Probabilidade e Estatística com Excel

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ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Capítulo 5
PROBABILIDADE
ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Os quatro primeiros capítulos apresentaram os temas amostragem, descrição gráfica de amostras e medidas numéricas de posição, de tendência central e de dispersão. Esses conhecimentos permitem analisar séries de dados e obter algumas conclusões sobre como esses dados se distribuem em todo seu intervalo de variação ou ao redor de sua média.
Este capítulo ajudará a descrever a informação amostrada, facilitará a apresentação desses resultados e fornecerá uma ferramenta útil para realizar inferências sobre a população de onde foi extraída a amostra.
Pela própria experiência, o resultado do lançamento de uma moeda pode ser cara ou coroa, descartando a moeda falsa com duas caras, ou duas coroas, ou aquela que possa ficar de pé apoiada na sua borda.
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Além disso, periodicamente recebemos informações como a seguinte: na pesquisa de intenção de voto para o segundo turno da eleição para governador, 43% dos eleitores da amostra preferem o candidato A, 37% dos eleitores preferem o candidato B e os restantes 20% dos eleitores não sabem.
Qual a característica comum do lançamento de uma moeda e da pesquisa de intenção de voto? O resultado não pode ser previsto com antecedência! Por quê? Porque o resultado variará toda vez que lançarmos uma moeda ou extrairmos outra amostra para a pesquisa de intenção de voto.
Entretanto, se o lançamento da moeda for repetido um número muito grande de vezes, perceberemos uma tendência dos resultados.
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Esse gráfico, um dos muitos gráficos possíveis, representa a proporção de caras numa simulação de 1.500 lançamentos de uma moeda. O resultado dessa simulação em particular mostra que a proporção de caras tende a 50%, lembrando que esse gráfico foi especialmente escolhido para esta apresentação, pois, tecnicamente, a simulação de 1.500 lançamentos é um número pequeno de tentativas. 
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EXPERIMENTOS E EVENTOS
Todo processo desenvolvido para realizar observações e obter dados com um determinado objetivo é denominado experimento.
O conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento é denominado espaço amostral do experimento.
Um experimento é aleatório quando pode resultar em um dos resultados do espaço amostral sem que se seja possível predizer com certeza qual o resultado que será observado. 
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A análise de um experimento aleatório começa pela identificação de todos seus resultados possíveis.
Por exemplo, no experimento do lançamento de duas moedas, seu espaço amostral é formado pelos quatro resultados possíveis CaCa, CaCo, CoCa e CoCo, ou o conjunto S dos resultados possíveis S={CaCa, CaCo, CoCa, CoCo}. Cada resultado desse espaço amostral S é denominado ponto amostral. 
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Um subconjunto do espaço amostral S é denominado evento.
Por exemplo, o evento dos resultados que têm exatamente apenas uma cara é descrito pelo subconjunto do espaço amostral A={CaCo, CoCa}.
É importante observar que um evento pode ser particionado (dividido) em seus eventos elementares. 
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Os resultados possíveis do lançamento de uma moeda são apenas dois, os eventos elementares Cara-Ca e Coroa-Co.
Pela própria característica do experimento, se o resultado de um lançamento for cara, esse resultado não poderá ser coroa ao mesmo tempo, pois são eventos mutuamente excludentes.
A união de eventos elementares forma o espaço amostral, pois são eventos coletivamente exaustivos. Portanto, verifica-se que os eventos A e B pertencentes ao mesmo espaço amostral S:
São mutuamente excludentes se sua interseção AB for vazia, pois os dois eventos não têm nenhum elemento em comum.
São coletivamente exaustivos se a união AB dos eventos formarem o espaço amostral S, em que cada evento pode ter elementos repetidos no outro evento. 
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PROBABILIDADE
Depois de apresentar os conceitos de experimento e eventos, o objetivo é dirigido para a avaliação do sucesso de ocorrer um determinado evento do espaço amostral de um experimento aleatório.
Por exemplo, no lançamento de uma moeda um número muito grande de vezes, o sucesso de ocorrer o evento Cara é medido pela probabilidade P(Cara), um valor dentro do intervalo (0, 1) incluindo ambos os limites. 
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A tabela mostra que:
A soma das probabilidades de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é sempre igual a um.
A probabilidade de um evento ocorrer é igual ao complemento desse mesmo evento não ocorrer. Se P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A, então a probabilidade de esse evento não ocorrer será o complemento (1P(A)).
Por exemplo, se depois de repetir um número muito grande de vezes um experimento aleatório com espaço amostral {C, D} o evento C ocorreu em 68% das vezes, isso significa que o evento C não ocorreu em 32% das vezes, que é a probabilidade de ocorrer o evento D.
Esse resultado mostra que a probabilidade de o evento C ocorrer é igual à probabilidade complementar de ocorrer o evento D, isto é, (1P(D))=10,68=0,32 ou 32%.
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Conhecido o significado de probabilidade de um evento, o próximo passo é mostrar como determinar a probabilidade de um evento.
Tradicionalmente, há três formas de determinar a probabilidade de um evento:
O procedimento teórico (probabilidade clássica ou a priori)
O procedimento de freqüência relativa (probabilidade a posteriori)
O procedimento de probabilidade subjetiva.
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PROBABILIDADE TEÓRICA
A probabilidade teórica de um evento é obtida utilizando um procedimento de contagem.
Qual a probabilidade de obter cara no lançamento de uma moeda? Nesse caso, o espaço amostral tem apenas dois eventos elementares mutuamente excludentes, cara e coroa. Considerando que os eventos são igualmente prováveis e não há nenhuma condição que estabeleça que um dos dois resultados tenha alguma preferência nem que seja mutuamente dependente do outro, a probabilidade teórica P(A) é o resultado de dividir o número de eventos que atendem à condição cara pelo número total de eventos possíveis: 
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FREQÜÊNCIA RELATIVA
A probabilidade P(A) de ocorrer o evento A de um experimento aleatório pode ser obtida como a porcentagem de ocorrência do evento A depois de repetir o experimento um número muito grande de vezes.
Por exemplo, repetindo um número muito grande de vezes o lançamento de uma moeda, a freqüência relativa do evento cara será obtida como resultado de dividir o número de caras observadas pelo número de repetições do experimento. Nesse caso, a freqüência relativa do evento cara é a própria probabilidade P(Cara). 
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SIMULADOR
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Gráf1
		0.36		0.5
		0.47		0.5
		0.52
		0.54
		0.544
		0.54
		0.5257142857
		0.54
		0.5355555556
		0.526
		0.5290909091
		0.5333333333
		0.5353846154
		0.5285714286
		0.524
		0.51125
		0.5082352941
		0.5066666667
		0.5063157895
		0.504
		0.5038095238
		0.5027272727
		0.5008695652
		0.4983333333
		0.4952
		0.4938461538
		0.4925925926
		0.4928571429
		0.4931034483
		0.494Simulação
		Simulação
		
				1.500				Resultados de 1.500 lançamentos
				Lançamentos				No. Lanç.		No. Caras		% Caras
				0				50		18		36.0%
				0				100		47		47.0%
				1				150		78		52.0%
				1				200		108		54.0%
				1				250		136		54.4%
				1				300		162		54.0%
				0				350		184		52.6%
				0				400		216		54.0%																								Probabilidade
				1				450		241		53.6%																								0		0.5
				0				500		263		52.6%																								1		0.5
				0				550		291		52.9%
				0				600		320		53.3%																								Linha 50%
				0				650		348		53.5%																								0		0.5
				0				700		370		52.9%																								1500		0.5
				0				750		393		52.4%
				0				800		409		51.1%																								Seleção quantidade
				0				850		432		50.8%																								1		1
				0				900		456		50.7%										0																Controle recálculo
				1				950		481		50.6%
				0				1,000		504		50.4%
				0				1,050		529		50.4%
				0				1,100		553		50.3%
				1				1,150		576		50.1%
				0				1,200		598		49.8%
				0				1,250		619		49.5%
				0				1,300		642		49.4%
				1				1,350		665		49.3%
				1				1,400		690		49.3%
				1				1,450		715		49.3%
				0				1,500		741		49.4%
				1
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				0
				1
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				0
				0
				0
				1
				1
				1
				0
				1
				0
				0
				1
				1
				0
				0
				1
Simulação
		
Funções para Contagem
		Funções para contagem
												Fatorial
				Exemplo 5.12								n		5		8		12		5.2
												Fatorial		120		40,320		479,001,600		120
						Função
				Grupos de		FATORIAL		PERMUT				Permutações
				1		5		5				n		6		5		7		7.2
				2		20		20				x		3		2		3		3.5
				3		60		60				Permutações		120		20		210		210
				4		120		120
				5		120		120				n		5		5		5		5		5
												x		1		2		3		4		5
												Permutações		5		20		60		120		120
												Usando Fatorial		5		20		60		120		120
						Função		Funções
				Grupos de		anteriores		COMBIN				Combinações
				1		5		5				n		6		5		25		25.4
				2		10		10				x		3		2		12		12.8
				3		10		10				Combinações		20		10		5,200,300		5,200,300
				4		5		5
				5		1		1				n		5		5		5		5		5
												x		1		2		3		4		5
												Combinações		5		10		10		5		1
						10						Usando Fatorial		5		10		10		5		1
												Outras funções		5		10		10		5		1
Nova simulação
Número de lançamentos de uma moeda
1.500 lançamentos
5.000 lançamentos
10.000 lançamentos
Problemas
		Problemas
		
		Problema 17
								2o. Teste
				1o. Teste		A		Nâo A		Total
				A		0.15		0.10		0.25
				Nâo A		0.10		0.65		0.75
				Total		0.25		0.75		1		R:		0.40
		
		Problema 18
						R:		0.65
		
		
		Problema 19
								TV
				Forno		Tem		Nâo tem		Total
				Tem		0.20		0.10		0.30
				Nâo tem		0.60		0.10		0.70
				Total		0.80		0.20		1		R:		10.0%Problema 20
						R:		50.0%
		
		Problema 22
						<30		30-40		41-50		>50		Total
				Eletrodomésticos		12		10		11		14		47
				Vestiário		10		7		8		6		31
				Lazer		1		3		5		13		22
				Total		23		20		24		33		100
		
						57.0%
						59.1%
				c)		45.2%
ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Gráf2
		0.4		0.5
		0.48		0.5
		0.4666666667
		0.48
		0.504
		0.5033333333
		0.5028571429
		0.51
		0.5044444444
		0.52
		0.52
		0.5133333333
		0.5015384615
		0.5028571429
		0.5013333333
		0.4975
		0.4905882353
		0.4911111111
		0.4905263158
		0.489
		0.4885714286
		0.4845454545
		0.4939130435
		0.49
		0.4928
		0.4976923077
		0.4940740741
		0.4971428571
		0.4951724138
		0.4933333333
		0.4929032258
		0.49375
		0.4939393939
		0.4947058824
		0.4982857143
		0.4988888889
		0.4994594595
		0.4989473684
		0.4979487179
		0.4975
		0.4975609756
		0.5004761905
		0.4995348837
		0.4986363636
		0.4968888889
		0.4982608696
		0.4991489362
		0.5
		0.5
		0.4984
		0.4956862745
		0.4988461538
		0.5
		0.5018518519
		0.5025454545
		0.5010714286
		0.5014035088
		0.5024137931
		0.5006779661
		0.5016666667
		0.502295082
		0.5003225806
		0.5003174603
		0.5009375
		0.5012307692
		0.5009090909
		0.5002985075
		0.5
		0.4994202899
		0.4997142857
		0.5002816901
		0.5011111111
		0.501369863
		0.5005405405
		0.5002666667
		0.5013157895
		0.5018181818
		0.5015384615
		0.5012658228
		0.5005
		0.5007407407
		0.5004878049
		0.5019277108
		0.5023809524
		0.5032941176
		0.5025581395
		0.5018390805
		0.5025
		0.5029213483
		0.502
		0.501978022
		0.502826087
		0.5038709677
		0.5025531915
		0.5023157895
		0.5025
		0.5030927835
		0.5034693878
		0.5046464646
		0.5052
Simulação
		Simulação
		
				5.000				Resultados de 5.000 lançamentos
				Lançamentos				No. Lanç.		No. Caras		% Caras
				1				50		20		40.0%
				1				100		48		48.0%
				1				150		70		46.7%
				0				200		96		48.0%
				0				250		126		50.4%
				0				300		151		50.3%
				0				350		176		50.3%
				0				400		204		51.0%																								Probabilidade
				0				450		227		50.4%																								0		0.5
				0				500		260		52.0%																								1		0.5
				0				550		286		52.0%
				0				600		308		51.3%																								Linha 50%
				1				650		326		50.2%																								0		0.5
				1				700		352		50.3%																								5000		0.5
				1				750		376		50.1%
				0				800		398		49.8%																								Seleção quantidade
				0				850		417		49.1%																								2		2
				1				900		442		49.1%										0																Controle recálculo
				0				950		466		49.1%
				1				1,000		489		48.9%
				1				1,050		513		48.9%
				1				1,100		533		48.5%
				1				1,150		568		49.4%
				0				1,200		588		49.0%
				0				1,250		616		49.3%
				1				1,300		647		49.8%
				0				1,350		667		49.4%
				0				1,400		696		49.7%
				0				1,450		718		49.5%
				0				1,500		740		49.3%
				1				1,550		764		49.3%
				0				1,600		790		49.4%
				0				1,650		815		49.4%
				0				1,700		841		49.5%
				0				1,750		872		49.8%
				0				1,800		898		49.9%
				0				1,850		924		49.9%
				0				1,900		948		49.9%
				0				1,950		971		49.8%
				0				2,000		995		49.8%
				1				2,050		1,020		49.8%
				1				2,100		1,051		50.0%
				0				2,150		1,074		50.0%
				1				2,200		1,097		49.9%
				1				2,250		1,118		49.7%
				0				2,300		1,146		49.8%
				1				2,350		1,173		49.9%
				0				2,400		1,200		50.0%
				1				2,450		1,225		50.0%
				1				2,500		1,246		49.8%
				1				2,550		1,264		49.6%
				0				2,600		1,297		49.9%
				1				2,650		1,325		50.0%
				0				2,700		1,355		50.2%
				1				2,750		1,382		50.3%
				0				2,800		1,403		50.1%
				1				2,850		1,429		50.1%
				1				2,900		1,457		50.2%
				0				2,950		1,477		50.1%
				1				3,000		1,505		50.2%
				1				3,050		1,532		50.2%
				0				3,100		1,551		50.0%
				0				3,150		1,576		50.0%
				0				3,200		1,603		50.1%
				1				3,250		1,629		50.1%
				0				3,300		1,653		50.1%
				0				3,350		1,676		50.0%
				1				3,400		1,700		50.0%
				1				3,450		1,723		49.9%
				1				3,500		1,749		50.0%
				1				3,550		1,776		50.0%
				1				3,600		1,804		50.1%
				1				3,650		1,830		50.1%
				0				3,700		1,852		50.1%
				1				3,750		1,876		50.0%
				0				3,800		1,905		50.1%
				0				3,850		1,932		50.2%
				0				3,900		1,956		50.2%
				1				3,950		1,980		50.1%
				1				4,000		2,002		50.1%
				1				4,050		2,028		50.1%
				1				4,100		2,052		50.0%
				0				4,150		2,083		50.2%
				0				4,200		2,110		50.2%
				1				4,250		2,139		50.3%
				0				4,300		2,161		50.3%
				1				4,350		2,183		50.2%
				1				4,400		2,211		50.2%
				1				4,450		2,238		50.3%
				0				4,500		2,259		50.2%
				1				4,550		2,284		50.2%
				0				4,600		2,313		50.3%
				1				4,650		2,343		50.4%
				0				4,700		2,362		50.3%
				0				4,750		2,386		50.2%
				1				4,800		2,412		50.2%
				0				4,850		2,440		50.3%
				1				4,900		2,467		50.3%
				1				4,950		2,498		50.5%
				0				5,000		2,526		50.5%
				1
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				0
				0
Simulação
		
Funções para Contagem
		Funções para contagem
												Fatorial
				Exemplo 5.12								n		5		8		12		5.2
												Fatorial		120		40,320		479,001,600		120
						Função
				Grupos de		FATORIAL		PERMUT				Permutações
				1		5		5				n		6		5		7		7.2
				2		20		20				x		3		2		3		3.5
				3		60		60				Permutações		120		20		210		210
				4		120		120
				5		120		120				n		5		5		5		5		5
												x		1		2		3		4		5
												Permutações		5		20		60		120		120
												Usando Fatorial		5		20		60		120		120
						Função		Funções
				Grupos de		anteriores		COMBIN				Combinações
				1		5		5				n		6		5		25		25.4
				2		10		10				x		3		2		12		12.8
				3		10		10				Combinações		20		10		5,200,300		5,200,300
				4		5		5
				5		1		1				n		5		5		5		5		5
												x		1		2		3		4		5
												Combinações		5		10		10		5		1
						10						Usando Fatorial		5		10		10		5		1
												Outras funções		5		10		10		5		1
Nova simulação
Número de lançamentos de uma moeda
1.500 lançamentos
5.000 lançamentos
10.000 lançamentos
Problemas
		Problemas
		
		Problema 17
								2o. Teste
				1o. Teste		A		Nâo A		Total
				A		0.15		0.10		0.25
				Nâo A		0.10		0.65		0.75
				Total		0.25		0.75		1		R:		0.40
		
		Problema 18
						R:		0.65
		
		
		Problema 19
								TV
				Forno		Tem		Nâo tem		Total
				Tem		0.20		0.10		0.30
				Nâo tem		0.60		0.10		0.70
				Total		0.80		0.20		1		R:		10.0%
		
		Problema 20
						R:		50.0%
		
		Problema 22
						<30		30-40		41-50		>50		Total
				Eletrodomésticos		12		10		11		14		47
				Vestiário		10		7		8		6		31
				Lazer		1		3		5		13		22
				Total		23		20		24		33		100
		
						57.0%
						59.1%
				c)		45.2%
ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
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Os exemplos obtidos com o modelo de simulação mostram que 1.500 ou 10.000 lançamentos podem apresentar resultados parecidos, o que nos faz pensar que a quantidade de lançamentos não tem tamanho ou que há algum conceito que está fugindo ao nosso raciocínio. 
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Voltemos a Peter Bernstein 
Suponha que você atire uma moeda repetidamente. A lei dos grandes números não diz que a média de suas jogadas se aproximará de 50% à medida que você aumentar o número de jogadas; a matemática elementar diz isso, poupando-lhe a tediosa tarefa de atirar a moeda repetidamente. 
Pelo contrário, a lei dos grandes números enuncia que aumentar o número de jogadas aumentará igualmente a probabilidade de que a razão entre as caras e o total de jogadas se desviará de 50% abaixo de uma quantidade especificada, por menor que seja. 
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Não se está em busca da média real de 50%, mas da probabilidade de que o erro entre a média observada e a média real seja inferior a, digamos, 2%; em outras palavras, de que o aumento do número de jogadas aumente a probabilidade de que a média observada não se desvie em mais de 2% da média real. 
Isso não significa que não haverá erro após um número infinito de jogadas.
Tudo o que a lei nos informa é que a média de um grande número de jogadas diferirá por menos de que certa quantidade especificada da média real mais provavelmente do que a média de um pequeno número de jogadas. 
Além disso, sempre haverá uma possibilidade de que o resultado observado difira da média real por uma quantidade maior do que o limite especificado.
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Lei de Benford
O professor Dr. Theodore P. Hill pede sempre uma lição de casa especial para seus alunos de matemática, no Instituto de Tecnologia da Geórgia. 
Parte deles deve lançar uma moeda duzentas vezes e registrar fielmente seu resultado, enquanto a outra simplesmente deve fingir que jogou a moeda e inventar um resultado para os duzentos supostos arremessos. 
No dia seguinte, para espanto dos alunos, Hill consegue, com uma breve olhada nos trabalhos, apontar quase todos os que fraudaram os lançamentos. 
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A verdade, disse ele em uma entrevista, é que a maioria das pessoas não sabe quais são as reais probabilidades de um exercício como esse e, portanto, não consegue inventar dados convincentes.
As previsões de probabilidades são muitas vezes surpreendentes. 
No caso da experiência com o lançamento da moeda, em algum ponto de uma série de duzentos arremessos de moeda, ou cara ou coroa aparecerá seis ou mais vezes seguidas. Aqueles que fraudaram um resultado não sabiam disso e evitaram simular longas seqüências de caras ou coroas, porque, erroneamente, pensaram ser improvável.” 
As seqüências de 0s e 1s do slide seguinte foram obtidas com o Simulador do Lançamento de uma Moeda, numa única simulação.
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ÁRVORE DE POSSIBILIDADES
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REGRA DA SOMA
Os eventos de um mesmo espaço amostral podem ser combinados aplicando as regras das operações união e interseção de conjuntos.
A probabilidade de uma combinação de eventos pode ser obtida das probabilidades dos eventos, como mostra a regra da soma de eventos mutuamente excludentes. 
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PROBABILIDADE CONDICIONAL
As probabilidades estudadas até este momento são denominadas probabilidades incondicionais porque as únicas condições estabelecidas se referem ao experimento, resultados igualmente prováveis etc.
Há casos em que nos interessa rever a probabilidade de um evento, pois há informações adicionais que podem afetar o resultado.
Por exemplo, dentro do mesmo espaço amostral, a probabilidade de que aconteça o evento X sabendo que aconteceu o evento Y é obtida a partir do espaço amostral reduzido definido pelo evento Y.
A probabilidade P(X/Y) é denominada probabilidade condicional. 
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Observe que ao tomar conhecimento do evento Y do Exemplo 5.5, o espaço amostral inicial formado por oito eventos elementares foi reduzido para quatro eventos elementares. Portanto, ao tomar conhecimento antecipado do evento Y, o espaço amostral foi reduzido e, conseqüentemente, a probabilidade de as três moedas serem