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Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Vetorial - GAAV
Lista III - Vetores no plano e no espac¸o
1. Dados A = (0, 1, 3), B = (1, 2, 4) e C = (0,−1, 2), determine:
(a) A distaˆncia entre os pontos A e B.
(b) Um vetor unita´rio na direc¸a˜o do vetor W =
−→
AC.
(c) O aˆngulo θ entre os vetores V =
−−→
AB e W =
−→
AC.
(d) Se o aˆngulo θ e´ reto, agudo ou obtuso.
2. O quadrila´tero de ve´rtices (na˜o necessariamente consecutivos) A = (4,−1, 1), B = (9,−4, 2), C =
(4, 3, 4) e D = (9, 0, 5) e´ um paralelogramo? E seD = (4,−21,−14)? (DICA: Para ser paralelogramo
um dos vetores
−−→
AB,
−→
AC ou
−−→
AD tem que ser igual a` soma dos outros dois.)
3. Sejam os pontos A = (−1,−1, 2), B = (2, 1, 1) e C = (m,−5, 3). Para que valor de m o triaˆngulo
ABC e´ retaˆngulo em A?
4. Dados os pontos P = (3, 2, 0), Q = (0, 4, 3) e R = (1, 0, 2), calcule:
(a) A a´rea do paralelogramo que tem ve´rtices consecutivos Q, R e P .
(b) A a´rea do triaˆngulo PQR.
(c) O volume do paralelep´ıpedo cuja base e´ o paralelogramo do item (a) e uma das suas arestas e´
dada pelo vetor U = (−1, 0, 2).
5. Os pontos A = (1, 3,−2), B = (2, 10, 0) e C = (1, 2, 2) sa˜o colineares? E se B = (1, 6,−14)?
6. Considere os pontos A = (−3, 0, 4), B = (−3,−1, 0) e C = (−1,−4, 3).
(a) Determine os pontos me´dios, M e N , dos segmentos AC e BC, respectivamente.
(b) Verifique que
−−→
MN e´ paralelo a
−−→
AB.
(c) Determine o ponto D de forma que A, B, D e C sejam ve´rtices consecutivos de um paralelo-
gramo.
7. Verifique se os pontos A = (2, 0, 2), B = (3, 2, 0), C = (0, 2, 1) e D = (10,−2, 1) sa˜o coplanares.
8. Sejam V e W vetores tais que ‖V ‖ = 5, ‖W‖ = 2 e o aˆngulo entre V e W e´ 60◦. Determine
X = xV + yW de modo que X × V = 0¯ e X ·W = 12.
9. Para qual valor de m os pontos P = (0, 1, 1), Q = (1, 0, 2), R = (1,−2, 0) e S = (−2,m,−2) sa˜o
coplanares?
Bons estudos!
Gabarito Lista III - Vetores
1. (a) dist(A,B) =
√
3.
(b) Wu =
(
0, −2√
5
, −1√
5
)
.
(c) θ = arccos
(
−
√
15
5
)
.
(d) θ e´ obtuso.
2.
−−→
AD =
−→
AC +
−−→
AB enta˜o e´ um paralelogramo. Se D = (4,−21,−14) na˜o e´ paralelogramo.
3. m = 2.
4. (a) AP = 10
√
2.
(b) AT = 5
√
2.
2
(c) VP = 10.
5. Na˜o sa˜o colineares. Se B = (0, 3,−12) enta˜o sa˜o colineares.
6. (a) M =
(−2,−2, 72) e N = (−2, −52 , 32).
(b)
−−→
MN = 12
−−→
AB.
(c) D = (−1,−5,−1).
7. Sa˜o coplanares.
8. X = 125 V .
9. m = 2.