201586 14454 Apostila CalculoI 2015 2

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Cálculo I 
Estudo da Derivada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
SUMÁRIO: 
 
 
REVISÃO 
1. Conjuntos numéricos ................................................................................................................ 
Exercícios ........................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 1 
1. Funções ....................................................................................................................................... 
2. Função polinomial do 1º grau ................................................................................................... 
3. Função polinomial do 2º grau ................................................................................................... 
4. Função do tipo y = xn ................................................................................................................ 
5. Função definida por partes ....................................................................................................... 
Exercícios ............................................................................................................................................ 
 
CAPÍTULO 2 
1. Limites ......................................................................................................................................... 
Exercícios ............................................................................................................................................ 
 
CAPÍTULO 3 
1. Continuidade .............................................................................................................................. 
Exercícios ............................................................................................................................................ 
 
CAPÍTULO 4 
1. Derivada ...................................................................................................................................... 
Exercícios ............................................................................................................................................ 
 
CAPÍTULO 5 
1. Taxas relacionadas ..................................................................................................................... 
Exercícios ............................................................................................................................................ 
 
CAPÍTULO 6 
1. Funções crescentes e decrescentes ............................................................................................ 
2. Concavidade ............................................................................................................................... 
Exercícios ........................................................................................................................................... 
 
CAPÍTULO 7 
1. Extremos relativos ..................................................................................................................... 
2. Extremos absolutos .................................................................................................................... 
Exercícios ............................................................................................................................................ 
 
CAPÍTULO 8 
1. Problemas de otimização .......................................................................................................... 
Exercícios ........................................................................................................................................... 
 
Anexo A: Lista extra – Exercícios de Taxas Relacionadas ........................................................... 
Anexo B: Formulário de Geometria ............................................................................................... 
 
Respostas dos exercícios ................................................................................................................... 
 
Referências bibliográficas ................................................................................................................ 
 
 
 
 
 
 
 
 03 
 06 
 
 
 07 
 10 
 11 
 15 
 17 
 19 
 
 
 26 
 40 
 
 
 46 
 49 
 
 
 51 
 69 
 
 
 82 
 83 
 
 
 86 
 87 
 91 
 
 
 93 
 96 
 99 
 
 
102 
105 
 
108 
112 
 
115 
 
126 
 
 
 
3 
 
 
REVISÃO 
 
 
1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
1.1 Conjunto dos números naturais ( ) 
 
O conjunto dos números naturais é representado por: 
 
 = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. 
 
Um subconjunto importante de é o conjunto , do qual extraímos o zero, 
 
 = {1, 2, 3, 4, ...} 
 
 
1.2 Conjunto dos números inteiros ( ) 
 
O conjunto dos números inteiros é representado por, 
 
 
 
Destacamos os seguintes subconjuntos de : 
 
x , pois . 
x 
 
 
1.3 Conjunto dos números racionais ( ) 
 
A designação racional surgiu porque pode ser vista como uma razão entre os inteiros e . A letra , 
que representa o conjunto dos números racionais é a primeira letra da palavra quociente. Assim, 
podemos escrever, 
 
 
Se , temos , o que implica que é subconjunto de . Assim, 
 
 
1.4 Conjunto dos números reais ( ) 
 
Se todos os números racionais fossem listados em uma reta, essa reta não ficaria totalmente preenchida. 
Os pontos dessa reta que não são números racionais foram chamados de números irracionais. 
São exemplos de números irracionais: 2 , 3 , 3 5 , S . 
 
O conjunto dos números reais fica definido, portanto, como as abcissas dos pontos (todos) de uma reta. 
 
 
 
OBS: A letra é a 
inicial da palavra 
Zahl, que significa 
número em alemão. 
4 
 
 
Relação de ordem no conjunto 
 
Dados dois números quaisquer a e b, somente uma das três opções é possível: 
 
a = b ou a > b ou a < b 
 
A desigualdade representada por a < b significa que o número real a é menor que o número real b. 
 
Geometricamente, se a < b, então a está situado à esquerda de b na reta real. 
 
 
 
A desigualdade representada por a > b significa que o número real a é maior que o número real b. 
 
Geometricamente, se a > b, então a está situado à direita de b na reta real. 
 
 
 
Podemos escrever também a d b (lê-se: a é menor ou igual a b) ou a t b (lê-se: a é maior ou igual a b). 
 
Um número real c está entre a e b se, e somente se, a < c e c < b. Podemos representar isso com uma 
dupla desigualdade: a < c < b. 
 
 
 
Intervalos 
Denominamos intervalo a qualquer subconjunto dos números reais. Assim, dados dois números reais a e 
b, com a < b, temos: 
 
a) intervalo aberto 
 
 
 
 
A bolinha R indica que os extremos a e b não pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os 
números reais compreendidos entre a e b, excluindo os extremos. 
 
 
b) intervalo fechado 
 
 
 
A bolinha x indica que os extremos a e b pertencem ao intervalo. Esse intervalo contém todos os 
números reais compreendidos entre a e b, incluindo os extremos. 
 
 
c) intervalo semi-aberto à direita 
 
 
 
 
 
Representação algébrica: 
^ `bxa|Rx �� ou (a, b) ou ]a, b[ 
Representação algébrica: 
^ `bxa|Rx dd ou [a, b] 
Representação algébrica: 
^ `bxa|Rx �d ou [a, b) ou [a, b[ 
 
 
 
5 
 
 
d) intervalo semi-aberto à esquerda 
 
 
 
 
 
 Podemos ter
ainda intervalos com as seguintes características: 
 
 ^ `ax|Rx ! ou (a, + f) 
 
 ^ `ax|Rx t ou [a, + f) 
 
 ^ `ax|Rx � ou (-f, a) 
 
 ^ `ax|Rx d ou (-f, a] 
 
 
 
 
Operações com conjuntos 
 
x União de conjuntos 
A união de dois conjuntos A e B é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A ou a B. 
Designamos a união de A e B por A‰B (lê-se: A união B) 
 
Exemplos: 
a) A = {0, 1, 2, 3, 4} b) A = {0, 1, 2} c) A = [0, 2) 
B = {1, 3, 5, 7} B = {0, 1, 2, 3, 4} B = (1, 5] 
A‰B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} A‰B = {0, 1, 2, 3, 4} A‰B = [0, 5] 
 
 
x Intersecção de conjuntos 
A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e a B, 
isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B. 
Designamos a intersecção de A e B por AˆB (lê-se: A intersecção B) 
 
Exemplos: 
a) A = {-1, 1, 3, 4, 6} b) A = {0, 1, 2} c) A = (0, 4] 
B = {1, 3, 5, 7} B = {-2, 0, 1, 2, 3, 4, 5} B = (1, 5) 
AˆB = {1, 3} AˆB = {0, 1, 2} AˆB = (1, 4] 
 
 
x Diferença de conjuntos 
A diferença de dois conjuntos A e B é um conjunto dos elementos que pertencem a A mas que não 
pertencem a B. 
Designamos a diferença de A e B por A – B (lê-se: A menos B) 
 
Exemplos: 
a) A = {0, 1, 2, 3, 4} b) A = {0, 1, 2} c) A = [0, 2[ 
B = {1, 3, 5, 7} B = {0, 1, 2, 3, 4} B = (1, 5) 
A – B = {0, 2, 4} A – B = ‡ A – B = [0, 1] 
B – A = {5, 7} B – A = {3, 4} B – A = [2, 5) 
 
 
 
Representação algébrica: 
^ `bxa|Rx d� ou (a, b] ou ]a, b] 
 
 
 
 
 
6 
 
 
Exercícios: 
 
1) Escreva os conjuntos representados abaixo na forma de intervalo. 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
2) Represente os conjuntos abaixo na reta real. 
 
a) ^ `4x1|Rx d� 
 
b) (-1, 2) ‰ [3, +∞) 
 
c) {1, 2} ‰ (3, 4) 
 
d) (-∞, 3] ‰ ^ `4x|Rx ! 
 
 
3) Considere os números 
5
3a ; S b ; 2c ; 5,2d ; 
2
3e � . Posicione adequadamente cada 
um deles na reta real abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
1. FUNÇÕES 
 
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. É muito comum expressar fenômenos 
físicos, biológicos, químicos, sociais, etc por meio de funções, daí a importância de seu estudo. A idéia 
de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis, uma delas chamada dependente 
e a outra chamada independente. 
 
Observe esses exemplos: 
1) Complete a tabela abaixo que relaciona a medida " do lado do quadrado e o seu respectivo 
perímetro (P). Em seguida, dê a lei matemática que relaciona o perímetro em função do lado. Perceba 
que o perímetro depende da medida do lado do quadrado, portanto, nessa situação, o lado é a variável 
independente e o perímetro a variável dependente. 
 
lado (") perímetro (P) 
1 
2 
2,5 
4 
� 
"� 
 
 
2) Complete a tabela abaixo que relaciona o tempo t de duração de uma viagem de 360 km em função 
da velocidade média (v) desenvolvida ao longo do trajeto. Em seguida, dê a lei matemática que 
relaciona o tempo em função da velocidade. Perceba que o tempo depende da velocidade, portanto, 
nessa situação, a velocidade é a variável independente e o tempo a variável dependente. 
 
velocidade média (km/h) tempo (h) 
10 
40 
60 
120 
� 
v 
 
 
Definição: 
Considere dois conjuntos: o conjunto A com elementos x e o conjunto B com elementos y. Diz-se que 
temos uma função de A em B (f: A Æ B) quando existe uma relação entre os elementos desses dois 
conjuntos tais que para cada elemento de A há um, e apenas um, correspondente em B. 
 
 
8 
 
 
Seja f: A Æ B, y = f(x) uma função. Nesse esquema, A é o conjunto domínio da função, ou seja, o 
conjunto que contém todos os elementos x para os quais a função é definida; B é o contra-domínio da 
função, ou seja, o conjunto que contém os elementos y que podem estar relacionados aos elementos x; e 
y = f(x) é a lei da função, ou seja, a regra que associa os elementos x e y. 
Nem toda relação entre 2 variáveis é chamada de função. Numa função, para todo valor atribuído à 
variável independente (x) há em correspondência APENAS UM valor da variável dependente (y). É 
fácil perceber que na relação x2 + y2 = 25, por exemplo, se x = 3 podemos ter y = 4 ou y = -4. Observe 
no gráfico. Tal relação, portanto, NÃO é uma função. 
 
 
1.1 Domínio e imagem de uma função 
 
Domínio (D) de uma função é o (maior) conjunto de valores que a variável independente pode assumir, 
enquanto que imagem (Im) é o conjunto de valores que a variável dependente assume, considerando a 
regra que associa as duas variáveis. Geralmente não é possível listar todos esses valores de modo 
explícito, o que torna necessário o uso da representação por conjunto ou intervalos numéricos. 
Normalmente, o domínio de uma função é determinado diretamente pela lei da função. 
 
 
 
Exemplo: 
Qual o domínio das funções representadas pelas leis abaixo? 
a) f(x) = x2 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
16x4
8x2y 2 �
� 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 1x3y �� 
 
 
 
 
 
 
Dica! Para verificar, graficamente, se uma curva 
no plano representa o gráfico de uma função, 
utiliza-se o “Teste da Reta Vertical”. Este teste 
consiste em traçar uma reta vertical sobre a curva 
e se esta interceptá-la em mais de um ponto, 
então a curva não representa o gráfico de uma 
função. 
9 
 
 
 
 
1.2 Gráfico de uma função 
Além da lei matemática, a associação entre as duas variáveis de uma função pode ser representada por 
uma tabela, um diagrama ou um gráfico. 
Considere a primeira situação apresentada na introdução do capítulo. A função que relaciona o lado de 
um quadrado com seu perímetro é P = 4". O gráfico que representa essa lei matemática pode ser 
construído a partir de uma tabela. Observe: 
 
 
 
Lado (cm) Perímetro (cm) 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
 
 
O domínio dessa função é representado pelo intervalo (0, +∞). Perceba que na representação gráfica há 
uma “bola vazada” no ponto (0, 0), o que significa que esse ponto não faz parte da função. No contexto, 
é fácil compreender, pois não conseguimos desenhar um quadrado de lado zero. 
 
 
1.3 Valor numérico da função 
Valor numérico de uma função é o valor que a variável dependente ( ) assume quando é atribuído 
algum valor à variável independente ( ). 
Este valor pode ser determinado a partir da lei da função, ou de seu gráfico, como nos exemplos a 
seguir. 
 
Exemplos: 
 
1) Se x4x)x(f 2 � , determine o que se pede abaixo: 
a) f(2) = 
b) f(4) = 
c) f(10) = 
d) D(f) = 
 
 
2) Dada a função y = f(x) representada pelo gráfico abaixo, determine o que se pede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) f(4) = 
b) f(0) = 
c) f(-3) = 
d) f(1) = 
e) D(f) = 
f) Im(f) = 
 
 
10 
 
 
1.4 Raízes (ou zeros) de uma função 
Chama-se raiz de uma função y = f(x) o valor de x que anula a função. Graficamente, as raízes indicam 
o ponto de intersecção com o eixo x. O gráfico abaixo mostra as raízes em destaque. 
 
 
2. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU (Função afim) 
 
Característica: o gráfico é uma reta. 
Lei geral: y = mx + b, com m ≠ 0 
 
O coeficiente m indica a taxa de variação da função ou inclinação da reta e é numericamente igual à 
tangente do ângulo que a reta faz com o eixo , isto é, . 
 
O coeficiente b indica onde a função intercepta o eixo y. 
 
Em toda função do 1º grau as variações dos valores de y são diretamente proporcionais às 
correspondentes variações dos valores de x. O gráfico abaixo
representa a função y = 2x – 1. 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Represente graficamente as funções abaixo: 
a) y = 3x – 1 b) f(x) = -2x + 3 
 
 
Note que para cada variação de 2 unidades no eixo y há uma 
variação de 1 unidade no eixo x. A taxa de variação é dada, 
portanto, por x
y
'
' e corresponde ao coeficiente m da função. 
Ou seja, . 
 
Como consequência, se essa taxa é positiva, a função é crescente, 
se for negativa, é decrescente. 
 
Por outro lado, perceba que a função intercepta o eixo y na 
ordenada -1. Nesse ponto, x = 0. Temos, portanto, y = m.0 + b, o 
que implica que y = b quando x = 0. No caso, b = -1. 
11 
 
 
2) Determine a lei da função do 1º grau cujo gráfico contém os pontos A(1, -2) e B(3, -1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escalas de temperatura 
Três escalas são comumente usadas para medir a temperatura – Celsius, Kelvin e Fahrenheit. No Brasil 
adota-se a escala em graus Celsius, mas em países de língua inglesa a escala em graus Fahrenheit é 
utilizada. A escala Celsius aponta como temperatura de fusão da água 0º e de ebulição 100º enquanto 
que esses pontos na escala Fahrenheit são 32º e 212º, respectivamente. Já a escala Kelvin é utilizada no 
meio científico. Nela a ausência completa de vibração das moléculas é denotada como 0 K, o ponto de 
fusão da água ocorre em 273 K e o de ebulição em 373 K. Tomadas duas a duas, há uma 
correspondência afim entre as três escalas. Vamos determinar a função que relaciona as escalas Celsius 
e Fahrenheit. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU (Função quadrática) 
 
Característica: o gráfico é uma parábola. 
Lei geral: y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0 
 
a Æ indica se a concavidade da parábola é voltada para cima ou para baixo. 
 a > 0: concavidade voltada para cima 
 a < 0: concavidade voltada para baixo 
 
b Æ indica se a parábola está “subindo” ou “descendo”, quando intercepta o eixo y. 
 b > 0: a parte crescente da parábola intercepta o eixo y 
 b < 0: a parte decrescente da parábola intercepta o eixo y 
 
c Æ termo independente: como todos os termos independentes de funções polinomiais, o “c” indica o 
ponto de intersecção do gráfico com o eixo y. 
 c > 0: corta o eixo y acima da origem 
 c = 0: corta o eixo y na origem 
 c < 0: corta o eixo y abaixo da origem 
12 
 
 
Os gráficos das funções quadráticas são parábolas cujas posições dependem dos coeficientes a, b e c. 
 
 
Vértice 
 Vértice de uma parábola é o ponto de máximo quando a concavidade é voltada para baixo e ponto 
de mínimo quando a concavidade é voltada para cima. 
 Sendo o vértice um ponto, é localizado no plano por um par de números. Chamando esse ponto de 
V, temos V(xv; yv), onde 
2
"x'xx v
� (x’ e x” são as raízes da função) ou a
bxv 2� . A ordenada do 
vértice (yv) pode ser determinada substituindo xv na função. 
 
 
Raízes da função quadrática 
 Sabemos já que as raízes, ou zeros, de uma função são os valores de x que anulam a função. 
Sendo cbxax)x(f 2 �� , determinamos as raízes x1 e x2 fazendo ax2 + bx + c = 0. Para calcular, usa-
se a fórmula de Bhaskara. 
a2
bx 'r� , onde ' = b2 – 4ac 
 
O sinal de ' determina as características das raízes: 
 
' > 0 Ÿ 2 raízes reais e diferentes 
 
 
' = 0 Ÿ 2 raízes reais e iguais 
 
 
13 
 
 
' < 0 Ÿ não existem raízes reais 
 
 
 
 
 
 
Conhecendo-se as raízes 1x e 2x da função, a expressão cbxaxy 2 �� é equivalente a 
)xx)(xx(ay 21 �� , ou seja, )xx)(xx(acbxax 212 �� �� . 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Dada a função y = 2x2 – 8x + 6, determine as coordenadas do vértice, as raízes, domínio, imagem e 
faça o esboço do gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) A porcentagem p de bactérias em uma certa cultura sempre decresce em função do número t de 
segundos em que ela fica exposta à radiação, segundo a relação p(t) = 100 – 15t + 0,5t2. 
a) Após 5s de exposição, qual é o percentual de bactérias existentes na cultura? 
b) Após quantos segundos de exposição ocorre a eliminação de toda a cultura? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
 
3) Os termos Custo, Receita e Lucro são próprios da área econômica. Nesse contexto, relacionamos 
Custo às despesas, fixas e variáveis, de um indivíduo ou empresa; a Receita está ligada ao 
faturamento bruto da entidade e Lucro é a diferença entre Receita e Custo, ou seja: 
Lucro = Receita – Custo 
 
Considere que uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a 
um preço de R$ 200,00 por unidade (ampola). Se o custo total de produção (em reais) para x 
unidades for 
C(x) = 500.000 + 80x + 0,003x2 
 
quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para o lucro ser 
máximo? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Um canil retangular será construído aproveitando-se o muro do quintal e um total de 8m de cerca 
que sobraram de uma reforma. Nessas condições, qual a área máxima que esse canil pode ter? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. FUNÇÃO DO TIPO y = xn 
Abaixo serão mostradas algumas funções do tipo y = xn que terão importância no nosso estudo 
posterior. Fica a cargo do leitor um aprofundamento desse conteúdo. 
 
4.1 Função Identidade � �xy 
A função afim do tipo axy , com 0a z , é chamada de linear. Particularmente a função xy é 
chamada de função identidade. Abaixo o gráfico dessa função. 
 
 
4.2 Função 2xy 
A função 2xy é um caso particular da função quadrática. Abaixo seu gráfico. 
 
 
 
4.3 Função 3xy 
Funções do tipo dcxbxaxy 23 ��� são chamadas de cúbicas. Assim, 3xy é um caso particular 
da função cúbica. Abaixo é mostrado seu gráfico. 
 
 
 
 
 
16 
 
 
4.4 Função Raiz quadrada ¹¸
·
©¨
§ 2
1
xxy 
A função raiz quadrada tem por domínio o intervalo [0, +∞), pois no conjunto dos números reais não 
estão definidas as raízes quadradas de números negativos . Abaixo é mostrado o gráfico dessa função. 
 
4.5 Função Raiz cúbica ¹¸
·
©¨
§ 3
1
xxy 3 
A função raiz cúbica tem por domínio o conjunto dos reais ( ). Abaixo é mostrado o gráfico dessa 
função. 
 
4.6 Função 1xx
1y � 
O domínio dessa função exclui o zero ( ), pois a divisão por zero não está definida. Abaixo é 
mostrado o gráfico. 
 
 
 
17 
 
 
5. FUNÇÃO DEFINIDA POR PARTES 
Existem funções cuja lei de formação é dada por uma sentença composta por duas ou mais partes. 
Observe o exemplo a seguir: 
 
Os clientes das companhias telefônicas Tchau® têm a disposição o Plano 50, que consiste num limite 
preestabelecido de 50min em ligações ao custo mensal de R$ 30,00. Se esse limite é ultrapassado, cada 
minuto excedente tem um custo de R$ 1,20. 
a) Qual será o valor da conta de um cliente que usou 20min em ligações? 
 
 
 
 
 
 
b) Qual será o valor da conta de um cliente que usou 60min em ligações? 
 
 
 
 
 
 
 
c) Expresse essa função em forma de uma lei matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outro exemplo: 
Dada a função definida por 
¯
®
­
���
t 
0xse,1x
0xse,x)x(f
2
, pede-se: 
a) f(4) = 
b) f(1) = 
c) f(0) = 
d) f(-3) = 
e) f(-10) = 
f) Esboce o gráfico dessa função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
5.1 Função Modular 
 Considere a reta real de origem O e um ponto P de abcissa x. 
 
 
 
 Chamamos módulo, ou valor absoluto, de x, e indicamos por |x|, a distância entre os pontos P e O 
na reta real. Note que como módulo é uma distância, ele será sempre positivo ou nulo. Assim, define-se 
módulo do número x como: 
¯
®
­
�
t 0x sex,-
0x se,x|x| 
 
 
Exemplos: 
 
a) |5| = b) |7| � = c) |35| � =
d) |25| � = 
 
A função modular pode ser apresentada como 
¯
®
­
�
t 0x sex,-
0x se,x|x|)x(f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Faça o gráfico da função y = |x + 2| e indique domínio e imagem da função. 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
Exercícios: 
 
1) Dada a função representada pelo gráfico ao lado, 
 determine: 
 
a) f(-2) = 
b) f(5) = 
c) f(-3) = 
d) D(f) = 
e) Im(f) = 
f) os valores de x em que f(x) > 0 
g) os valores de x em que f(x) < 0 
 
2) Determine f(0), f(2), f(-2), f(3), f( 2 ) e f(5) nas funções abaixo: 
 
(a) f(x) = 3x2 – 2 
(b) 
¯
®
­
!
d 
1x 3x,
1x ,x)x(f
2
 
 
3) Encontre o domínio das seguintes funções: 
a) 3x
1)x(f
�
 
b) f(x) = 3 x 
c) x3)x(f � 
d) 
25x
x)x(g 2 �
 
e) h(x) = 3 + x 
f) g(x) = x3 + 2 
 
4) Para encher uma caixa d’água cilíndrica são abertas duas torneiras que despejam água à razão 
constante. Represente um esboço do gráfico que pode representar a altura (h) do nível de água na 
caixa em função do tempo (t) em que as torneiras ficam abertas. 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
 
5) Dada a função f(x) = x3 – 1, determine seu domínio e faça o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Dada a função real de variável real, definida por 5x
3)x(f � , determine: 
a) D(f) = 
b) f(1) = 
c) o valor de x em que f(x) = 4 
 
 
7) Faça o gráfico das seguintes funções: 
 
a) y = 2x – 3 
b) y = -x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determine a lei da função polinomial do 1º grau cujo gráfico passa pelos pontos A(-2, 3) e B(2, 0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
21 
 
 
9) Atualmente as escalas de temperatura em uso são Celsius, Fahrenheit e Kelvin. Em 1731, o físico e 
inventor francês, René-Antoine Ferchault de Réaumur desenvoleu a escala Réaumur (ºR). É 
possível estabelecer uma relação entre as escalas Celsius e Réaumur, mostrada no gráfico abaixo. 
(a) Qual a lei matemática que relaciona R em função de C? (b) Se as escalas Celsius e Fahrenheit se 
relacionam segundo a lei 32C8,1F � , qual função relaciona as escalas F e R? 
 
 
 
 
10) Em um dia de inverno, a temperatura T de uma região do Rio Grande do Sul, em graus Celsius, em 
função do horário x, no período das 5h às 11h, pôde ser descrita pelo gráfico abaixo. Qual a lei 
matemática que expressa a função descrita pelo gráfico nesse intervalo de tempo? 
 
 
 
 
 
 
 
11) Durante um passeio noturno de barco, diversão preferida de um grupo de jovens, surgiu uma 
situação de perigo, em que houve necessidade de disparar um sinalizador para avisar o restante do 
grupo que ficara no acampamento. A função que descreve o movimento do sinal luminoso é dada 
pela expressão 2t3t30)t(h � , onde h é a altura do sinal em metros e t, o tempo decorrido em 
segundos, desde o disparo até o momento em que o sinalizador cai na água. (a) Qual a altura 
máxima atingida pelo sinalizador? (b) Após quantos segundos o sinalizador cai na água? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 
 
 
12) Um projétil é lançado do solo, verticalmente para cima. A função que relaciona a altura h, em 
metros, e o tempo t, em segundos, é representada por 2t4t80)t(h � . Nessas condições, após 
quanto tempo o projétil atinge a altura máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13) Uma pequena empresa de reciclagem tem seu lucro mensal dado por 5,0x2x2,0)x(L 2 ��� , 
onde x representa a massa de produto reciclado, em dezenas de quilogramas, e L representa o lucro, 
em milhares de reais. Qual o lucro máximo mensal possível nessa empresa, segundo essa função? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Faça o gráfico das seguintes funções, determinando as coordenadas do vértice e as raízes, caso 
existam. 
a) y = x2 – 5x + 6 
b) y = 4x – x2 
c) y = -x2 + 4x – 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
23 
 
 
15) O programa de computador de uma empresa de transporte indica o preço P, em reais, dos fretes de 
acordo com a lei matemática 
¯
®
­
!�
d� 100d se100),-2(d300
100d se,d50,250P , onde d é a distância, em km. A 
partir disso, pergunta-se: 
 
a) Qual preço do frete para uma distância de 120km. 
 
 
 
 
 
 
b) Se o custo foi de R$ 500,00, qual foi a distância do frete? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) Uma empresa pública de fornecimento de água cobra R$ 60,00 a título de taxa fixa, que dá direito 
ao usuário consumir mensalmente até 15m3 de água. Além desse volume, é cobrado um acréscimo 
de R$ 5,00 por m3 de excesso. (a) Se um usuário teve que pagar R$ 80,00, qual foi seu consumo 
mensal de água? (b) Crie uma lei matemática que forneça o preço mensal P a pagar pela conta de 
água em função do número x de m3 de água consumidos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Represente graficamente a função 
°¯
°®
­
t
����
�d�
 
3x se ,2
3x2 se ,4x
2x se ,x
)x(f 2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
 
 
18) A quantidade q de unidades vendidas diariamente de um certo produto varia conforme o preço unitário 
p (em reais), segundo a função q = 80 – 2p (com p > 0 e q > 0). A receita total diária é obtida 
multiplicando-se a quantidade de unidades vendidas pelo preço unitário cobrado )pqR( ˜ . De 
acordo com essa lei, qual o preço do produto que provoca a receita máxima? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Faça o gráfico da função 1|1x|y �� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20) Resolva as equações abaixo: 
a) |x + 1| = 3 
 
 
 
 
 
 
b) |2x – 1| = 5 
 
 
 
 
 
 
21) O valor V, em reais, da conta mensal de energia elétrica é calculado a partir do consumo C, em 
kWh. Para consumos inferiores ou iguais a 200 kWh, o valor do kWh é de R$ 0,30. No entanto, 
para consumos superiores, o valor do kWh é acrescido de 50% para a parcela que exceder a 200 
kWh. Escreva a lei matemática que relaciona o valor V a pagar em função do consumo C. 
 
 
 
 
 
25 
 
 
 
22) Dadas as funções a seguir, construir seus gráficos, determinar seus domínios e imagens: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
 
 
26 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
 
1. LIMITES 
 O conceito de limite é fundamental no estudo que desenvolveremos a partir desse capítulo: taxas de 
variação. Em várias situações do cotidiano usamos o conceito de limite sem nos darmos conta. Por 
exemplo, um fio de náilon preso numa das pontas ao teto de uma casa; há um limite máximo de massa 
que esse fio consegue suportar. A partir de um determinado “peso”, o fio não resiste e se parte. 
 O mesmo ocorre num balão. A borracha se expande até um determinado limite. Ultrapassando esse 
ponto, o balão estoura. 
 
Considere o seguinte exemplo: 
 O reservatório de água de uma cidade foi contaminado num acidente químico com um composto 
cancerígeno. A empresa contratada para a descontaminação apresentou como custo do processo uma lei 
matemática que leva em consideração o percentual do agente tóxico que deverá ser removido. Tal custo 
é expresso pela lei 
x100
x5,0)xC(
�
 
 Onde x representa o percentual do composto a ser removido e C(x) representa o custo, em centenas 
de milhares de reais. 
 
(a) Determine o custo da remoção para 50%, 80% e 90% do agente tóxico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Se a prefeitura dispuser de R$ 1.000.000,00 para o processo, qual percentual do agente tóxico 
consegue ser eliminado? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(c) O que ocorre à medida que o percentual a eliminar do agente cancerígeno se aproxima de 100%? 
 
 
 
 
 
 
27 
 
 
 O uso mais básico de limites consiste em determinar como uma função se comporta à medida que 
aproximamos a variável independente dessa função de um determinado valor. 
 
 
Vamos começar por exemplos simples:
Considere a função f(x) = x2 – x + 1. 
Vejamos o que ocorre quando fazemos se aproximar de 2. 
 
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 
f(x) 1 1,75 2,71 2,9701 2,997001 
 
Aqui, percebemos que à medida que x se aproxima de 2, por valores menores do que 2, a função se 
aproxima de _____. 
 
Dizemos que esse número é o limite da função quando x tende a 2 pela esquerda e denotamos 
 ��
�o
)1xx(lim 2
2x
 
 
 
x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 
f(x) 7 4,75 3,31 3,0301 3,003001 
 
Aqui, percebemos que à medida que x se aproxima de 2, por valores maiores do que 2, a função se 
aproxima de _____. 
 
Dizemos que esse número é o limite da função quando x tende a 2 pela direita e denotamos 
 ��
�o
)1xx(lim 2
2x
 
 
Observe o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como tanto pela direita como pela esquerda do 2, nos aproximamos do mesmo valor da função, 
dizemos que o limite (limite bilateral) da função quando x se aproxima do 2 é _____. 
 
 ��
o
)1xx(lim 2
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definição (Informal): Se f(x) está definida no intervalo I e não necessariamente em k  I. Então 
L)x(flim
kx
 
o
 
pode ser lido como “o limite (limite bilateral) de f(x) quando x tende a k é L” e significa que 
podemos fazer os valores de f(x) ficam infinitesimalmente próximos a L conforme x toma 
valores inifinitesimalmente próximos a k. 
 
28 
 
 
Outro exemplo: 
Considere a função 4x
16x)x(f
2
�
� . 
 
Vejamos o que ocorre quando fazemos x se aproximar de 4. 
 
x 3 3,5 3,9 3,99 3,999 
f(x) 7 7,5 7,9 7,99 7,999 
 
x 5 4,5 4,1 4,01 4,001 
f(x) 9 8,5 8,1 8,01 8,001 
 
 Note que a função não está definida para x = 4, mas à medida que x se aproxima de 4 a função f(x) 
se aproxima de _____. 
 
 Denotamos 
�
�
o 4x
16xlim
2
4x
 
 
Observe o gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Finalmente, analisemos a função 
¯
®
­
!�
d� 2x se,x5
2x se,1x)x(f . 
 
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 
f(x) 0 0,5 0,9 0,99 0,999 
 
x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 
f(x) 2 2,5 2,9 2,99 2,999 
 
 
 A função está definida para x = 2? 
 O que ocorre, nesse caso, à medida que x se 
aproxima de 2? 
 
 
 
Observe o gráfico: 
 
 Nesse caso, dizemos que )(lim
2
xf
xo
NÃO 
EXISTE, pois os limites laterais são diferentes. 
 
 
 
 
29 
 
 
 
)x(flim
kxo
 existe e é igual a L se, e somente se, L)x(flim)x(flim
kxkx
 
�� oo
 
 
 
Mais um exemplo: 
Considere a função x
1)x(f . 
 
 1 10 100 1000 10000 
 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 
 
 -1 -10 -100 -1000 -10000 
 -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 
 
 
 Perceba que nesse caso, à medida que aumentamos indefinidamente o valor de x, tanto positivo 
como negativo, o valor resultante na função se aproxima cada vez mais de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando x tende a ou , f(x) tende a ______. 
 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
1.1. Limites infinitos 
Às vezes os limites laterais ou bilaterais não existem porque os valores da função crescem ou decrescem 
indefinidamente. 
Considere novamente a função x
1)x(f . 
 
x 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 
f(x) 1 10 100 1000 10000 
 
x -1 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 
f(x) -1 -10 -100 -1000 -10000 
 
 Nessa situação, escreveremos: 
 
 
�o
)x(flim
0x
 
 
�o
)x(flim
0x
 
 
�fo
)(lim xf
x
 
 
 
�fo
)(lim xf
x
 
 
30 
 
 
 
o
)x(flim
0x
 
 É importante uma distinção. Nos três casos acima o limite NÃO EXISTE, mas no primeiro e no 
segundo damos como resposta +∞ e -∞ para diferenciar do terceiro, que escrevemos textualmente “não 
existe” devido ao fato de os limites laterais serem diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Esboce um gráfico de uma função f com as seguintes propriedades: 
 
 
 
i) o domínio de f é (-∞, 3] 
ii) f(-2) = f(3) = 1 
iii) 3)x(flim
2x
 
�o
 
iv) 0)x(flim
0x
 
o
 
v) 1)x(flim
3x
� 
�o
 
 
 
 
 
3) ��o 2x
6lim
2x
 
 
 
 
4) � � ��
o
5x3xlim 2
2x
 
Definição (Informal): Se f(x) está definida no intervalo e não necessariamente em k  I. Então 
f 
o
)x(flim
kx
 
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tanto quanto 
quisermos) por meio de uma escolha adequada de x nas proximidades de k. 
 
 
a) f(0) = e) � )2(f 
 
b) 
�o
)x(flim
0x
 f) 
�o
)x(flim
2x
 
 
c) 
�o
)x(flim
0x
 g) 
��o
)x(flim
4x
 
 
d) )x(flim
0xo
 h) 
�fo
)x(flim
x
 
 
 
31 
 
 
5) Esboce dois gráficos de funções com as seguintes características: 
a) o domínio de cada função é 5) ,3[� . 
b) 2)0(f . 
c) )x(flim
1xo
 não existe. 
d) 0)x(f � se 2x0 �� . 
 
 
 
1.2. Limites – técnicas para calcular 
Na seção anterior, o cálculo de limites foi feito por aproximação. No entanto essa técnica é insuficiente 
para o cálculo de limites em algumas funções. Considere ¸
¹
·¨
©
§ S xseny , cujo gráfico está representado 
abaixo. Ao lado é mostrada uma tabela com valores que faz o leitor chegar à conclusão errada de que à 
medida que x se aproxima de zero a função também se aproxima de zero. Nota-se, pelo gráfico, que a 
função oscila cada vez mais rapidamente entre -1 e 1 à medida que x tende a zero, portanto não se 
aproxima de nenhum limite. 
 
 
 
 Por isso, nessa seção aprenderemos técnicas algébricas para o cálculo de limites de funções. 
Começamos explorando os resultados em algumas funções, cujos gráficos são mostrados. 
 
1) 
o
klim
ax
 
 
�fo
klim
x
 
 
�fo
klim
x 
 
¸
¹
·¨
©
§ S xseny 
x y 
1 0 
0,1 0 
0,01 0 
0,001 0 
0,0001 0 
 
 
32 
 
 
 
 
 2) 
o
xlim
ax
 
 
�fo
xlim
x
 
 
�fo
xlim
x
 
 
 
 
 
 3) 
�o x
1lim
0x
 
 
�o x
1lim
0x
 
 
�fo x
1lim
x
 
 
�fo x
1lim
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Agora vamos considerar a função f(x) = x e a função g(x) = 3. Se fazemos h(x) = f(x) + g(x) , 
temos que h(x) = x + 3. Calculando o limite de cada uma dessas função quando x tende a 2, por 
exemplo, temos: 
(a) 2xlim)x(flim
2x2x
 
oo
 
(b) 33lim)x(glim
2x2x
 
oo
 (limite de uma constante é a própria constante) 
(c) 53limxlim)3x(lim)x(hlim
2x2x2x2x
 � � 
oooo
 
 
 
Teorema: Seja a um número real e suponha que 1ax L)x(flim o e 2ax L)x(glim o , 
 então: (a) 21axaxax LL)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[ lim � � � ooo 
 (b) 21axaxax LL)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[ lim � � � ooo 
 (c) 21axaxax LL)x(glim)x(flim)]x(g)x(f[ lim ˜ ˜ ˜ ooo 
 (d)
2
1
ax
ax
ax L
L
)x(glim
)x(flim
)x(g
)x(f lim »¼
º
«¬
ª
o
o
o
, (se L2 ≠ 0) 
 (e) n 1n
ax
n
ax
L)x(flim)x(flim 
oo
 (se for par, ). 
 
 
 
33 
 
 
Obs.: 
1) Essas afirmações também valem para os limites laterais quando �o ax ou �o ax . 
2) Ainda que os resultados (a) e (c) tenham sido formulados para duas funções f e g, esses resultados são 
válidos para um número qualquer finito de funções. 
 
 No caso especial da parte (c) em que f(x) = k é uma função constante, temos 
)x(glimk)x(glimklim))x(gk(lim
axaxaxax oooo
˜ ˜ ˜ 
 
 Ou seja, um fator constante pode ser removido do limite. 
 
 
 
1.3. Limites de polinômios e funções racionais quando axo 
 
 Um polinômio de grau é uma função da forma 
 
onde n3210 c,,c ,c ,c ,c �  e z0c 0. 
 
Para qualquer polinômio nn
3
3
2
210 xCxCxCxCC)x(p ����� � e qualquer número real a, temos 
que 
� � )a(paC...aCaCCxC...xCxCClim
nn2210nn2210ax ���� ����o 
 
ou seja, para calcular o limite de um polinômio quando axo , podemos apenas substituir x por a. 
 
 Em relação às funções racionais )x(Q
)x(P)x(f , em que P(x) e Q(x) são polinômios, para calcular 
)(lim xf
axo
 temos três casos dependendo dos valores de P(a) e Q(a). 
 
 
1.3.1 O limite do denominador não é zero 
 Nesse caso, o limite pode ser obtido apenas substituindo a variável independente, pois numerador e 
denominador são polinômios. 
 
Exemplo: 
1) 
�
��
o 1x3
1x3x4lim 2
2
1x
 
 
 
 
 
2) 
�
�
o 1x
3xlim 21x 
 
 
 
 
34 
 
 
1.3.2 O limite do numerador e denominador são nulos 
 Em matemática, a fração b
a , quando a e b tendem a zero, é chamada de indeterminação do tipo 
0
0 . 
Como a e b se aproximam de zero, o resultado é indeterminado. No cálculo desse tipo de limite, 
lançamos mão de algumas técnicas algébricas. 
 
Exemplos: 
3) 
��
�
�o 12xx
8x2lim 24x 
 
 
 
 
 
 
 
4) 
�
��
o 2x2
1x3x4lim 2
2
1x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) �
�
o 1x
1xlim
3
1x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) 
�
�
o 4x
2xlim
4x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
 
1.3.3 Somente o limite do denominador é nulo 
 Nesse caso, o denominador se aproxima de zero enquanto o numerador não. Com isso, o limite não 
existe e ocorre uma das três situação a seguir: 
 
a) o resultado cresce indefinidamente (limite tende a +∞) 
b) o resultado decresce indefinidamente (limite tende a -∞) 
c) o resultado cresce e decresce indefinidamente dependendo do lado da aproximação feita. Nesse 
caso, dizemos textualmente que o limite não existe. 
 
Os gráficos abaixo mostram cada uma dessas situações. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 No cálculo desse tipo de limite, o que precisa ser feito é uma aproximação pela direita e pela 
esquerda do número que queremos investigar. 
 
 
Exemplos: 
1) 
��
�
�o 8x2x
x2lim 24x 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
��
�
�o 8x2x
x2lim 24x 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
8x2x
x2 lim 24x ��
�
o
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
 
 
1.4. Limites de (n natural) quando �fox ou �fox 
 Os gráficos abaixo mostram claramente o comportamento no infinito dos polinômios do tipo 
nx)x(p . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
�fo
x lim
x
 
�fo
2
x
x lim 
�fo
3
x
x lim 
 
�fo
x lim
x
 
�fo
2
x
x lim 
�fo
3
x
x lim 
 
 A multiplicação de um número por nx não afeta o limite se esse número for positivo, mas inverte o 
sinal se o número for negativo. 
 
Exemplos: 
 
1) 
�fo
6
x
x7 lim 
 
2) 
�fo
5
x
x2- lim 
 
 
1.5. Limites de polinômios e funções racionais quando �fox ou �fox 
 Devemos estar atentos ao termo de maior grau, pois o comportamento da função está diretamente 
relacionado ao seu comportamento quando �fox ou �fox . 
 
Exemplo: 
 
1) � � ��
�fo
345
x
x8x9x2lim 
 
 5x2 4x9� 3x8� Valor da função 
x = 1 
x = 10 
x = 100 
x = 1000 
 
 É fácil perceber que o termo 5x define o comportamento da função no infinito. Assim, para o 
cálculo de limites no infinito de um polinômio precisamos considerar apenas o termo de maior grau. 
 
37 
 
 
 Por exemplo1, � � � � �f � ����
�fo�fo
4
x
24
x
x2lim7xx3x2lim . 
 No caso de funções racionais, como se trata de uma razão entre polinômios, procedemos do mesmo 
modo, apenas considerando o termo de maior grau tanto no numerador quanto no denominador. 
 
Exemplos: 
1) 
�
�
�fo 5x2
3x4 lim
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
�
��
�fo 1x4
5xx2 lim 3
2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
�
�
�fo 5x3
xx2 lim
2
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) O custo médio, em reais, de um produto é dado pela função x
3000 1,8 = )xC( � , em que 
representa a quantidade de produtos fabricados. Calcule )xC( lim
x �fo
 e interprete o resultado obtido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 Essa equivalência é justificada matematicamente pela propriedade (c) dos limites. Tente desenvolver esse 
raciocínio. 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.6. Limites envolvendo radicais 
 No cálculo de limites envolvendo radicais, a propriedade n
ax
n
ax
)x(flim)x(flim
oo
 nos permite o 
uso da mesma estratégia anterior para limites no infinito envolvendo polinômios. 
 
Exemplos: 
 
1) 
�
�
�fo
3
x 8x2
5x16 lim 
 
 
 
 
 
 
2) 
�
�
�fo 5x2
4x3 lim
2x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.7. Limites de funções definidas por partes 
 O cálculo de limites em funções definidas por mais de uma sentença depende exclusivamente do 
local onde se quer investigar o limite. O ponto mais importante é aquele em que a função muda de 
sentença. 
 
 
Exemplos: 
1) Determine )x(h lim
1xo
 para 
¯
®
­
!�
d� 
1x se,x2
1x se,x4)x(h 2
2
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine )x(f lim
0xo
 para 
¯
®
­
 
z 0x se2,
0x se|,x|)x(f . 
 
39 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.8. Assíntotas 
 Do grego asymptotos, que significa “que não pode atingir”. Nesse tópico estudaremos apenas as 
assíntotas verticais e horizontais, deixando a cargo do leitor o aprofundamento em outros tipos de 
assíntotas. 
 
1.8.1 Assíntotas verticais 
 Diz-se que a reta kx é uma assíntota (vertical) quando rf 
�o
)x(flim
kx
 ou rf 
�o
)x(flim
kx
. 
Assim, à medida que x se aproxima de k o valor da função cresce ou decresce indefinidamente, nunca 
atingindo a reta kx . Os gráficos abaixo mostram exemplos de assíntotas verticais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 É importante ressaltar no terceiro gráfico acima que, mesmo se a)k(f , a reta kx continuaria 
a ser uma assíntota vertical do gráfico, isto é, a assíntota vertical pode atingir o gráfico em um dos semi-
planos definidos por ela. 
 
 
1.8.2 Assíntotas horizontais 
Uma reta é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se f(x) tende a L quando x tende a 
+∞ ou -∞. O gráfico abaixo mostra que L)x(flim
x
 
�fo
 e portanto y = L é uma assíntota horizontal. 
 
 
Exemplos: 
1) Determine as assíntotas da função 4x2
2x6)x(f
�
� , caso existam. 
 
 
 
 
 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine as assíntotas da função 
4x
2x)x(f 2 �
� , caso existam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine as assíntotas da função 4x
8x2)x(f
2
�
� , caso existam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
Obs.: As questões 1 a 8 têm como fonte: 
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.124. 
 
1) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
3x �o
 
b) )xf( lim
3x �o
 
c) )xf( lim
3xo
 
d) f(3) 
e) )xf( lim
-x fo
 
f) )xf( lim
x �fo
 
 
 
2) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
2x �o
 
b) )xf( lim
2x �o
 
c) )xf( lim
2xo
 
d) f(2) 
 
 
41 
 
 
e) )xf( lim
-x fo
 
f) )xf( lim
x �fo
 
 
 
 
3) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
4x �o
 
b) )xf( lim
4x �o
 
c) )xf( lim
4xo
 
d) f(4) 
e) )xf( lim
-x fo
 
f) )xf( lim
x �fo
 
 
 
4) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
2x ��o
 
b) )xf( lim
2x ��o
 
c) )xf( lim
2x �o
 
d) f(-2) 
e) )xf( lim
-x fo
 
f) )xf( lim
x �fo
 
 
 
5) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
2x ��o
 
b) )xf( lim
2x ��o
 
c) )xf( lim
2x �o
 
d) f(2) 
e) )xf( lim
-x fo
 
f) )xf( lim
x �fo
6) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
4x �o
 
b) )xf( lim
4x �o
 
c) )xf( lim
4xo
 
d) f(4) 
e) )xf( lim
-x fo
 
 
 
 
 
42 
 
 
f) )xf( lim
x �fo
 
 
 
 
7) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
0x �o
 
b) )xf( lim
0x �o
 
c) )xf( lim
0xo
 
d) f(0) 
e) )xf( lim
-x fo
 
f) )xf( lim
x �fo
 
 
8) Para a função f (gráfico abaixo), determine: 
 
a) )xf( lim
0x �o
 
b) )xf( lim
0x �o
 
c) )xf( lim
0xo
 
d) f(0) 
e) )xf( lim
-x fo
 
f) )xf( lim
x �fo
 
 
9) Resolva os limites abaixo: 
a) 
�o
2-xlim
2x
 
b) 
��o 3x
1lim
3x
 
 
 
10) Faça o esboço de um gráfico em que: 
 
i) )4 ,2()f(D � 
ii) 2)x(flim
0x
 
�o
 
iii) )x(flim
0xo
 não existe 
iv) 0)2(f 
v) 2)x(flim
4x
� 
�o
 
 
 
 
11) Faça o esboço de um gráfico em que: 
 
i) )4 ,2[)f(D � 
ii) 4x é uma assíntota 
iii) )x(flim
1xo
 não existe 
iv) 1)2(f � 
v) 1� é raiz 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
 
12) Um estudo dos níveis de formaldeído em 900 casas indicou que a emissão de vários produtos 
químicos pode diminuir com o passar do tempo. Os níveis médios de formaldeído (em partes por 
milhão) em uma casa são dados por 
2t
26,0t055,0)t(f
�
� 
 onde t representa a idade da casa em anos. 
 
a) Quando a casa é nova, qual é o nível médio emitido de formaldeído? 
b) A longo prazo, qual o nível de formol numa casa? 
 
 
 
 
 
13) O número de bactérias numa cultura exposta a certas condições varia de acordo com a lei 
1t
t2000100)t(N
�
� em que t indica o tempo, em minutos. 
a) Qual é o número inicial de bactérias nessa cultura? 
 
b) Qual é a população limite segundo essa lei matemática? 
 
 
 
 
 
 
14) Faça o esboço de um gráfico em que: 
 
 
i) )5,3()f(D � 
ii) )x(flim
2x �o
existe não 
iii) 5x é uma assíntota 
iv) �f 
o
 )x(flim
1x
 
 
 
 
15) Determine o valor dos limites pedidos. Se não existir, diga que não existe, justificando. Se o limite 
tender a +∞ ou -∞, indique essa resposta. 
(a) x
2)-x1)(x(lim
2x
�
�o
 
(b) 
4x
16xlim
16x �
�
o
 
(c) 
1x
6x8x2lim 2
2
1x �
��
o
 
(d) 
1x
6x8x2lim 2
2
x �
��
�fo
 
 
44 
 
 
(e) 21x )1x(
1xlim
�
�
o
 
(f) 
1x
5xxlim 2
3 23
x �
��
�fo
 
 
(g) 
xx
1x3lim
2x �
�
�fo
 
 
(h) 
3x
9xlim
9x �
�
o
 
 
(i) 
8x
xx3lim 2
4
x �
�
�fo
 
 
(j) 
4x3x
5x6xlim 2
2
1x ��
��
�o
 
 
(k) 
x4
xx4lim
32
4x �
�
o
 
(l) 
xx
x2xlim 3
32
x �
�
�fo
 
 
(m) 
36y
6ylim 26y �
�
o
 
 
(n) )x2(lim
x
�
�fo
 
 
(o) 3x
xlim
3x ��o 
 
(p) 
2x x64
x5lim
�
�
�fo
 
45 
 
 
(q) 
1x
1x lim
2
1x �
�
o
 
16) Um padeiro assa um pão num forno a uma temperatura de 250 ºC. Seja T = f(t) a temperatura do pão 
assado minutos depois de retirado do forno. A figura abaixo mostra a temperatura T do pão em 
função do tempo t desde que foi retirado do forno, onde r denota a temperatura ambiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17) Dada a função 
¯
®
­
�
t 
1 x se,x2
1 x se,x)x(f
2
, determine )x(f lim
1xo
ou diga que não existe, justificando sua 
resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
18) Dada a função 
¯
®
­
��
t� 
1 x se1,x3
1 x se, 2x)x(f
2
, determine )x(f lim
1xo
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19) Determine, se houver, as assíntotas das funções: 
a) 2x
3x6)x(f
�
� 
 
 
 
 
b) 
1x
8x2)x(f
2
�
� 
 
 
 
 
 (a) Qual é o significado de )t(flim
0t �o
? 
 (b) Qual é o significado de )t(flim
t fo
? 
 
 
46 
 
 
c) 
4x
2x)x(f 2 �
� 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
 
1. CONTINUIDADE 
 Nas funções, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, fenômenos físicos. Num gráfico, por 
exemplo, do volume de combustível no tanque em função da distância percorrida, uma possível 
representação aparece abaixo: 
 
 Note que as retas tracejadas indicam as paradas que o condutor fez para o reabastecimento do 
veículo. Nesse momento ocorre uma interrupção no traçado da função. Essa interrupção é chamada de 
descontinuidade. 
 
 Intuitivamente, o gráfico de uma função pode ser descrito como uma curva contínua se não 
apresentar quebras ou buracos. Para tornar essa ideia mais precisa, precisamos entender quais 
propriedades de uma função podem causar quebras ou buracos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em I, ocorre uma descontinuidade do tipo “bola”. Note que a função não está definida em c. 
 
 
 
 
I 
IV III 
II 
47 
 
 
Em II, ocorre uma descontinuidade do tipo “salto”. Perceba que )x(flim
cxo
 não existe. 
Em III, ocorre uma descontinuidade do tipo “fenda”. Nesse caso �f 
o
)x(flim
cx
. 
Em IV, o limite em c é definido assim como f(c), mas )c(f)x(flim
cx
z
o
. 
Dizemos que uma função é contínua em x = c se as seguintes condições estiverem satisfeitas: 
i) f(c) está definida 
ii) )x(flim
cxo
 existe, ou seja, )x(flim)x(flim
cxcx �� oo
 
iii) )c(f)x(flim
cx
 
o
 
 
Se uma ou mais das condições dessa definição falhar, então dizemos que a função tem uma 
descontinuidade em x = c. 
 
Exemplos: 
1) Determine se as seguintes funções são contínuas. Se ocorrer descontinuidade, indique onde. 
a) 
1x
1x)x(f
2
�
� 
 
 
 
 
 
b) 
°¯
°®
­
��
t
�
�
 
1x se,1x
1x se,2x
4x
)x(f
2
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
¯
®
­
��
t� 
2x se ,1x
2x se ,3x)x(f
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine os valores de x nos quais a função 
9x
5x2x)x(f 2
23
�
�� é contínua. 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verifique se a função 
°¯
°®
­
�
�
�
t�
 
0x,1x
4x
0x,2x
)x(f
2
 é contínua em toda parte. Se não for, indique os 
valores de x onde há descontinuidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre um valor constante , se possível, que faça a função 
¯
®
­
!
d� 2x ,xk
2x ,2x4)x(f 2 ficar contínua 
em toda parte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1. Descontinuidade removível 
 Diz-se que uma função f tem uma descontinuidade removível em x = c se )x(flim
cxo
 existe, ou seja, 
)x(flim)x(flim
cxcx �� oo
 , mas f não é contínua em x = c, ou porque f não está definida em c ou porque f(c) 
difere do valor do limite. 
 
 
Exemplos: 
1) A função 2x
1y
�
 possui uma descontinuidade removível? 
 
 
 
 
 
2) A função 
3x
x3xy
2
�
� possui uma descontinuidade removível? 
 
49 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios: 
1) Nas funções abaixo, determine os pontos de descontinuidade, se houver: 
a) 
°¯
°®
­
��
t�
 
1x,x
2x
1x,2x
)x(f
2
 
 
b) 2|x|
|x|)x(f
�
 
 
c) 
1x
x)x(f 2 �
 
 
 
d) 
9x
3x)x(f 2 �
� 
 
 
 
e) 
°
°
¯
°°®
­
!
�
�
d
�
�
 
0x se,
1x
3x
0x se,2x
2x
)x(f
2
2
 
 
 
 
f) 
°°
°
¯
°°
°
®
­
!
�
�
d!
d�
 
3x para ,
4x
42x
3x e 0x para 1,-2x
0x para ,2x
)x(f
2
2
 
 
 
 
2) Considere a seguinte situação: Uma caixa d’água abastece uma residência ao longo de uma 
semana. Nesse tempo, diversas vezes uma bomba é acionada, levando água do poço à caixa. O 
gráfico que representa o nível h de água na caixa em função do tempo t, ao longo dessa semana 
representa uma função contínua? Justifique. 
 
50 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine o valor de k, se possível, que torne
a função contínua. 
(a) 
¯
®
­
!
d� 2x ,kx
2x ,x28)x(f 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b)
¯
®
­
!�
d� 3x k,x2
3x , 2kx)x(f 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) (a) Esboce o gráfico de uma função de descontinuidade removível em x = c para a qual f(c) está 
indefinida. (b) Esboce o gráfico de uma função de descontinuidade removível em x = c para a qual 
f(c) está definida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Verifique se a função 
1x
1)x(f 2 �
 apresenta ou não descontinuidade. Se sim, é uma 
descontinuidade removível? 
 
 
 
51 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
1. DERIVADA 
 A derivada é um dos conceitos mais importantes do cálculo e está intimamente relacionado à taxa 
de variação instantânea de uma função. Pode ser utilizada para a determinação da velocidade ou 
aceleração de um móvel, para determinar a taxa de eliminação de um fármaco do organismo, para 
calcular pontos de máximo e de mínimo numa aplicação, para estimar o ritmo de propagação de uma 
epidemia ou crescimento de uma população. 
Iniciaremos esse capítulo explorando melhor a ideia de taxa de variação média e instantânea para 
desenvolver o conceito de derivada. 
 
 
1.1 Taxas de variação 
 Considere a situação de um aluno que vem de uma cidade distante para cursar a disciplina de 
Cálculo I aqui na Unisinos. Após a aula, ele embarca no ônibus e pergunta ao motorista qual a 
quilometragem que o odômetro está registrando – 63440km. Ao chegar no seu ponto de descida, 
questiona novamente o motorista – 63560km. Se ele anotou que o ônibus começou seu deslocamento às 
22h 40min e chegou ao seu destino às 0h 40min, a velocidade média nesse trajeto é fácil de ser obtida. 
Sabemos que a velocidade média é obtida fazendo a razão entre o deslocamento ('S) e o tempo gasto 
para realizá-lo ('t), ou seja: 
t
SVm '
' 
 No exemplo em questão, temos: 
h/km602
120Vm 
 
 Agora, prestemos atenção em outra situação: o gráfico abaixo mostra um exame corriqueiro para 
muitos indivíduos – a curva glicêmica. Às 10h da manhã, ao coletar sangue em jejum, o resultado 
apontou 77mg/dL de glicose. O paciente toma solução com 75g de açúcar e após 1h e 2h, são coletadas 
novas amostras para o acompanhamento da evolução glicêmica. Os índices são mostrados no gráfico. 
 
 
 
 Podemos obter a taxa de variação média do índice glicêmico, fazendo: 
horapor dL/mg18
2
36
1012
77113
t
Itxmed �
� 
'
' 
 
 
52 
 
 
 Essa informação, a taxa média de variação, é muito limitada. No 1º caso, o ônibus em muitos 
momentos teve uma velocidade muito diferente da média de 60km/h. No 2º, o crescimento de 18mg/dL 
a cada hora também é uma informação que não leva a conclusões importantes. Em ambas as situações, 
mais significativo seria a taxa de variação instantânea, a qual pode trazer informações muito mais 
relevantes. 
 No caso da velocidade instantânea num veículo, isso pode ser conseguido após uma espiada no 
velocímetro do carro ou no momento do registro da velocidade na lombada eletrônica. 
Matematicamente, conseguimos a velocidade instantânea quando reduzimos a um instante a variação de 
tempo. Ou seja: 
t
Slimv
0tinst '
' 
o'
 
 Observe os gráficos abaixo que mostram a redução do intervalo de tempo até um único instante. 
Note que a reta que une o ponto inicial e final do trajeto considerado tem sua taxa de variação calculada 
fazendo, genericamente, x
y
'
' , conforme visto anteriormente. Nos cinco primeiros gráficos, a reta é 
secante ao gráfico d x t. Conforme o intervalo de tempo considerado diminui, a inclinação da reta se 
modifica até que, quanto a variação de tempo tende a zero, a reta fica tangente ao ponto onde se quer 
determinar a velocidade. Portanto, a velocidade instantânea, ou mais genericamente, a taxa de variação 
instantânea, é dada pela declividade2 da reta tangente ao instante considerado. 
 
 
 
 A figura abaixo3 nos ajuda a compreender melhor o conceito de taxas de variação. A taxa de 
variação média é dada pela declividade da reta secante, enquanto que a taxa de variação instantânea é 
dada pela declividade da reta tangente ao ponto onde se quer determinar a taxa. 
 
 
2 A declividade de uma reta determina o ângulo D dessa reta em relação ao eixo x, medido no sentido anti-horário 
do eixo para a reta. Na equação y = mx + b, declividade é o coeficiente m da reta, chamado coeficiente angular, 
onde m = tan D. 
3 Fonte: ANTON, Howard; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
53 
 
 
 
 
 
h
)x(f)xh(flimxx
)x(f)x(flimx
ylimtx 00
0h0
0
xx0xinst 0
�� 
�
� 
'
' 
ooo'
 
 
 Com isso, estamos dizendo também que a declividade (m) de uma reta tangente num ponto 0x 
qualquer a uma curva pode ser calculada fazendo: 
 
h
)x(f)xh(flimm 00
0htan
�� 
o
 
 
 
 Em situações-problema, as taxas de variação média e instantânea estão contextualizadas. Assim, as 
respostas devem vir acompanhadas das respectivas unidades. Por exemplo: 
a) se y estiver em ºC e x em horas, então a unidade da taxa de variação deve ser ºC/h. 
b) se y estiver em m/s e x em segundos, então a unidade da taxa de variação deve ser m/s2. 
 
 O estudo das taxas de variação está presente em muitas áreas: um engenheiro pode necessitar saber 
com que taxa um fio se dilata em função da temperatura; um médico pode estar interessado na taxa com 
que o raio de uma artéria muda em função da quantidade de álcool na corrente sanguínea; um 
farmacêutico pode necessitar saber com que rapidez um antibiótico é eliminado do organismo. 
 
 
 
 
 
1.2 A derivada 
 O limite que usamos para determinar a taxa de variação instantânea ou a inclinação da reta tangente 
também é usado para definir uma das operações fundamentais do Cálculo – a diferenciação. 
A função 'f definida pela fórmula 
h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
�� 
o
 
 
é denominada derivada de f em relação a x. O domínio de 'f consiste em todos os valores de x do 
domínio de f para os quais existe este limite. O termo “derivada” é usado porque a função 'f deriva da 
função f por meio de um limite. 
 Quando a variável independente for x, a operação de derivação pode ser denotada por 
)]x(f[dx
d)x('f ou )]x(f[D)x('f x . 
 
Quando tivermos y = f(x), a derivada costuma ser denotada por 
 
54 
 
 
)x('y)x('f ou dx
dy)x('f . 
 
 Se quisermos determinar o valor da derivada num ponto x0, podemos indicar 
0xx
0 )]x(f[dx
d)x('f
 
 ou 
0xxx0
)]x(f[D)x('f ou )x('y)x('f 00 ou 
0xx
0 dx
dy)x('f
 
 . 
 
 
 
Duas interpretações da derivada 
1- A derivada 'f de uma função f é a função cujo valor em x é a inclinação da reta tangente ao 
gráfico de y = f(x) em x. 
2- A derivada 'f de uma função f é a função cujo valor em x é a taxa de variação instantânea de 
y = f(x) em relação a x. 
 
Exemplos: 
1) Um projétil é lançado verticalmente a partir do solo. Desprezando-se a resistência do ar e o cano da 
arma, e admitindo-se conhecida a aceleração da gravidade, calculou-se a função que relaciona o 
espaço (altura), em metros, e o tempo, em segundos, representada pela igualdade f(t) = 80t – 4t2. 
Nessas condições, determine: 
a) A velocidade do projétil num instante t qualquer. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) A velocidade do projétil após 5s do seu lançamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) A velocidade no exato instante que o projétil toca o solo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
 
 
2) Dado que f(2) = 1 e que 3)2('f , encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de 
)x(fy no ponto x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2.1 Diferenciabilidade 
 Como a derivada é definida por um limite, esse limite pode existir ou não em determinados
pontos 
da função. Isso significa que uma função pode não ser diferenciável em toda a parte. Basicamente são 
três os casos em que uma função não é diferenciável num ponto. 
 
 
1º caso: se uma função não for contínua num ponto 
 O gráfico abaixo mostra uma função que é descontínua em x = 2. Logo, a função não é 
diferenciável nesse ponto visto que não há uma mesma reta tangente à esquerda e à direita de x = 2. 
 
 
 
 
2º caso: a função possui um “bico” num ponto 
 O gráfico abaixo mostra a função |2x|)x(f � . Note que em x = 2 a inclinação pela esquerda e 
pela direita do ponto não coincide, o que implica que a função não é diferenciável em x = 2. 
 
 
 
 
56 
 
 
3º caso: a função tem um ponto de tangência vertical 
 A derivada é a declividade (m) da reta tangente no ponto. Vimos anteriormente que x
ym
'
' o que 
implica que m não é definido, visto que 'x = 0. 
 
 
 
 
1.2.2 Técnicas de diferenciação 
 Todas as técnicas de diferenciação serão aqui apresentadas sem prova, mas decorrem da definição 
de derivada já estudada. Para visualizar tais demonstrações, consulte a bibliografia recomendada. 
 
 
1) Derivada de uma constante 
 
 
 
 
 
2) Derivada de uma função potência 
 Se n é qualquer número real, então 1nn xn]x[dx
d �˜ . 
 
Exemplos: 
a) Se f(x) = x8, então )x('f = 
b) Se xy , então 'y = 
c) Se x)x(h , então )x('h = 
d) Se 2y)y(f � , então )y('f = 
e) Se 3 5xy , então 'y = 
f) Se f(x) = x0,6, então )x('f = 
g) Se 9t
1)t(f , então )t('f = 
 
Uma função constante tem o gráfico representado por uma 
reta horizontal. Em qualquer ponto do gráfico, a declividade 
da reta tangente é zero, o que nos leva à conclusão que 
0]c[dx
d . 
 
Exemplos: 
a) Se y = 3, então y’ = 
b) Se f(x) = -2, então f’(x) = 
57 
 
 
 
3) Derivada de uma constante vezes uma função 
 Se f é uma função diferenciável e c é uma constante, então )x(fdx
dc)]x(fc[dx
d ˜ ˜ , ou de 
maneira simplificada 
)x('fcdx
)]x(fc[d ˜ ˜ 
 
 
Exemplos: 
a) Se g(x) = 3x4, então )x('g = 
b) Se 32x9)x(h , então )x('h = 
c) Se x
2y , então 'y 
 
4) Derivada da soma ou diferença de 2 funções 
A derivada de uma soma (ou diferença) de duas funções diferenciáveis é a soma (ou diferença) de suas 
derivadas, ou seja, 
)x('g)x('f)]x(g)x(f[dx
d r r 
Exemplos: 
a) Se f(s) = s3 – 4s + 5, então )s('f 
b) Se x2x32
x)x(g 3
4
��� , então )x('g 
c) Se 410
410 x10
x
4x10x4y ��� , 'y = 
 
 
d) Em quais pontos o gráfico de y = x3 – 3x + 4 tem uma reta tangente horizontal? 
 
 
 
 
 
e) Se y = (3x – 2x2)(5 + 4x), determine 'y . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
 
5) Derivada do produto de 2 funções 
 O produto de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável. Além disso, a derivada do produto 
pode ser calculada pela expressão )x('g)x(f)x('f)x(g)]x(g)x(f[dx
d ˜�˜ ˜ . 
 
Exemplo: 
 Encontre a derivada de y = (3x – 2x2)(5 + 4x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Derivada do quociente de 2 funções 
O quociente g/f de duas funções diferenciáveis f e g é diferenciável em todos os pontos x para os quais 
g(x) z 0. Além disso, a derivada de f/g é dada por 
 
2)]x(g[
)x('g)x(f)x('f)x(g
dx
)]x(g/)x(f[d ˜�˜ . 
 
Exemplos: 
a) Encontre a derivada de 
1x
2x5y 2 �
� . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Se x
2x3)x(f
2 � , determine )2('f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
 
1.2.3 Derivadas de ordem superior 
 A derivada de uma função é novamente uma função, que pode ter sua própria derivada. Se 'f for 
diferenciável, então sua derivada é denotada po "f e é chamada derivada segunda de f. Enquanto 
tivermos diferenciabilidade, podemos continuar o processo de derivação para obter as derivadas terceira, 
quarta, quinta, etc. 
 
Notação: 
Derivada segunda: 2
2
dx
yd ,(x)f" ,"y 
Derivada terceira: 3
3
'"
dx
yd ,(x)f ,'"y 
Derivada quarta: 4
4
(4))4(
dx
yd ),x(f ,y 
Derivada n-ésima: n
n
(n))n(
dx
yd ),x(f ,y 
 
 E qual o significado de uma derivada segunda, por exemplo? Para entender isso mais claramente, 
observe os gráficos: 
 
 
 
 O gráfico acima representa a função posição de um móvel. Sabemos que a velocidade em um ponto 
é determinada pelo valor da derivada naquele ponto, ou t
Slimv
0tinst '
' 
o'
, cuja unidade, nesse caso, é 
m/s. Ou seja, se determinarmos a velocidade em diferentes pontos, podemos esboçar a curva v x t, que é 
o gráfico da derivada da função posição, mostrado abaixo. 
 
 
 
 Fazendo idêntico raciocínio, derivando a função v(t) em diferentes pontos, obtemos a segunda 
derivada da função S(t). Como unidade, temos m/s2, que fisicamente traduz a aceleração de um corpo. 
Ou seja, a aceleração é obtida pela derivada segunda da função posição! 
 E podemos ir além. Qual é a aceleração da gravidade no planeta? Lembre que é de 9,8m/s2, o que 
significa que um corpo em queda livre, no vácuo, aumenta a velocidade de 9,8m/s a cada segundo. Pois 
bem, chamando a aceleração de a, temos a = 9,8. Mas a = v’(t) = 9,8; logo v(t) = 9,8t. Sabemos 
também que v(t) = S’(t), então S(t) = 4,9t2. Essa é a equação da queda livre dos corpos, a qual podemos 
utilizar para determinar a distância percorrida por um corpo em queda. Apesar de ela valer apenas no 
vácuo, sem interferência da resistência do ar, portanto, para pequenas distâncias o comportamento em 
corpos densos é muito semelhante. 
60 
 
 
Exemplo: 
Um vaso é largado do alto de um edifício de 100m. Após quanto tempo e com qual velocidade o vaso 
toca o solo? 
 
 
 
 
 
 
1.3 Funções trigonométricas 
As funções trigonométricas modelam fenômenos cíclicos, como, por exemplo, a subida das marés, o 
movimento de um pêndulo, os batimentos cardíacos, entre outros. Para compreender com mais clareza 
as características desse tipo de função, faremos uma breve revisão da trigonometria no círculo. 
 
 
1.3.1 Arcos e ângulos 
 Existem três sistemas para medida de ângulo, sendo a mais conhecida o grau (º), que ficou definido 
como o ângulo central de uma circunferência que foi dividida em 360 partes. Ainda há o grado (g), que 
foi uma tentativa de dividir a circunferência em 400 partes e que atualmente não é utilizado. A última é 
o radiano (rad) que é a medida de um arco cujo comprimento é o próprio raio da circunferência que 
contém esse arco. 
 
 Sendo o comprimento da circunferência de raio R igual a C = 2SR, temos que “cabem” na 
circunferência 2S arcos de comprimento igual ao raio, o que equivale dizer que 2S rad correspondem a 
360º. Estabelecendo a correspondência, 1 rad # 57,3º. 
 
 
 
1.3.2 Ciclo trigonométrico 
Consideremos um círculo de raio unitário (R = 1) centrado na origem do sistema cartesiano. O ponto 
A(1, 0) é a origem de todos os arcos (ângulos) e a circunferência O é orientada com sentido positivo 
anti-horário. 
 
 
1.3.2.1 A função de Euler 
Vamos definir a função E: Æ O que associa a cada número real um ponto P na circunferência O, 
conforme ilustrado abaixo. A função E é chamada função de Euler em homenagem ao seu criador, 
Leonhard Euler (1707-1783). 
 
 
x se 0t , então AP { , ou seja, os pontos P e 
A são coincidentes. 
x Se 0t ! , percorremos o ciclo no sentido 
anti-horário (positivo), a partir de A, e marcamos 
o ponto P, extremidade do arco AP , de 
comprimento t. 
x Se 0t � , percorremos o ciclo no sentido 
horário (negativo), a partir de A, e marcamos o 
ponto P, extremidade do arco AP, de 
comprimento | t |. 
 
61 
 
 
 Na prática, a função de Euler consiste em “enrolar” a reta real sobre a circunferência de modo que 
o zero da reta coincida com o ponto A(1, 0) e que o sentido positivo seja o anti-horário. 
 
 
 
1.3.3 Função seno 
No ciclo trigonométrico, se P é a extremidade de um
arco correspondente ao número x, conforme 
definido na função de Euler, definimos seno de x, e escrevemos sen (x), como a ordenada do ponto P. 
 
 Portanto: 
 A função seno é a função f: Æ que associa cada número real x a um sen (x). Denotamos a 
função seno como )x(sen)x(f . 
 A figura abaixo mostra o gráfico da função seno. 
 
1.3.4 Função cosseno 
No ciclo trigonométrico, se P é a extremidade de um arco correspondente ao número x, conforme 
definido na função de Euler, definimos cosseno de x, e escrevemos cos (x), como a abcissa do ponto P. 
 
 Portanto: 
 A função cosseno é a função f: Æ que associa cada número real x a um sen (x). Denotamos a 
função cosseno como )xcos()x(f . 
 A figura abaixo mostra o gráfico da função cosseno. 
 
62 
 
 
 
 As demais funções trigonométricas podem ser definidas em termos das funções sen x e cos x. São 
elas: 
x Função tangente (tan ou tg) 
)xcos(
)x(sen)x(tg)x(f 
 
 
 
x Função cossecante (csc ou cossec) 
)x(sen
1)xsec(cos)x(f 
 
 
 
x Função secante (sec) 
)xcos(
1)xsec()x(f 
 
 
63 
 
 
x Função cotangente 
)x(sen
)xcos(
)xtan(
1)x(gcot)x(f 
 
 
1.4 Derivadas de funções trigonométricas 
Consideremos a variável independente x das funções trigonométricas, quando se refere a ângulo, medida 
em radianos. As fórmulas de derivação são apresentadas abaixo. 
 
1) x cosx] sen[dx
d 
2) x ensx] [cosdx
d � 
3) x ecsx] tg[dx
d 2 
4) x tgx secx] [secdx
d ˜ 
5) x cotg x seccosx] sec[cosdx
d ˜� 
6) x seccosx] g[cotdx
d 2� 
 
 
Exemplos: 
1) Se f(x) = x2 + 2 cos x, determine )1('f . 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se x)x(senxy �˜ , determine dx
dy . 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
 
3) Sendo )x(sen 4)xcos(xy 2 � , determine 2
2
dx
yd . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y = sen (x) no ponto x = 0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Regra da cadeia 
Já vimos regras de derivação para alguns tipos de funções. No entanto, a derivada da função 
102 )xx()x(f � pode ser bem trabalhosa de ser obtida pelos métodos vistos. Um modo de resolver 
esse problema seria fazer a expansão de (x2 + x)10, o que é inviável pela extensão dos cálculos a fazer. 
Nessa seção, nossa estratégia será escrever f(x) como uma composta de funções mais simples que já 
sabemos derivar. 
Na função y = (x2 + x)10, podemos fazer u = x2 + x, o que permite escrever y = u10. O que queremos é o 
resultado dx
dy , que podemos obter fazendo dx
du
du
dy
dx
dy ˜ . As derivadas envolvidas que nos fazem 
resolver o problema inicial são simples. Se y = u10, então 9u10du
dy e se u = x2 + x, então 1x2dx
du � . 
Resolvemos o problema inicial fazendo )1x2()xx(10)1x2.(u10dx
dy 929 �˜� � . 
 
 
 
65 
 
 
 
Teorema: 
 Se y = f(u) é uma função diferenciável de u e u = g(x) é uma função diferenciável de x, então 
))x(g(fy é uma função diferenciável de x e )x('g))x(g('f))]x(g(f[dx
d ˜ . 
 Dizemos “regra da cadeia” porque a derivada que queremos calcular é obtida pelo encadeamento 
de duas ou mais funções como visto acima. Informalmente, a regra acima pode ser expressa em palavras 
como sendo “a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna”. 
 
x OBS: A regra da cadeia pode ser aplicada mais de uma vez na mesma função, se necessário. 
 
 
Exemplos: 
1) Determine a derivada das funções abaixo: 
(a) f(t) = (t3 + 2t)5 
 
 
 
 
 
 
 
(b) y = cos (x3) 
 
 
 
 
 
 
 
(c) f(x) = tan2 (4x) 
 
 
 
 
 
 
(d) 
3
2
y
5y2)y(f
�
¸¸¹
·
¨¨©
§ � 
 
 
 
 
 
 
 
(e) 22 )1x(
)x2(seny
�
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
1.6 Fórmulas generalizadas de derivação 
 Se usamos u e v como uma função de x, então as regras de derivação anteriormente vistas podem 
ser expressas como mostradas abaixo: 
1) 'umu]u[dx
d 1mm ˜ � 
2) 'uv'vu]vu[dx
d � ˜ 
3) 2v
'uv'vu
dx
]v/u[d � 
4) u'(u) cos]u sen[dx
d ˜ 
5) u'(u) sen]u [cosdx
d ˜� 
6) u'(u) sec]u tg[dx
d 2 ˜ 
7) u'(u) tgu)sec(]u [secdx
d ˜˜ 
8) u'(u) cotg(u) seccos]u sec[cosdx
d ˜˜� 
9) u'(u) seccos]u g[cotdx
d 2 ˜� 
 
 
Exemplos: 
1) Se 424 )]2x4sec(x[)x(f ��� , determine )x('f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Se )x2(sen1x2y ˜� , determine )x('f . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
 
 
3) Um estudo realizado pela câmara de comércio de uma cidade projetou que a população da cidade 
nos próximos três anos crescerá de acordo com a lei t20t3050000)t(P 23 �� onde P(t) denota a 
população daqui a t meses. 
a) Em 2 anos, qual será a população da cidade? 
b) Em 16 meses, com que rapidez a população dessa cidade estará crescendo? 
c) Entre o 1º e o 2º ano, qual foi a taxa média de crescimento populacional nessa cidade? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) O percentual de jovens obesos entre 12 e 19 anos nos Estados Unidos cresceu drasticamente nos 
últimos anos. O percentual de jovens obesos entre 1980 e 2000 é aproximado pela função 
5t 735,0t 0105,0)t(P 2 ��� ( 20t0 dd ) 
 onde t é medido em anos, com t = 0 correspondendo ao início de 1980. 
(a) Qual era o percentual de jovens obesos entre 12 e 19 anos no início de 1990? 
(b) Com que rapidez o percentual de crianças obesas estava mudando no início de 1985? 
(c) Em que ano o percentual de jovens obesos atingiu 10%? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
 
5) O número de pessoas entre 18 e 64 anos recebendo benefícios do sistema de seguridade social entre 
1990 e 2000 é aproximado pela função N(t) = 0,00037t3 – 0,0242t2 + 0,52t + 5,3 )10t0( dd , 
onde N é dado em milhões de habitantes e t é medido em anos, com t = 0 correspondendo a 1990. 
Com que rapidez o número de beneficiários está aumentando em 1996? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) A quantidade Q de nicotina, em mg, no corpo, t minutos depois de fumado um cigarro, é dada por 
)t(fQ . 
a) Interprete a afirmação f(20) = 0,36. 
b) Interprete a afirmação 002,0)20('f � . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) O número de bactérias em uma cultura no instante t, em minutos, após a aplicação de um 
bactericida experimental segue a regra 
2000
t1
10000)t(N 2 ��
 
a) Qual é o número inicial de bactérias? 
b) Com que rapidez a população da colônia está decrescendo após 3min? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Um estudo de impacto ambiental conduzido por um orgão governamental numa determinada 
cidade indicou que o nível de monóxido de carbono (CO), em partes por milhão, presente no ar 
devido à poluição por emissão de automóveis daqui a t anos será 32)64t4t2,0(01,0)t(C 2 �� . 
Determine a taxa com que a concentração de CO estará mudando daqui a cinco anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
Exercícios: 
1) Dada a função y = x2 – 1, 
(a) encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [1; 3]. 
 
 
 
 
 
 
 
(b) encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x num ponto genérico 0x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Usando a definição de derivada h
)x(f)hx(flim)x('f
0h
�� 
o
, determine a derivada da função 
xx)x(f 2 � . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: As questões 3 a 5 têm como fonte: 
ANTON, Howard. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1. p.176. 
 
 
3) A figura em anexo mostra a curva de posição versus tempo para um elevador que se move para 
cima até 60m e, então, descarrega seus passageiros . 
(a) Estime a velocidade instantânea do elevador quando t = 10s. 
(b) Esboce uma curva de velocidade versus tempo para o movimento do elevador no intervalo 
20t0 dd . 
 
 
70 
 
 
 
4) A figura em anexo mostra a curva de posição versus tempo para