EXERCICIOS CÁL. I 2016 1 UNIDADE II

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FACULDADE DE ADMINISTRAÇÃO E NEGÓCIOS DE SERGIPE
 CURSO: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO
	
 LISTA DE EXERCÍCIOS
ASSUNTO: EXTREMOS DE FUNÇÕES TAXAS RELACIONADAS E OTIMIZAÇÃO 
 
 PROFERSSOR: MARCOS AGUIAR	CÁLCULO I
I - TAXAS RELACIONADAS E OTIMIZAÇÃO
 1. Uma empresa de embalagens deseja confeccionar 800 caixas com tampa de base quadrada e volume de 10 litros. O custo do material usado nas laterais é 
e o custo do material usado na base e na tampa é de 
. Quais as dimensões que minimizam o custo e qual o custo das caixa? Qual o custo de material para fabricação de 800 unidades?
2. Uma escada de 12 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente à taxa constante de 
, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando ele está a 
 do solo.
3. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 
 de largura até uma fabrica situada do outro lado do rio, 
 do rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de 
 o metro, enquanto que para estendê-lo por terá custa 
o metro. Qual o percurso mais econômico para instalação do cabo? 
4. Um tanque tem forma de um cone circular reto invertido, com 4m de altura e raio da base 2m. Se a água entra no tanque à razão de 
, calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1m.
5. Durante varias semanas, o departamento de trânsito de uma certa cidade vem registrando a velocidade dos veículos que passam por um certo cruzamento. Os resultados mostram que entre 1 e 6 horas da tarde, a velocidade média neste cruzamento é dada aproximadamente por 
, onde 
 é o número de horas após, o meio dia. Qual instante, entre 1 e 6 horas da tarde, em que o trânsito é mais rápido? E qual o instante em que ele é mais lento?
	
 6. Um balão de ar quente sobe verticalmente à medida que a corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de 
. O carretel que libera a corda está a 6,5 m da plataforma de embarque dos passageiros. A que taxa o balão está subindo quando tiverem sido liberados 150m de corda?
7. Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 
 no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 4 m. Se o nível de água está subindo a uma taxa de 
 quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro. 
8. Deve-se construir um tanque para armazenar gás propano em forma de cilindro circular reto com dois hemisférios nas extremidades. O custo do metro quadrado dos hemisférios é o dobro do custo da parte cilíndrica. Se a capacidade do tanque deve ser de 
, que dimensões minimizará o custo de construção?
9. Um fazendeiro deseja cercar uma área de 3000 m2. Esta área deverá ser dividida em
duas faixas de três lotes cada uma, todos de igual área. Que dimensões destes lotes
possibilitarão uma quantidade mínima de cerca ?
10. Um terreno retangular deve ser cercado de duas formas. Dois lados opostos devem receber uma cerca
reforçada que custa R$ 3,00 o metro, enquanto que os dois lados restantes recebem uma cerca padrão
de R$ 2,00 o metro. Quais são as dimensões do terreno de maior área que pode ser cercado com R$
6000,00? (Resposta: y = 500 m e x = 750 m)
11. A janela de uma igreja consiste de um retângulo com semicírculo em cima e deve ter um perímetro p.
Ache o raio do semicírculo para que a área da janela seja máxima. 
12. Uma piscina tem 20 ft de largura, 40 ft de comprimento 9 ft de profundidade no lado mais fundo e 3 ft no lado mais raso. A secção transversal está exibida na figura abaixo. Se a piscina está sendo enchida a uma taxa de 0.8ft3/min, qual a velocidade com que o nível de água está subindo quando a profundidade no lado mais fundo era 5 ft?
 
	Figure 1: Piscina
	
13. De uma longa folha retangular de metal de 30 cm de largura deve-se fazer uma
calha dobrando as bordas perpendicularmente à folha. Quantos centímetros devem
ser dobrados de cada lado de modo que a calha tenha capacidade máxima?
14. Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40
cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado da cada canto da
cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o
tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume máximo.
15. Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de 
O custo
do material usado para a base do recipiente é de 15 centavos o cm2 e o custo do
material usado para a parte curva é de 5 centavos por cm2. Se não há perda de
material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.
16. Determine o volume máximo de um cilindro circular reto que pode ser inscrito em
um cone de 12 cm de altura e 4 cm de raio da base, se os eixos do cilindro e do cone
coincidem.
17. Uma bateria de voltagem fixa V e resistência interna fixa r está ligada a um circuito
de resistência variável R. Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é 
. Se a
força resultante é dada por 
, mostre que a força máxima ocorre quando R = r.
18. Um projétil é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 120 m/s.
Pela física sabemos que sua distância acima do solo após t segundos é
 
. 
a) Determine em que instante e com que velocidade o projétil atinge o solo.
b) Determine a altura máxima alcançada pelo projétil.
c) Determine a aceleração em um instante t arbitrário.
19. Um fabricante de móveis estima que o custo semanal da fabricação de x
reproduções (manuais) de uma mesa colonial é dado por 
.
Cada mesa é vendida por R$ 2800,00. Que produção semanal maximizará o lucro?
Qual o máximo lucro semanal possível?
20. Uma lata cilíndrica fechada pode conter 1 litro (1000 
) de líquido. Como
poderíamos escolher a altura e o raio para minimizar o material usado na confecção
da lata?
21. O Departamento de Estradas e Rodagens planeja construir uma área de
piquenique para os motoristas ao longo de uma grande auto-estrada. Ela deve ser
retangular, com uma área de 5000 metros quadrados, e deverá ser cercada nos três
lados não-adjacentes à estrada. Qual é a menor quantidade de cerca que será
necessária para completar o trabalho?
22. No projeto de aviões, uma característica importante é o chamado “fator de
arraste”, isto é, a força de frenagem exercida pelo ar sobre o avião. Um modelo mede
o arraste por uma função da forma 
, onde A e B são constantes
positivas. Descobre-se experimentalmente que o arraste é minimizado quando 
. Use esta informação para encontrar a razão 
.
23. Duas variáveis 
 e 
 são funções de uma variável 
 e estão relacionadas pela equação: 
Se a taxa de variação de 
 em relação a 
 é igual a 1 quando 
 então
determine qual a taxa de variação de 
 em relação a 
 neste mesmo instante.
Resp. 
24. Um farol giratório completa uma volta a cada 15 segundos. O farol está a 60m
de P, o ponto mais próximo em uma praia retílinea. Determine a razão em
que um raio de luz do farol está se movendo ao longo da praia em um ponto,
Q, a 150m de P. Resp. 
25. Um painel solar de 3m de comprimento equipado com um ajustador hidráulico
é colocado de forma inclinada sobre um edifício. À medida que o sol se move
o painel é ajustado automaticamente de forma que os raios solares sempre
incidam de maneira perpendicular a ele de modo a maximizar a captação de
energia. 
a) determine a relação entre a taxa dy/dt à qual o painel deve ser movido e a taxa 
 à qual o ângulo de inclinação dos raios aumenta. 
b) Se, quando 
, 
 determine 
Resp. a) 
 b) 
26. Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia à razão de
0,01cm/min. Determine a taxa à qual áarea de uma das faces varia quando
o diâmetro é 30cm.
 Resp. 
0, 15_cm2/min.
27. A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre
igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de 15cm/min
determine a taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 25cm. 
Resp. 
9375_ cm3/min
28. Uma pessoa que solta um papagaio segura a corda a 1, 5m do solo. A corda
é liberada à razão de 0, 6m/s na medida em que o papagaio se move horizontalmente
a uma altura de 33, 5m. Supondo que a corda fique sempre tensa,
determine a taxa à qual o papagaio está se movendo no instante em que foram
liberados 38m de corda.
Resp. 1,112 m/s
II. Mostre que f satisfaz as hipóteses do teorema de Rolle em [a, b] e determine todos os números c em (a, b) tais que f’(c) = 0
1. 
 [0, 4]
2.
 
 [-7, 1]
3. 
 [-3, 3]
4. 
 [-1, 1]
5. 
 [0, 
]
6. 
 [0,
]
III. Determine se f satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio em [a ,b] e, em caso afirmativo ache todos os números c em (a, b) tais que 
7. 
 [1, 3]
8. 
 [1, 5]
9. 
 [0, 2]
10. 
 [-2, 3]
11. 
 [-8, 8]
12. 
 [-1, 4]
13. 
 [1, 4]
14. 
 [-1, 1]
15. 
 [-1, 1]
16. 
 [-8, -1]
17. 
 [1, 5]
18. 
 [-1, 6]
19. 
 [-1, 4]
20. 
 [-3, 6]
IV. Determine os extremos locais de f e os intervalos em que f é crescente ou decrescente.
21. 
22. 
23. 
24. 
25. 
26. 
27. 
28. 
29. 
30. 
V - EXTREMOS DE FUNÇÕES
Dada a função 
 determine:
a) Os pontos críticos e extremos. 
b) Os intervalos de crescimento e decrescimento.
c) O ponto de inflexão. 
d) Intervalos das concavidades para cima e para baixo.
e) Esboce o gráfico 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
VI - MOVIMENTO
 
Um ponto em movimento sobre uma reta tem uma função posição 
. Ache a velocidade e a aceleração no instante 
 e descreva o movimento do ponto durante o intervalo de tempo indicado. Ilustre o movimento.
	
a) 
b) 
c) 
d) 
e)
f)
g)
VII – NÚMEROS CRÍTICOS
	
 Determine os números críticos e comente os resultados.
a) 
b) 
 
c) 
d) 
e) 
	 
f) 
 
h) 
 
i) 
 
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Professor: Marcos Aguiar	
marcosaguiar@fanese.edu.br
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