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4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 20 de 47 
 
Exemplo VII.10 – Utilizando o método de Newton, determinar a solução do fluxo de carga da rede da 
Figura VII.7 cujos dados se encontram nas Tabelas VII.13 e VII.14. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
 
12Z
shjb12 shjb12
23Z
shjb23 shjb23
shjb1
1 2 3 
1S
3S
2S1V 2V 3V
 
Figura VII.7 – Sistema exemplo de 3 barras. 
 
Tabela VII.13 – Dados das barras do sistema de 3 barras. 
 
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 PQ — — – 0,15 0,05 0,05 
2 Vθ 1,00 0,0 — — — 
3 PV 1,00 — 0,20 — — 
 
Tabela VII.14 – Dados dos ramos do sistema de 3 barras. 
 
k m kmZ [pu] shkmb [pu] 
1 2 0,03 + j0,3 0,02 
2 3 0,05 + j0,8 0,01 
 
 
Solução Exemplo VII.10: As admitâncias das linhas de transmissão são dadas por: 
 
( ) pu 3003,33300,0
3,003,0
11
12
12 jjZY −≈+== 
 
( ) pu 2451,10778,0
8,005,0
11
23
23 jjZY −≈+== 
sendo a matriz admitância dada por: 
 










−+−
+−−+−
+−−
=
2351,10778,02451,10778,00
2451,10778,05154,44078,03003,333,0
03003,333,02303,333,0
jj
jjj
jj
Y 
 










−
−−
−
=
0778,00778,00
0778,04078,033,0
033,033,0
G e 










−
−
−
=
2351,12451,10
2451,15154,43003,3
03003,32303,3
B 
As incógnitas e equações do Subsistema 1 são as seguintes: 
 










=
1
3
1
V
x θ
θ
 
 ( )
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]



=−+−−=∆
=++−=∆
=++−=∆
0cossen
0sencos
0sencos
S1
1212121221111
esp
11
3333232323223
esp
33
1212121221111
esp
11
θθ
θθ
θθ
BGVBVVQQ
GVBGVVPP
BGVGVVPP
 
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Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 21 de 47 
 
Solução Exemplo VII.10 (continuação): Substituindo os valores conhecidos, tem-se o seguinte sistema 
de equações: 
 ( )
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]



=−−+−=∆
=×++−−=∆
=+−+−−=∆
0cos3003,3sen33,012303,305,0
010778,0sen2451,1cos0778,01120,0
0sen3003,3cos33,0133,015,0
S1
11111
333
11111
θθ
θθ
θθ
VVQ
P
VVP
 
Para este problema a matriz Jacobiana apresenta a seguinte formação: 
 










−=


















∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
=
111311
313331
111311
1
1
3
1
1
1
1
3
3
3
1
3
1
1
3
1
1
1
LMM
NHH
NHH
V
QQQ
V
PPP
V
PPP
J
θθ
θθ
θθ
 
 
( ) ( )121212122111111
1
1
11 cossencossen
1
θθθθ
θ
BGVVBGVVPH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
 
0
3
1
13 =∂
∂
=
θ
PH
 e 0
1
3
31 =∂
∂
=
θ
PH
 
 
( ) ( )323232322333333
3
3
33 cossencossen
3
θθθθ
θ
BGVVBGVVPH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( ) ( )1212121221111111111
1
1
11 sencos2sencos2
1
θθθθ BGVGVBGVGV
V
PN
m
mmmmm ++=++=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
0
1
3
31 =∂
∂
=
V
PN 
( ) ( )121212122111111
1
1
11 sencossencos
1
θθθθ
θ
BGVVBGVVQM
m
mmmmm +=+=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
0
3
1
13 =∂
∂
=
θ
QM
 
( ) ( )1212121221111111111
1
1
11 cossen2cossen2
1
θθθθ BGVBVBGVBV
V
QL
m
mmmmm −+−=−+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
 
Considerando uma solução inicial rad 003
0
1 == θθ e pu 101 =V , obtém-se os resultados mostrados na 
Tabela VII.15. 
 
Tabela VII.15 – Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton. 
ν
 
ν
ν
ν
θ
θ
1
3
1
V
 
( )( )( )ν
ν
ν
xQ
xP
xP
1
3
1
∆
∆
∆
 ( )[ ]νxJ
 ( )[ ] 1−− νxJ
 
ν
ν
ν
θ
θ
1
3
1
V∆
∆
∆
 
0 
0 
0 
1 
–0,15 
0,20 
0,12 1603,303300,0
02451,10
3300,003003,3
−
−
−−
 
3132,000313,0
08031,00
0313,002999,0 −
 
–0,0487 
0,1606 
0,0329 
1 
–0,0487 
0,1606 
1,0329 
0,0045 
–0,0001 
–0,0081 3927,305065,0
02415,10
1913,003882,3
−
−
−−
 
2923,000437,0
08055,00
0165,002927,0 −
 
0,0014 
–0,0001 
–0,0022 
2 
–0,0473 
0,1605 
1,0307 
8,14×10-6 
0 
–2,01×10-5 
— — — 
 
 
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Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 22 de 47 
 
Solução Exemplo VII.10 (continuação): Portanto, para uma tolerância 001,0== QP εε , a solução do 
Subsistema 1 é dada por: pu 0307,11 =V , o71,2rad 0473,01 −=−=θ e o20,9rad 1605,03 ==θ . Observar 
que após a 1a iteração o resíduo 3P∆ já se encontrava dentro da tolerância desejada ( )001,00001,013 =<−=∆ PP ε , mas foi necessário realizar mais uma iteração, pois os demais resíduos 
( )31 e QP ∆∆ eram superiores. 
 
Os resultados mostrados na Tabela VII.15, foram obtidos executando-se a seguinte rotina em MATLAB. 
 
% disponivel em: http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/exemplo_VII_10.m 
clear all; 
saida=fopen('saida.txt','w'); 
p1=-0.15; q1=0.05; p3=0.2; 
v1=1; t1=0; v2=1; t2=0; v3=1; t3=0; 
x=[t1; t3; v1]; 
b1sh=0.05; 
g12=0.33; b12=-3.3003; b12sh=0.02; 
g23=0.0778; b23=-1.2451; b23sh=0.01; 
G11=g12; G12=-g12; G13=0; 
G21=-g12; G22=g12+g23; G23=-g23; 
G31=0; G32=-g23; G33=g23; 
B11=b12+b12sh+b1sh; B12=-b12; B13=0; 
B21=-b12; B22=b12+b23+b12sh+b23sh; B23=-b23; 
B31=0; B32=-b23; B33=b23+b23sh; 
kmax=10; tol=0.001; kpq=1; 
for k=0:kmax, 
 dp1=p1-v1*(v2*(G12*cos(t1-t2)+B12*sin(t1-t2))+G11*v1); 
 dp3=p3-v3*(v2*(G32*cos(t3-t2)+B32*sin(t3-t2))+G33*v3); 
 dq1=q1-v1*(v2*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2))-B11*v1); 
 gx=[dp1; dp3; dq1]; 
 if max(abs(gx))>tol 
 h11=v1*v2*(-G12*sin(t1-t2)+B12*cos(t1-t2)); 
 h13=0; h31=0; 
 h33=v3*v2*(-G32*sin(t3-t2)+B32*cos(t3-t2)); 
 n11=2*v1*G11+v2*(G12*cos(t1-t2)+B12*sin(t1-t2)); 
 n31=0; 
 m11=v1*v2*(G12*cos(t1-t2)+B12*sin(t1-t2)); 
 m13=0; 
 l11=-2*v1*B11+v2*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2)); 
 Jac=-[h11 h13 n11; h31 h33 n31; m11 m13 l11]; 
 Jac1=-inv(Jac); 
 dx=Jac1*gx; 
 else 
 Jac=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; Jac1=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; 
 dx=[0; 0; 0]; 
 kpq=0; 
 end 
 y=[k x(1) gx(1) Jac(1,1) Jac(1,2) Jac(1,3) Jac1(1,1) Jac1(1,2) Jac1(1,3) dx(1)]; 
 fprintf(saida,'%2.0f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',y); 
 y=[x(2) gx(2) Jac(2,1) Jac(2,2) Jac(2,3) Jac1(2,1) Jac1(2,2) Jac1(2,3) dx(2)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',y); 
 y=[x(3) gx(3) Jac(3,1) Jac(3,2) Jac(3,3) Jac1(3,1) Jac1(3,2) Jac1(3,3) dx(3)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 if kpq==0 
 break 
 end 
 x=x+dx; 
 t1=x(1); t3=x(2); v1=x(3); 
end 
p2=v2*(v1*(G21*cos(t2-t1)+B21*sin(t2-t1))+G22*v2+v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3))); 
q2=v2*(v1*(G21*sin(t2-t1)-B21*cos(t2-t1))-B22*v2+v3*(G23*sin(t2-t3)-B23*cos(t2-t3))); 
q3=v3*(v2*(G32*sin(t3-t2)-B32*cos(t3-t2))-B33*v3); 
q1sh=v1*v1*b1sh; 
y=[p2 q2 q3 q1sh]; 
fprintf(saida,'%8.4f %8.4f\n %8.4f\n %8.4f\n',y); 
fclose(saida); 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 23 de 47Solução Exemplo VII.10 (continuação): Por outro lado, o Subsistema 2 corresponde ao cálculo da 
injeção de potência na barra de referência: 
 
( )
( ) { }
( ) { }
( ) { }









=−=
=−=
=+=
=
∑
∑
∑
∈
∈
∈
3,1cossen
3,2,1cossen
3,2,1sencos
2S
3333333
2222222
2222222
3
2
2
KBGVVQ
KBGVVQ
KBGVVP
Km
mmmmm
Km
mmmmm
Km
mmmmm
θθ
θθ
θθ
 
 ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]



−−=
−+−−=
++++=
33332323232233
23232323322221212121122
23232323322221212121122
cossen
cossencossen
sencossencos
S2
BVBGVVQ
BGVBVBGVVQ
BGVGVBGVVP
θθ
θθθθ
θθθθ
 
Substituindo os valores conhecidos, chega-se a: 
 ( )





−=
−=
−=
pu 0,0064
pu 1152,0
pu 0469,0
S2
3
2
2
Q
Q
P
 
Após a determinação do estado da rede, os fluxos de potência nas linhas podem ser facilmente determinados, 
utilizando-se as expressões (III.11) e (III.12)5, obtendo-se os resultados mostrados na Figura VII.8. 
 
 
shjb1
1 2 3 
05,015,01 jS +−= 0064,02,03 jS −=1152,00469,02 jS −−=
o71,20307,11 −=V o012 =V o20,913 =V
1031,015,012 jS +−= 1336,01511,021 jS −= 0184,0198,023 jS +−= 0064,02,032 jS −=
0531,01 jS sh =
 
Figura VII.8 – Resultado do fluxo de carga do sistema exemplo de 3 barras. 
 
 
 
Exercício VII.3 – No sistema de três barras do Exemplo VII.10, em função da barra de referência (Barra 2) 
ocupar uma posição central e de não existir ligação direta entre as Barras 1 e 3, o sistema elétrico de três 
barras pode ser dividido em dois sistemas de duas barras independentes, conforme mostrado na Figura VII.9. 
 
 
12Z
shjb12 shjb12
shjb1
1 2 
1S
A
S 2
1V 2V 23Z
shjb23 shjb23
2 3 
3S
B
S 22V 3V
BA
SSS 222 +=
Sistema A Sistema B 
 
Figura VII.9 – Sistemas de duas barras equivalente ao exemplo de 3 barras. 
 
 
5
 Para detalhes, vide Capítulo III. 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 24 de 47 
 
 
Observar que as equações utilizadas para determinar o fasor tensão da Barra 1 não envolvem o fasor tensão 
da Barra 3 e vice-versa. Desta forma as duas redes podem ser resolvidas separadamente, sendo a injeção de 
potência da Barra 2 dada pela soma das injeções calculadas para as duas redes, ou seja, BA SSS 222 += . 
Resolver o fluxo de carga das duas redes separadamente e comparar com os resultados do Exemplo VII.10 
para comprovar estas afirmações. 
 
 
Exercício VII.4 – Para o mesmo sistema elétrico utilizado no Exemplo VII.10, determinar solução do fluxo 
de carga considerando os dados da Tabelas VII.16 e utilizando uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
Tabela VII.16 – Dados das barras do sistema de 3 barras. 
 
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 PQ — — – 0,15 0,05 – 0,05 
2 PV 1,00 — – 0,0469 — — 
3 Vθ 1,00 0,1605 — — — 
 
 
VII.4 – Métodos desacoplados 
O processo iterativo de solução do fluxo de carga pelo método de Newton baseia-se na solução do seguinte 
sistema linear: 
 








∆
∆






=








∆
∆
υ
υυ
υ
υ θ
VLM
NH
Q
P
 com 
( ) ( )
( ) ( )
V
VQ
L
VQ
M
V
VPNVPH
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
,,
,,
 
Em redes de transmissão em alta tensão (maiores ou iguais a 230 kV), o fluxo de potência ativa é muito 
menos sensível às mudanças na magnitude das tensões que às mudanças nos ângulos de fase das tensões 
nodais. De forma similar, o fluxo de potência reativa é muito menos sensível às mudanças nos ângulos de 
fase das tensões que às mudanças nas magnitudes das tensões nodais. Isto faz com que as sensibilidades 
θ∂
∂P
 e V
Q
∂
∂
 sejam muito mais intensas que as sensibilidades VP ∂∂ e θ∂
∂Q
, e possibilita a separação 
deste sistema linear em dois subsistemas independentes (não acoplados). Esta separação é denominada 
desacoplamento Pθθθθ-QV. 
 
VII.4.1 – Método de Newton desacoplado 
O processo mais imediato de aplicação do desacoplamento, denominado Newton desacoplado, consiste em 
desconsiderar as submatrizes N e M. Em outra família de métodos, além de ignorar as submatrizes N e M, 
utilizam-se matrizes constantes no lugar das submatrizes H e L. Observar que em todas as versões de 
métodos desacoplados as aproximações são feitas apenas na matriz Jacobiana; nenhuma aproximação é feita 
no cálculo dos resíduos P∆ e Q∆ . Deste modo, altera-se o processo de convergência (geralmente torna-se 
mais lento), mas a solução final se mantém, pois o sistema resolvido continua sendo o Subsistema 1 (S1), 
dado por: 
( ) ( )( )
( ) { }
( ) { }

∈=−=∆
∈=−=∆
⇒




=−=∆
=−=∆
=
PQ barras0,
PV e PQ barras0,
0,
0,
1
esp
esp
esp
esp
kVQQQ
kVPPP
VQQQ
VPPP
S
kkk
kkk
θ
θ
θ
θ
 
 
O algoritmo básico do método de Newton-Raphson para solução do fluxo de carga é dado por: 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 25 de 47 
 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )







∆+=
∆+=
∆⋅+∆⋅=∆
∆⋅+∆⋅=∆
+
+
PQ barras
PV e PQ barras
PQ barras,,,
PV e PQ barras,,,
Iteração 1
1
1
ννν
ννν
ννννννννν
ννννννννν
θθθ
θθθθ
θθθθ
VVV
VVLVMVQ
VVNVHVP
 
Desprezando os termos ( )νν θ,VN e ( )νν θ,VM , é possível resolver separadamente e alternadamente para 
νθ∆ e νV∆ da seguinte maneira: 
( ) ( )
( ) ( )




∆+=
∆⋅=∆




∆+=
∆⋅=∆
+
++
+
PQ barras
PQ barras,,QV Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,Pθ Iteração 
1
11
2
1
12
1
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθ
θθθ
VVV
VVLVQ
VHVP
 (VII.12) 
As alterações introduzidas pela simplificação da matriz Jacobiana são, parcialmente, compensadas pelo fato 
das variáveis θ e V serem atualizadas a cada meia iteração (observar que utiliza-se 1+νθ para os cálculos 
dos resíduos νQ∆ e da submatriz L ). 
De um modo geral, a taxa de convergência dos dois subproblemas (subproblema ativo: ½ Iteração Pθ; 
subproblema reativo: ½ Iteração QV) são diferenciadas e é comum a realização de iterações em apenas um 
dos subproblemas. 
A resolução do fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado segue os seguintes passos: 
 
Fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado – Algoritmo 
 
i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e 
PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == . 
ii. Calcular ( )pqk VP θ, para as barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) pP∆ . 
iii. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } Ppkk P ε≤∆+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu: 
• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV). 
b) Caso contrário, prosseguir. 
iv. Calcular a submatriz ( )pqVH θ, . 
v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1 sendo pθ∆ obtido com a solução do seguinte sistema linear: 
( ) ( ) ppqpqp VHVP θθθ ∆⋅=∆ ,, 
vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii). 
vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para as barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) qQ∆ . 
viii. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } qqkk Q ε≤∆∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu: 
• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (ii) (Iteração Pθ). 
b) Caso contrário, prosseguir. 
ix.Calcular a submatriz ( )υυ θ,VL . 
x. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1 sendo qV∆ obtido com a solução do seguinte sistema 
linear: ( ) ( ) qpqpqq VVLVQ ∆⋅=∆ θθ ,, 
xi. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (ii). 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 26 de 47 
 
Exemplo VII.11 – Utilizando o método Newton desacoplado, determinar a solução do Subsistema 1 do 
problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de três barras utilizado no Exemplo VII.10 
considerando uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
Solução Exemplo VII.11: A matriz admitância da rede e as expressões do Subsistema 1 permanecem 
inalteradas, sendo as mesmas do Exemplo VII.7, ou seja: 
 










−
−−
−
=
0778,00778,00
0778,04078,033,0
033,033,0
G e 










−
−
−
=
2351,12451,10
2451,15154,43003,3
03003,32303,3
B 
 










=
1
3
1
V
x θ
θ
 
 ( )
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]



=−+−−=∆
=++−=∆
=++−=∆
0cossen
0sencos
0sencos
S1
1212121221111
esp
11
3333232323223
esp
33
1212121221111
esp
11
θθ
θθ
θθ
BGVBVVQQ
GVBGVVPP
BGVGVVPP
 
Para o método de Newton desacoplado, as matrizes a serem definidas são apenas as submatrizes H e L, ou 
seja: 
 





=
3331
1311
HH
HH
H 
 
( ) ( )121212122111111
1
1
11 cossencossen
1
θθθθ
θ
BGVVBGVVPH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
 
0
3
1
13 =∂
∂
=
θ
PH
 e 0
1
3
31 =∂
∂
=
θ
PH
 
 
( ) ( )323232322333333
3
3
33 cossencossen
3
θθθθ
θ
BGVVBGVVPH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
 [ ]11LL = 
 ( ) ( )1212121221111111111
1
1
11 cossen2cossen2
1
θθθθ BGVBVBGVBV
V
QL
m
mmmmm −+−=−+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
Considerando uma solução inicial rad 003
0
1 == θθ e pu 101 =V , obtém-se os resultados mostrados na 
Tabela VII.17. 
 
Tabela VII.17 – Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado. 
p p
p
3
1
θ
θ
 
( )( )qp
qp
xP
xP
,
3
,
1
∆
∆
 ( )[ ]qpxH ,−
 ( )[ ] 1, −qpxH
 p
p
3
1
θ
θ
∆
∆
 
 q qV 1
 ( )qpxQ ,1∆ ( )[ ]qpxL ,− ( )[ ] 1, −qpxL qV1∆ 
0 0 0 
–0,15 
0,20 2451,10
03003,3
−
−
 
8031,00
03030,0
 
–0,0455 
0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320 
1 –0,0455 0,1606 
–0,0065 
–0,0001 2415,10
03868,3
−
−
 
8055,00
02953,0
 
–0,0019 
–0,0001 1 1,0320 –0,0043 –3,3861 0,2953 –0,0013 
2 –0,0474 0,1605 
2,44×10-4 
0 — — — 2 1,0307 –5,10×10
-6
 
— — — 
 
 
Portanto, para uma tolerância 001,0== QP εε , a solução do Subsistema 1 é dada por: pu 0307,11 =V , 
o72,2rad 0474,01 −=−=θ e o20,9rad 1605,03 ==θ . Observar que após a 1a iteração, ou seja, após duas ½ 
iterações, o resíduo 3P∆ já se encontrava dentro da tolerância desejada ( )001,00001,013 =<−=∆ PP ε , mas 
foi necessário realizar mais uma ½ iteração Pθ, pois o outro resíduo ( )1P∆ era superior. 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 27 de 47 
 
Solução Exemplo VII.11 (continuação): Os resultados mostrados na Tabela VII.17, foram obtidos 
executando-se a seguinte rotina em MATLAB. 
 
% disponivel em: http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/exemplo_VII_11.m 
clear all; 
saida=fopen('saida.txt','w'); 
p1=-0.15; q1=0.05; p3=0.2; 
v1=1; t1=0; v2=1; t2=0; v3=1; t3=0; 
x=[t1; t3; v1]; 
b1sh=0.05; 
g12=0.33; b12=-3.3003; b12sh=0.02; 
g23=0.0778; b23=-1.2451; b23sh=0.01; 
G11=g12; G12=-g12; G13=0; 
G21=-g12; G22=g12+g23; G23=-g23; 
G31=0; G32=-g23; G33=g23; 
B11=b12+b12sh+b1sh; B12=-b12; B13=0; 
B21=-b12; B22=b12+b23+b12sh+b23sh; B23=-b23; 
B31=0; B32=-b23; B33=b23+b23sh; 
kmax=10; tol=0.001; kp=1; kq=1; 
for k=0:kmax, 
 dp1=p1-v1*(v2*(G12*cos(t1-t2)+B12*sin(t1-t2))+G11*v1); 
 dp3=p3-v3*(v2*(G32*cos(t3-t2)+B32*sin(t3-t2))+G33*v3); 
 gxp=[dp1; dp3]; 
 if max(abs(gxp))>tol 
 h11=v1*v2*(-G12*sin(t1-t2)+B12*cos(t1-t2)); 
 h13=0; h31=0; 
 h33=v3*v2*(-G32*sin(t3-t2)+B32*cos(t3-t2)); 
 Jacp=-[h11 h13; h31 h33]; Jacp1=-inv(Jacp); 
 dxp=Jacp1*gxp; 
 kq=1; 
 else 
 kp=0; 
 Jacp=[0 0; 0 0]; Jacp1=[0 0; 0 0]; 
 dxp=[0; 0]; 
 end 
 y=[k x(1) gxp(1) Jacp(1,1) Jacp(1,2) Jacp1(1,1) Jacp1(1,2) dxp(1)]; 
 fprintf(saida,'%2.0f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',y); 
 y=[x(2) gxp(2) Jacp(2,1) Jacp(2,2) Jacp1(2,1) Jacp1(2,2) dxp(2)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 if kp==1 
 x=x+[dxp(1); dxp(2); 0]; 
 t1=x(1); t3=x(2); 
 elseif kq==0 
 break 
 end 
 dq1=q1-v1*(v2*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2))-B11*v1); 
 gxq=[dq1]; 
 if max(abs(gxq))>tol 
 l11=-2*v1*B11+v2*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2)); 
 Jacq=-[l11]; Jacq1=-inv(Jacq); 
 dxq=Jacq1*gxq; 
 kp=1; 
 else 
 kq=0; 
 Jacq=[0]; Jacq1=[0]; 
 dxq=[0]; 
 end 
 y=[k x(3) gxq(1) Jacq(1,1) Jacq1(1,1) dxq(1)]; 
 fprintf(saida,'%2.0f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 if kq==1 
 x=x+[0;0;dxq(1)]; 
 v1=x(3); 
 elseif kp==0 
 break 
 end 
end 
p2=v2*(v1*(G21*cos(t2-t1)+B21*sin(t2-t1))+G22*v2+v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3))); 
q2=v2*(v1*(G21*sin(t2-t1)-B21*cos(t2-t1))-B22*v2+v3*(G23*sin(t2-t3)-B23*cos(t2-t3))); 
q3=v3*(v2*(G32*sin(t3-t2)-B32*cos(t3-t2))-B33*v3); 
q1sh=v1*v1*b1sh; 
y=[p2 q2 q3 q1sh]; 
fprintf(saida,'%8.4f %8.4f\n %8.4f\n %8.4f\n',y); 
fclose(saida); 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 28 de 47 
 
Em alguns sistemas, é possível acelerar a convergência através da normalização das equações (VII.12) com 
relação à magnitude da tensão. Sendo V a matriz diagonal cujos elementos não-nulos são as magnitudes das 
tensões das barras do sistema, ou seja, 












=
NBV
V
V
V
L
MOMM
L
L
00
00
00
2
1
 ⇒ 




















=
−
NBV
V
V
V
100
010
001
2
1
1
L
MOMM
L
L
 
as equações normalizadas do fluxo de carga pelo método de Newton desacoplado são dadas por: ( ) ( )
( ) ( )




∆+=
∆⋅⋅=∆⋅




∆+=
∆⋅⋅=∆⋅
+
+
−
+
−
+
−−
PQ barras
PQ barras,,
 Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,
 Iteração 
1
1111
2
1
1
11
2
1
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθ
θθθθ
VVV
VVLVVQVQV
VHVVPVP
 (VII.13) 
Sabendo que as matrizes H e L originais são dadas por: 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−−=+−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
Ω∈
kkl
kklklklkllk
l
k
kl
kkkk
m
kmkmkmkmmk
k
k
kk
lH
lBGVVPH
BVQBGVVPH
VPH
k
0
cossen
cossen
,
2
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
 
( )
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−=−+−=
∂
∂
=
∂
∂
=
∑
Ω∈
kkl
kklklklklk
l
k
kl
m
kkk
k
k
kmkmkmkmmkkk
k
k
kk
lL
lBGV
V
QL
BVV
QBGVBV
V
QL
V
VQ
L
k
0
cossen
cossen2
,
θθ
θθ
θ
 
é possíveldefinir novas submatrizes, incluindo a normalização, ou seja, definir: 
( )
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−
−
=+−=
∂
∂
=
=′
∑
Ω∈
−
kkl
kklklklkll
l
k
k
kl
kkk
k
k
m
kmkmkmkmm
k
k
k
kk
lH
lBGVP
V
H
BVV
QBGVP
V
H
HVH
k
0
cossen
1
cossen
1
'
'
'
1 θθ
θ
θθ
θ
 
( )









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−=−+−=
∂
∂
=
=′
∑
Ω∈
−
kkl
kklklklkl
l
k
k
kl
kk
k
k
m
kmkmkmkmm
k
kk
k
k
k
kk
lL
lBG
V
Q
V
L
B
V
QBGV
V
B
V
Q
V
L
LVL
k
0
cossen
1
cossen
121
'
'
2
'
1 θθ
θθ
 
Utilizando as matrizes H ′ e L′ , o processo iterativo do método de Newton desacoplado, em sua versão 
normalizada, se resume a: 
( ) ( )
( ) ( )




∆+=
∆⋅′=∆⋅




∆+=
∆⋅′=∆⋅
+
++
−
+
−
PQ barras
PQ barras,,QV Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,,Pθ Iteração 
1
111
2
1
1
1
2
1
ννν
νννννν
ννν
νννννν
θθ
θθθ
θθθ
VVV
VVLVQV
VHVPV
 (VII.14) 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 29 de 47 
 
 
Exemplo VII.12 – Utilizando o método Newton desacoplado normalizado, determinar a solução do 
Subsistema 1 do problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de três barras utilizado nos 
Exemplos VII.10 e VII.11 considerando uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
Solução Exemplo VII.12: A matriz admitância da rede e as expressões do Subsistema 1 permanecem 
inalteradas, sendo as mesmas dos Exemplos VII.10 e VII.11. Para o método de Newton desacoplado 
normalizado, as matrizes a serem definidas são apenas as submatrizes H ′ e L′ , ou seja: 
 





′′
′′
=′
3331
1311
HH
HH
H 
 
( ) ( )1212121221111
1
11
111 cossencossen
1
θθθθ
θ
BGVBGVPVH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
=′ ∑
Ω∈
−
 
 
0
3
11
113 =∂
∂
=′
−
θ
PVH
 e 0
1
31
331 =∂
∂
=′
−
θ
PVH
 
 
( ) ( )3232323223333
3
31
333 cossencossen
3
θθθθ
θ
BGVBGVPVH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
=′ ∑
Ω∈
−
 
 [ ]11LL ′=′ 
 ( ) ( )12121212
1
2
111111
1
11
1
11
111 cossen2cossen
12
1
θθθθ BG
V
VBBGV
V
B
V
QVL
m
mmmmm −+−=−+−=∂
∂
=′ ∑
Ω∈
−
 
Considerando uma solução inicial rad 003
0
1 == θθ e pu 101 =V , obtém-se os resultados mostrados na 
Tabela VII.18 que diferem dos da Tabela VII.17 apenas no itens assinalados que correspondem às 
submatrizes do Jacobiano. 
 
Tabela VII.18 – Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton desacoplado normalizado. 
p p
p
3
1
θ
θ
 
( )( )qp
qp
xP
xP
,
3
,
1
∆
∆
 ( )[ ]qpxH ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxH
 p
p
3
1
θ
θ
∆
∆
 
 q qV 1
 ( )qpxQ ,1∆ ( )[ ]qpxL ,′− ( )[ ] 1, −′ qpxL qV1∆ 
0 0 0 
–0,15 
0,20 2451,10
03003,3
−
−
 
8031,00
03030,0
 
–0,0455 
0,1606 0 1 0,1016 –3,1787 0,3146 0,0320 
1 –0,0455 0,1606 
–0,0065 
–0,0001 2415,10
02819,3
−
−
 
8055,00
03047,0
 
–0,0019 
–0,0001 1 1,0320 –0,0043 3,2812− 3048,0 –0,0013 
2 –0,0474 0,1605 
2,44×10-4 
0 — — — 2 1,0307 –5,10×10
-6
 
— — — 
 
 
 
Comparando-se os resultados das Tabelas VII.17 e VII.18, observam-se diferenças apenas nas matrizes 
utilizadas no processo iterativo pois este descreve a mesma trajetória. Isto ocorre, neste caso, porque para o 
subproblema ativo (Pθ), a matriz H só possui elementos não nulos na diagonal e os sistemas resolvidos nos 
dois casos tornam-se idênticos (embora isto não ocorra no caso geral): 
 
Desacoplado: 
ννν
θ
θ






∆
∆
⋅





=





∆
∆
3
1
33
11
3
1
0
0
H
H
P
P
 ⇒ 
ννν
ννν
θ
θ
3333
1111
∆=∆
∆=∆
HP
HP
 
Desacoplado normalizado: 
ννν
θ
θ






∆
∆
⋅





′
′
=





∆
∆
−
−
3
1
33
11
3
1
3
1
1
1
0
0
H
H
PV
PV
 ⇒ 
ννν
ννν
θ
θ
333
1
33
1
3
111
1
11
1
1
∆=∆
∆=∆
−−
−−
HVPV
HVPV
 
 
Para o subproblema reativo (QV), a matriz L só possui um elemento, razão pela qual os sistemas resolvidos 
também são idênticos. 
Desacoplado: [ ] [ ] [ ]ννν 1111 VLQ ∆⋅=∆ 
Desacoplado normalizado: [ ] [ ] [ ]ννν 111111 VLQV ∆⋅′=∆− ⇒ ννν 11111111 VLVQV ∆=∆ −− 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 30 de 47 
 
Solução Exemplo VII.12 (continuação): Os resultados mostrados na Tabela VII.18, foram obtidos 
executando-se a seguinte rotina em MATLAB. 
 
% disponivel em: http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/exemplo_VII_12.m 
clear all; 
saida=fopen('saida.txt','w'); 
p1=-0.15; q1=0.05; p3=0.2; 
v1=1; t1=0; v2=1; t2=0; v3=1; t3=0; 
x=[t1; t3; v1]; 
b1sh=0.05; 
g12=0.33; b12=-3.3003; b12sh=0.02; 
g23=0.0778; b23=-1.2451; b23sh=0.01; 
G11=g12; G12=-g12; G13=0; 
G21=-g12; G22=g12+g23; G23=-g23; 
G31=0; G32=-g23; G33=g23; 
B11=b12+b12sh+b1sh; B12=-b12; B13=0; 
B21=-b12; B22=b12+b23+b12sh+b23sh; B23=-b23; 
B31=0; B32=-b23; B33=b23+b23sh; 
kmax=10; tol=0.001; kp=1; kq=1; 
for k=0:kmax, 
 dp1=p1-v1*(v2*(G12*cos(t1-t2)+B12*sin(t1-t2))+G11*v1); 
 dp3=p3-v3*(v2*(G32*cos(t3-t2)+B32*sin(t3-t2))+G33*v3); 
 gxp=[dp1; dp3]; 
 gxp1=[dp1/v1; dp3/v3]; 
 if max(abs(gxp))>tol 
 h11=v2*(-G12*sin(t1-t2)+B12*cos(t1-t2)); 
 h13=0; h31=0; 
 h33=v2*(-G32*sin(t3-t2)+B32*cos(t3-t2)); 
 Jacp=-[h11 h13; h31 h33]; Jacp1=-inv(Jacp); 
 dxp=Jacp1*gxp1; 
 kq=1; 
 else 
 kp=0; 
 Jacp=[0 0; 0 0]; Jacp1=[0 0; 0 0]; 
 dxp=[0; 0]; 
 end 
 y=[k x(1) gxp(1) Jacp(1,1) Jacp(1,2) Jacp1(1,1) Jacp1(1,2) dxp(1)]; 
 fprintf(saida,'%2.0f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',y); 
 y=[x(2) gxp(2) Jacp(2,1) Jacp(2,2) Jacp1(2,1) Jacp1(2,2) dxp(2)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 if kp==1 
 x=x+[dxp(1); dxp(2); 0]; 
 t1=x(1); t3=x(2); 
 elseif kq==0 
 break 
 end 
 dq1=q1-v1*(v2*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2))-B11*v1); 
 gxq=[dq1]; 
 gxq1=[dq1/v1]; 
 if max(abs(gxq))>tol 
 l11=-2*B11+(v2/v1)*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2)); 
 Jacq=-[l11]; Jacq1=-inv(Jacq); 
 dxq=Jacq1*gxq1; 
 kp=1; 
 else 
 kq=0; 
 Jacq=[0]; Jacq1=[0]; 
 dxq=[0]; 
 end 
 y=[k x(3) gxq(1) Jacq(1,1) Jacq1(1,1) dxq(1)]; 
 fprintf(saida,'%2.0f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 if kq==1 
 x=x+[0;0;dxq(1)]; 
 v1=x(3); 
 elseif kp==0 
 break 
 end 
end 
p2=v2*(v1*(G21*cos(t2-t1)+B21*sin(t2-t1))+G22*v2+v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3))); 
q2=v2*(v1*(G21*sin(t2-t1)-B21*cos(t2-t1))-B22*v2+v3*(G23*sin(t2-t3)-B23*cos(t2-t3))); 
q3=v3*(v2*(G32*sin(t3-t2)-B32*cos(t3-t2))-B33*v3); 
q1sh=v1*v1*b1sh; 
y=[p2 q2 q3 q1sh]; 
fprintf(saida,'%8.4f %8.4f\n %8.4f\n %8.4f\n',y); 
fclose(saida); 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 31 de 47 
 
VII.4.2 – Desacoplado rápido 
O método desacoplado rápido é uma simplificação do método de Newton desacoplado,versão normalizada, 
na qual são empregadas matrizes constantes nos lugares das matrizes H ′ e L′ , mostradas na equação 
(VII.14). Na determinação das matrizes constantes, são realizadas algumas aproximações: 
a) 1cos ≈kmθ 
b) kmkmkm GB θsen>> 
c) kkkk QBV >>2 
Têm-se, assim, as seguintes aproximações para as matrizes H e L: 









Ω∉=
Ω∈−≈
∂
∂
=
≈
∂
∂
=
′
∑
Ω∈
kkl
kkll
l
k
k
kl
m
kmm
k
k
k
kk
lH
lBVP
V
H
BVP
V
H
H
k
0
1
1
'
'
'
θ
θ
 









Ω∉=
Ω∈−=
∂
∂
=
−≈
∂
∂
=
′
kkl
kkl
l
k
k
kl
kk
k
k
k
kk
lL
lB
V
Q
V
L
B
V
Q
V
L
L
0
1
1
'
'
'
 
Considerando-se que as tensões são próximas a 1 pu, é possível obter matrizes independentes das variáveis 
de estado do sistema. Tais matrizes dependem apenas dos parâmetros do sistema e são dadas por: 







Ω∉=
Ω∈−≈
≈
′≈′
∑
Ω∈
kkl
kklkl
m
kmkk
lB
lBB
BB
BH
k
0'
'
'
 





Ω∉=
Ω∈−=
−≈
′′≈′
kkl
kklkl
kkkk
lB
lBB
BB
BL
0''
''
''
 
A denominação B′ e B ′′ vem do fato destas matrizes serem semelhantes a matriz de susceptâncias B . 
Utilizando estas matrizes ( )BB ′′′ e , o processo iterativo do método desacoplado rápido é dado por: 
( )
( )




∆+=
∆⋅′′=∆⋅




∆+=
∆⋅′=∆⋅
+
+
−
+
−
PQ barras
PQ barras,QV Iteração 
PV e PQ barras
PV e PQ barras,Pθ Iteração 
1
11
2
1
1
1
2
1
ννν
νννν
ννν
νννν
θ
θθθ
θθ
VVV
VBVQV
BVPV
 (VII.15) 
De modo heurístico, observou-se que o método apresentava melhor desempenho quando, na formação da 
matriz B′ , desprezava-se as resistências série, aproximando-se kmb por 
1−
− kmx : 







Ω∉=
Ω∈−=
=
′
−
Ω∈
−∑
kkl
kkmkl
m
kmkk
lB
lxB
xB
B
k
0'
1'
1'
 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 32 de 47 
 
Quando no sistema considerado existem elementos shunt com admitâncias anormalmente elevadas, a 
hipótese (c) pode não ser válida. Neste caso, o emprego da matriz B ′′ como definido anteriormente pode 
proporcionar convergência lenta ou até mesmo a divergência. 
 
A correção que deve ser realizada na matriz B ′′ é obtida realizando-se as seguintes aproximações na 
expressão do elemento da diagonal da matriz L. Tem-se que: 
 
} }
∑∑
Ω∈
−≈
Ω∈
≈≈≈








−+−≈








−+−=
∂
∂
=
k
km
k m
B
kmkmkmkk
m
kmkmkmkmmkkk
k
k
kk BGBBGVBVV
QL
444 8444 76876
θθθ sen2cossen2
111
 
( )∑
Ω∈
−+−≈
km
kmkkkk BBL 2 
 
sh
k
m
km
sh
k
m
km
sh
k
m
km
m
km
sh
k
m
kmkkkk BBBBBBBBBBB
kkkkk
−








−−=+−=−








−−=−−=′′ ∑∑∑∑∑
Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈Ω∈
222 
 
sh
kkkkk BBB −−=′′ 
onde shkB é a soma de todas as susceptâncias que ligam o nó k à terra. 
 
 
A resolução do fluxo de carga pelo método desacoplado rápido segue os seguintes passos: 
 
Fluxo de carga pelo método desacoplado rápido – Algoritmo 
 
i. Fazer 0== qp , 1== KQKP e escolher os valores iniciais dos ângulos das tensões das barras PQ e 
PV ( )0θθθ == p e as magnitudes das tensões das barras PQ ( )0VVV q == . 
ii. Determinar as matrizes B′ e B ′′ . 
iii. Calcular ( )pqk VP θ, para as barras PQ e PV e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) pP∆ . 
iv. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } Ppkk P ε≤∆+∈ PVPQmax , a ½ Iteração Pθ convergiu: 
• Fazer 0=KP . Se 0=KQ , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (vii) (Iteração QV). 
b) Caso contrário, prosseguir. 
v. Determinar o valor de ppp θθθ ∆+=+1 sendo pθ∆ obtido com a solução do seguinte sistema linear: 
( ) ppqp BVP θθ ∆⋅′=∆ , 
vi. Fazer 1+= pp , 1=KQ e prosseguir no Passo (vii). 
vii. Calcular ( )pqk VQ θ, para as barras PQ e determinar o vetor dos resíduos (“mismatches”) qQ∆ . 
viii. Testar a convergência: 
a) Se { }{ } qqkk Q ε≤∆∈ PQmax , a ½ Iteração QV convergiu: 
• Fazer 0=KQ . Se 0=KP , o processo convergiu para a solução ( )qpV θ, ; 
• Caso contrário, vá para o Passo (iii) (Iteração Pθ). 
b) Caso contrário, prosseguir. 
ix. Determinar o valor de qqq VVV ∆+=+1 sendo qV∆ obtido com a solução do seguinte sistema 
linear: ( ) qpqq VBVQ ∆⋅′′=∆ θ, 
x. Fazer 1+= qq , 1=KP e voltar para o Passo (iii). 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 33 de 47 
 
 
Exemplo VII.13 – Utilizando o método desacoplado rápido, determinar a solução do Subsistema 1 do 
problema do fluxo de carga correspondente ao sistema elétrico de três barras utilizado nos Exemplos VII.10, 
VII.11 e VII.12 considerando uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
 
Solução Exemplo VII.13: A matriz admitância da rede e as expressões do Subsistema 1 permanecem 
inalteradas, sendo as mesmas dos Exemplos VII.10, VII.11 e VII.12. Para o método desacoplado rápido, as 
matrizes a serem definidas são apenas as submatrizes B′ e B ′′ , ou seja: 
 





′′
′′
=′
3331
1311
BB
BB
B 
 
3333,3
3,0
11
12
1
111
1
≈===′ ∑
Ω∈
−
x
xB
m
m 
 013 =′B e 031 =′B 
 
25,1
8,0
11
23
1
333
3
====′ ∑
Ω∈
−
x
xB
m
m 
 [ ]11BB ′′=′′ 
 ( ) ( ) 1603,302,005,02303,311111 =+−−−=−−=′′ shBBB 
 
Para o método desacoplado rápido as matrizes utilizadas para determinar as correções nas iterações Pθ e QV 
são constantes e podem ser obtidas no início do processo pois não dependem do estado θV da rede (vide 
Passo (ii) do algoritmo), sendo dadas por: 
 [ ] 





=





=′
−
−
8,00
03,0
25,10
03333,3 11B 
 [ ] [ ] [ ]3164,01603,3 11 ==′′ −−B 
 
Considerando uma solução inicial rad 003
0
1 == θθ e pu 101 =V , obtém-se os resultados mostrados na 
Tabela VII.19. 
 
Tabela VII.19 – Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga desacoplado rápido. 
p p
p
3
1
θ
θ
 
( )( )qp
qp
xP
xP
,
3
,
1
∆
∆
 
( )
( )
3
,
3
1
,
1
V
xP
V
xP
qp
q
qp
∆
∆
 
p
p
3
1
θ
θ
∆
∆
 
 q qV 1
 ( )qpxQ ,1∆ ( ) qqp VxQ 1
,
1∆
 
qV1∆
 
0 0 0 
–0,15 
0,20 
–0,15 
0,20 
–0,0450 
0,1600 0 1 0,1018 0,1018 0,0322 
1 –0,0450 0,1600 
–0,0081 
0,0006 
–0,0078 
0,0006 
–0,0023 
0,0005 1 1,0322 –0,0051 –0,0049 –0,0016 
2 –0,0473 0,1605 
1,8×10-4 
4,3×10-6 — — 2 1,0307 1,9×10
-4
 
— — 
 
 
Portanto, para uma tolerância 001,0== QP εε , a solução do Subsistema 1 obtida pelo método desacoplado 
rápido é dada por: pu 0307,11 =V , o71,2rad 0473,01 −=−=θ e o20,9rad 1605,03 ==θ . A grande 
vantagem deste método é o fato de não ser necessário recalcular e re-inverter a cada iteração as matrizes 
necessárias para as iterações Pθ e QV. Desta forma, embora possa ser necessário realizar um número maior 
de iterações, as iterações do método desacoplado rápido são sempre mais simples e rápidas do que as 
iterações dos métodos de Newton-Raphson ou Newton desacoplado. 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 34 de 47 
 
 
Solução Exemplo VII.13 (continuação): Os resultados mostrados na Tabela VII.19, foram obtidos 
executando-se a seguinterotina em MATLAB. 
 
% disponivel em: http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/exemplo_VII_13.m 
clear all; 
saida=fopen('saida.txt','w'); 
p1=-0.15; q1=0.05; p3=0.2; 
v1=1; t1=0; v2=1; t2=0; v3=1; t3=0; 
x=[t1; t3; v1]; 
b1sh=0.05; 
g12=0.33; b12=-3.3003; b12sh=0.02; x12=0.3; 
g23=0.0778; b23=-1.2451; b23sh=0.01; x23=0.8; 
G11=g12; G12=-g12; G13=0; 
G21=-g12; G22=g12+g23; G23=-g23; 
G31=0; G32=-g23; G33=g23; 
B11=b12+b12sh+b1sh; B12=-b12; B13=0; 
B21=-b12; B22=b12+b23+b12sh+b23sh; B23=-b23; 
B31=0; B32=-b23; B33=b23+b23sh; 
bl11=1/x12; bl13=0; 
bl31=0; bl33=1/x23; 
Jacp=-[bl11 bl13; bl31 bl33]; Jacp1=-inv(Jacp); 
bll11=-B11-b1sh-b12sh; 
Jacq=-[bll11]; Jacq1=-inv(Jacq); 
kmax=10; tol=0.001; kp=1; kq=1; 
for k=0:kmax, 
 dp1=p1-v1*(v2*(G12*cos(t1-t2)+B12*sin(t1-t2))+G11*v1); 
 dp3=p3-v3*(v2*(G32*cos(t3-t2)+B32*sin(t3-t2))+G33*v3); 
 gxp=[dp1; dp3]; 
 gxp1=[dp1/v1; dp3/v3]; 
 if max(abs(gxp))>tol 
 dxp=Jacp1*gxp1; 
 kq=1; 
 else 
 kp=0; 
 dxp=[0; 0]; 
 end 
 y=[k x(1) gxp(1) Jacp(1,1) Jacp(1,2) Jacp1(1,1) Jacp1(1,2) dxp(1)]; 
 fprintf(saida,'%2.0f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n',y); 
 y=[x(2) gxp(2) Jacp(2,1) Jacp(2,2) Jacp1(2,1) Jacp1(2,2) dxp(2)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 if kp==1 
 x=x+[dxp(1); dxp(2); 0]; 
 t1=x(1); t3=x(2); 
 elseif kq==0 
 break 
 end 
 dq1=q1-v1*(v2*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2))-B11*v1); 
 gxq=[dq1]; 
 gxq1=[dq1/v1]; 
 if max(abs(gxq))>tol 
 dxq=Jacq1*gxq1; 
 kp=1; 
 else 
 kq=0; 
 dxq=[0]; 
 end 
 y=[k x(3) gxq(1) Jacq(1,1) Jacq1(1,1) dxq(1)]; 
 fprintf(saida,'%2.0f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 if kq==1 
 x=x+[0;0;dxq(1)]; 
 v1=x(3); 
 elseif kp==0 
 break 
 end 
end 
p2=v2*(v1*(G21*cos(t2-t1)+B21*sin(t2-t1))+G22*v2+v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3))); 
q2=v2*(v1*(G21*sin(t2-t1)-B21*cos(t2-t1))-B22*v2+v3*(G23*sin(t2-t3)-B23*cos(t2-t3))); 
q3=v3*(v2*(G32*sin(t3-t2)-B32*cos(t3-t2))-B33*v3); 
q1sh=v1*v1*b1sh; 
y=[p2 q2 q3 q1sh]; 
fprintf(saida,'%8.4f %8.4f\n %8.4f\n %8.4f\n',y); 
fclose(saida); 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 35 de 47 
 
Exercício VII.5 – Utilizando os métodos de Newton, Newton desacoplado (normalizado) e desacoplado 
rápido, determinar a solução do fluxo de carga da rede da Figura VII.10 cujos dados se encontram nas 
Tabelas VII.20 e VII.21. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
12Z 
shjb12 shjb12 
23Z 
shjb23 shjb23 
shjb1 
1 2 3 
1S 3S 
2S 1V 2V 3V 
13Z 
shjb13 shjb13 
 
Figura VII.10 – Sistema de 3 barras. 
 
Tabela VII.20 – Dados das barras do sistema de 3 barras. 
 
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 PQ — — – 0,30 0,05 – 0,05 
2 Vθ 1,00 0,0 — — — 
3 PV 1,00 — 0,20 — — 
 
Tabela VII.21 – Dados dos ramos do sistema de 3 barras. 
 
k m kmZ [pu] shkmb [pu] 
1 2 0,03 + j0,3 0,02 
1 3 0,08 + j1,1 0,03 
2 3 0,05 + j0,8 0,01 
 
VII.4.3 – Apresentação formal dos métodos desacoplados 
Dezesseis anos após a apresentação heurística do método desacoplado rápido, foi publicado um artigo 
descrevendo formalmente esta abordagem em 19906. Em linhas gerais, a formulação apresentada neste artigo 
parte da iteração do método de Newton clássico: 
 





∆
∆
⋅





=





∆
∆
VLM
NH
Q
P θ
 com 
( ) ( )
( ) ( )
V
VQ
L
VQ
M
V
VPNVPH
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
θ
θ
θ
θ
θ
θ
,,
,,
 
 VNHP ∆+∆=∆ θ (VII.16) 
 VLMQ ∆+∆=∆ θ (VII.17) 
Isolando θ∆ em (VII.16) e V∆ em (VII.17), tem-se: 
( )
48476876 NH
VNHPHVNPH
θθ
θ
∆
∆−
∆
∆=∆−∆=∆ −−− 111 (VII.18) 
( ) 48476876
ML V
ML
V
QLMQLV
∆
∆−
∆
∆∆−∆=∆ −−− θθ 111 (VII.19) 
 
6
 A. Monticelli, A. Garcia, O. Saavedra (1990). Fast decoupled load flow: hypothesis, derivations and testing, IEEE 
Transactions on Power Systems, Vol. 4, No. 4, November, pp. 1425-1431. 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 36 de 47 
 
Substituindo (VII.18) em (VII.17): 
 ( )[ ] VLVNPHMQ ∆+∆−∆=∆ −1 
 
( ) VNMHLPMHQ ∆−=∆−∆ −− 11 
Substituindo (VII.19) em (VII.16): 
 
( )[ ]θθ ∆−∆+∆=∆ − MQLNHP 1 
 
( ) θ∆−=∆−∆ −− MNLHQNLP 11 
Das expressões anteriores, tem-se 3 processos idênticos: 
 





∆
∆
⋅





−
=





∆−∆
∆
−
− VNMHLL
NH
PMHQ
P θ
11 0
 (VII.20) 
 





∆
∆
⋅





−
=








∆
∆−∆ −−
VLM
MNLH
Q
QNLP θ011
 (VII.21) 






∆
∆
⋅





−
−
=








∆−∆
∆−∆
−
−
−
−
VNMHL
MNLH
PMHQ
QNLP θ
1
1
1
1
0
0
 (VII.22) 
Para simplificar a notação definem-se 2 matrizes: 
 
NMHLL
MNLHH
eq
eq
1
1
−
−
−=
−=
 
 
Propriedade 1: Considerando a expansão em série de Taylor das funções de P∆ e Q∆ , tem-se: 
( ) ( ) }
876876 θθθ
θθ
θ
θθ
∆
−
∂
∂
∆
− ∆−∆=∆
∂
∆∂
+∆≈










∆+∆ PHMVQQVQPHVQ
Q
11
,,, 
( ) ( ) }
876876 VV
P
V
QLNVPV
V
PVPQLVP
∆
−
∂
∂
∆
− ∆−∆=∆
∂
∆∂
+∆≈










∆+∆ 11 ,,, θθθ 
 
Propriedade 2: Utilizando a Propriedade 1, os processos (VII.20), (VII.21) e (VII.22) podem ser 
resolvidos de forma desacoplada. Utilizando-se (VII.18) e a formulação (VII.20) define-se o algoritmo 
primal; utilizando-se (VII.19) e a formulação (VII.21) define-se o algoritmo dual, a seguir descritos: 
 
Algoritmo Primal Algoritmo Dual 
1. Calcular a correção de ângulo temporária: 
( )θθ ,1 VPHH ∆=∆ − 
2. Calcular a correção na magnitude: 
( )Heq VQLV θθ ∆+∆=∆ − ,1 
3. Calcular a correção de ângulo adicional: 
VNHN ∆−=∆
−1θ 
4. Fazer: 
NH θθθ ∆+∆=∆ 
1. Calcular a correção de magnitude temporária: 
( )θ,1 VQLV L ∆=∆ − 
2. Calcular a correção no ângulo: 
( )θθ ,1 Leq VVPH ∆+∆=∆ − 
3. Calcular a correção de magnitude adicional: 
θ∆−=∆ − MLV M 1 
4. Fazer: 
ML VVV ∆+∆=∆ 
 
Embora o processo já possa ser resolvido de forma desacoplada, apresenta dois seguintes inconvenientes: 
• Em ambos algoritmos uma das correções é calculada em dois passos: θ∆ para o primal e V∆ para o 
dual. 
• As matrizes eqH e eqL podem ser cheias. 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 37 de 47 
 
 
Propriedade 3: Para uma dada iteração do algoritmo primal, tem-se: ( )ννν θθ ,1 VPHH ∆=∆ − 
ννν θθθ Htemp ∆+=
+1
 
( )11 , +− ∆=∆ ννν θ tempeq VQLV 
ννν
 
1 VVV ∆+=+ 
ννθ VNHN ∆−=∆ −1 
ννν θθθ Ntemp ∆+=
++ 11
 
 
Para a próxima iteração a correção temporária em ângulo seria: ( )1111 , ++−+ ∆=∆ ννν θθ VPHH 
112 +++ ∆+= ννν θθθ Htemp 
Assim, as duas correções sucessivas de ângulo seriam dadas por: ( )[ ]
( )[ ]νννν
ννννν
θθ
θθθ
VNHVPH
VNVPH
Ntemp
HN
∆−∆−∆≈
∆−∆=∆+∆
++
−
++
−
+
1111111
,
,
 
Observar que, pela Propriedade 1, tem-se: 
( )
( ) ννν
ν
ννννν
θθ
θ
θθθ
Ntemp
Ntemp
HVP
VPVP
∆−∆≈












∆+∆=∆
++
+
++++
11
1
1111
,
,,
48476
 
Como ννθ VNHN ∆−=∆ −1 , 
νννθ VNVNHHH N ∆−=∆−=∆ −1 
logo 
0=∆−∆− ννθ VNH N 
Assim: ( )1111 , ++−+ ∆≈∆+∆ νννν θθθ tempHN VPH 
Deste modo, as duas correções em ângulo sucessivas podem ser obtidas de uma só vez, ou seja, as correções 
Nθ∆ são automaticamente realizadas (de forma aproximada) na próxima iteração. 
 
Para uma dada iteração do algoritmo dual, tem-se: ( )ννν θ,1 VQLV L ∆=∆ − 
ννν
Ltemp VVV ∆+=
+1
 
( )ννν θθ , 11 +− ∆=∆ tempeq VPH 
ννν θθθ 1 ∆+=+ 
νν θ∆−=∆ − MLV M 1 
ννν
Mtemp VVV ∆+=
++ 11
 
Para a próxima iteração a correção temporária em magnitude seria: ( )1111 , ++−+ ∆=∆ ννν θVQLV L 
112 +++ ∆+= ννν Ltemp VVV 
Assim, as duas correções sucessivas de magnitude seriam dadas por: 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 38 de 47 
 
( )[ ]
( )[ ]νννν
ννννν
θθ
θθ
∆−∆−∆≈
∆−∆=∆+∆
++
−
++
−
+
MVLVQL
MVQLVV
Mtemp
LM
111
1111
,
,
 
Como νν θ∆−=∆ − MLV M 1 , 
ννν θθ ∆−=∆−=∆ − MMLLVL M 1 
logo 
0=∆−∆− νν θMVL M 
Assim: ( )1111 , ++−+ ∆≈∆+∆ νννν θtempLM VQLVV 
Deste modo, as duas correções em magnitude sucessivas podem ser obtidas de uma só vez, ou seja, as 
correções MV∆ são automaticamente realizadas (de forma aproximada) na próxima iteração. 
 
VII.5 – Controles e limites 
Para evitar que a solução obtida para o problema do fluxo de carga seja não realizável, é importante verificar 
se os equipamentos e instalações do sistema encontram-se dentro dos seus limites de operação. Além disto, 
devem ser considerados os dispositivos de controle que influenciam as condições de operação para que seja 
possível simular corretamente o desempenho do sistema elétrico. Exemplos de controles e limites existentes 
nos programas de fluxo de carga são os seguintes: 
• Controle da magnitude do fasor tensão nodal por ajuste de tap (transformadores em fase); 
• Controle do fluxo de potência ativa (transformadores defasadores); 
• Controle de intercâmbio; 
• Limite de injeção de potência reativa em barras PV; 
• Limite de tensão em barras PQ; 
• Limites de taps de transformadores; 
• Limites de fluxo em circuitos. 
 
De uma maneira geral, existem três maneiras básicas de representar os controles: 
1. Classificação por tipo de barra (PQ, PV, Vθ, etc.) e o agrupamento das equações em 
subsistemas 1 e 2, como já mencionado. 
2. Mecanismos de ajuste executados alternadamente com a solução iterativa do Subsistema 1, ou 
seja, durante a realização de uma (ou mais) iteração as variáveis de controle permanecem 
inalteradas, sendo reajustadas entre uma iteração e outra buscando sua aproximação com um 
valor especificado. 
3. Incorporação de equações e variáveis adicionais ao Subsistema 1 ou substituição de equações e 
variáveis deste subsistema por novas equações e variáveis. 
 
Um exemplo de limite que pode ser facilmente verificado é a injeção de potência reativa das barras de tensão 
controlada (PV) que deve estar dentro da faixa definida para o equipamento 
{ }( )PV barras ,maxmin ∈≤≤ kQQQ kkk . Embora existam diversas formas de realizar este controle, é 
conveniente fazê-lo ao longo do processo iterativo (antes da convergência) para evitar que sejam realizados 
cálculos desnecessários. 
 
É importante observar que a inclusão dos controles provoca alterações na taxa de convergência do processo 
iterativo (para pior) podendo, ainda, provocar sua divergência e facilitar o aparecimento de soluções 
múltiplas para o problema original. 
 
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Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 39 de 47 
 
 
Exercício VII.7 – Utilizando os métodos de Newton, Newton Desacoplado e Desacoplado Rápido, 
determinar a solução do fluxo de carga da rede da Figura VII.11 cujos dados se encontram nas Tabelas 
VII.22 e VII.23. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε . 
 
12Z
shjb12 shjb12
23Z
shjb2
1 2 3 
1S 3S
2S1V 2V 3V
 
Figura VII.11 – Sistema exemplo de 3 barras. 
 
Tabela VII.22 – Dados das barras do sistema de 3 barras. 
 
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 Vθ 1,0 0 — — — 
2 PQ — — – 0,20 – 0,10 – 0,05 
3 PV 1,05 — – 0,30 — — 
 
Tabela VII.23 – Dados dos ramos do sistema de 3 barras. 
 
k m kmZ [pu] shkmb [pu] 
1 2 0,01 + j0,1 0,1 
2 3 0,02 + j0,3 0,0 
 
 
Solução Parcial Exercício VII.7: As admitâncias das linhas de transmissão são dadas por: 
 
( ) pu 9010,99901,0
1,001,0
11
12
12 jjZ
Y −≈
+
== 
 
( ) pu 3186,32212,0
3,002,0
11
23
23 jjZ
Y −≈
+
== 
sendo a matriz admitância dada por: 
 










−+−
+−−+−
+−−
=
3186,32212,03186,32212,00
3186,32212,01696,132113,19010,99901,0
09010,99901,08010,99901,0
jj
jjj
jj
Y 
As incógnitas e equações do Subsistema 1 são as seguintes: 
 










=
2
3
2
V
x θ
θ
 
 ( )
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( )[ ]



=−+−−−=∆
=++−=∆
=++++−=∆
0cossencossen
0sencos
0sencossencos
S1
2323232332222121212112
esp
22
3333232323223
esp
33
2323232332222121212112
esp
22
θθθθ
θθ
θθθθ
BGVBVBGVVQQ
GVBGVVPP
BGVGVBGVVPP
 
 
Substituindo os valores conhecidos, tem-se o seguinte sistema de equações: 
( )
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( )[ ]



=−−++−−−−=∆
=×++−−−=∆
=+−+++−−−=∆
0cos3186,3sen2212,005,11696,13cos9010,9sen9901,011,0
005,12212,0sen3186,3cos2212,005,13,0
0sen3186,3cos2212,005,12113,1sen9010,9cos9901,012,0
S1
232322222
323223
232322222
θθθθ
θθ
θθθθ
VVQ
VP
VVP
 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 40 de 47 
 
Solução Parcial Exercício VII.7 (continuação): Para este problema a matriz Jacobiana apresenta a 
seguinte formação: 
 










−=


















∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
=
222322
323332
222322
2
2
3
2
2
2
2
3
3
3
2
3
2
2
3
2
2
2
LMM
NHH
NHH
V
QQQ
V
PPP
V
PPP
J
θθ
θθ
θθ
 
( )
( ) ( )[ ]2323232332121212112
22222
2
2
22
cossencossen
cossen
2
θθθθ
θθ
θ
BGVBGVV
BGVVPH
m
mmmmm
+−++−=
+−=
∂
∂
= ∑
Ω∈ 
( )2323232332
3
2
23 cossen θθθ
BGVVPH −=
∂
∂
=
 
( )3232323223
2
3
32 cossen θθθ
BGVVPH −=
∂
∂
=
 
( )
( )3232323223
33333
3
3
33
cossen
cossen
3
θθ
θθ
θ
BGVV
BGVVPH
m
mmmmm
+−=
+−=
∂
∂
= ∑
Ω∈ 
( )
( ) ( )232323233212121211222
2222222
2
2
22
sencossencos2
sencos2
2
θθθθ
θθ
BGVBGVGV
BGVGV
V
PN
m
mmmmm
++++=
++=
∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( )323232323
2
3
32 sencos θθ BGVV
PN +=
∂
∂
=
 
( )
( ) ( )[ ]2323232332121212112
22222
2
2
22
sencossencos
sencos
2
θθθθ
θθ
θ
BGVBGVV
BGVVQM
m
mmmmm
+++=
=+=
∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( )2323232332
3
2
23 sencos θθθ
BGVVQM −−=
∂
∂
=
 
( )
( ) ( )232323233212112211222
2222222
2
2
22
cossencossen2
cossen2
2
θθθθ
θθ
BGVBGVBV
BGVBV
V
QL
m
mmmmm
−+−+−=
=−+−=
∂
∂
= ∑
Ω∈ 
 
Considerando uma solução inicial rad 003
0
2== θθ e pu 102 =V , obtém-se os resultados mostrados na 
Tabela VII.24. 
 
Tabela VII.24 – Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton. 
ν 
ν
ν
ν
θ
θ
2
3
2
V
 
( )( )( )ν
ν
ν
xQ
xP
xP
2
3
2
∆
∆
∆
 ( )[ ]νxJ− ( )[ ] 1−− νxJ 
ν
ν
ν
θ
θ
1
3
1
V∆
∆
∆
 
0 
0 
0 
1 
–0,1889 
–0,3116 
0,1159 9536,122323,02224,1
2323,04845,34845,3
2003,14845,33855,13
−
−−
−
 
0765,00026,00077,0
0024,03879,01008,0
0075,01008,01003,0
−
−
 
–0,0512 
–0,1402 
0,0066 
1 
–0,0512 
–0,1402 
1,0066 
–0,0008 
0,0007 
–0,0277 1851,130788,04267,1
5410,04730,34730,3
0215,15145,34171,13
−−
−−
−
 
0755,00133,00115,0
0081,03916,01022,0
0036,01016,01004,0 −
 
0,0001 
–0,0000 
–0,0021 
2 
–0,0511 
–0,1402 
1,0045 
–3×10-6 
–1×10-6 
–5,8×10-5 
— — — 
 
 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 41 de 47 
 
 
Solução Parcial Exercício VII.7 (continuação): Portanto, para uma tolerância 001,0== QP εε , a 
solução do Subsistema 1 é dada por: pu 0045,12 =V , o93,2rad 0511,02 −=−=θ e o03,8rad 1402,03 =−=θ . 
Observar que após a 1a iteração os resíduos 2P∆ e 3P∆ já se encontravam dentro da tolerância desejada ( 001,00008,012 =<−=∆ PP ε e )001,00007,013 =<=∆ PP ε , mas foi necessário realizar mais uma iteração, 
pois o resíduo 2Q∆ era superior. 
 
Os resultados mostrados na Tabela VII.24, foram obtidos executando-se a seguinte rotina em MATLAB. 
 
% disponivel em: http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/exercicio_VII_7.m 
clear all; 
saida = fopen('saida.txt','w'); 
p2esp = -0.20; q2esp = -0.10; p3esp = -0.3; 
v1 = 1; t1 = 0; v2 = 1; t2 = 0; v3 = 1.05; t3 = 0; 
b2sh = -0.05; b12sh = 0.1; b23sh = 0.0; 
z12 = 0.01+0.1i; z23 = 0.02+0.3i; 
y12 = 1/z12; g12=real(y12); b12 = imag(y12); 
y23 = 1/z23; g23=real(y23); b23 = imag(y23); 
G11 = g12; G12 = -g12; G13 = 0; 
G21 = -g12; G22 = g12+g23; G23 = -g23; 
G31 = 0; G32 = -g23; G33 = g23; 
B11 = b12+b12sh; B12 = -b12; B13 = 0; 
B21 = -b12; B22 = b12+b23+b2sh+b12sh+b23sh; B23 = -b23; 
B31 = 0; B32 = -b23; B33 = b23+b23sh; 
Y = [G11+B11*1i G12+B12*1i 0; G21+B21*1i G22+B22*1i G23+B23*1i; 0 G32+B32*1i G33+B33*1i]; 
x = [t2; t3; v2]; kmax = 50; tol = 1e-5; 
fprintf(saida,'Resumo do processo iterativo --------------------------------------------------------
------------------'); 
fprintf(saida,'\n\nIter x g(x) -Jac -
inv(Jac) dx\n\n'); 
for k=0:kmax, 
 p2 = v2*(v1*(G21*cos(t2-t1)+B21*sin(t2-t1))+v2*G22+v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3))); 
 p3 = v3*(v2*(G32*cos(t3-t2)+B32*sin(t3-t2))+G33*v3); 
 q2 = v2*(v1*(G21*sin(t2-t1)-B21*cos(t2-t1))-v2*B22+v3*(G23*sin(t2-t3)-B23*cos(t2-t3))); 
 dp2 = p2esp-p2; dp3 = p3esp-p3; dq2 = q2esp-q2; 
 gx = [dp2;dp3;dq2]; 
 if max(abs(gx)) > tol 
 h22 = v2*(v1*(-G21*sin(t2-t1)+B21*cos(t2-t1))+v3*(-G23*sin(t2-t3)+B23*cos(t2-t3))); 
 h23 = v2*v3*(G23*sin(t2-t3)-B23*cos(t2-t3)); 
 h32 = v3*v2*(G32*sin(t3-t2)-B32*cos(t3-t2)); 
 h33 = v3*v2*(-G32*sin(t3-t2)+B32*cos(t3-t2)); 
 n22 = 2*v2*G22+v1*(G21*cos(t2-t1)+B21*sin(t2-t1))+v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3)); 
 n32 = v3*(G32*cos(t3-t2)+B32*sin(t3-t2)); 
 m22 = v2*(v1*(G21*cos(t2-t1)+B21*sin(t2-t1))+v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3))); 
 m23 = -v2*v3*(G23*cos(t2-t3)+B23*sin(t2-t3)); 
 l22 = -2*v2*B22+v1*(G21*sin(t2-t1)-B21*cos(t2-t1))+v3*(G23*sin(t2-t3)-B23*cos(t2-t3)); 
 Jac = [h22 h23 n22; h32 h33 n32; m22 m23 l22]; Jac1 = inv(Jac); 
 dx = Jac1*gx; 
 y = [k x(1) gx(1) Jac(1,1) Jac(1,2) Jac(1,3) Jac1(1,1) Jac1(1,2) Jac1(1,3) dx(1)]; 
 fprintf(saida,' %2.0f %8.4f %10.6f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f 
%8.4f\n',y); 
 y=[x(2) gx(2) Jac(2,1) Jac(2,2) Jac(2,3) Jac1(2,1) Jac1(2,2) Jac1(2,3) dx(2)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %10.6f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f 
%8.4f\n',y); 
 y=[x(3) gx(3) Jac(3,1) Jac(3,2) Jac(3,3) Jac1(3,1) Jac1(3,2) Jac1(3,3) dx(3)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %10.6f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f %8.4f 
%8.4f\n\n',y); 
 else 
 y = [k x(1) gx(1) Jac(1,1) Jac(1,2) Jac(1,3)]; 
 fprintf(saida,' %2.0f %8.4f %10.2e %8.4f %8.4f %8.4f\n',y); 
 y = [x(2) gx(2) Jac(2,1) Jac(2,2) Jac(2,3)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %10.2e %8.4f %8.4f %8.4f\n',y); 
 y = [x(3) gx(3) Jac(3,1) Jac(3,2) Jac(3,3)]; 
 fprintf(saida,' %8.4f %10.2e %8.4f %8.4f %8.4f\n\n',y); 
 break 
 end 
 x = x+dx; t2 = x(1); t3 = x(2); v2 = x(3); 
end 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 42 de 47 
 
Solução Parcial Exercício VII.7 (continuação): 
 
p1 = v1*(v1*G11+v2*(G12*cos(t1-t2)+B12*sin(t1-t2))); 
q1 = v1*(-v1*B11+v2*(G12*sin(t1-t2)-B12*cos(t1-t2))); 
q3 = v3*(v2*(G32*sin(t3-t2)-B32*cos(t3-t2))-B33*v3); 
q2sh = v2*v2*b2sh; 
fprintf(saida,'Injecoes calculadas ----------------------\n\n Barra P [pu] Q [pu] Qsh 
[pu]\n'); 
fprintf(saida,' %4.0f %8.4f %8.4f %8.4f\n',1,p1,q1,0); 
fprintf(saida,' %4.0f %8.4f %8.4f %8.4f\n',2,p2,q2,q2sh); 
fprintf(saida,' %4.0f %8.4f %8.4f %8.4f\n',3,p3,q3,0); 
p12 = v1*v1*g12-v1*v2*(g12*cos(t1-t2)+b12*sin(t1-t2)); 
q12 = -v1*v1*(b12+b12sh)-v1*v2*(g12*sin(t1-t2)-b12*cos(t1-t2)); 
p21 = v2*v2*g12-v2*v1*(g12*cos(t2-t1)+b12*sin(t2-t1)); 
q21 = -v2*v2*(b12+b12sh)-v2*v1*(g12*sin(t2-t1)-b12*cos(t2-t1)); 
q23 = -v2*v2*(b23+b23sh)-v2*v3*(g23*sin(t2-t3)-b23*cos(t2-t3)); 
p23 = v2*v2*g23-v2*v3*(g23*cos(t2-t3)+b23*sin(t2-t3)); 
p32 = v3*v3*g23-v3*v2*(g23*cos(t3-t2)+b23*sin(t3-t2)); 
q32 = -v3*v3*(b23+b23sh)-v3*v2*(g23*sin(t3-t2)-b23*cos(t3-t2)); 
pperdas12 = p12+p21; qperdas12 = q12+q21; pperdas23 = p23+p32; qperdas23 = q23+q32; 
fprintf(saida,'\nFluxos e perdas nas linhas ---------------------------------\n\n De Para Pkm 
[pu] Qkm [pu] Pperdas[pu] Qperdas[pu]\n'); 
fprintf(saida,' %4.0f %4.0f %8.4f %8.4f %8.4f 
%8.4f\n',1,2,p12,q12,pperdas12,qperdas12); 
fprintf(saida,' %4.0f %4.0f %8.4f %8.4f\n',2,1,p21,q21); 
fprintf(saida,' %4.0f %4.0f %8.4f %8.4f %8.4f 
%8.4f\n',2,3,p23,q23,pperdas23,qperdas23); 
fprintf(saida,' %4.0f %4.0f %8.4f %8.4f\n',3,2,p32,q32); 
fclose(saida); 
 
Por outro lado, o Subsistema 2 corresponde ao cálculo da injeção de potência ativa e reativa na barra de 
referência e de potência reativa da barra de tensão controlada: 
 
( )
( ) { }
( ) { }
( ) { }









=−=
=−=
=+=
=
∑
∑
∑
∈
∈
∈
3,2cossen
2,1cossen
2,1sencos
2S
3333333
1111111
1111111
3
1
1
KBGVVQ
KBGVVQ
KBGVVP
Km
mmmmm
Km
mmmmm
Km
mmmmm
θθ
θθ
θθ
 
 ( )
( )[ ]
( )[ ]
( )[ ]



−−=
−+−=
++=
33332323232233
12121212211111
12121212211111
cossen
cossen
sencos
S2
BVBGVVQ
BGVBVVQ
BGVGVVP
θθ
θθ
θθ
 
Substituindo os valores conhecidos, chega-se a: 
 ( )





=
−=
=
pu 0,1931
pu 1827,0
pu 5058,0
S2
3
1
1
Q
Q
P
 
Após a determinação do estado da rede, os fluxos de potência nas linhas podem ser facilmente determinados, 
utilizando-se as expressões (III.11) e (III.12), obtendo-se os resultados mostrados na Figura VII.12. 
 
1 2 3 
1931,03,03 jS +−= 1,02,02 jS −−= 
o011 =V o93,20045,12−=V o03,805,13 −=V 
1827,05049,012 jS −= 0080,05023,021 jS +−= 1584,03023,023 jS −= 1931,03,032 jS +−= 
0505,02 jS sh −= 
shjb2 
1827,05049,01 jS −= 
 
Figura VII.12 – Resultado do fluxo de carga do sistema exemplo de 3 barras. 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 43 de 47 
 
Solução Parcial Exercício VII.7 (continuação): Os resultados anteriores podem ser obtidos por 
intermédio de simulação computacional empregando, por exemplo, o programa PowerWorld Simulator7. Na 
Figura VII.13 encontra-se o diagrama unifilar do circuito com o resultado do fluxo de carga, e quadros com a 
matriz admitância da rede e com a matriz Jacobiana utilizada no fluxo de carga pelo método de Newton 
( )( )xJ− ,
 
calculada para a solução do fluxo de carga. 
 
 
 
 
 
Figura VII.13 – Solução e matrizes admitância e Jacobiana do sistema exemplo de 3 barras. 
 
Exercício VII.8 – Utilizando os métodos de Newton, Newton Desacoplado e Desacoplado Rápido, 
determinar a solução do fluxo de carga da rede da Figura VII.14 cujos dados se encontram nas Tabelas 
VII.25 e VII.26. Utilizar uma tolerância 001,0== QP εε . 
 1 
1S
1V
2 
2S
2V
3 
3S
3V
4 
4S
4V
 
Figura VII.14 – Sistema exemplo de 4 barras. 
 
Tabela VII.25 – Dados das barras do sistema de 4 barras. 
Barra Tipo espV [pu] espθ [rad] espP [pu] espQ [pu] shkb [pu] 
1 PV 1,05 — 0,20 — — 
2 Vθ 0,95 0 — — — 
3 PQ — — – 0,30 – 0,10 — 
4 PQ — — – 0,30 – 0,40 0,20 
 
7
 Comercializado pela PowerWorld Coporation (http://www.powerworld.com/). Arquivos de simulação disponíveis 
em: 
 http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/ex_3barras.pwd e 
 http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/ex_3barras.pwb. 
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Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 44 de 47 
 
 
Tabela VII.26 – Dados dos ramos do sistema de 4 barras. 
k m kmZ [pu] shkmb [pu] 
1 2 0,02 + j0,1 0,18 
1 3 0,01 + j0,05 — 
2 3 0,04 + j0,2 0,09 
2 4 j0,05 — 
 
 
Solução Parcial Exercício VII.8: As admitâncias série dos ramos são dadas por: 
 
 
( ) pu 6154,99231,1
1,002,0
11
12
12 jjZY −≈+== 
 
( ) pu 2308,198462,3
05,001,0
11
13
13 jjZY −≈+== 
 
( ) pu 8077,49615,0
2,004,0
11
23
23 jjZY −≈+== 
 
( ) pu 20
05,0
11
24
24 jjZY −=== 
 
sendo a matriz admitância dada por: 
 
 












−
−+−+−
+−−+−
+−+−+
=
80190200
09485,238077,48077,49615,02308,198462,3
208077,49615,01531,348846,26154,99231,1
02308,198462,36154,99231,16662,287693,5
,j j
jjj
 jjjj
jjj
Y 
 
As incógnitas e equações do Subsistema 1 são as seguintes: 
 
 
















=
4
3
4
3
1
V
V
x θ
θ
θ
 
 
 
( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ]







=−−−=∆
=−−+−−=∆
=++−=∆
=++++−=∆
=++++−=∆
=
0cossen
0cossencossen
0sincos
0sincossincos
0sincossincos
1
4444242424224
esp
44
3333232323223131313113
esp
33
4444242424224
esp
44
3333232323223131313113
esp
33
1313131331212121221111
esp
11
BVθBθGVVQQ
BVθBθGVθBθGVVQQ
GVθBθGVVPP
GVθBθGVθBθGVVPP
θBθGVθBθGVGVVPP
S 
 
Substituindo os valores conhecidos, tem-se o seguinte sistema de equações: 
 
( )
( ) ( )[ ]
( )[ ]
( ) ( )[ ]



=−−++−−−−=∆
=×++−−−=∆
=+−+++−−−=∆
0cos3186,3sen2212,005,11696,13cos9010,9sen9901,011,0
005,12212,0sen3186,3cos2212,005,13,0
0sen3186,3cos2212,005,12113,1sen9010,9cos9901,012,0
S1
232322222
323223
232322222
θθθθ
θθ
θθθθ
VVQ
VP
VVP
 
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Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 45 de 47 
 
Solução Parcial Exercício VII.8 (continuação): Para este problema a matriz Jacobiana apresenta a 
seguinte formação: 
 
 
















−=




























∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
∂
∆∂
=
4444
333331
4444
333331
131311
4
4
3
4
4
4
3
4
1
4
4
3
3
3
4
3
3
3
1
3
4
4
3
4
4
4
3
4
1
4
4
3
3
3
4
3
3
3
1
3
4
1
3
1
4
1
3
1
1
1
000
00
000
00
00
LM
LMM
NH
NHH
NHH
V
Q
V
QQQQ
V
Q
V
QQQQ
V
P
V
PPPP
V
P
V
PPPP
V
P
V
PPPP
J
θθθ
θθθ
θθθ
θθθ
θθθ
 
 
( )
( ) ( )[ ]1313131331212121221
11111
1
1
11
cossencossen
cossen
1
θθθθ
θθ
θ
BGVBGVV
BGVVPH
m
mmmmm
+−++−=
+−=
∂
∂
= ∑
Ω∈ 
( )1313131331
3
1
13 cossen θθθ
BGVVPH −=
∂
∂
=
 
( )3131313113
1
3
31 cossen θθθ
BGVVPH −=
∂
∂
=
 
( )
( ) ( )[ ]3232323223131313113
33333
3
3
33
cossencossen
cossen
3
θθθθ
θθ
θ
BGVBGVV
BGVVPH
m
mmmmm
+−++−=
+−=
∂
∂
= ∑
Ω∈ 
( ) ( )424242422444444
4
4
44 cossencossen
4
θθθθ
θ
BGVVBGVVPH
m
mmmmm +−=+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( )131313131
3
1
13 sencos θθ BGVV
PN +=
∂
∂
=
 
( )
( ) ( )323232322313131311333
3333333
3
3
33
sencossencos2
sencos2
3
θθθθ
θθ
BGVBGVGV
BGVGV
V
PN
m
mmmmm
++++=
++=
∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( ) ( )4242424224444444444
4
4
44 sencos2sencos2
4
θθθθ BGVGVBGVGV
V
PN
m
mmmmm ++=++=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( )3131313113
1
3
31 sencos θθθ
BGVVQM −−=
∂
∂
=
 
( )
( ) ( )[ ]3232323223131313113
33333
3
3
33
sencossencos
sencos
3
θθθθ
θθ
θ
BGVBGVV
BGVVQM
m
mmmmm
+++=
=+=
∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( ) ( )424242422444444
4
4
44 sencossencos
4
θθθθ
θ
BGVVBGVVQM
m
mmmmm +=+=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( )
( ) ( )323232322313131311333
3333333
3
3
33
cossencossen2
cossen2
3
θθθθ
θθ
BGVBGVBV
BGVBV
V
Q
L
m
mmmmm
−+−+−=
=−+−=
∂
∂
= ∑
Ω∈
 
( ) ( )4242424224444444444
4
4
44 cossen2cossen2
4
θθθθ BGVBVBGVBV
V
Q
L
m
mmmmm −+−=−+−=∂
∂
= ∑
Ω∈
 
 
Considerando uma solução inicial rad 004
0
3
0
1 === θθθ e pu 10403 == VV , obtém-se os resultados 
mostrados na Tabela VII.27. 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 46 de 47 
 
Solução Parcial Exercício VII.8 (continuação): 
 
Tabela VII.27 – Resultados parciais do processo iterativo – fluxo de carga Newton. 
ν 
ν
ν
ν
ν
ν
θ
θ
θ
4
3
4
3
1
V
V
 
( )( )( )( )( )ν
ν
ν
ν
ν
xQ
xQ
xP
xP
xP
4
3
4
3
1
∆
∆
∆
∆
∆
 ( )[ ]νxJ− 
ν
ν
ν
ν
ν
θ
θ
θ
4
3
4
3
1
V
V
∆
∆
∆
∆
∆
 
0 
0 
0 
0 
1 
1 
–0,6038 
–0,1558 
–0,3000 
0,7111 
–1,2000 6000,200000
01373,2309519,40385,4
000000,1900
06635,407596,241923,20
00385,401923,207837,29
−
−
−−
 
–0,0544 
–0,0560 
–0,0158 
0,0283 
–0,0583 
1 
–0,0544 
–0,0560 
–0,0158 
1,0283 
0,9414 
–0,0040 
0,0027 
–0,0175 
–0,0281 
–0,0694 2956,1802825,000
05551,2403858,51853,4
3000,008910,1700
06492,403926,257562,2000066,407693,202422,30
−
−
−
−
−−
 
–0,0002 
0,0002 
–0,0010 
–0,0011 
–0,0038 
2 
–0,0545 
–0,0558 
–0,0168 
1,0272 
0,9379 
7,46×10-6 
2,22×10-6 
–7,55×10-5 
–3,08×10-5 
–2,96×10-4 
— — 
 
 
Portanto, para uma tolerância 001,0== QP εε , a solução do Subsistema 1 é dada por: pu 0272,13 =V , 
pu 9379,04 =V , o13,3rad 0545,01 −=−=θ , o20,3rad 0558,03 −=−=θ e o96,0rad 0168,04 −=−=θ . 
 
Os resultados mostrados na Tabela VII.27, foram obtidos executando-se a rotina em MATLAB, disponível 
em http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/exercicio_VII_8.m. 
 
Por outro lado, o Subsistema 2 corresponde ao cálculo da injeção de potência ativa e reativa na barra de 
referência e a injeção de potência reativa na barra de tensão controlada: 
 
 
( )
( ) { }
( ) { }
( ) { }









=−=
=−=
=+=
=
∑
∑
∑
∈
∈
∈
3,2,1cossen
4,3,2,1cossen
4,3,2,1sencos
2S
1111111
2222222
2222222
1
2
2
KBGVVQ
KBGVVQ
KBGVVP
Km
mmmmm
Km
mmmmm
Km
mmmmm
θθ
θθ
θθ
 
( )
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]



−+−+−=
−+−+−−=
++++++=
13131313312121212211111
42424242432323232322221212121122
42424242432323232322221212121122
cossencossen
cossencossencossen
sencossencossencos
S2
θθθθ
θθθθθθ
θθθθθθ
BGVBGVBVVQ
BGVBGVBVBGVVQ
BGVBGVGVBGVVP
 
 
Substituindo os valores conhecidos, chega-se a: 
 
 ( )





=
−=
=
pu 3858,1
pu 4129,1
pu 8356,0
S2
1
2
2
Q
Q
P
 
4450A-04 – Sistemas de Energia I 
Fluxo de carga não linear: algoritmos básicos – Sérgio Haffner Versão: 10/9/2007 Página 47 de 47 
 
Solução Parcial Exercício VII.8 (continuação): Os resultados anteriores podem ser obtidos por 
intermédio de simulação computacional empregando, por exemplo, o programa PowerWorld Simulator8. Na 
Figura VII.15 encontra-se o diagrama unifilar do circuito com o resultado do fluxo de carga, e quadros com a 
matriz admitância da rede e com a matriz Jacobiana calculada para a solução do fluxo de carga. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura VII.15 – Solução e matrizes admitância e Jacobiana do sistema exemplo de 4 barras. 
 
 
 
8
 Arquivos de simulação disponíveis em: 
 http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/ex_4barras.pwd e 
 http://slhaffner.phpnet.us/sistemas_de_energia_1/ex_4barras.pwb.