analise combinatoria

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---- ANÁLISE COMBINAT ANÁLISE COMBINAT ANÁLISE COMBINAT ANÁLISE COMBINATÓRIAÓRIAÓRIAÓRIA ---- 
 1. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser contratadas 
para realizar quatro trabalhos distintos em um 
condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única 
empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas 
maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos? 
a) 12 
b) 18 
c) 36 
d) 72 
e) 108 
 
 2. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em 
dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa-
Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna, 
Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e 
Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com 
quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2, 
a distribuição é a seguinte: 
- primeiro dia: Língua Portuguesa-Literatura 
 Brasileira, Língua Estrangeira 
Moderna, Biologia e Matemática; 
- segundo dia: História, Geografia, Química e Física. 
A UEG poderia distribuir as disciplinas para as duas 
provas objetivas, com quatro por dia, de 
a) 1.680 modos diferentes. 
b) 256 modos diferentes. 
c) 140 modos diferentes. 
d) 128 modos diferentes. 
e) 70 modos diferentes. 
 
 3. (Uel 2006) Na formação de uma Comissão 
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um 
certo número de membros, de acordo com o tamanho de 
sua representação no Congresso Nacional. Faltam 
apenas dois partidos para indicar seus membros. O 
partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros, 
enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1 
membro. Assinale a alternativa que apresenta o número 
de possibilidades diferentes para a composição dos 
membros desses dois partidos nessa CPI. 
a) 55 
b) (40 - 3) . (15-1) 
c) [40!/(37! . 3!)]. 15 
d) 40 . 39 . 38 . 15 
e) 40! . 37! . 15! 
 
 4. (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas, 
quer-se formar uma comissão constituída de quatro 
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo, 
que, sabe-se, não se relacionam um com o outro. 
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses 
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser 
formada. 
Nessas condições, de quantas maneiras distintas se pode 
formar essa comissão? 
a) 70 
b) 35 
c) 45 
d) 55 
 
 5. (Ufv 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de 
vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3 
desses nutrientes para obter um composto químico. O 
número de compostos que poderão ser preparados 
usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é: 
a) 32 
b) 28 
c) 34 
d) 26 
e) 30 
 
 6. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em 
parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste 
em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada e 
que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma 
trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada 
um deles acompanhado de uma criança, e que, em cada 
banco do carro, devam acomodar-se uma criança e o seu 
responsável. De quantos modos podem as dez pessoas 
ocupar os cinco bancos? 
a) 14 400 
b) 3 840 
c) 1 680 
d) 240 
e) 120 
 
 7. (Pucmg 2003) Um bufê produz 6 tipos de 
salgadinhos e 3 tipos de doces para oferecer em festas 
de aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3 
tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê tem 
x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O valor 
de x é: 
a) 180 
b) 360 
c) 440 
d) 720 
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 8. (Uel 2003) Sejam os conjuntos A = {1,2,3} e B = 
{0,1,2,3,4}. O total de funções injetoras de A para B é: 
a) 10 
b) 15 
c) 60 
d) 120 
e) 125 
 
 9. (Unesp 2003) O conselho administrativo de um 
sindicato é constituído por doze pessoas, das quais uma 
é o presidente deste conselho. A diretoria do sindicato 
tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do 
conselho, sendo que o presidente da diretoria e do 
conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas 
maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada? 
a) 40. 
b) 7920. 
c) 10890. 
d) 11!. 
e) 12!. 
 
 10. (Fgv 2005) Um fundo de investimento disponibiliza 
números inteiros de cotas aos interessados nessa 
aplicação financeira. No primeiro dia de negociação 
desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram 
cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais 
condições, o número de maneiras diferentes de alocação 
das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a 
a) 56. 
b) 70. 
c) 86. 
d) 120. 
e) 126. 
 
 11. (Puc-rio 2004) O produto n (n - 1) pode ser escrito, 
em termos de fatoriais, como: 
a) n! - (n - 2)! 
b) n!/(n - 2)! 
c) n! - (n - 1)! 
d) n!/[2(n - 1)!] 
e) (2n)!/[n!(n - 1)!] 
 
 12. (Ufc 2003) O número de maneiras segundo as quais 
podemos dispor 3 homens e 3 mulheres em três bancos 
fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal, 
sem levar em conta a posição do casal no banco, é: 
a) 9 
b) 18 
c) 24 
d) 32 
e) 36 
 
 13. (Enem 2004) No Nordeste brasileiro, é comum 
encontrarmos peças de artesanato constituídas por 
garrafas preenchidas com areia de diferentes cores, 
formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças com 
areia de cores cinza, azul, verde e amarela, mantendo o 
mesmo desenho, mas variando as cores da paisagem 
(casa, palmeira e fundo), conforme a figura. 
 
 
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza; 
a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira, 
nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a 
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma 
questão de contraste, então o número de variações que 
podem ser obtidas para a paisagem é 
a) 6. 
b) 7. 
c) 8. 
d) 9. 
e) 10. 
 
 14. (Ufc 2006) Dentre os cinco números inteiros 
listados abaixo, aquele que representa a melhor 
aproximação para a expressão: 2 . 2! + 3 . 3! + 4 . 4! + 5 
. 5! + 6 . 6! é: 
a) 5030 
b) 5042 
c) 5050 
d) 5058 
e) 5070 
 
 15. (Ufrs 2004) Para colocar preço em seus produtos, 
uma empresa desenvolveu um sistema simplificado de 
código de barras formado por cinco linhas separadas por 
quatro espaços. Podem ser usadas linhas de três larguras 
possíveis e espaços de duas larguras possíveis.O número 
total de preços que podem ser representados por esse 
código é 
a) 1440. 
b) 2880. 
c) 3125. 
d) 3888. 
e) 4320. 
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16. (Pucsp 2006) A região denominada Amazônia 
Legal, com 5 milhões de km£, cobre 60% da área do 
território nacional, abrangendo Amazonas, Acre, 
Amapá, oeste do Maranhão, Mato Grosso, Rondônia, 
Pará, Roraima e Tocantins. (Figura 1). Nessa região está 
a Floresta Amazônica que já há algum tempo vem sendo 
devastada. Se por um lado não se tem evitado a 
progressiva diminuição da floresta, por outro, pelo 
menos, nunca foi possível medir a devastação com tanta 
precisão, devido às imagens captadas por satélites. 
 Parte do monitoramento da devastação é feita 
por meio dos dados enviados pelos satélites Landsat e 
CBERS-2 ao INPE (Instituto Nacional de Pesquisas 
Espaciais) onde os cientistas produzem boletins diários, 
identificando os locais e as características dos 
desmatamentos mais recentes. Esses satélites giram ao 
redor da Terra em uma órbita praticamente polar e 
circular (Figura 2), de maneira que a combinação 
sincronizada entre as velocidades do satélite e da 
rotação da Terra torna possível "mapear" todo o planeta 
após certo número de dias. 
 Dependendo do satélite, a faixa de território 
que ele consegue observar pode ser mais larga ou mais 
estreita (Figura 3). O satélite Landsat "varre" todo o 
planeta a cada 16 dias, completando uma volta em torno 
da Terra em aproximadamente 100 minutos. O CBERS-
2, que também tem período de revolução de 100 
minutos, observa uma faixa mais larga que a observada 
pelo Landsat e consegue "varrer" todo o planeta em 
apenas 5 dias. (Fonte: www.inpe.br) 
Dados: 
Constanteda gravitação universal: G = 6,0 × 10−¢¢ (S.I.) 
Massa da Terra: M(T) = 6,0 × 10£¥ kg 
Raio da Terra: R(T) = 6200 km = 6,2 × 10§ m 
Período de rotação da Terra em torno de seu eixo: T = 
24 h 
™ = 3 
 
a) Apenas 25% da superfície terrestre estão acima do 
nível dos oceanos. Com base nisso, calcule a relação 
porcentual entre a área da Amazônia Legal e a área da 
superfície terrestre que não está coberta pela água dos 
oceanos. 
b) Considere duas voltas consecutivas do satélite 
CBERS-2 em torno da Terra. Na primeira volta, ao 
cruzar a linha do Equador, fotografa um ponto A. Na 
volta seguinte, ao cruzar novamente a linha do Equador, 
fotografa um ponto B (Figura 4). Calcule, em km, o 
comprimento do arco AB. 
c) Desenhe em escala o gráfico da velocidade V de um 
satélite em função do raio R de sua órbita ao redor da 
Terra, assinalando no gráfico: 
- um ponto qualquer (R_, V_). 
- três outros pontos de abscissas , R_/4, 4R_ e 16R_. 
 
17. (Unesp 2005) Considere todos os números formados 
por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de 
todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
a) Determine quantos números é possível formar (no 
total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. 
b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, 
determine qual posição ocupa o número 512346 e que 
número ocupa a 242` posição. 
 
18. (Fgv 2005) Em uma gaveta de armário de um quarto 
escuro há 6 camisetas vermelhas, 10 camisetas brancas 
e 7 camisetas pretas. Qual é o número mínimo de 
camisetas que se deve retirar da gaveta, sem que se 
vejam suas cores, para que: 
a) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de 
cores diferentes. 
b) Se tenha certeza de ter retirado duas camisetas de 
mesma cor. 
c) Se tenha certeza de ter retirado pelo menos uma 
camiseta de cada cor. 
 
19. (Uerj 2004) Para montar um sanduíche, os clientes 
de uma lanchonete podem escolher: 
- um dentre os tipos de pão: calabresa, orégano e queijo; 
- um dentre os tamanhos: pequeno e grande; 
- de um até cinco dentre os tipos de recheio: sardinha, 
atum, queijo, presunto e salame, sem possibilidade de 
repetição de recheio num mesmo sanduíche. 
Calcule: 
a) quantos sanduíches distintos podem ser montados; 
b) o número de sanduíches distintos que um cliente 
pode montar, se ele não gosta de orégano, só come 
sanduíches pequenos e deseja dois recheios em cada 
sanduíche. 
 
20. (Ufrj 2004) A seqüência 1, 3, 5, 9, 13, 18, 22 é uma 
das possibilidades de formar uma seqüência de sete 
números, começando em 1 e terminando em 22, de 
forma que cada número da seqüência seja maior do que 
o anterior e que as representações de dois números 
consecutivos na seqüência estejam conectadas no 
diagrama a seguir por um segmento. 
 
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a) Quantas seqüências diferentes, com essas 
características, podemos formar? 
b) Quantas dessas seqüências incluem o número 13? 
 
 
GABARITOGABARITOGABARITOGABARITO 
 
1. [C] 
 
2. [E] 
 
3. [C] 
 
4. [D] 
 
5. [C] 
 
6. [B] 
 
7. [D] 
 
8. [C] 
 
9. [C] 
 
10. [B] 
 
11. [B] 
 
12. [E] 
 
13. [B] 
 
14. [B] 
 
15. [D] 
 
 
16. 
a) 1) A área da superfície terrestre, em km£, é 
 4™ R£ = 4 . 3 . (6200)£ = 46128 . 10¥ 
 
 2) A área da superfície terrestre que está acima dos 
níveis oceânicos, em km£, é 
 25% . 46128 . 10¥ = 11532 . 10¥ 
 
 3) A relação porcentual entre a área da Amazônia 
Legal e a área da superfície terrestre que não está 
coberta pela água dos oceanos é 
(5 . 10§ km£)/(11532 . 10¥ km£) = 500/11532 ¸ 
¸ 0,0433 = 4,33% 
 
b) No intervalo de tempo 
 Ðt = 100min = 100 . 60s = 6,0 . 10¤s, um ponto na 
linha do equador na superfície terrestre percorre uma 
distância Ðs dada por: 
Ðs = V Ðt = Ÿ R Ðt 
Ðs = 2™/T . R . Ðt 
Ðs = [6/(8,6 . 10¥)] . 6,2 . 10§ . 6,0 . 10¤ (m) 
Ðs ¸ 26 . 10¦ m 
Ðs ¸ 2,6 . 10¤ km 
 
c) F(cp) = F(grav) 
 m V£/R = G (m M/R£) 
Obs: em que: m = massa do satélite e M = massa da 
Terra. 
 V£ = G (M/R) 
 V = Ë[G (M/R)] 
 
 
 
17. 
a) 720; 120 
b) 481`; 312465 
 
18. 
a) 11 
b) 4 
c) 18 
 
19. 
a) 186 
b) 20 
 
20. 
 a) 32 seqüências 
b) 12 seqüências