cap10-probabilidade

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EXERCÍCIOS 
CAPÍTULO 10 – PROBABILIDADE
Exercício 1
Calcular a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos:
Retirar um ás de um baralho com 52 cartas.
Obter um número par no lançamento de um dado.
Obter três caras em três lançamentos de uma moeda.
Resolução:
Como existem 4 ases no baralho (paus, ouros, copas e espadas), então: 
p = 4/52 = 1/13
Como o número de resultados pares (2,4 e 6) é 3, então:
p = 3/6 = 1/2
Como a probabilidade de dar cara em um lançamento é igual a ½, e os eventos são independentes, então:
p = (1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8
Exercício 2
Quando dois dados são lançados, qual a probabilidade de se obter 2 no primeiro dado e 5 no segundo?
Qual a probabilidade de se obter 2 e 5, em qualquer ordem?
 Determine o conjunto de resultados possíveis quando dois dados são lançados, isto é, todos os possíveis pares de resultados das faces voltadas para cima.
Seja a variável aleatória X = soma dos resultados das faces voltadas para cima. Quais são os possíveis valores de X? Associe cada possível valor de X à sua probabilidade de ocorrência. Qual deve ser o valor da soma dessas probabilidades?
Resolução:
Como a probabilidade de ocorrência de 2 é p(2) = 1/6 e de ocorrência de 5 é p(5) = 1/6, e como os eventos são independentes, então p(2,5) = 1/6*1/6 = 1/36 
A probabilidade de se obter 2 e 5, em qualquer ordem, é igual à probabilidade de se obter o par (2,5) ou o par (5,2). Como esses eventos são mutuamente exclusivos:
p[(2,5) ou (5,2)] = p(2,5) + p(5,2) = 1/36 + 1/36 = 2/36
Fixe o resultado do primeiro dado em 1, e combine com as seis possibilidades do segundo dado; fixe o resultado do primeiro dado em 2, e combine com as seis possibilidades do segundo dado, e assim por diante, até obter o conjunto abaixo:
Somando os pares obtemos os possíveis valores de X no quadro abaixo: 
 
Observe que as diagonais apresentam valores iguais, de modo que:
Como veremos no capítulo seguinte, quando associamos cada um dos possíveis valores de uma variável aleatória X à sua probabilidade, determinamos a distribuição de probabilidade de X. 
Como estão relacionados todos os possíveis resultados, a soma das probabilidades deve ser igual a 1.
Exercício 3
Calcule a probabilidade da soma de dois dados:
ser um múltiplo de 3
não ser um múltiplo de 3
ser menor do que 5
ser maior ou igual a 5
ser par
ser menor do que 5, dado que é par
ser par, dado que é menor do 5
ser menor do que 5 e par 
ser menor do que 5 ou par
Resolução:
p(3 ou 6 ou 9 ou 12) = (2+5+4+1)/36 = 12/36
1 - p(3 ou 6 ou 9 ou 12) = 1 – 12/36 = 24/36
p(x<5) = p(2 ou 3 ou 4) = (1+2+3)/36 = 6/36
p(x≥5) = 1 – p(x<5) = 1 – p(2 ou 3 ou 4) = 1 – (1+2+3)/36 = 30/36
p(par) = (1+3+5+5+3+1)/36 = 18/36
p(x<5│par) = (1+3)/18 = 4/18
p(par│x<5) = (1+3)/6 = 4/6
p(<5 e par) = p(x<5│par)*p(par) = (4/18)*(18/36) = 4/36
p(<5 e par) = p(par│x<5)*p(x<5) = (4/6)*(6/36) = 4/36
p(<5 e par) = p(2 ou 4) = (1+3)/36 = 4/36
p(x<5 ou par) = p(x<5) + p(par) - p(<5 e par) = (6+18-4)/36 = 20/36
p(x<5 ou par) = p(2 ou 3 ou 4 ou 6 ou 8 ou 10 ou 12) = (1+2+3+5+5+3+1)/36 =
 = 20/36
Exercício 4
O quadro abaixo apresenta a titulação, por sexo, dos professores de uma universidade. Sorteado um docente ao acaso, qual a probabilidade de que ele possua as seguintes características:
ser mestre
ser homem
ser homem, sabendo-se que foi sorteado um mestre
ser mestre, sabendo-se que foi sorteado um homem 
ser mestre e homem
ser mestre ou homem
não ser mestre e homem
não ser mestre ou mulher
Resolução:
p(m) = 67/100
p(h) = 60/100
p(h│m) = 45/67
p(m│h) = 45/60
p(m ∩h) = 45/100 (consulta direta à tabela: interseção da linha “homens” e da coluna “mestrado”)
p(m ∩h) = p(h│m)*p(m) = 45/67*67/100 = 45/100
p(m ∩h) = p(m│h)*p(h) = 45/60*60/100 = 45/100
p(m U h) = p(m) + p(h) - p(m ∩h) = (67+60-45)/100 = 82/100
p(m U h) = 1 - p(doutorado e mulher) = (100 – 18)/100 = 82/100
p(m U h) = p(m ∩h) + p(d ∩h) + p(m ∩m) = (45+15+22)/100 = 82/100
p(m ∩h)’ = 1- p(m ∩h) = (100-45)/100 = 55/100
p(m ∩h)’ = p(doutorado ou mulher) = (33+40-18)/100 = 55/100
p(m U h)’ = p(doutorado e mulher) = 18/100 
p(m U h)’ = 1 - p(m U h) = (100-82)/100 = 18/100