de fase entre os sinais.
Valor médio de um sinal senoidal
O valor médio de um sinal senoidal é simplesmente a média desse sinal ao longo de um período.
 
Tal valor pode ser entendido como a componente CC presente no sinal CA. Na sequência, veja que o valor
médio do sinal é a área sob a curva do gráfico.
Representação de definição de valor médio.
Atenção: Para um sinal senoidal simétrico ao eixo , a média será zero, pois os valores dos semiciclos
positivo e negativo se anulam no cálculo da média.
Valor eficaz (rms) de um sinal senoidal
O valor eficaz ou rms (do inglês root mean square, valor quadrado médio) refere-se à medida de um sinal CA
que dissipa a mesma potência em uma resistência alimentada por um sinal CC.
 
Para sinais senoidais, o valor rms é representado pela Equação 4:
Em que é a amplitude máxima ou de pico do sinal.
Curiosidade
As tensões indicadas por empresas de energia em instalações residenciais, por exemplo (127 V ou 220
V), já são valores rms. 
Fasores
Entenda, neste vídeo, como os fasores são construídos matematicamente e quais são suas principais
aplicações.
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As expressões que representam um sinal CA senoidal, como o descrito na equação 3, podem ser expressas de
forma mais simplificada utilizando fasores.
 
Os fasores são vetores que giram em círculo no sentido anti-horário a dada velocidade angular constante.
Para exemplificar como eles são representados, considere a equação 5, que descreve uma tensão senoidal:
Para descrever esse sinal de tensão completamente, basta conhecer seu valor máximo e seu ângulo de fase.
Assim, essa tensão pode ser representada por um número complexo na forma polar:
Número complexo
Lembrando que a representação de números complexos em temas de eletricidade é realizada com a
letra em vez da letra .
A equação 6 é definida como um fasor, representado em negrito para diferenciá-lo de outros números
complexos.
 
Uma senoide pode ser representada por um conjunto de fasores de amplitude constante. Conforme o sinal
senoidal ocorre ao longo do tempo, o fasor (vetor no ciclo trigonométrico) assume diferentes posições
angulares (ou fases).
 
Quando essa senoide completa um ciclo, o fasor realiza uma rotação completa, podendo ser denominado
vetor girante.
5
6
Representação da relação gráfica entre sinal senoidal e fasor.
Para compreender a relação entre senoides em um sistema, é essencial diferenciar as grandezas defasadas
das grandezas em fase. Veja!
Relação de tensão e corrente para fasores
Aprenda, neste vídeo, como é possível utilizar os fasores para a representação de tensão e corrente.
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Considerando que as tensões e as correntes em um circuito de corrente alternada (CA) podem ser
representadas por fasores, é necessário compreender a relação entre essas grandezas para cada elemento do
circuito. Veja!
Resistores
Indutores
Capacitores
A relação tem como base a própria Lei de Ohm, com o fator de proporcionalidade sendo uma constante ou
uma função da frequência . No caso dos resistores, temos:
Grandezas defasadas 
Quando duas ou mais senoides de mesma
frequência não atingem seus respectivos
valores máximos no mesmo instante do
tempo, dizemos que elas estão defasadas.
Grandezas em fase 
Quando duas ou mais senoides de
mesma frequência (com a mesma
amplitude ou não) atingem seus
respectivos valores máximos no mesmo
instante, dizemos que elas estão em
fase.
Representação do resistor alimentado por uma fonte senoidal.
Para expressar matematicamente essa relação, partimos da seguinte equação:
A relação pode ser descrita por expressões matemáticas que representam a tensão e a corrente no domínio
do tempo.
 
A equação 8 descreve a tensão no tempo, representada por uma função senoidal com amplitude e fase 
. Veja!
Agora, a equação 9 expressa a corrente no circuito, seguindo um comportamento semelhante, mascom uma
fase :
Considerando as equações 8 e 9 na forma polar e substituindo na equação 7, a Lei de Ohm para os resistores
será dada por:
Sendo e os fasores de tensão e corrente, respectivamente. Assim, a representação fasorial
para a relação entre tensão e corrente em resistores é:
7
8
9
10
Atenção: para os resistores, a relação fasorial no domínio da frequência é equivalente à do domínio do tempo,
o que significa que os ângulos de tensão e corrente são iguais, ou seja, estão em fase.
 
Já em relação ao indutor, é preciso primeiro relembrar a sua relação no domínio do tempo:
A representação complexa da equação 12 é expressa pela equação 13:
Consequentemente, sua forma fasorial é dada por:
No caso, o fator de proporcionalidade na Lei de Ohm aplicada ao indutor é , resultando em um atraso de 
 da corrente em relação à tensão.
 
Quanto ao capacitor, sua relação no domínio do tempo é expressa por:
Seguindo a mesma abordagem aplicada ao indutor, a equação 15 pode ser representada fasorialmente por:
A equação 16 evidencia que a corrente e a tensão continuam fora de fase. No caso do capacitor, a corrente
está adiantada 90° em relação à tensão.
 
Por fim, acompanhe, na tabela a seguir, um resumo da relação entre tensão e corrente para os três
componentes analisados: resistores, indutores e capacitores.
11
12
13
14
15
16
Elemento Domínio do tempo Domínio da frequência
Tabela: Representação da relação entre tensão e corrente nos elementos.
Isabela Oliveira Guimarães.
Teoria na prática
Considere que a equação senoidal a seguir representa tensão em um indutor. Utilizando os conceitos
aprendidos, converta essa tensão para sua representação na forma fasorial.
Chave de resposta
Considerando a representação geral de um sinal senoidal, conforme a Equação 5, tem-se:
Para obter sua representação fasorial, é necessário conhecer o valor máximo da tensão e o ângulo de
fase :
Assim, a representação fasorial do problema será:
Visto isso, acompanhe a resolução no vídeo.
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Mão na massa
Questão 1
As informações da forma de onda de tensão alternada medidas por um engenheiro foram:
Para fazer um estudo mais aprofundado do sistema, foi necessário conhecer o período dessa senoide, que
tem o valor de:
A 60 segundos
B 16,6 segundos
C 0,016 segundos
D 0,16 segundos
E 1,6 segundos
A alternativa C está correta.
O período de um sinal senoidal é dado pelo inverso de sua frequência. Para o problema proposto, a
frequência angular é . Dessa forma, o período será:
Questão 2
Para os sinais e , é correto afirmar que:
A está avançada em relação a .
B está avançada em relação a em .
C está atrasada em relação a em .
D está avançada em relação a em .
E e estão em fase.
A alternativa A está correta.
Veja a resolução no vídeo a seguir.
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Questão 3
Para os sinais senoidais e , o ângulo de fase entre eles é
dado por:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Considerando a representação complexa de um sinal senoidal na forma:
Tem-se que é denominado ângulo de fase do sinal.
Assim, o ângulo de fase entre as tensões e será dado por:
Questão 4
Dada a tensão senoidal expressa por , a equação que a representa no domínio do tempo será:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
A tensão senoidal oferecida é um número complexo na forma retangular. Utilizando relações
trigonométricas no plano imaginário, sua expressão na forma polar será:
A partir da representação fasorial, em que se conhece facilmente o valor máximo e o ângulo de fase da
tensão, é possível obter a seguinte equação no domínio do tempo:
Questão 5
O fasor que melhor representa o sinal de corrente é dado por:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
É necessário tornar a função seno positiva e convertê-la para função cosseno da seguinte forma:
Questão 6
A partir das relações trigonométricas entre seno e cosseno, o valor referente à defasagem angular das
correntes e é dado por:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
A partir das regras trigonométricas de conversão de seno e cosseno, teremos:
Logo, obtemos:
Para converter a função seno para cosseno, basta subtrair , então:
Como o ângulo de fase de e , a defasagem entre essas correntes será de .
Verificando o aprendizado
Questão 1
Em um circuito elétrico em série há duas tensões, e , dadas por e 
, respectivamente. O valor que representa a tensão equivalente desse circuito, ou seja, 
, é dado por:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Inicialmente, é interessante converter as tensões para suas formas fasoriais:
Como os sinais são somados em um circuito em série, a abordagem mais conveniente é converter os
valores para a forma retangular. Assim, somam-se separadamente as partes reais e imaginárias antes de
expressar o resultado no formato adequado às alternativas.
Portanto, a alternativa que representa a soma das tensões e é:
Questão 2
Um capacitor de é submetido a uma corrente senoidal cujo valor é . Nessa situação,
a tensão no capacitor vale:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Com base na relação entre tensão e corrente no capacitor:
Substituindo os valores fornecidos:
Assim, a tensão resultante apresenta um atraso de em relação à corrente, conforme esperado para
capacitores.
2. Análise de circuitos em CA
Reatância indutiva e capacitiva
Entenda, neste vídeo, o comportamento natural de um circuito, assim como os conceitos de reatância indutiva
e capacitiva.
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Lembramos que um resistor, atravessado por uma corrente, apresenta uma oposição à passagem dessa
corrente que chamamos de resistência.
 
O comportamento de uma resistência tanto na corrente contínua (CC) quanto na corrente alternada
(CA) é o mesmo. O resistor, quando submetido a uma corrente, dissipa calor por meio do efeito Joule.
No entanto, quando tratamos de
indutores e capacitores, há um
comportamento diferente nos regimes
de CC e CA. Um indutor em regime de
CC funciona como um curto-circuito,
mas, na CA, o indutor é carregado e
descarregado na mesma frequência da
senoide, o que gera um comportamento
de oposição à passagem da corrente
alternada. Esse efeito, semelhante ao da
resistência, é a reatância indutiva,
representado por .
 Um capacitor em regime de
CC funciona como um circuito
aberto, mas na CA o capacitor
é carregado e descarregado
na mesma frequência da
senoide, o que gera um
comportamento de oposição à
passagem da corrente
alternada. Esse efeito,
semelhante ao da resistência,
é a reatância capacitiva,
representado por 
Representação de indutores e capacitores
em uma placa eletrônica.
Impedância do circuito
Em corrente alternada (CA), a relação entre tensão e corrente nas resistências e reatâncias do circuito deve
ser representada por fasores.
 
Essa abordagem geralmente expressa os componentes do circuito como números complexos, caracterizando
a impedância de cada elemento. Para compreender essa relação, considere as expressões de tensão e
corrente no domínio da frequência para os três componentes estudados: resistor, indutor e capacitor.
As relações são a representação da Lei de Ohm na forma fasorial, de modo que é possível reescrevê-las. Veja!
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A relação é chamada de impedância do dispositivo, representada por , medida em ohms . Apesar
de ser dada pela relação entre dois fasores, a impedância não pode ser considerada um fasor, visto que não
varia como uma senoide. A impedância dos três componentes de circuito ( , e ) é dada por:
A impedância de um componente pode ser definida como sua capacidade de se opor a uma corrente senoidal,
que possui módulo e frequência.
Atenção
Para o resistor (também chamado de elemento ativo), é possível observar que a impedância é seu
próprio valor de resistência à oposição de passagem de corrente. Para os indutores e capacitores
(também chamados de elementospassivos), sua impedância será o que definimos com reatância . A
impedância também pode representar as características de partes ou de todo um circuito formado pelos
elementos , e . 
Em um circuito elétrico, a impedância pode ser expressa como a soma da parte ativa e da parte reativa,
representada por um número complexo. Observe!
Na equação 19, corresponde à parcela ativa (ou resistiva) do circuito, enquanto corresponde à parcela
reativa, também denominada reatância do circuito.
Curiosidade
A impedância é considerada indutiva quando é positiva ou capacitiva quando é negativa. Do mesmo
modo que a impedância, a reatância também é medida em ohms. 
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Com base nas relações trigonométricas dos números complexos, é possível calcular tanto o módulo quanto o
ângulo da impedância de um circuito a partir de suas componentes resistivas e reativas:
Além disso, o ângulo de fase associado à impedância é dado por:
Graficamente, essas relações são representadas da seguinte forma:
 Representação gráfica da impedância.
Exemplo 1
Em um circuito elétrico alimentado com corrente senoidal, os componentes são desconhecidos, e foram
medidas as seguintes grandezas fasoriais: e . Portanto, a impedância desse
circuito será dada por:
Considerando isso, a impedância desse circuito é obtida pela relação entre a tensão e a corrente:
A partir da equação 20, é possível expressar a impedância na forma retangular, separando suas componentes
resistivas e reativas:
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O circuito descrito possui uma resistência de e uma reatância indutiva de .
Admitância do circuito
Em muitas situações de análise, é recomendável resolver circuitos utilizando a grandeza inversa da
impedância , denominada admitância . Essa grandeza é análoga à condutância em circuitos de
corrente contínua (CC) e sua unidade de medida é o siemens (ou mho):
A admitância pode ser expressa na forma retangular, semelhante à impedância:
Em que:
 
 
 
A relação entre admitância e impedância pode ser determinada pela seguinte equação:
Atenção: O fato de inverter separadamente a resistência ou a reatância de um circuito não
fornece a condutância e a susceptância correspondentes. Por se tratar de grandezas
complexas, o cálculo leva em conta as relações trigonométricas. Veja!
Leis de Kirchhoff para análise de circuitos CA
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Confira, neste vídeo, como as leis de Kirchhoff são fundamentais para a análise de circuitos, permitindo
determinar tensões e correntes. Além disso, veja como aplicá-las em circuitos de corrente alternada.
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Da mesma forma que na análise de circuitos CC, as leis de Kirchhoff das tensões (LKT) e das correntes (LKC)
são igualmente válidas para a análise de circuitos CA no domínio da frequência, pelos fasores.
 
Para a LKT, o somatório das tensões em uma malha de circuito é zero. Assim, na forma fasorial, temos a
seguinte expressão:
Em que:
Para a LKC, é válida relação semelhante. O somatório das correntes em um nó de circuito é zero, de modo
que, na forma fasorial, temos:
A partir disso, temos:
Em um circuito com impedâncias associadas em série e alimentadas por uma fonte senoidal, conforme as
Leis de Kirchhoff, fluirá uma única corrente fasorial através de todos os elementos. Assim, a tensão em cada
impedância será dada por:
A seguir, confira o circuito com impedâncias em série.
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Representação de \(N\) impedâncias em série.
A partir da lei de Kirchhoff das tensões (LKT), podemos expressar a tensão total como a soma das tensões em
cada impedância, resultando em:
Sendo a impedância equivalente, dada pelo somatório das impedâncias conectadas em série no circuito:
Observe que o cálculo da impedância equivalente é semelhante ao cálculo de resistência equivalente em
circuitos CC. Da mesma forma, o inverso complexo da impedância é a admitância, , que é
particularmente útil em circuitos com componentes conectados em paralelo. 
Para entender melhor o conceito de impedâncias em paralelo, observe a imagem a seguir.
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Repreesentação de \(N\) impedancias em paralelo.
A impedância equivalente, nesse caso, é representada por:
A admitância equivalente, por sua vez, é expressa da seguinte forma:
Exemplo
Considerando o circuito de duas impedâncias ligadas em série e alimentadas por uma fonte senoidal, as
tensões e podem ser expressas como:
A partir disso, as expressões para as tensões e , em termos da tensão total , são:
Essas expressões representam a conhecida relação de divisor de tensão. Para ilustrar melhor, considere o
circuito a seguir.
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Representação do divisor de tensão.
Note, a partir disso, que essa é a mesma relação de divisor de tensão já conhecida para circuitos CC. A
relação de divisor de corrente também é válida em circuitos com impedâncias ligadas em paralelo.
Análise nodal
Aprenda, neste vídeo, a analisar os circuitos com a análise nodal, a análise de malhas e o teorema de redes.
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As relações entre tensão e corrente são igualmente válidas em circuitos alimentados com fontes alternadas,
de modo que as Leis de Kirchhoff das tensões e correntes podem ser aplicadas na análise de circuitos. O
método de análise nodal para circuitos com fasores é demonstrado no exemplo a seguir, utilizando a LKC.
Exemplo
Determine e no circuito a seguir utilizando a análise nodal.
Crie uma legenda
Para encontrar as tensões e , é necessário aplicar a lei de Kirchhoff das correntes (LKC) nos nós 1 e 2.
Veja!
 
No nó 1, a equação é representada por:
Enquanto no nó 2, a equação correspondente é:
As equações dos nós 1 e 2 podem ser representadas de forma matricial como:
Após resolvermos o sistema linear, os valores de e são:
Análise de malhas
Com base na LKT é possível formular o método de análise de malhas para a solução de circuitos com fasores.
Acompanhe o exemplo a seguir!
Exemplo
Utilizando análise de malhas, determine as correntes e no circuito.
Para isso, aplicamos a lei de Kirchhoff das tensões (LKT) a cada malha. Veja!
Malha 1
Malha 2
Agora, veja essas equações na forma matricial:
Resolvendo o sistema linear, as correntes e são:
Teoremas de rede
Exceto pela característica variante no tempo das tensões e das correntes senoidais, os teoremas utilizados
para a análise CC são igualmente válidos para circuitos fasoriais lineares.
1
Teorema da superposição
É utilizado para circuitos elétricos. Afirma que a corrente elétrica total em qualquer ramo de um
circuito bilateral linear é igual à soma algébrica das correntes produzidas por cada fonte atuando
separadamente no circuito.
2
Teorema da transformação
Permite converter fontes de tensão com resistência interna em fontes de corrente.
3
Teorema de Thévenin
Estabelece que qualquer circuito linear visto de um ponto pode ser representado por uma fonte de
tensão em série com uma impedância.
4 Teorema de Norton
Afirma que quaisquer fontes de tensão, fonte de corrente e resistor, com dois terminais, é
eletricamente equivalente a uma fonte de corrente ideal, , em paralelo com um único resistor, .
Em circuitos com fontes múltiplas operando com frequências diferentes, a resposta final deve ser dada pela
soma das contribuições dessas fontes no domínio do tempo, visto que não devemos somar fasores com
frequências distintas.
Teoria na prática
Determine o circuito equivalente de Thévenin para os pontos e .
Representação do circuito de Thévenin.
Chave de resposta
Para determinar a impedância equivalente de Thévenin, é necessário desativar as fontes do circuito. Nesse
caso, as fontes de corrente são substituídas por circuitos abertos. Assim, a impedância equivalente é dada
por:
A tensão é obtida como:
Agora, aplicando a lei de Kirchhoff das tensões (LKT) na malha que contém os pontos e , obtemos a
tensão equivalente de Thévenin:
Resolução
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Mão na massa
Questão 1
A impedância equivalentedo circuito a seguir é representada por:
Representação do circuito utilizado para o cálculo da impedância equivalente.
A 40+j 20
B 30+j 10
C 40-j 10
D 40-j 20
E 30-j 10
A alternativa A está correta.
A impedância equivalente da série é dada pela soma das impedâncias dos elementos:
Questão 2
Considerando o circuito a seguir, o valor de sua admitância equivalente é dado por:
Representação do circuito de admitância equivalente.
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Assista à resolução no vídeo a seguir.
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Questão 3
$\begin{gathered}Z_{e q}=-j 10+40+j 30 \\\\ Z_{e q}=40+j 20 \Omega\end{gathered}$
Neste circuito, uma fonte de tensão alternada de . O valor da corrente que circula pelos elementos é
de aproximadamente:
Representação do circuito alimentado por uma fonte de tensão alternada.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
A impedância equivalente do circuito será:
Aplicando a lei de Ohm, a corrente no circuito será, na forma fasorial:
Questão 4
A partir da análise nodal, o valor da tensão no circuito da imagem a seguir é:
Circuito utilizado para a determinação da tensão \(V_0\).
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Aplicando a análise nodal a partir de , obtemos:
Reescrevendo a equação:
Resolvendo para :
Questão 5 
Para o circuito da imagem a seguir, o valor da impedância equivalente de Thévenin entre os terminais e é
dado por:
Representação do circuito da impedância equivalente de Thévenin entre os
terminais \(a\) e \(b\).
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Inicialmente, é necessário calcular a reatância do capacitor e do indutor. Conforme a tensão da fonte, a
frequência é:
Para o capacitor:
Para o indutor:
Para determinar a impedância equivalente de Thévenin, é necessário desativar as fontes do circuito e
calcular o equivalente visto a partir dos pontos e . A fonte de tensão é substituída por um curto-
circuito:
Questão 6
Neste circuito, o fasor que melhor representa a corrente que circula no resistor de é dado por:
Representação do circuito com a corrente que circula pelo resistor de \(1 \Omega\).
A
B
C
D 
E
A alternativa C está correta.
Inicialmente, deve-se calcular a impedância de entrada, ou a impedância equivalente vista pela fonte. Veja!
Para o indutor:
Para o capacitor:
A impedância equivalente é dada por:
A corrente no resistor será:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Utilizando a análise nodal, a corrente que circula pelo capacitor do circuito a seguir é dada por:
Representação do circuito utilizado na análise nodal para determinar a corrente que
circula pelo capacitor.
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
A impedância equivalente vista pelos terminais da fonte é dada por:
A corrente que sai da fonte será:
Utilizando o divisor de corrente, a corrente que circula pelo capacitor será:
Questão 2
A partir da análise de malhas do circuito a seguir, a corrente que circula pelo capacitor é representada por:
Representação do circuito da corrente que circula pelo capacitor.
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
A frequência da fonte é de . Com base nessa frequência, calculam-se as reatâncias do indutor e do
capacitor. Veja!
Para o indutor:
Para o capacitor:
Aplicando a LKT na malha 1:
Aplicando a KKT na malha 2:
A partir da representação matricial das equações para as duas malhas e a solução do sistema linear, temos:
3. Sistemas trifásicos e potência em CA
Potências
Conheça, neste vídeo, o conceito de potência elétrica e suas equações.
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Em função das limitações dos componentes em eletricidade, a potência é uma das mais importantes
grandezas a se conhecer para o funcionamento correto de um circuito. Veja!
A partir das relações entre tensão e corrente em regime senoidal, é possível definir os principais conceitos
relacionados à potência em corrente alternada (CA), como potência:
 
Instantânea
 
Média
 
Eficaz
 
Complexa
 
Na sequência, vamos entender melhor cada uma delas!
Potência instantânea 
A potência instantânea de um circuito é o produto da tensão instantânea com a corrente
instantânea , sendo medida em watts :
Como a potência instantânea varia ao longo do tempo, torna-se difícil medi-la diretamente, especialmente
devido à frequência do sinal alternado, que, normalmente, é de 60 .
 
Uma forma mais comum de medir a potência em circuitos com corrente alternada é pela potência média ,
que corresponde à média da potência instantânea ao longo de um período do sinal alternado.
Matematicamente, a potência média é dada por:
Potência elétrica 
Está diretamente relacionada à capacidade
de transferência de energia entre as partes
de um circuito.
Potência nominal 
É o valor máximo admissível para um
componente de circuito sem causar
danos.
• 
• 
• 
• 
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 e são os valores máximos da tensão e da corrente, e e são os ângulos dos fasores de
tensão e corrente. Em circuitos puramente resistivos, , o que resulta em uma potência máxima, pois a
equação simplifica para uma potência nula em situações em que as fases da tensão e corrente estão
desalinhadas.
Atenção
Em circuitos reativos (indutivos ou capacitivos), , ou seja, a potência média é zero para circuitos
puramente reativos. 
Potência eficaz
Refere-se à quantidade de potência entregue por uma fonte alternada que depende de sua forma de
onda.
 
Assim, é preciso utilizar um método capaz de comparar essa potência fornecida por diferentes fontes, o que é
possível medindo os valores eficazes dessa fonte, ou rms (do inglês root mean square, valor quadrado médio).
 
O valor eficaz de uma CA (periódica) é a medida de corrente contínua (CC) que libera a mesma potência
média da CA em uma carga resistiva. Essa equivalência é representada a seguir:
Tensão e corrente eficazes (ou rms), portanto, podem ser descritas como:
Para o caso específico de sinais senoidais, que representam a forma de onda de tensão e corrente da rede
elétrica, o valor eficaz da corrente será:
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36
37
38
A potência média de um sinal senoidal pode ser reescrita a partir dos valores eficazes da tensão e da
corrente:
Os valores de tensão fornecidos pelas empresas de energia para alimentação dos consumidores já são
representados por seus valores eficazes.
 
A potência aparente é o produto de tensão e corrente eficazes de uma fonte.
 
 termo é o fator de potência .
 
A é medida em volt-ampère (VA) para diferenciá-la da potência média, medida em Watts ( ).
 
A razão entre a potência média e a potência aparente em uma carga é o próprio , que é adimensional:
O também pode ser definido como o ângulo da carga (ou ângulo da impedância), que é o ângulo formado
pelos fasores de tensão e corrente, conforme descrito a seguir:
O é uma grandeza que relaciona a potência média com a potência aparente entregue a uma carga, de
modo que seu valor varia entre zero e um.
Veja como se dá o nos seguintes tipos de cargas.
1
Carga puramente resistiva
A diferença entre os ângulos da tensão e da corrente é zero, tornando - igual a 1 (unitário).
2
Carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva)
O é zero, pois , o que significa uma potência média nula.
39
• 
• 
• 
40
41
3 Carga reativa
 pode estar adiantado (quando o ângulo da corrente está à frente do ângulo da tensão) ou
atrasado (quando o ângulo da tensão está à frente do ângulo da corrente).
Exemplo
Uma carga drena de uma fonte senoidal uma corrente . Essa fonte tem uma tensão 
. Para essa carga, a potência aparente e seu fator de potência são dados por:
Esse está adiantado, pois o ângulo da corrente é adiantado em relação ao ângulo da tensão.
Potência complexa
É o termo dado à contribuição de toda a potência aparente (parte real e imaginária) nas cargas de um circuito.
 
Para uma carga alimentada por uma tensão e corrente senoidais, a potência complexa é dada pelo produto
dos fasores de tensão e conjugado da corrente:Em termos de valores eficazes, teremos:
O módulo da potência complexa é a potência aparente, de maneira que sua unidade também é o volt-
ampère(VA) Da mesma forma, seu ângulo corresponde ao fator de potência da carga.
 
Essa potência pode ser escrita em função de sua parte real e imaginária. A parte real corresponde à
potência ativa (ou potência real) absorvida pela carga e medida em watts , enquanto a parte imaginária 
 corresponde à potência reativa trocada entre fonte e carga, medida em volt-ampère reativo (Var).
42
43
44
Em que:
 
 para cargas resistivas ( unitário).
 
 para cargas capacitivas ( adiantado).
 
 para cargas indutivas ( atrasado).
 
Normalmente, a relação de potências complexa, ativa e reativa é representada a partir de um triângulo de
potências.
Do triângulo de potências é possível extrair informações a respeito da potência aparente, da potência ativa, da
potência reativa e do fator de potência, utilizando relações trigonométricas do triângulo retângulo.
Representação do triângulo de potências.
Exemplo
Uma carga absorve uma potência de 1.000 VA , com fator de potência 0,6 adiantado. A partir da definição de
triângulo de potências, as potências ativa e reativa são dadas por:
A partir do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo de potências, é possivel determinar a potência reativa, 
:
• 
• 
• 
Correção do fator de potência
Aprenda, neste vídeo, a realizar o cálculo de correção do fator de potência.
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O fator de potência é um indicativo do percentual de energia consumida pela carga efetivamente utilizada
para produzir trabalho, ou seja, relaciona a potência ativa real da carga com a potência aparente.
Muitas cargas do sistema têm
características indutivas ou
capacitivas, como é o caso de
eletrodomésticos com motores,
lâmpadas eletrônicas e até mesmo
cargas industriais, como os fornos
de indução. Essas cargas fazem
com que o fator de potência da
instalação caia para valores fora dos
recomendados pelas
concessionárias de energia. Para
mitigar esse problema, é feita a
correção de fator de potência.
Essa correção consiste em instalar
equipamentos capazes de
compensar o excesso ou a falta de
reativos na carga para reduzir o
ângulo entre os fasores de tensão
e corrente. Por exemplo, em uma
carga com características
indutivas de baixo fator de
potência, é possível fazer uma
correção instalando capacitores
em paralelo com a carga, de modo
a reduzir a potência reativa
consumida.
Profissional verificando o sistema elétrico.
Representação do triângulo de potência para a correção de fator de potência.
É importante observar que, após a correção, a potência ativa drenada pela carga permanece inalterada,
enquanto o módulo da potência aparente é reduzido. Assim, a corrente drenada da rede será menor, o que
permite dizer que a correção de fator de potência permite reduzir até mesmo o carregamento dos circuitos de
alimentação.
Sistemas trifásicos
Conheça, neste vídeo, os sistemas trifásicos e seus circuitos. Entenda a importância de sua aplicação para a
indústria e para a distribuição de energia para consumo residencial.
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A geração de energia em sistemas elétricos de potência é feita em sistemas com mais de uma fase (ou
polifásicos), mais comumente a partir do sistema trifásico.
Curiosidade
Diversos são os benefícios da geração de energia em corrente alternada (CA) trifásica. Eles podem ser
tanto econômicos quanto operacionais. Esse sistema permite a conexão de cargas de maior potência por
meio das linhas de transmissão, tornando a distribuição mais eficiente. Além disso, a energia é
transportada em tensões elevadas para minimizar as perdas ôhmicas, reduzindo os custos operacionais
para as empresas do setor elétrico. 
Uma fonte trifásica é obtida a partir de geradores CA, cujos enrolamentos responsáveis pela indução da
corrente nos terminais de saída são defasados em em torno do eixo da máquina. Essa defasagem
produz tensões iguais e defasadas de elétricos umas das outras. Na sequência, veja as senoides
geradas em um sistema trifásico.
Representação de senoides em um sistema trifásico.
As tensões e referem-se às tensões nas fases e disponíveis nos terminais de um
gerador CA trifásico.
Um sistema trifásico é equivalente a três sistemas monofásicos e pode ser representado por uma ligação em
estrela ou em triângulo. Confira!
Representação de fontes de tensão trifásicas: (a) em estrela.
Representação de fontes de tensão trifásicas: (b) em triângulo.
Em circuitos trifásicos equilibrados, cuja corrente e tensão são iguais nas três fases, são válidas as seguintes
expressões:
Fonte ligada em triângulo 
É representada por:
Fonte ligada em estrela 
É representada por:
A soma fasorial das tensões em uma ligação em triângulo equilibrado é zero, enquanto a soma fasorial das
correntes em uma ligação em estrela também resulta em zero.
 
Acompanhe a seguir os diagramas fasoriais que ilustram essa relação.
Representação da sequência de fases: positiva: abc; negativa: acb.
Tomando a tensão como exemplo, os fasores podem ser expressos de duas formas. Veja!
Primeiro
Se os fasores giram no sentido anti-horário, a
fonte está em sequência positiva, ou seja, 
 é adiantada em relação a , que por
sua vez é adiantada em relação a .
Segundo
Se os fasores giram no sentido horário, a fonte
está em sequência negativa.
A seguir, veja a representação dos fasores de sequência positiva e negativa para as tensões trifásicas.
Sequência positiva Sequência negativa
Tabela: Representação das relações de tensão em sistemas trifásicos equilibrados.
Isabela Oliveira Guimarães.
Circuitos trifásicos equilibrados
Normalmente, circuitos trifásicos equilibrados (com fonte e carga balanceadas) podem ser resolvidos a partir
de seu circuito monofásico equivalente. No entanto, apenas os circuitos em permitem essa abordagem
diretamente. Assim, quando a fonte ou a carga está conectada em triângulo, é necessário convertê-la para
sua equivalente em estrela, conforme a equação a seguir, que expressa a impedância da carga trifásica.
A partir da relação entre os fasores, as correntes e tensões nos circuitos equilibrados para as ligações em
triângulo e estrela são expressas da seguinte forma:
45
Circuito em Circuito em 
Em que:
 
 e representam a corrente e a tensão de linha (entre fases).
 
 e representam a corrente e a tensão de fase (em relação ao neutro).
Potência trifásica
Em cargas trifásicas equilibradas, sejam elas ligadas em triângulo, sejam em estrela, as correntes que circulam
pelas linhas de alimentação são iguais. Assim, a potência trifásica corresponde à soma das potências das três
fases. Para uma carga ligada em estrela, temos:
Conforme a tabela:
Com isso, a potência complexa na carga pode ser expressa em termos da tensão e da corrente de linha da
seguinte forma:
Já a potência ativa é dada por:
Enquanto isso, a potência reativa é calculada por:
• 
• 
46
47
48
Como as relações entre tensão e corrente de linha e fase apresentadas na tabela são válidas para cargas
equilibradas em qualquer configuração, essas equações também se aplicam a cargas conectadas em
triângulo.
Teoria na prática
Uma carga drena uma potência ativa de 5 quando conectada a uma fonte de tensão de 120 volts. O fator
de potência para essa condição é de 0,85 . Determine o valor da potência reativa de um capacitor necessária
para elevar o fator de potência para 0,95.
Chave de resposta
O ângulo correspondente ao fator de potência atual é determinado por:
A partir desse fator de potência, a potência aparente inicial pode ser calculada como:
Com isso, a potência reativa correspondente é:
Para um fator de potência corrigido de 0,95, o novo ângulo será:
Como a correção do fator de potência não altera a potência ativa , mas reduz a potência aparente,
temos:
A nova potência reativa será:
Por fim, a diferença entre a potência reativa antese depois da correção determina o valor do capacitor
necessário:
49
Agora, veja, no vídeo a seguir, a resolução.
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Mão na massa
Questão 1
Uma carga possui uma impedância . A potência média absorvida por essa carga ao ser
alimentada por uma fonte de tensão é:
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Assista, neste vídeo, à resolução da questão.
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Questão 2
Considere o circuito da imagem. O fator de potência total é determinado por:
Representação do circuito elétrico com fonte de tensão senoidal e elementos
resistivos e reativos.
A 0,87
B 0,97
C 0,77
D 0,67
E 0,57
A alternativa B está correta.
A impedância total do circuito é dada por:
O ângulo do fator de potência é o próprio ângulo da impedância, que se refere à defasagem angular entre
tensão e corrente:
Questão 3
No triângulo de potências a seguir, o valor referente à potência reativa será:
Representação do triângulo de potências com potência ativa de 500 \(W\) e ângulo
de 60°.
A 1.000 Var adiantada
B 866 Var adiantada
C 1.000 Var atrasada
D 866 Var atrasada
E 1.866 Var adiantada
A alternativa D está correta.
Para determinar a potência aparente, utilizamos a relação entre potência ativa e fator de potência:
A potência reativa será:
Questão 4
Uma carga absorve 12 KVA de uma fonte de alimentação de 120 V RMS. Considerando que o fator de potência
é 0,85, a potência média absorvida por essa carga é dada por:
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Considerando que o fator de potência é 0,85, o ângulo da impedância da carga é dado por 
. Se a potência aparente é 12 KVA, a potência média, ou potência ativa absorvida
pela carga, será:
Questão 5
Em uma carga trifásica, ligada em triângulo, a tensão de fase é de 220 V. A tensão de linha do circuito que
alimenta essa carga é de:
A 127 V
B 380 V
C 100 V
D 141 V
E 220 V
A alternativa E está correta.
Em uma carga trifásica, conectada em triângulo, a tensão de linha é igual à tensão de fase. Dessa forma,
para a carga descrita, a tensão de linha será de 220 V.
Questão 6
Um sistema trifásico ligado em estrela-triângulo (fonte-carga) possui tensão de fase e 
. Considerando que a linha que alimenta o circuito é ideal, o módulo da potência complexa
absorvida pela carga é de:
A 543 VA
B 385 VA
C 797 VA
D 932 VA
E 694 VA
A alternativa C está correta.
Inicialmente, devemos converter a impedância da carga para seu equivalente monofásico, ou seja,
impedância em estrela:
A corrente por fase do circuito é dada por:
A potência trifásica em um circuito equilibrado é igual ao triplo da potência por fase:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Considere a forma de onda de um sinal senoidal deslocado. Para as informações descritas no gráfico, o valor
eficaz, ou RMS, desse sinal é dado por:
Representação da forma de onda de um sinal senoidal deslocado.
A 2,82 A
B 3,45 A
C 6,41 A
D 4,56 A
E 7,38 A
A alternativa C está correta.
A forma de onda é representada pela seguinte equação:
Questão 2
Em um circuito trifásico equilibrado, com fonte em sequência positiva, a tensão de fase é 
RMS. Dado que a impedância da linha é fase e a da carga é de fase, o valor do
módulo das correntes de linha é de:
A 6.42 A
B 9,67 A
C 2,57 A
D 5,39 A
E 4,28 A
A alternativa D está correta.
Considerando o circuito por fase formado por uma fonte, impedância da linha e impedância da carga, a
corrente pode ser calculada simplesmente pela lei de Ohm:
As outras correntes de linha podem ser encontradas aplicando uma defasagem de em sequência
positiva na corrente da fase A.
4. Conclusão
Considerações finais
Neste conteúdo, abordamos os principais conceitos relacionados à análise de circuitos em corrente alternada.
Para isso, foram apresentadas as formas de representação dos elementos de circuito, fonte, resistor,
capacitor e indutor, no domínio da frequência. Essa representação, denominada representação fasorial,
permite avaliar a relação entre a tensão e a corrente desses elementos no domínio da frequência. Os métodos
tradicionais de análise de circuitos foram apresentados para a análise em CA.
 
Demonstramos ainda as relações de potência em corrente alternada, a partir dos conceitos de potência
média, potência eficaz e fator de potência. Considerando a predominância dos circuitos CA para a
transmissão de energia, introduzimos as principais relações para os circuitos trifásicos equilibrados, cujos
elementos podem estar conectados em estrela ou triângulo. Por fim, apresentamos o conceito de potência
complexa e potência trifásica.
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Não pare por aqui! Para continuar explorando os assuntos tratados, veja as recomendações de leitura que
selecionamos para você:
 
Curso de circuitos elétricos, de Orsini e Consonni, publicado pela editora Blucher, em 2002.
 
Curso de circuitos elétricos, v. II, de Orsini e Consonni, publicado pela editora Blucher, em 2004.
Referências
ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de circuitos elétricos. Porto Alegre: AMGH, 2013.
 
BOYLESTAD, R. L.; NASCIMENTO, J. L. do. Introdução à análise de circuitos. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2004.
 
IRWIN, J. D. Análise de circuitos em engenharia. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.
 
JOHNSON, D. E.; HILBURN, J. L.; JOHNSON, J. R. Fundamentos de análise de circuitos elétricos. Rio de
Janeiro: LTC, 1994.
 
• 
• 
NILSSON, J. W.; RIEDEL, S. A. Circuitos elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.
 
OLIVEIRA, C. C. B. et al. Introdução a sistemas elétricos de potência. Componentes simétricas. São Paulo:
Blucher, 2000.
	Noções sobre corrente alternada senoidal
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Relação entre tensão e corrente em CA
	Tensão e corrente
	Conteúdo interativo
	As tensões senoidais disponibilizadas para uso em residências, indústrias e aplicações em geral são originadas em geradores de CA.
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Valor médio de um sinal senoidal
	Valor eficaz (rms) de um sinal senoidal
	Curiosidade
	Fasores
	Conteúdo interativo
	Relação de tensão e corrente para fasores
	Conteúdo interativo
	Resistores
	Indutores
	Capacitores
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 1
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Análise de circuitos em CA
	Reatância indutiva e capacitiva
	Conteúdo interativo
	O comportamento de uma resistência tanto na corrente contínua (CC) quanto na corrente alternada (CA) é o mesmo. O resistor, quando submetido a uma corrente, dissipa calor por meio do efeito Joule.
	Impedância do circuito
	Atenção
	Curiosidade
	Exemplo 1
	Admitância do circuito
	Atenção: O fato de inverter separadamente a resistência ou a reatância de um circuito não fornece a condutância e a susceptância correspondentes. Por se tratar de grandezas complexas, o cálculo leva em conta as relações trigonométricas. Veja!
	Leis de Kirchhoff para análise de circuitos CA
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Análise nodal
	Conteúdo interativo
	Exemplo
	Análise de malhas
	Exemplo
	Malha 1
	Malha 2
	Teoremas de rede
	Teorema da superposição
	Teorema da transformação
	Teorema de Thévenin
	Teorema de Norton
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Questão 1
	A impedância equivalente do circuito a seguir é representada por:
	Questão 2
	Conteúdo interativo
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	Questão 2
	3. Sistemas trifásicos e potência em CA
	Potências
	Conteúdo interativo
	Potência instantânea
	Atenção
	Potência eficaz
	Refere-se à quantidade de potência entregue por uma fonte alternada que depende de sua forma de onda.
	Carga puramente resistiva
	Carga puramente reativa (indutiva ou capacitiva)Carga reativa
	Exemplo
	Potência complexa
	Exemplo
	Correção do fator de potência
	Conteúdo interativo
	Sistemas trifásicos
	Conteúdo interativo
	Curiosidade
	Fonte ligada em triângulo
	Fonte ligada em estrela
	Primeiro
	Segundo
	Circuitos trifásicos equilibrados
	Circuito em
	Circuito em
	Potência trifásica
	Teoria na prática
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Questão 2
	Questão 3
	Verificando o aprendizado
	Questão 1
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências