Resumo Introdução à Álgebra

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Adilson Goncalves -- Introducao a Algebra
Resumo para Estudo
Capitulos I a VI | Foco: Cap. VI — Grupos
Definicoes | Subgrupos | Conjugacao | Quocientes | Homomorfismos | Grupos Soiveis
Conteudo deste resumo
Cap. I Nocoes Preliminares — conjuntos, funcoes, relacoes de equivalencia
Cap. II Os Numeros Inteiros — divisibilidade, MDC, primos, Z_n
Cap. III Aneis, Ideais e Homomorfismos — estrutura algebrica com duas operacoes
Cap. IV Polinomios — algoritmo da divisao, irredutibilidade, Eisenstein
Cap. V Extensoes Algebricas — adjuncao de raizes, grau, construcoes
Cap. VI GRUPOS (FOCO PRINCIPAL):
 VI.1 Definicao, exemplos, ordem de grupo e de elemento
 VI.2 Subgrupos, classes laterais, Teorema de Lagrange
 VI.3 Classes de conjugacao, equacao de classes, Teorema de Cauchy
 VI.4 Subgrupos normais, grupos quocientes, homomorfismos, Inn(G)
 VI.5 Grupos soiveis, simplicidade de A_n, conexao com Galois
Tabelas: grupos de ordem pequena e resumo dos teoremas
Licenciatura em Matematica | UFPE | Estruturas Algebricas L2A | 2026.1
Goncalves — Introducao a Algebra | Resumo Cap. I a VI — pag. 1
Cap. I — Nocoes Preliminares
Capitulo de base: conjuntos, funcoes e relacoes de equivalencia. Fornece a linguagem formal usada em todos os
capitulos seguintes.
Seccao Conceito central Notacao chave
1 — Conjuntos Subconjunto, interseccao, uniao,
complemento, produto cartesiano
A subset B; A x B
2 — Funcoes Injetiva, sobrejetiva, bijetiva;
composicao; funcao inversa
f: A -> B; f^{-1}
3 — Rel.
Equivalencia
Particao de A em classes [a]; conjunto
quociente A/~
[a] = {b: a~b}
4 — Op. Binaria f: A x A -> A; associatividade,
comutatividade, elemento neutro
a * b em A
Cap. II — Os Numeros Inteiros
Fundamenta divisibilidade, MDC e aritmetica modular — essenciais para exemplos de aneis e grupos ciclicos.
Seccao Resultado principal
1 — Prop. elementares Unicidade da representacao; principio da boa ordenacao em N
2 — Divisao e MDC Algoritmo de Euclides: mdc(a,b) = ax + by para algum x,y em Z
3 — Ideais em Z Todo ideal de (Z,+,.) e da forma nZ = {nk | k em Z}
4 — Numeros primos Todo inteiro n > 1 tem fatoracao em primos (unica a menos de ordem)
5 — Fatoracao unica Teorema Fundamental da Aritmetica: Z e DFU
6 — Os aneis Z_n Z_n = Z/nZ; (Z_n)* = {[a] : mdc(a,n)=1}; |( Z_n)*| = phi(n)
Cap. III — Aneis, Ideais e Homomorfismos
Def. III.1 (Anel). Um conjunto A com operacoes + e . e um anel se: (A1) (A,+) e grupo abeliano; (A2) a.(b.c) = (a.b).c
(associatividade do produto); (A3) a.(b+c) = a.b + a.c e (b+c).a = b.a + c.a (distributividade). Se a.b = b.a para todo a,b:
anel comutativo. Se existe 1 com a.1 = 1.a = a: anel com unidade. Anel comutativo, com unidade, sem divisores de
zero: dominio de integridade. Dominio de integridade onde todo elemento nao nulo tem inverso: corpo.
Estrutura Axiomas adicionados Exemplos
Anel (A,+) gr. abel. + assoc. prod. + distrib. Z, Z_n, M_n(R)
Anel comutativo + a.b = b.a Z, Q, R, C, Z[x]
Anel com unidade + existe 1 Z, Q, R
Dominio de integridade + sem div. de zero Z, Z[x], Z[i]
Corpo + todo nao-nulo tem inverso
multiplicativo
Q, R, C, Z_p (p primo)
Def. III.2 (Subanel). S subconjunto de A e subanel se: (i) 0 em S; (ii) a,b em S => a-b em S; (iii) a,b em S => a.b em S.
Def. III.3 (Ideal). I subanel de A e ideal a esquerda se a.x em I para todo a em A, x em I. Analogamente ideal a direita. I
e ideal (bilateral) se A.I subset I e I.A subset I.
Todo ideal de (Z, +, .) e da forma nZ = (n), para algum n em N
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Def. III.4 (Anel Quociente). Se I e ideal de A, o anel quociente A/I tem como elementos as classes [a] = a + I, com [a] +
[b] = [a+b] e [a].[b] = [a.b].
A/I e dominio de integridade iff I e ideal primo | A/I e corpo iff I e ideal maximal
Def. III.5 (Homomorfismo de Aneis). f: A -> A' e homomorfismo se: (i) f(x+y) = f(x)+f(y); (ii) f(x.y) = f(x).f(y) para todo
x,y em A.
Prop. 5. f homomorfismo => f(0) = 0', f(-a) = -f(a). Se A,A' sao DI: f = 0 ou f(1) = 1'.
Nucleo: N(f) = {a em A : f(a) = 0'} e ideal de A | Imagem: f(A) e subanel de A'
1.o Teo. Isomorfismo para Aneis: A / N(f) iso f(A)
Cap. IV — Polinomios em Uma Variavel
Desenvolve a teoria dos polinomios como base para as extensoes algebricas do Cap. V. Os principais resultados
paralelos os inteiros:
Resultado em Z (Cap.II) Analogo em K[x] (Cap.IV)
Algoritmo da divisao: a = bq + r f = g.q + r com grau(r) menor grau(g)
Todo ideal de Z e principal: (n) Todo ideal de K[x] e principal: (p(x))
Primo iff ideal (p) e maximal p(x) irredutivel iff (p(x)) e maximal em K[x]
Teorema Fund. Aritmetica (DFU) K[x] e DFU: fatoracao unica em irredutíveis
mdc(a,b) = ax + by mdc(f,g) = f.u + g.v para algum u,v em K[x]
Criterio de Eisenstein para Z[x] Criterio de Eisenstein para Q[x]
Prop. IV (Criterio de Eisenstein). Seja f(x) = a_n x^n + ... + a_0 em Z[x]. Se existe primo p tal que: p | a_i para
i=0,...,n-1; p nao divide a_n; p^2 nao divide a_0. Entao f e irredutivel sobre Q.
Ex. IV. x^2 - 2 e irredutivel sobre Q (p=2). x^p - 1 = (x-1)(x^{p-1}+...+1); o fator ciclotomico e irredutivel sobre Q.
Cap. V — Extensoes Algebricas dos Racionais
Este capitulo constroi os corpos de extensao Q subset K subset C necessarios para a Teoria de Galois. O
conceito-chave e o de elemento algebrico e o grau da extensao.
V.1 Adjuncao de Raizes
Def. V.1 (Elemento Algebrico). Seja L corpo e K subset L subcorpo. alpha em L e algebrico sobre K se existe f(x) em
K[x], f nao nulo, com f(alpha)=0. Caso contrario alpha e transcendente sobre K. Se todo elemento de L e algebrico
sobre K, L e uma extensao algebrica de K.
irr(alpha, K) = polinomio monico irredutivel de menor grau em K[x] que anula alpha
Teo. V.1 (Adjuncao de raiz). Seja alpha em L algebrico sobre K com irr(alpha,K) = p(x) de grau n. Entao: (a) K[alpha] =
{f(alpha): f em K[x]} e um subcorpo de L contendo K; (b) K[alpha] iso K[x]/(p(x)) (isomorfismo de corpos); (c) {1, alpha,
alpha^2, ..., alpha^{n-1}} e uma base de K[alpha] sobre K.
K[alpha] iso K[x] / (irr(alpha, K))
Ex. V.1. Q[raiz(2)] = {a + b.raiz(2) : a,b em Q} iso Q[x]/(x^2-2). Q[raiz cubica de 2] = {a + b.cbrt(2) + c.cbrt(4) : a,b,c em Q}
iso Q[x]/(x^3-2). C = R[x]/(x^2+1) = R[i].
V.2 Corpo de Decomposicao
Def. V.2 (Corpo de Decomposicao). Seja f(x) em K[x]. O corpo de decomposicao de f sobre K e o menor subcorpo L
de C tal que f se decompoe completamente em fatores lineares em L[x]: f(x) = a(x - alpha_1)...(x - alpha_n) com alpha_i
em L.
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Teo. V.2. Para todo f(x) em K[x] nao constante existe um corpo de decomposicao de f sobre K. Quaisquer dois corpos de
decomposicao de f sobre K sao K-isomorfos.
Ex. V.2. Corpo de decomposicao de x^2 - 2 sobre Q e Q[raiz(2)]. Corpo de decomposicao de x^3 - 2 sobre Q e Q[cbrt(2),
omega] onde omega = e^{2pi.i/3} e uma raiz cubica primitiva da unidade. Logo [Q[cbrt(2), omega] : Q] = 6.
V.3 Grau de uma Extensao
Def. V.3 (Grau). Seja L superset K uma extensao de corpos. O grau [L:K] e a dimensao de L como espaco vetorial sobre
K.
[L : K] = dimK(L) (pode ser finito ou infinito)
[K[alpha] : K] = grau(irr(alpha, K))
Prop. V.3.4 (Multiplicatividade do grau). Se M superset L superset K sao corpos e [M:L] e [L:K] sao finitos, entao:
[M : K] = [M : L] . [L : K]
Cor. V.3.1. alpha em L e algebrico sobre K iff [K[alpha]:K] menor que infinito iff K[alpha] e uma extensao algebrica finita
de K.
Extensao Grau [L:K] Base sobre K
Q[raiz(2)] superset Q 2 {1, raiz(2)}
Q[cbrt(2)] superset Q 3 {1, cbrt(2), cbrt(4)}
Q[raiz(2), raiz(3)] superset Q 4 {1, raiz(2), raiz(3), raiz(6)}
Q[omega] superset Q (omega =
e^{2pi.i/3})
2 {1, omega}
Q[cbrt(2), omega] superset Q 6 {1, cbrt(2), cbrt(4), omega, omega.cbrt(2),
omega.cbrt(4)}
C superset R 2 {1, i}
V.4 Construcao por Meio de Regua e Compasso
Aplicacao direta da teoria de extensoes algebricas: um ponto p do plano e construivel (a partir de {0,1}) se suas
coordenadas pertencema uma torre de extensoes de grau 2:
p construivel => [Q(coordenadas de p) : Q] = 2^k para algum k em N
Teo. V.4 (Impossibilidades classicas). (a) Duplicacao do cubo: cbrt(2) tem grau 3 sobre Q, nao e potencia de 2 =>
impossivel. (b) Trisseccao do angulo: cos(pi/9) satisfaz equacao de grau 3 irredutivel sobre Q => impossivel. (c)
Quadratura do circulo: pi e transcendente sobre Q => impossivel.
Obs. Poligono regular de n lados e construivel iff n = 2^k . p_1 . p_2 . ... . p_r onde p_i sao primos de Fermat distintos (p =
2^{2^m} + 1 primo).
Cap. VI — GRUPOS (Capitulo de Foco)
ATENCAO: Este e o capitulo central para as APS da disciplina. Todas as secoes seguintes sao desenvolvidas com
maxima profundidade.
VI.1 Definicao e Exemplos
Def. VI.1.1 (Grupo). Um par (G, *) e um grupo se a operacao *: G x G -> G satisfaz: (G1) a*(b*c) = (a*b)*c para todo
a,b,c em G (associatividade); (G2) existe e em G com a*e = e*a = a para todo a (neutro); (G3) para cada a em G existe b
em G com a*b = b*a = e (inverso). Se adicionalmente (G4) a*b = b*a para todo a,b: G e abeliano.
Unicidades: e e unico; o inverso a^{-1} de cada a e unico
Goncalves — Introducao a Algebra | Resumo Cap. I a VI — pag. 4
Leis do cancelamento: a*b = a*c => b = c | b*a = c*a => b = c
Principais exemplos de grupos
Grupo Operacao Abeliano? Ordem
(Z, +) Adicao Sim Infinita
(Q*, .) Multiplicacao Sim Infinita
(Z_n, +) Adicao mod n Sim n
(Z_n)* = {[a]: mdc(a,n)=1} Multiplicacao mod n Sim phi(n)
GL(n,R) = {matrizes invertíveis
nxn}
Produto de matrizes Nao (n>=2) Infinita
S_n = {permutacoes de
{1,...,n}}
Composicao Nao (n>=3) n!
(C, .) com |z|=1 (circulo
unitario)
Multiplicacao complexa Sim Infinita
Q_8 = {+-1, +-i, +-j, +-k} Produto de quaternios Nao 8
Def. VI.1 (Ordem de G e de elemento). A ordem do grupo G e |G| (numero de elementos). A ordem de a em G, O(a), e
o menor n >= 1 com a^n = e. Se nao existir, O(a) = infinito.
O(a) = 2 iff a^2 = e iff a = a^{-1}
Obs. O(a) divide |G| (Teorema de Lagrange). Se |G| = p primo: todo a nao-neutro tem O(a) = p; G e ciclico.
VI.2 Subgrupos e Classes Laterais
Prop. VI.1 (Criterio de Subgrupo). H subconjunto nao vazio de G e subgrupo (H menor ou igual G) iff: (a) H e G com
as 3 condicoes: e em H; a,b em H => ab em H; a em H => a^{-1} em H. (b) (Equivalente rapido) H diferente vazio e a,b
em H => ab^{-1} em H.
Def. VI.2 (Classes laterais). Seja H menor G e a em G. A classe lateral esquerda de a e aH = {ah : h em H}. A classe
lateral direita e Ha = {ha : h em H}. As classes laterais esquerdas de H formam uma particao de G.
Teo. VI (Lagrange). Se G e finito e H menor G, entao |H| divide |G|. O indice (G:H) = |G|/|H| e o numero de classes
laterais.
|G| = |H| . (G:H) (Teorema de Lagrange)
Cor. VI.1. Se |G| = p primo, entao G nao tem subgrupos proprios nao-triviais. Todo a nao-neutro gera G, logo G e ciclico.
Subgrupo gerado e grupos ciclicos
Def. VI (Subgrupo gerado). gen(S) = interseccao de todos os subgrupos de G contendo S. Para a em G: gen(a) = {a^n :
n em Z} = {e, a, a^2, ..., a^{O(a)-1}}.
G = gen(a) (G ciclico) => G iso Z (se infinito) ou G iso Z_n (se finito, |G|=n)
Obs. Subgrupo de grupo ciclico e ciclico. Todo quociente de grupo ciclico e ciclico.
Consequencia de Lagrange Enunciado
Ordem de elemento O(a) divide |G| para todo a em G
Pequeno Teorema de Fermat a^p cong a (mod p) para todo a em Z, p primo
Grupos de ordem prima |G| = p => G iso Z_p (ciclico, sem subgr. proprios)
Indice 2 H menor G com (G:H) = 2 => H normal em G (sempre!)
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Potencia do grupo a^{|G|} = e para todo a em G finito
VI.3 Classes de Conjugacao
Def. VI.3 (Conjugacao). Dizemos que x e y sao conjugados em G se existe g em G com y = g^{-1}xg = x^g. A classe
de conjugacao de x e C_x = {x^g : g em G} = {g^{-1}xg : g em G}.
C_x = {x} iff x em Z(G) (centro de G)
Prop. VI.4. Seja G finito e x em G. O numero de elementos na classe C_x e |C_x| = |G| / |C_G(x)| onde C_G(x) = {g em
G : gx = xg} e o centralizador de x.
Equacao de Classes: |G| = |Z(G)| + sum_{x nao-central} |G| / |C_G(x)|
Teo. VI (Cauchy). Se p e primo e p divide |G|, entao G possui um elemento de ordem p.
Obs. Consequencia: se p^2 divide |G|, G possui elemento de ordem p^2 ou dois elementos distintos de ordem p.
VI.4 Grupos Quocientes e Homomorfismos de Grupos
Def. VI.4 (Subgrupo Normal). H e normal em G (H normal G) se H^g = g^{-1}Hg = H para todo g em G,
equivalentemente se gH = Hg para todo g em G.
H normal G iff gHg^{-1} = H para todo g iff gH = Hg para todo g
Prop. VI.5 (Propriedades). (a) H normal G iff Ng = gN para todo g em G. (b) N_1, N_2 normal G => N_1 intersec N_2
normal G. (c) H menor G, N normal G => HN = {hn : h em H, n em N} menor G. (d) N_1, N_2 normal G => N_1.N_2
normal G. (e) H menor G, N normal G => H intersec N normal H.
Def. VI.4 (Grupo Quociente). Se N normal G, o conjunto G/N = {gN : g em G} com operacao (g_1 N)(g_2 N) = (g_1
g_2)N e um grupo quociente.
|G/N| = |G| / |N| (Lagrange)
G simples: {e} e G sao os unicos subgrupos normais de G
Obs. G abeliano => todo subgrupo e normal. Unicos grupos simples abelianos sao os Z_p (p primo).
Def. VI.4 (Homomorfismo de grupos). psi: G -> G' e homomorfismo se psi(ab) = psi(a)psi(b) para todo a,b em G.
Teo. VI (1.o Teorema do Homomorfismo). Sejam G e G' grupos com identidades e e e'. Se psi: G -> G' e
homomorfismo: (a) Im(psi) = psi(G) e subgrupo de G'. (b) N(psi) = {g em G : psi(g) = e'} e subgrupo normal de G (nucleo).
psi e injetivo iff N(psi) = {e}. (c) G/N(psi) iso Im(psi).
G / N(psi) iso Im(psi) (1.o Teorema do Isomorfismo)
Automorfismos e grupo Inn(G)
Def. VI (Automorfismo). Aut(G) = {isomorfismos f: G -> G} e grupo com composicao. Para cada g em G, psi_g: x |->
g^{-1}xg e o automorfismo interno por g. Inn(G) = {psi_g : g em G} e subgrupo normal de Aut(G).
Prop. VI.10. Inn(G) e subgrupo normal de Aut(G).
Inn(G) iso G / Z(G)
Homomorfismo Propriedade Criterio
Monomorfismo Injetivo N(psi) = {e}
Epimorfismo Sobrejetivo Im(psi) = G'
Isomorfismo Bijetivo mono + epi; G iso G'
Endomorfismo psi: G -> G qualquer hom. de G em G
Automorfismo Iso psi: G -> G bijetivo de G em G
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VI.5 A Simplicidade dos Grupos A_n, n >= 5
Este resultado e central para a Teoria de Galois: a nao-solubilidade de S_5 (e portanto de S_n para n >= 5)
decorre da simplicidade de A_5 (= A_n para n >= 5).
Def. VI.5 (Grupo Solvel). G e solvel se existe uma cadeia {e} = G_0 normal G_1 normal ... normal G_n = G tal que
G_i/G_{i-1} e abeliano para todo i. Equivalentemente: G' = G^{(1)}, G' ' = G^{(2)}, ... tem G^{(k)} = {e} para algum k.
G solvel iff serie derivada G superset G' superset G'' superset ... alcanca {e}
Prop. VI (Permutacoes). Qualquer permutacao em S_n e produto de transposicoes. A_n = {permutacoes pares} =
grupo alternado, com |A_n| = n!/2. A_n e gerado pelos 3-ciclos (ciclos de comprimento 3).
Teo. VI (Simplicidade de A_n). Para n >= 5, o grupo alternado A_n e simples, ou seja, seus unicos subgrupos normais
sao {id} e A_n.
A_n simples para n >= 5 => S_n nao e solvel para n >= 5
Prop. VI (Grupos soIveis e Galois). G e solvel iff existe uma serie {e} = G_0 normal G_1 ... normal G_n = G com
G_i/G_{i-1} abeliano. Subgrupos e quocientes de grupos soIveis sao soIveis. S_n nao solvel para n >= 5 implica que a
equacao geral de grau >= 5 nao e resolvel por radicais.
Grupo Solvel? Justificativa
Z, Z_n, abelianos Sim Toda serie abeliana e solvel
S_n para n = 5 Nao A_n e simples, logo nao-abeliano sem subgr. normais
S_n para n >= 5 Nao Contem A_n como subgrupo normal; A_n nao solvel
Referencia Rapida — Grupos Importantes
Grupos de ordem pequena
Ordem Grupos (iso) Abeliano? Observacao
1 {e} Sim Unico
2 Z_2 Sim Unico
3 Z_3 Sim Unico (ordem prima)
4 Z_4 ou Z_2 x Z_2 Sim Dois grupos; Klein = Z_2 xZ_2
5 Z_5 Sim Unico (ordem prima)
6 Z_6 ou S_3 Z_6 sim; S_3
nao
S_3 iso D_3 (nao-abeliano de ord. 6)
7 Z_7 Sim Unico
8 Z_8, Z_4xZ_2, Z_2^3, D_4, Q_8 Prim. 3 sim 5 grupos distintos
9 Z_9 ou Z_3 x Z_3 Sim Ambos abelianos (ordem p^2)
10 Z_10 ou D_5 Z_10 sim;
D_5 nao
2 grupos
Resumo dos teoremas principais do Cap. VI
Teorema / Resultado Enunciado resumido
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Lagrange |H| divide |G|; |G| = |H|.(G:H)
Cauchy p | |G|, p primo => existe a em G com O(a) = p
Equacao de Classes |G| = |Z(G)| + soma |G:C_G(x)| (x nao-central)
1.o Teo. Isomorfismo G/N(psi) iso Im(psi) para hom. psi: G -> G'
Indice 2 => Normal (G:H) = 2 => H normal G (sempre)
Inn(G) iso G/Z(G) Automorfismos internos = quociente pelo centro
Simplicidade de A_n A_n simples para n >= 5
S_n nao solvel (n>=5) Implica: eq. geral grau >= 5 nao resolvel por radicais
Conexao com a disciplina: O Cap. VI (Grupos) do Goncalves e o nucleo da APS 1 e APS 2. VI.1-VI.2 cobrem as
Q1-Q10 da APS 1; VI.3-VI.4 cobrem homomorfismos, automorfismos e grupos quocientes (APS 1 e 2); VI.5 (Grupos
Soiveis) fundamenta a Teoria de Galois.