mom inercia II

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Unisanta – Tópicos de Mecânica - Prof. Damin - Aula n.º ________ Data : ___/____/____ 
Página nº 1 
Momento De Inércia De Uma Figura Plana 
Definição: (Murat, S.D.) 
Seja uma figura plana qualquer, posicionada em 
relação a um par de eixos de referência. Define-
se: 
dIx = y
2.da 
dIy = x
2.da 
Considerado momento de 2ª ordem, momento de 
1ª ordem é o estático. 
Aplicando-se as definições acima para todos os 
da, e somando-os temos: 
Ix = (A) y
2.da 
Iy = (A) x
2.da 
Pela análise dimensional dessas definições, teremos como unidades para o MOMENTO 
DE INÉRCIA: m
4
, cm
4
, pol
4
, etc. 
Será adotada a unidade de m
4
 (metro a quarta). 
Exercício Aplicativo para Cálculo do Momento Inércia: 
Aplicar as definições acima para o Retângulo, posicionado em relação aos eixos, nas seguintes 
situações: 
Situação 1: 
 
Situação 2: 
 
Cálculo: 
Ix = (A) y
2.da sendo da=B.dy 
Ix = (A) y
2.B.dy 
Ix = B.(y
3/3)0H 
Ix = (B.H
3)/3 
Logo: Iy = (H.B
3)/3 
Cálculo: 
 
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Considerações: 
 Apesar de ser usado um par de eixos de referência (X e Y), o cálculo do Momento de Inércia 
(Ieixo) é feito em relação a cada um deles separadamente, Podendo os eixos serem quaisquer 
ou baricêntricos. 
 De acordo com a distribuição da área da figura plana ao redor do eixo de referência, o 
Momento de Inércia sempre resultará um número positivo. 
 Se, o eixo de referência for um eixo de simetria, o eixo será baricêntrico. O inverso não é 
verdadeiro. 
 À medida que o eixo de referência se afasta do baricentro da figura plana, o resultado do 
momento de inércia, em relação ao eixo de referência, aumenta. 
Nomenclatura Utilizada: 
Baricentro = G 
Coordenadas de baricentro = xg e yg 
Eixos de Referência = X e Y 
Eixos baricêntricos = XG e YG 
Momentos de Inércia para os eixos de referência = IX e IY 
Momentos de Inércia para os eixos baricêntricos = IXG e IYG 
Área da figura plana = A 
Área infinitesimal = dA 
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Página nº 3 
 
MOMENTOS DE INÉRCIA DAS FIGURAS BÁSICAS 
Figuras Áreas Mom. de Inércia 
Retângulo 
 
A = B.H 
Ix = B.H
3
/3 
Iy = H.B
3
/3 
Ixg = B.H
3
/12 
Iyg = H.B
3
/12 
Triângulo Retângulo 
 
A = (B.H)/2 
Ix = B.H
3
/12 
Iy = H.B
3
/12 
Ixg = B.H
3
/36 
Iyg = H.B
3
/36 
Quarto de Círculo 
 
A = (.R2)/4 
Ix = .R4/16 
Iy = .R4/16 
Iyg = Ixg = Ix - A.(yg)
2
 
Iyg = Ixg = 0,055.R
4
 
Semi Círculo 
 
A = (.R2)/2 
Ix = .R4/8 
Iyg = Iy = .R4/8 
Ixg = Ix - A.(yg)
2
 
Ixg = 0,1098.R
4
 
Círculo 
 
A = .R2 Iyg = Ixg = Ix = Iy 
Ixg = .R4/4 
(Miranda, 2000) 
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Página nº 4 
TEOREMA DE STEINER 
Teorema da Translação de Eixos 
Definição:(Murat, S.D.) 
O momento de Inércia de uma Figura plana, em relação a um eixo qualquer, é igual à 
soma do momento de inércia da figura, em relação ao seu eixo baricêntrico paralelo ao 
eixo qualquer, com o produto da distância ao quadrado entre os eixos, pela área da 
figura. 
I = I + d
2.Afig 
Demonstração: 
Utilizaremos os resultados obtidos no cálculo do momento de inércia do retângulo para 
demonstrarmos este teorema: 
Ou seja: IX - IXG = ? 
Solução: 
Ix = B.H
3
/3 
Ixg = B.H
3
/12 
Logo: [B.H
3
/3] - [B.H
3
/12] = [(4B.H
3
) - (B.H
3
)]/12 
Desta Forma: 
IX - IXG = B.H
3/4 
Reparar que, o valor encontrado pode ser decomposto em: 
B.H3/4 = (H2/4).( B.H) 
B.H3/4 = (yg)2.( A) 
Analogamente: 
IX = IXG + (yg)
2.( A) 
IY = IYG + (xg)
2.( A) 
 
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Página nº 5 
Determinar os Momentos de Inércia das seguintes Figuras Compostas: 
(P1 - 1º semestre, 1998) 
Exemplo 15: 
 
Resposta: IX ; IY ; IXG ; IYG 
Exemplo 16: 
 
Resposta: IX ; IY ; IXG ; IYG 
9 cm 3 cm 
2 cm 
7 cm 
3 cm 
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Página nº 6 
Determinar os Momentos de Inércia das seguintes Figuras Compostas: 
Exemplo 17: 
 
Da aula anterior temos: 
Área da Figura 1 (4º círculo) = 28,27 cm
2
 
 
Área da Figura 2 (triângulo) = 13,5 cm
2
. 
Coordenada yg2 = 4 cm 
 
Área da Figura 3 (triângulo) = 13,5 cm
2
. 
Coordenada yg3 = 2 cm 
 
Coordenadas do Baricentro: G = (xg ; yg) 
G = (0,16 ; 2,77) cm. 
 
Área da Figura Total (AT)= 55,27 cm
2
. 
Resposta: 
 
Cálculo de IX: 
IX = IX1 + [IXG2 + A2.(yg2)
2
] + [IXG3 + 
A3.(yg3)
2
] = 
IX = .(6)4/16 + [9.(3)3/36 + 13,5.(4)2] + 
[9.(3)
3
/36 + 13,5.(2)
2
] = 537,97 cm
4
. 
 
Cálculo de IXG (aplicando Steiner), 
temos: 
IXG = IX - AT.(yg)
2
 = 
IXG = 537,97 - 55,27.(2,77)
2
 = 113,89 cm
4
. 
 
Cálculo de IY: (as figuras tocam o eixo Y) 
IY = IY1 + IY2 + IY3 = 
IY = .(6)4/16 + 3.(9)3/12 + 3.(9)3/12 = 
IY = 618, 96 cm4. 
 
Cálculo de IYG (aplicando Steiner), 
temos: 
IYG = IY - AT.(xg)
2
 = 
IYG = 618, 96 - 55,27.(0,16)
2
 = 
IYG = 617, 54 cm
4
. 
Exemplo 18 
 
Resposta: 
 
3 
2 
1 
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Exercício 18: 
Calcular, para a figura plana abaixo, o Baricentro e os Momentos de Inércia para os eixos de 
referência (X eY), bem como, para os eixos baricêntricos. Posicionar o Ponto de Baricentro (G) 
na figura, indicando suas coordenadas no desenho e a posição dos eixos baricêntricos. 
Utilizar as unidades no Sistema Internacional. 
Solução: 
 
 
 
3 x 10
-2
 m 
5 x 10
-2
 m 
X 
Y