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ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
Prof. Juan Carlos Lapponi
Capítulo 8
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
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Prof. Juan Carlos Lapponi
Considere a variável aleatória contínua X em que definimos a função f(x) denominada função densidade de probabilidade e que tem as seguintes propriedades:
A probabilidade da variável aleatória X é sempre definida num intervalo de valores dessa variável X, por exemplo, (x1, x2).
A probabilidade da variável aleatória X é medida pela área sob a curva da função densidade f(x) num determinado intervalo. 
A área total sob a curva f(x) é igual a um ou 100%. 
O valor f(x) da função densidade não mede a probabilidade do valor x da variável aleatória X.
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VA Contínua
Para a variável aleatória contínua X que assume valores do conjunto dos números reais há uma função matemática f(x) com as seguintes premissas:
A função densidade de probabilidade f(x) é sempre positiva, para todo x pertencente a X.
A área sob a função f(x) entre os limites menos infinito e mais infinito da variável aleatória contínua X é igual a um ou 100%:
A probabilidade da VA contínua X dentro do intervalo (a, b) com ambos limites incluídos é medida pela área definida pela função f(x) entre os limites a e b:
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Um ponto f(x) da função densidade não é a probabilidade do valor x da variável aleatória X, pois, por exemplo, o ponto f(x=a) da função densidade é zero. 
Como deve-se representar os limites do cálculo da probabilidade de uma variável aleatória contínua dentro do intervalo (a, b), P(aXb) ou P(a<X<b)?
As duas podem representações podem ser utilizadas, incluindo a representação com limites mistos, por exemplo: P(aX<b) ou P(a<Xb)! 
Neste livro utilizaremos a representação P(aXb).
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Valor Esperado e Variância
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DISTRIBUIÇÃO UNIFORME
Uma distribuição de variável aleatória contínua é a distribuição uniforme cuja função densidade de probabilidade é constante dentro de um intervalo de valores da variável aleatória X.
Cada um dos possíveis valores que X com distribuição uniforme pode assumir tem a mesma probabilidade de ocorrer.
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DISTRIBUIÇÃO NORMAL
A distribuição normal é uma das distribuições fundamentais da moderna teoria estatística. 
A vantagem da distribuição normal reside na facilidade de defini-la com apenas dois parâmetros, a média  e o desvio padrão  da distribuição, por exemplo, a curva da distribuição normal f(x) para =40, =10 e valores da variável aleatória no intervalo (10, 70) é mostrada na Figura 8.4. 
Uma das características importantes é que a partir desses dois parâmetros será possível calcular, por exemplo, a percentagem de valores que deverão estar acima ou abaixo de um determinado valor da variável aleatória, ou entre esses dois valores definidos etc.
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Analisando a fórmula da função densidade f(x) podemos verificar que para cada par de parâmetros  e  há uma curva diferente de f(x), ou que para qualquer outro par de parâmetros  e , a curva f(x) será diferente. 
Portanto, não há apenas uma única distribuição normal, e sim uma família de distribuições normais representadas como N(,). 
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INFLUÊNCIA DOS PARÂMETROS
O que ocorreria com a forma da distribuição normal N(40, 10) se o valor da média for mudado de 40 para 50? 
A forma da distribuição permaneceria a mesma, porém com a média deslocada de 40 para 50 e definindo a nova distribuição normal N(50, 10). 
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No intervalo C3:C4, é possível mudar os parâmetros da curva de cor azul registrando novos valores.
Entretanto, os parâmetros da curva vermelha são mudados acionando um dos dois controles giratórios por vez, células E3 e E4.
Observe que ao variar o valor da média de 40 para 50, mantendo constante o desvio padrão =10, a distribuição normal mantém sua forma e se desloca para a direita.
Da mesma maneira, para valores de média menores que 40, por exemplo =30, a distribuição manterá sua forma e se deslocará para a esquerda de =40. 
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Variando o Desvio Padrão 
Para analisar o comportamento da forma da distribuição normal variando o desvio padrão, lembremos primeiro o significado do desvio padrão apresentado no Capítulo 4.
A terceira regra prática estabelece que, em todas as distribuições, a porcentagem de valores contidos dentro de três desvios padrões ao redor da média será próxima de 100%.
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Como a distribuição normal é simétrica ao redor da média, seja qual for o valor do desvio padrão, praticamente 100% dos valores da variável aleatória estarão contidos dentro de três desvios padrões ao redor da média.
Se na distribuição normal N(40, 10) o desvio padrão for mudado para 15, a forma da curva N(40, 15) será mais aberta que a anterior N(40, 10), diminuindo sua altura para manter a área de 100%. Da mesma maneira, pode-se verificar que para desvios padrão menores que 10, a distribuição diminui sua base e aumenta sua altura.
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CÁLCULO DE PROBABILIDADE
A probabilidade P(aXb) de a variável aleatória contínua X ser igual ou maior que a e, ao mesmo tempo, menor ou igual a b é obtida da área definida pela função f(x) entre os limites a e b, sendo b>a.
O procedimento de cálculo passa pela integração da função f(x) no intervalo (a,b), procedimento bastante trabalhoso.
Entretanto, utilizando a função estatística DIST.NORM do Excel esse cálculo se tornará mais simples e, neste momento, nos permitirá compreender o processo de cálculo da probabilidade P(X) da variável aleatória contínua X com distribuição normal. 
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Função do Excel
DIST.NORM(x; média; desv_padrão; cumulativo)
A função DIST.NORM retorna a função densidade da distribuição normal ou a probabilidade acumulada de menos infinito até o valor do argumento x, conforme o valor registrado no argumento cumulativo.
Se no argumento cumulativo for registrado o valor FALSO, a função estatística DIST.NORM retornará o valor f(x) para o valor x informado no primeiro argumento da função.
Se no argumento cumulativo for registrado o valor VERDADEIRO, a função DIST.NORM retornará a probabilidade acumulada de menos infinito até x, considerando os parâmetros média e desvio padrão da distribuição registrados no argumento média e no argumento desv_padrão. A função DIST.NORM calcula a integral da função f(x) no intervalo (-, x). 
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No Exemplo 8.3, a probabilidade P(X50) é igual a 84,13%, resultado obtido com a fórmula =DIST.NORM(50;40;10;VERDADEIRO) registrada numa célula vazia de qualquer planilha Excel.
Esse resultado tem o seguinte significado:
A probabilidade de um resultado do experimento (ou valor da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) ser menor ou igual a 50 é 84,13%. 
Ou, podemos dizer que 84,13% dos resultados do experimento (ou valores da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) estão dentro do intervalo (, 50).ESTATÍSTICA USANDO EXCEL
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A probabilidade P(X35) é igual a 30,85%, resultado obtido com =DIST.NORM(35;40;10;VERDADEIRO) registrado numa célula vazia de qualquer planilha Excel.
Ou seja, a probabilidade de um resultado do experimento (ou valor da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) ser menor ou igual a 35 é 30,85%.
Ou 30,85% dos resultados do experimento (ou valores da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) estão dentro do intervalo (, 35).
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Como a função DIST.NORM retorna a probabilidade acumulada de menos infinito até x, o cálculo da probabilidade procurada P(25X60) deverá ser realizado em duas partes
 P(25X60)= P(X60)P(X25).
Primeiro deve ser calculada a probabilidade P(X60)=0,977250. 
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Depois deve ser calculada a probabilidade P(X25)=0,066807.
Subtraindo a área da figura da direita da área da figura da esquerda será obtida a primeira figura que representa a probabilidade procurada P(25X60).
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A probabilidade P(25X60) é 91,04%, obtido como resultado da diferença das duas probabilidades anteriores 0,9772500,066807=0,910443 ou 91,04%.
Esse resultado pode ser obtido com a função DIST.NORM registrando a fórmula seguinte:
 =DIST.NORM(60;40;10;VERDADEIRO) 
 DIST.NORM(25;40;10;VERDADEIRO)
O resultado tem o seguinte significado:
A probabilidade de um resultado do experimento (ou valor da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) pertencer ao intervalo (25, 60) é 91,04%. 
Ou, 91,04% dos resultados do experimento (ou valores da variável aleatória X) com distribuição normal N(40, 10) estão dentro do intervalo (25, 60).
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Resultados Importantes da DN
A fórmula da função densidade f(x) mostra que para cada par de parâmetros  e  há uma curva diferente de f(x), ou para qualquer outro par de parâmetros  e  a curva f(x) será diferente. 
Embora não haja apenas uma única distribuição normal e sim uma família de distribuições normais representadas com N(,), elas mantêm algumas propriedades em comum, como, por exemplo, a porcentagem de resultados ao redor da média.
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Um desvio padrão ao redor da média
Qual a percentagem de valores dentro de um desvio padrão ao redor da média 200 da variável aleatória X com distribuição normal N(200, 10)?
Nesse caso, um valor de X incluído no intervalo de um desvio padrão ao redor da média deve estar no intervalo (190, 210). 
A probabilidade de um valor da variável aleatória X estar dentro de um desvio padrão ao redor da média é P(190X210)=0,6827 ou 68,27%. 
Esse resultado mostra que 68,27% dos valores da variável X com distribuição normal se distribuem no intervalo de um desvio padrão ao redor da média.
Ou que a probabilidade de um resultado do experimento com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (190, 210) é 68,27%. 
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Dois desvios padrão ao redor da média
Qual a percentagem de valores da variável X com distribuição normal N(200, 10) localizados dentro de dois desvios padrão ao redor da média? 
Um valor de X incluído no intervalo de dois desvios padrão ao redor da média deve estar no intervalo (180, 220). 
A probabilidade de um valor da variável aleatória X estar dentro de dois desvios padrão ao redor da média é P(180X220)=0,9545 ou 95,45%
Esse resultado mostra que 95,47% dos valores da variável X com distribuição normal se distribuem no intervalo de dois desvios padrão ao redor da média.
Ou que a probabilidade de um resultado do experimento com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (180, 220) é 95,45%. 
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Três desvios padrão ao redor da média
Qual a percentagem de valores da variável X com distribuição normal N(200, 10) localizados dentro de três desvios padrão ao redor da média? 
Um valor de X incluído no intervalo de dois desvios padrão ao redor da média deve estar no intervalo (170, 230). 
A probabilidade de um valor da variável aleatória X estar dentro de três desvios padrão ao redor da média é P(170X230)=0,9973 ou 99,73%
Esse resultado mostra que 99,73% dos valores da variável X com distribuição normal se distribuem no intervalo de três desvios padrão ao redor da média.
Ou que a probabilidade de um resultado do experimento com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (170, 230) é 99,73%. 
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MODELO DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL
O gráfico da distribuição normal f(x) construído na planilha Modelo Distribuição Normal, incluída na pasta Capítulo 8, inclui a representação dos intervalos dos três tipos de desvios padrão.
Com os controles giratórios, são informados os valores da média na célula C3 e o desvio padrão na célula C4 e, ao mesmo tempo, a planilha recalcula a tabela do intervalo B6:C31 de acordo com o tipo de probabilidade escolhida na caixa de grupo:
f(x). Fornecerá o valor da função f(x) para o valor x.
Probabilidade acumulada até x. Fornecerá a probabilidade acumulada de menos infinito até x.
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Modelo DN
O modelo estatístico Modelo DN facilita os cálculos de probabilidade com a distribuição normal N(, ).
Por exemplo, no cálculo da probabilidade de um valor da variável aleatória com distribuição N(200, 10) pertencer ao intervalo (180, 220). 
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Exemplo 8.3
Exemplo 8.4
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Exemplo 8.5
Exemplo 8.6
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Distribuição Normal Padronizada
Foi mostrado que:
A probabilidade P(Xa) é o resultado de integrar a função f(x) da distribuição normal N(,) entre os limites (, a). 
O cálculo de probabilidades é bastante trabalhoso, pois não há apenas uma única distribuição normal e sim uma família de distribuições normais N(,). 
A função estatística DIST.NORM do Excel e o Modelo DN reduzem sensivelmente o procedimento de cálculo.
Entretanto, o procedimento clássico de cálculo de probabilidades utiliza a distribuição normal padronizada obtida da distribuição normal N(, ) realizando a mudança da variável X. 
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A variável aleatória desvio padrão normalizado Z de uma distribuição normal padronizada é definida pela expressão:
A nova variável Z realiza cálculos de probabilidades com uma única curva de distribuição denominada distribuição normal padronizada N(0, 1).
Depois da transformação da variável, a função densidade f(x) passa a ser:
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Função do Excel
PADRONIZAR(x; média; desv_padrão)
A função estatística PADRONIZAR retorna o desvio padrão normalizado Z considerando os argumentos x, média e desv_padrão e utilizando a fórmula de Z.
Digitando a fórmula =PADRONIZAR(52,4;40;10) numa célula vazia da planilha Excel, obteremos o resultado procurado Z=1,24.
Neste momento, temos P(X52,4)=P(Z1,24).
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O valor da probabilidade P(Z1,24) pode ser obtido com a função DIST.NORMP do Excel para a distribuição normal padronizada e também com a TabelaZ.
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Função do Excel
DIST.NORMP(z)
A função estatística DIST.NORMP retorna a probabilidade acumulada da distribuição normal padronizada Z, de menos infinito até o valor registrado no argumento z.
Registrando a fórmula =DIST.NORMP(1,24) numa célula da planilha Excel obteremos a probabilidade P(Z1,24)=0,8925.
Para chegar a esse resultado, primeiro foi calculado o valor de z; entretanto, poderíamos evitar esse cálculo registrando a fórmula =DIST.NORMP(PADRONIZAR(52,4;40;10)) 
 onde no lugar do argumento z foi incluída a função PADRONIZAR, que calcula o valor z. 
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Tabela Z
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A curva da distribuição Z tem a mesma forma que a curva da distribuição X, com a mudança dos valores do eixo X para o eixo Z.
Sugerimos que você tente visualizar a mesma curva de distribuição normal com os dois eixos X e Z.
Como há diversos cálculos de probabilidade, a tabela seguinte apresenta o resumo dos procedimentos de cálculo de probabilidade utilizando a tabela da distribuição normal padronizada Z.
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