Cap_1_História da Geometria

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Capítulo 1: História da Geometria e as noções 
básicas. Os ângulos e os triângulos
Patricia Martins Bühler Tozzi
Reginaldo Naves dos Reis
 [...] a Matemática procura compreender os modelos que 
permeiam o mundo que nos rodeia assim como a mente den-
tro de nós. […] Assim é necessário colocar a ênfase:
— em procurar soluções e não apenas em memorizar proce-
dimentos;
— em explorar modelos e não apenas em memorizar fórmu-
las;
— em formular conjecturas e não apenas em fazer exercícios.
[...] com essas ênfases, os estudantes terão a oportunidade de 
estudar a Matemática
como uma disciplina exploradora, dinâmica, que se desenvol-
ve, em lugar de ser
uma disciplina que tem um corpo rígido, absoluto, fechado, 
 cheio de regras 
que precisam ser memorizadas.
(Schoenfeld)
Introdução
Aprender matemática, de acordo com Schoenfeld (1992), é aprender a 
resolver problemas. Para isso, é imprescindível que você, acadêmico de Licenciatura 
em Matemática, se aproprie dos significados dos conceitos e dos procedimentos 
matemáticos para ser capaz de aplicá-los em novas situações. 
Por isso, no primeiro capítulo, estudaremos a história da Geometria e suas 
noções básicas; os ângulos, entes geométricos e medida; triângulos, classificações e 
relações métricas. 
1.1 Breve histórico da Geometria 
Sem dúvida, a Geometria, um dos principais ramos da Matemática, revolucio-
nou o saber, influenciando construções e em partilhas de terra. Segundo etimologia, 
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geo (terra) + metria (medida), Geometria significa medida de terra. O conhecimento 
geométrico que temos hoje nos livros, apresentados por inúmeros autores matemá-
ticos, nem sempre foi assim.
Há indícios de que os babilônios, desde 2000 a.C., desenvolveram considerá-
vel conhecimento geométrico. Os egípcios usavam a Geometria para medir os terre-
nos e construir suas edificações. A Geometria egípcia era tão famosa que os gregos 
Tales de Mileto e Pitágoras viajavam ao Egito para ver quais eram as novidades no 
campo da Geometria. Por volta de 600 a.C., Tales de Mileto e Pitágoras iniciaram a 
sistematização dos conhecimentos geométricos da época. Por isso, há quem afirme 
que a Geometria, antes dos gregos, era puramente intuitiva, originada da necessi-
dade e da observação humana e que foi com os gregos que o raciocínio passou a ser 
dedutivo.
Foi Euclides, matemático grego, que sistematizou a Geometria na obra Os ele-
mentos, e a cidade egípcia de Alexandria tornou-se o centro mundial da Geometria 
(III a.C.). Por essa razão, o geômetra ficou sendo conhecido por Euclides de Alexan-
dria; e a Geometria Plana, por Geometria Euclidiana, em sua homenagem. Sua obra, 
até hoje, é a mais notável. Composta de treze volumes, apresenta com uma ordem 
lógica e aprofunda as propriedades das figuras geométricas, as áreas e os volumes. 
Para Euclides, a Geometria era uma ciência dedutiva que operava a partir de certas 
hipóteses básicas – chamadas, atualmente, de axiomas ou postulados. O postulado 
das paralelas, de Euclides, por exemplo, era uma hipótese aceita sem discussão. 
Com isso, acreditava-se que os axiomas postulados ou proposições primitivas não 
precisavam ser demonstrados. Porém é bom ressaltar que as propriedades e as afir-
mações precisam ser demonstradas.
Com o tempo, os matemáticos do século XIX começaram novas discussões 
sobre os axiomas e tornaram possível o desenvolvimento de novos sistemas geomé-
tricos, deixando de lado o “postulado das paralelas”. 
Lobatchevsky foi o primeiro a criar sua própria teoria. Riemann seguiu seu 
exemplo e criou outro sistema. Com essas novas concepções, conhecidas como ge-
ometrias não euclidianas, os matemáticos oportunizaram inúmeros avanços às ciên-
cias exatas do século XX. Entre eles, destacam-se os Princípios de Newton e a própria 
Teoria da Relatividade de Einstein.
1.2 Noções básicas da Geometria
Após o histórico da Geometria, estudaremos os conceitos primitivos de pon-
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to, reta e plano.
•	 Ponto: antigamente, era considerado um elemento sem definição plausível. Na 
verdade, podemos afirmar que ponto não possui comprimento, espessura, nem 
tão pouco, largura; apresenta somente posição.
Exemplo: uma bola de futebol no centro do estádio do Maracanã.
•	 Reta: uma sequência de pontos, de acordo com o conceito primitivo. A reta não 
tem largura, nem espessura; tem comprimento. 
Exemplo: um lápis ou uma régua podem sugerir uma reta.
•	 Plano: antigamente, era definido por meio da disposição de retas. O plano não 
tem espessura, porém possui comprimento e largura. 
Exemplo: uma folha de caderno ou uma parede podem sugerir um plano.
Para nos auxiliar na linguagem matemática, adotaremos a linguagem utilizada 
na Teoria dos Conjuntos. Para denotar os pontos, utilizamos as letras maiúsculas: 
A, B, C..; para denotar as retas utilizamos as letras minúsculas: a, b, c...; e para os 
planos, usamos as letras do alfabeto grego: α (alfa), β (beta), У (gama), δ (delta) etc.
Para estabelecer as relações entre pontos, retas e planos, usamos os seguin-
tes símbolos, já conhecidos da matemática na Educação Básica:
ϵ - pertence
С - está contido
Ͻ - contém
U - reunião
∩ - intersecção
Dessa forma, podemos representá-los graficamente e descrever as relações 
admissíveis entre pontos, retas e planos.
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1.2.1 Representação gráfica
 
 
Ponto P Reta r Plano α 
1.2.2 Relação entre um ponto e uma reta - pertinência
 
A 
 r 
C 
O ponto A pertence à reta r (A Є r).
O ponto C não pertence à reta r (C Є r).
1.2.3 Relação entre pontos
 
A 
B r 
C 
• D 
Os pontos A e B são colineares, isto é, dois ou mais pontos são chamados de 
colineares, se, e somente se, pertencerem a uma mesma reta. Os pontos C e D não 
são colineares.
1.2.4 Determinação de uma reta
Podemos determinar uma reta, afirmando que, por meio de dois pontos dis-
 
a 
P r
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tintos, passa uma, e somente uma reta. Os dois pontos distintos A e B determinam a 
reta AB, demonstrada na figura a seguir.
 A B 
r 
Podemos, também, determinar uma semirreta. Dada uma reta definida pelos 
pontos A e B e um terceiro ponto C pertencente a essa reta, dizemos que o ponto C 
divide a reta em duas partes iguais. Cada uma das metades é chamada de semirreta.
 A B 
r 
C 
Assim, podemos afirmar que a semirreta CA é o conjunto de todos os pontos 
que pertencem à reta r, com origem em C. Seguindo infinitamente na direção do 
ponto A, ocorrerá o mesmo com a semirreta CB .
Com base no conceito de semirreta, podemos conceituar segmento de reta. 
 B 
r 
C 
Segmento de reta é uma parte da reta limitada por dois pontos.
A partir desse conceito, veremos algumas propriedades.
a) Segmentos consecutivos: dois ou mais segmentos serão consecutivos se 
apresentarem em comum somente uma extremidade.
 
A 
B 
C 
b) Segmentos colineares: dois ou mais segmentos serão colineares se perten-
cerem à mesma reta. Na figura abaixo, vemos dois segmentos colineares, AB e CD , 
no entanto não consecutivos.
 C B A D 
r 
A ≠ B, A Є r, B Є r r = AB
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 c) Segmentos adjacentes: pertencem à mesma reta e possuem somente um 
ponto em comum. 
 B A C 
r 
 d) Segmentos congruentes (≡): têm o mesmo comprimento e atendem os pos-
tulados expostos na sequência.
 Reflexiva: BAAB 
 Simétrica: CA AB, entãoAB CD 
 Transitiva: BCEFEF,e entãoAB ABCD 
 
C A B a a 
O ponto B divide o segmento em dois segmentos congruentes, tal que:
 A – B – C e AB = BC é chamado de ponto médio do segmento.
1.2.5 Determinação de planos
Retomemos os conceitos de ponto e reta para representarmos um plano. 
Como dissemos inicialmente, a linguagem matemática adotada para representar 
os planos são as letras gregas. Vejamos as definições e respectivas representações 
geométricas.
•	 Três pontos distintos e não alinhados:
 A 
a 
B 
C 
•	 Sendo a reta r e o ponto A Є r, temos somente um plano tal que A Є α e 
r С α:
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a 
A 
r 
•	 Duas retas concorrentes ou paralelas determinam apenas um plano:
 
a 
r 
s 
b 
r 
s 
“Podemos, ainda, definir duas ou mais retas como coplanares, quando existe 
um plano que contém todas elas.” (DANTE, 2003, p. 252).
1.3 Ângulos, entes geométricos e medida
Definição: um ângulo de vértice O é a reunião de duas semirretas fechadas 
(lados do ângulo), r e a, com origem O não contida em uma mesma reta. 
Simbolicamente, representamos um ângulo por três letras maiúsculas, colo-
cando no meio a letra que indica o vértice: AOR ou AÔR = OA U OR .
 
R 
A 
a 
I 
E 
O 
I: região interna 
E: região externa
1.3.1 Ângulos congruentes
São os ângulos que possuem a mesma medida, ou seja, coincidem por super-
posição.
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B C 
A 
F 
f E 
D 
a 
O ângulo ABC é congruente (≡) ao DÊF, como pode ser observado na figura: 
os pontos ligados (pelas linhas tracejadas) se correspondem.
1.3.2 Bissetriz de um ângulo
Considerando a congruência entre dois ângulos, a bissetriz é a semirreta OB 
que divide o ângulo (AÔC) em duas partes iguais, como demonstrado na figura. 
 
O 
α 
C 
B 
A 
1.3.3 Ângulos adjacentes
São ângulos que têm uma das semirretas que o limitam em comum. 
 1ª) 2ª)
 
O 
C 
B 
A 
C 
B 
A 
O 
D 
Na primeira figura, os ângulos ˆAOB e ˆBOC têm a semirreta OB

 em co-
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mum e, por isso, são chamados adjacentes; na segunda figura, temos os ângulos 
ˆAOB e ˆCOD não adjacentes, pois não têm uma semirreta em comum.
1.3.4 Medida de um ângulo
Para os povos babilônios, a base de numeração era sexagesimal. Por isso, foi 
tão natural dividir o círculo em 360 partes (grau), e cada uma destas, em 60 partes 
(minuto) e repetir o processo para as subpartes. Dessa forma, para medir ângulos, 
adotamos essa importante contribuição até hoje, a escala em graus, que é mais usual 
em Geometria. Logo, o grau, unidade de medida de ângulo, equivale a 1/360 de uma 
circunferência qualquer. Adotamos, também, a medida de radiano, que é dada pela 
razão entre o arco delimitado pelas semirretas que o formam e o raio da circunferên-
cia, conforme a figura seguinte.
 A 
B r O 
s 
A medida do ângulo AÔB em radianos é dada por m(AÔB) = sr , onde s e r
 
representam, respectivamente, o comprimento do arco e o comprimento do raio. 
Obs.: a medida de uma volta completa é 360° ou 2 π radianos.
1.3.5 Ângulos importantes
Ângulos Figura
Medida
Graus Radiano
Agudo
 
a o o0 90< a < -
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Reto
 
a = 90º 90° π/2
Obtuso
 
 90º < a <180º 
o o90 180< a <
-
Raso
 
 a = 180º 
180° π rad
 
 Obs.: 1° = 60’ (1 grau = 60 minutos)
 1’ = 60” (1 minuto = 60 segundos)
Podemos, ainda, classificar os ângulos adjacentes em:
•	 complementares: quando a soma de dois ângulos é 90°;
 
a = 65º 
O 
b = 25º 
a + b = 90º 
•	 suplementares: quando a soma de dois ângulos é 180°;
 
a = 65º 
 
 
a + b = 180º 
b = 115º 
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•	 ângulos opostos pelo vértice: dadas duas retas concorrentes (r e s), estas for-
mam quatro ângulos; os ângulos que não são adjacentes são ângulos opostos 
pelo vértice (podendo ser apresentados pela sigla O.P.V.).
 a 
θ 
b g 
r 
s 
Na figura acima, temos a	e θ opostos pelo vértice, assim como b e g. Pode-
mos, ainda, afirmar que esses ângulos O.P.V. são congruentes. Como os ângulos 
a e b apresentam extremidades na mesma reta suporte, podemos dizer que esses 
ângulos são suplementares, ou seja:
 o180a +b = e o180a + g =
Comparando membro a membro, temos:
 a +b = a + g ... b = g
Analogamente, podemos concluir que: a = θ
1.4 Triângulos, classificações e relações métricas 
Boa parte do desenvolvimento da Geometria, após esforços do próprio Eu-
clides, por meio da observação e medida, gerou uma construção lógica entre os 
dados geométricos. Um dos estudos clássicos que bem exemplifica o que estamos 
informando é o que vamos ver agora: os triângulos, classificação e relações métricas.
Definição: “Dados três pontos distintos e não colineares A, B e C, o triângulo 
com vértices A, B e C é a reunião dos segmentos AB , AC e BC , ou lados do triângulo, 
cujos extremos são esses três pontos” (ANGLO, 2008, p. 78).
Simbolicamente: DABC
Denotaremos: BAC, ABC e ACB os ângulos correspondentes aos vértices A, B 
e C, respectivamente. Temos, portanto, associados a um triângulo, três segmentos 
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(AB , AC e BC ) e três ângulos (a, b e g).
 A 
B C 
a 
b 
c a 
g b 
 
Os lados a, b e c são chamados de lados opostos aos ângulos g, a e b, respec-
tivamente.
1.4.1 Classificação dos triângulos 
Quanto aos lados
EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO
 
C 
A 
B 
 A 
B C 
 
C 
A 
B 
Três lados e ângulos inter-
nos congruentes, iguais a 
60°.
Dois lados congruentes; 
o outro é a base. Os ân-
gulos ABC^ e ^ACB são 
congruentes.
Os três lados têm medi-
das diferentes.
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Quanto aos ângulos
RETÂNGULO ACUTÂNGULO OBTUSÂNGULO
 
C 
A 
B 
C
A
a b
g
B
a
A
C
B
Quando tem ângulo 
reto (= 90°).
Quando tem três ângu-
los agudos.
Quando o triângulo tem 
um ângulo obtuso: a > 
90º.
1.4.2 Triângulo retângulo e relações métricas
Na construção que analisada na sequência, encontraremos várias relações 
estabelecidas entre os lados, a altura e os ângulos do triângulo.
 
a 
n m 
c 
h b 
A 
B 
D 
C a 
b 
Seus elementos são:
 BC = a - hipotenusa
 AC = b - cateto menor
 AB = c - cateto maior
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 AD = h - altura 
 BD = n - projeção de c sobre a hipotenusa
 DC = m - projeção de b sobre a hipotenusa
A partir desse estudo segundo Giovanni, (1996), foram formuladas as seguin-
tes relações: 
•	 qualquer cateto ao quadrado é igual ao produto entre sua projeção sobre a 
hipotenusa e a hipotenusa: 2b a n= ⋅ e 2c a m= ⋅ ;
•	 a altura relativa ao quadrado é igual ao produto entre as projeções dos catetos: 
2h m n= ⋅ ;
•	 o produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a 
ela: b c a h⋅ = ⋅ ;
•	 o produto de um cateto pela altura relativa à hipotenusa é igual ao produto 
do outro cateto pela projeção do primeiro sobre a hipotenusa: b h c n⋅ = ⋅ e 
c h b m⋅ = ⋅ .
Obs.: a hipotenusa sempre se relaciona com o lado oposto ao ângulo reto.
1.4.3 Teorema de Pitágoras
O teorema que vamos apresentar finaliza o livro I Os elementos, que trata 
das relações entre áreas de triângulos e quadrados (Proposição 47). Esse teorema 
demonstra uma das mais notáveis relaçõesmatemáticas.
Demonstração geométrica: construímos três quadrados de lados a, b e c, so-
bre a hipotenusa, o cateto maior e o cateto menor, respectivamente, como na figura.
Simbolicamente: a² = b² + c²
Denotaremos: a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos 
catetos. Observe que a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das 
áreas dos quadrados cujos lados são os catetos.
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b a
c
O Teorema de Pitágoras é um caso particular da relação dos cossenos do ma-
temático persa Ghiyath al-Kashi (1380-1429), que permite o cálculo do comprimento 
do terceiro lado de qualquer triângulo, dados os comprimentos de dois lados e a 
medida de algum dos três ângulos.
A figura a seguir representa um triângulo qualquer; a parte sombreada é um 
triângulo retângulo, e CD é a altura relativa ao ângulo ˆACB .
C
A D
c
m
a
b a
B
Em todo e qualquer triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à 
soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos o dobro do produ-
to das medidas desses lados pelo cosseno do ângulo por eles formado. 
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Simbolicamente:
2 2 2a b c 2bc cos= + − ⋅ a
Destacamos, de forma sucinta, conceitos fundamentais e demonstrações 
geométricas. Você perceberá que são noções significativas das quais não poderá 
abrir mão, se tiver como objetivo elaborar uma forma eficaz de compartilhar com 
seus alunos os pressupostos da Geometria Plana. 
Referências
ANGLO. Ensino Médio: livro-texto. São Paulo: Anglo, 2008.
BARBOSA, João Lucas Marques. Geometria Euclidiana Plana. 4. ed. Rio de Janeiro: 
Sociedade Brasileira de Matemática, ago. 1997.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática, 2003.
GIOVANNI, José Ruy; BONJORNO, José Roberto. De olho no vestibular: Matemática 
4 - Geometria Plana, Geometria Espacial. São Paulo: FTD, 1996.
GIOVANNI, José Ruy. Matemática fundamental: uma nova abordagem. São Paulo: 
FTD, 2002.
IEZZI, Gelson. Fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 2005.
RICH, B. Teoria e problemas de geometria. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2003.
SCHOENFELD A. H. Learning to think mathematically: problem solving, metacog-
nition and sense making in mathematics. In: GROUWS, D. A. (Ed.). Handbook of 
research on mathematicas teaching and learning. Nova York: McMillan, 1992. p. 
334-370.