Guidorizzi_v2(CAP 14)pdf

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14.1.
14
DERIVADAS	PARCIAIS	DE	ORDENS	SUPERIORES
DERIVADAS	PARCIAIS	DE	ORDENS	SUPERIORES
Seja	a	função	z	=	f	(x,	y);	na	Seção	10.1	vimos	como	construir	as	funções	 .	Da	mesma	forma,
podemos,	agora,	construir	as	funções:
EXEMPLO	1.	Seja	f	(x,	y)	=	4x5y4	−	6x2y	+	3.	Calcule	todas	as	derivadas	parciais	de	2.ª	ordem.
Solução
Note	que,	neste	exemplo,	 .
EXEMPLO	2.	Seja	
Mostre	que
Solução
a)	Devemos,	primeiro,	determinar	 .	Para	(x,	y)	≠	(0,	0),	temos:
Em	(0,	0)	temos:
Temos,	agora:
■
O	exemplo	anterior	mostra-nos	que	a	igualdade	 	nem	sempre	se	verifica.	O
próximo	 teorema,	 cuja	 demonstração	 é	 deixada	 para	 exercício	 (veja	 Exercício	 15),	 fornece-nos	 uma
condição	suficiente	para	que	tal	igualdade	ocorra.	Antes	de	enunciar	tal	teorema,	vamos	definir	função
de	classe	Cn.
Uma	 função	 f	 :	A	⊂	 2	→	 ,	A	 aberto,	 é	 dita	 de	 classe	Cn	 em	A	 se	 f	 admitir	 todas	 as	 derivadas
parciais	de	ordem	n	contínuas	em	A.
O	 teorema	que	enunciaremos	a	seguir	conta-nos	que	se	 f	 for	de	classe	C2	em	A,	A	 aberto,	 então	 as
1.
a)
b)
c)
d)
2.
3.
4.
5.
6.
derivadas	parciais	mistas	 	serão	iguais	em	A.
Teorema	(de	Schwarz).	Seja	f	:	A	⊂	 2	→	 ,	A	aberto.	Se	f	for	de	classe	C2	em	A,
para	todo	(x,	y)	∈	A.
Exercícios	14.1	
Calcule	todas	as	derivadas	parciais	de	2.ª	ordem.
f	(x,	y)	=	x3y2
z	=	ex2	−	y2
z	=	ln	(1	+	x2	+	y2)
g	(x,	y)	=	4x3y4	+	y3
Seja	 .	Verifique	que
Verifique	que	 ,	onde	f	(x,	y)	=	ln	(x
2
	+	y
2
).
Verifique	que	 ,	onde	 .
Sejam	f,	g	:	A	⊂	 2	→	 ,	A	aberto,	duas	funções	de	classe	C2	e	tais	que
Prove	que
Sejam	f	:	A	⊂	 3	→	 	de	classe	C2	no	aberto	A.	Justifique	as	igualdades.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Seja	 .	Verifique	que
Seja	
Seja	u	(x,	t)	=	A	sen	(aλt	+	φ)	sen	λx,	com	A,	a,	λ	e	φ	constantes.	Verifique	que
Seja	u	=	 f	 (x	−	at)	+	g	 (x	+	at),	onde	 f	 e	g	 são	 duas	 funções	 quaisquer	 de	 uma	variável	 real	 e
deriváveis	até	a	2.ª	ordem.	Verifique	que
Sejam	x	=	x	(u,	v)	e	y	=	y	(u,	v)	duas	funções	que	admitem	derivadas	parciais	num	mesmo	aberto
A.	Suponha	que	(1,	1)	∈	A	e	que	x	(1,	1)	>	0.	Suponha,	ainda,	que	para	todo	(u,	v)	∈	A
Seja	 .	Verifique	que
Seja	z	=	f	(x,	y)	de	classe	C2	no	aberto	A	e	seja	(x0,	y0)	∈	A.	Suponha	que	f	(x0,	y0)	≥	f	(x,	y),	para
todo	(x,	y)	∈	A.	Prove	que
Interprete	graficamente.
Seja	 .	Calcule
15.
a)
b)
c)
d)
e)
Seja	z	 =	 f	 (x,	 y),	 (x,	 y)	∈	A,	 com	A	 aberto.	 Suponha	 que	 	 estão	 definidas	 em	A	 e	 que	
	são	contínuas	em	A.	Seja	(x
0
,	y
0
)	um	ponto	qualquer	de	A;	seja	B	uma	bola	aberta	de
centro	(x0,	y0)	e	contida	em	A.	Sejam	h	e	k	tais	que	(x0	+	h,	y0	+	k)	pertença	a	B.	Seja,	ainda,
H	(h,	k)	=	f	(x0	+	h,	y0	+	k)	−	f	(x0,	y0	+	k)	−	f	(x0	+	h,	y0)	+	f	(x0,	y0).
Considere	as	funções	 	Mostre	que
Prove:	existe	t1	entre	x0	e	x0	+	h	tal	que
Prove:	existem	t1	e	s1,	com	t1	entre	x0	e	x0	+	h	e	s1	entre	y0	e	y0	+	k,	tais	que
Prove:	existem	t2	e	s2,	com	t2	entre	x0	e	x0	+	h	e	s2	entre	y0	e	y0	+	k,	tais	que
Prove:	 .
Observação.	A	razão	de	considerarmos	a	expressão	H	(h,	k)	é	a	seguinte:
14.2.
	
APLICAÇÕES	DA	REGRA	DA	CADEIA	ENVOLVENDO	DERIVADAS
PARCIAIS	DE	ORDENS	SUPERIORES
Sejam	f	(x,	y),	x	=	x	(t)	e	y	=	y	(t)	diferenciáveis.	Pela	regra	da	cadeia,	temos:
ou
Suponhamos,	agora,	que	as	funções	 ,	sejam	também	diferenciáveis.	O	gradiente	de	 	em	(x,
y)	é:
ou	seja,
Temos,	então,	pela	regra	da	cadeia:
Assim,
Da	mesma	forma,
e,	portanto,
EXEMPLO	1.	Suponha	f	(x,	y)	de	classe	C2	num	aberto	do	 2.	Seja	g	(t)	=	f	(3t,	2t	+	1).	Expresse	g″(t)
em	termos	de	derivadas	parciais	de	f.
Solução
ou	seja,
Então,
Temos:
e
Substituindo	em	 	vem:
Como	f	é	de	classe	 .	Logo,
onde	x	=	3t	e	y	=	2t	+	1.
■
EXEMPLO	2.	Sejam	f	(x,	y)	=	x5y4,	x	=	3t	e	y	=	2t	+	1.	Calcule	g″	(t),	sendo	g	(t)	=	f	(3t,	2t	+	1).
Solução
1.°	processo	(pela	regra	da	cadeia)
g	(t)	=	f	(x,	y),	x	=	3t	e	y	=	2t	+	1.
Pelo	exemplo	anterior
onde	x	=	3t	e	y	=	2t	+	1.	Tendo	em	vista	que
resulta,
e,	portanto,
2.°	processo
Portanto,
ou	seja,
EXEMPLO	3.	Suponha	f	(x,	y)	de	classe	C2	num	aberto	de	 2.	Seja	g	dada	por
onde	x	=	t2	e	y	=	t3.	Expresse	g′	(t)	em	termos	de	derivadas	parciais	de	f.
Solução
Pela	regra	de	derivação	de	um	produto,	temos:
Como
resulta,
EXEMPLO	4.	Seja	z	=	f	(x,x
2
)	onde	f	(x,y)	é	de	classe	C
2
	num	aberto	de	
2
.	Expresse	 	em	termos	de
derivadas	parciais	de	f.
Solução
ou	seja,
Segue	que,
Temos:
ou	seja,
Temos,	também:
ou	seja,
Substituindo	 	e	 	em	 	e	lembrando	que	f	é	de	classe	C2,	resulta:
EXEMPLO	5.	Seja	z	=	f	(u	−	2v,	v	+	2u)	onde	f	(x,	y)	é	de	classe	C
2
	num	aberto	de	
2
.	Expresse	 	em
termos	de	derivadas	parciais	de	f.
Solução
Segue	que,
Como
e
resulta
EXEMPLO	6.	Mostre	que	a	mudança	de	variáveis	x	=	eu	e	y	=	ev	transforma	a	equação
em
Solução
Temos
ou	seja,
ABUSOS	DE	NOTAÇÃO.	Aqui	 	deve	ser	olhado	como	função	de	x	e	y,	enquanto	 	deve	ser	olhado
como	função	de	u	e	v.
Segue	de	 	que
Tendo	em	vista	que
1.
2.
3.
a)
b)
4.
resulta
Procedendo	de	forma	análoga	obtém-se
Somando-se	 	e	 	resulta
Exercícios	14.2	
(Quando	nada	for	dito	sobre	uma	função,	ficará	subentendido	que	se	trata	de	uma	função	de	classe	C2	num	aberto.)
Expresse	g′	(t)	em	termos	de	derivadas	parciais	de	f,	sendo	g	dada	por
Expresse	g″	(t)	em	termos	de	derivadas	parciais	de	f,	sendo	g	(t)	=	f	(5t,	4t).
Considere	a	função	g	(t)	=	f	(a	+	ht,	b	+	kt),	com	a,	b,	h	e	k 	constantes.
Supondo	f	(x,	y)	de	classe	C2	num	aberto	de	 2,	verifique	que
onde	x	=	a	+	ht	e	y	=	b	+	kt.
	
Supondo	f	(x,	y)	de	classe	C3	num	aberto	de	 2,	verifique	que
onde	x	=	a	+	ht	e	y	=	b	+	kt.
Considere	 a	 função	 h	 (x,	 y)	 =	 f	 (x2	 +	 y2,	 x2	 −	 y2),	 onde	 f	 (u,	 v)	 é	 suposta	 de	 classe	 C2.	 Verifique	 que	
5.
6.
8.
9.
10.
a)
b)
11.
a)
b)
12.
7.
	onde	u	=	x
2
	+	y
2
	e	v	=	x
2
−	y2.
Considere	a	função	 .	Verifique	que
Considere	a	função	 .	Verifique	que
Seja	g	(u,	v)	=	f	(2u	+	v,	u	−	2v),	onde	f	(x,	y)	é	suposta	de	classe	C2.	Verifique	que
Seja	v	(r,	θ)	=	u	(x,	y),	onde	x	=	r	cos	θ	e	y	=	r	sen	θ.	Verifique	que
Sejam	f	(x,	y)	de	classe	C2	num	aberto	de	 2,	g	(x)	derivável	até	a	2.ª	ordem	num	intervalo	aberto	I	e	tais	que,	para	todo	x	∈	I,	f	(x,	g
(x))	=	0	(isto	é,	y	=	g	(x)	é	dada	implicitamente	pela	equação	f	(x,	y)	=	0).	Expresse	g″	(x)	em	termos	de	derivadas	parciais	de	f.
Suponha	que	f	(x,	t)	satisfaça	a	equação
Verifique	que	g	(u,	v)	=	f	(x,	t),	onde	x	=	u	+	v	e	t	=	u	−	v	satisfaz	a	equação	 .
Determine	uma	coleção	de	funções	f	(x,	t)	que	satisfaçam	 .
Suponha	que	f	(x,	t)	satisfaça	a	equação
Determine	constantes	m,	n,	p	e	q	para	que	g	(u,	v)	=	f	(x,	t),	onde
x	=	mu	+	nv	e	t	=	pu	+	qv	satisfaça	a	equação	 .
Determine	uma	família	de	soluções	de	 .
Seja	F	(r,	θ,	t)	=	f	(x,	y,	t)	onde	x	=	r	cos	θ	e	y	=	r	sen	θ.	Suponha	que	(c	≠	0	constante)
Mostre	que
13.
14.
15.
b)
16.
17.
18.
Sejam	z	=	z	(x,	y),	x	=	e
u
	cos	v	e	y	=	e
u
	sen	v.	Suponha	que	 .	Calcule
Sejam	 .	Suponha	que	 .	Calcule	 .
a)	Ache	uma	função	u	(x,	y)	da	forma	u	(x,	y)	=	F	(x2	+	y2)	que	satisfaça	a	equação	de	Laplace
Faça	a	mesma	coisa	para	funções	de	três	ou	mais	variáveis.
Verifique	que	a	mudança	de	variáveis	x	=	s	cos	θ	−	t	sen	θ	e	y	=	s	sen	θ	+	t	cos	θ	com	θ	constante,	transforma	a	equação
em
Verifique	que	a	mudança	de	variáveis	u	=	x	+	y	e	v	=	y	+	2x	transforma	a	equação
em
Determine,	então,	uma	coleção	de	soluções	de	 .
Suponha	que	z	=	z	(x,	y)	satisfaça	a	equação
Fazendo	a	mudança	de	variáveis	x	=	e
u
	e	y	=	e
v
,	calcule	 .