Cinemtica Lista de Exerccios

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Aluno(a): ________________________________________
Professor(a): ________________________________________
Ano escolar: __________________ Turma: ______________
Data: ____/____/____
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Questão 1. (Fonte: Teachy) (1 ponto) - Um carro parte do ponto 
A , percorre 10 km em linha reta até o ponto B, depois retorna 
6 km em linha reta na mesma estrada até o ponto C . Qual é a 
distância percorrida e o módulo do deslocamento do carro, 
respectivamente?
(A) 10 km e 6 km.
(B) 16 km e 16 km.
(C) 16 km e 4 km.
(D) 4 km e 16 km.
(E) 10 km e 4 km.
Questão 2. (Fonte: Teachy) (1 ponto) - Um passageiro está 
sentado em um ônibus que se move a uma velocidade constante 
em uma estrada reta. Em relação a um poste fixo à beira da 
estrada, qual é a condição do passageiro?
(A) Em repouso, pois ele está sentado no ônibus.
(B) Em movimento, mas apenas se o ônibus estiver acelerando.
(C) Em movimento, pois sua posição muda em relação ao poste.
(D) Em repouso, independentemente do referencial escolhido.
(E) Em movimento, mas apenas em relação ao motorista do 
ônibus.
Questão 3. (Fonte: Teachy) (1 ponto) - Um atleta completa uma 
corrida de 100 metros em 10 segundos. Qual foi a 
velocidade escalar média desse atleta durante a corrida?
(A) 0,1 m/s.
(B) 1 m/s.
(C) 100 m/s.
(D) 10 km/h .
(E) 10 m/s.
Questão 4. (Fonte: Teachy) (1 ponto) - Um veículo viaja por 
uma estrada e mantém uma velocidade escalar média de 
72 km/h . Qual é essa velocidade expressa em metros por 
segundo?
(A) 7,2 m/s.
(B) 20 m/s.
(C) 259,2 m/s.
(D) 72 m/s.
(E) 36 m/s.
Questão 5. (Fonte: Teachy) (1 ponto) - Ao analisar o 
movimento de um navio de cruzeiro atravessando o oceano, em 
qual situação o navio pode ser considerado um ponto material na 
Cinemática?
(A) Quando se analisa a movimentação dos passageiros em seu 
interior.
(B) Quando se observa uma manobra de atracação no porto.
(C) Quando se estuda sua trajetória em uma viagem 
transatlântica.
(D) Quando se considera a rotação de suas hélices.
(E) Quando se calcula a força do vento sobre sua estrutura.
Responda as questões 6 com base no texto a seguir:
Quando necessário, use {{MATH}}\mathrm{g}=10 
\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}{{/MATH}} e {{MATH}}
\pi=3{{/MATH}}.
Questão 6. (Fonte: UNICAMP (Todos os Anos)) (1 ponto) - 
Várias leis da Física são facilmente verificadas em brinquedos 
encontrados em parques de diversões. Suponha que em certo 
parque de diversões uma criança está brincando em uma roda 
gigante e outra em um carrossel.
a) A roda gigante de raio R=20 m gira com velocidade angular 
constante e executa uma volta completa em T=240 s. No 
gráfico a) abaixo, marque claramente com um ponto a altura h da 
criança em relação à base da roda gigante nos instantes 
t=60 s , t=120 s , t=180 s e t=240 s, e, em seguida, 
esboce o comportamento de h em função tempo. Considere que, 
para t=0, a criança se encontra na base da roda gigante, onde 
h=0.
b) No carrossel, a criança se mantém a uma distância r=4 m do 
centro do carrossel e gira com velocidade angular constante ω0. 
Baseado em sua experiência cotidiana, estime o valor de ω0 para 
o carrossel e, a partir dele, calcule o módulo da aceleração 
centrípeta ac da criança nos instantes 
t=10 s , t=20 s , t=30 s e t=40 s. Em seguida, esboce o 
comportamento de ac em função do tempo no gráfico b) abaixo, 
marcando claramente com um ponto os valores de ac para cada 
um dos instantes acima. Considere que, para t=0, o carrossel já 
se encontra em movimento.
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Questão 7. (Fonte: FUVEST_2FASE) (1 ponto) - Considere uma 
bolinha, de pequeno raio, abandonada de uma certa altura, no 
instante t=0, a partir do repouso, acima de uma pesada placa 
metálica horizontal. A bolinha atinge a placa, pela primeira vez, 
com velocidade V=10 m /𝐬 , perde parte de sua energia 
cinética, volta a subir verticalmente e sofre sucessivos choques 
com a placa. O módulo da velocidade logo após cada choque vale 
80 % do módulo da velocidade imediatamente antes do choque 
(coeficiente de restituição ¿0,80 ). A aceleração da gravidade 
no local é g=10m /𝐬 2. Suponha que o movimento ocorra no 
vácuo.
a) Construa, na figura abaixo, o gráfico da velocidade da bolinha 
em função do tempo, desde o instante 𝐭 =0, em que ela é 
abandonada, até o terceiro choque com a placa. Considere 
positivas as velocidades com sentido para cima e negativas, as 
para baixo.
b) Determine o módulo 𝐕 3 da velocidade da bolinha logo após o 
terceiro choque.
c) Analisando atentamente o gráfico construído, estime o instante 
𝐓 , a partir do qual a bolinha pode ser considerada em repouso 
sobre a placa.
Questão 8. (Fonte: IME-2FASE) (1 ponto) - Uma partícula 
carregada tem sua posição no sistema de eixos X Y regida pelas 
seguintes equações temporais, que expressam, em metros, as 
coordenadas X e Y da partícula em função do tempo t :
Determine:
a) a equação de uma curva que contenha a trajetória da partícula;
b) o comprimento da curva formada por todos os pontos por onde 
a partícula passa;
c) o tempo mínimo gasto pela partícula para trafegar por todos os 
pontos da curva do item anterior;
d) as coordenadas de dois pontos nos quais a velocidade da 
partícula é nula;
e) o gráfico do módulo da força elétrica sofrida por uma segunda 
partícula de mesma carga, fixada na origem, em função do tempo;
f) o gráfico da função Q do vetor força magnética Fm à qual 
estaria submetida a partícula, caso houvesse um campo 
magnético positivo e paralelo ao eixo Z, ortogonal ao plano X Y, 
onde:
Q (Fm)={
1 ,se 0≤ fase deFm¿Dados:
-{{/MATH}} carga da partícula: +4×10−4C ;e- 
constante de Coulomb: 9×109 Nm
2
C2
.
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Gabarito
Questão 1. 
Alternativa correta: C
Gabarito: A distância percorrida é a soma de todos os trechos percorridos, independentemente da direção, então 10 km+6 km=16 km. 
O deslocamento é a variação da posição final em relação à inicial. Se o carro partiu de A e terminou em C , que está a 
10 km−6 km=4 km de A , o módulo do deslocamento é 4 km.
Questão 2. 
Alternativa correta: C
Gabarito: Em relação ao poste, o passageiro está em movimento, pois sua posição muda continuamente em relação a este ponto de referência 
externo. O referencial é crucial para determinar se um corpo está em movimento ou em repouso. No entanto, em relação ao próprio ônibus, o 
passageiro estaria em repouso.
Questão 3. 
Alternativa correta: E
Gabarito: A velocidade escalar média é calculada pela razão entre a distância percorrida e o tempo gasto. Neste caso, a distância é 100 m e 
o tempo é 10 s. Assim, vm=
distância
tempo
=100 m
10 s
=10 m/s. As unidades já estão no Sistema Internacional, então não é necessária 
conversão.
Questão 4. 
Alternativa correta: B
Gabarito: Para converter quilômetros por hora para metros por segundo, deve-se dividir o valor por 3,6. Assim, 
72 km/h dividido por 3,6=20 m/s. Este fator de conversão é fundamental para padronizar as unidades no Sistema Internacional em 
problemas de Cinemática.
Questão 5. 
Alternativa correta: C
Gabarito: Um corpo é considerado um ponto material quando suas dimensões são desprezíveis em comparação com a distância percorrida 
ou com as dimensões do espaço em que o movimento ocorre. No caso de um navio atravessando o oceano, a vasta distância percorrida torna 
suas dimensões irrelevantes para a análise de sua trajetória geral. Se estivéssemos analisando manobras dentro de um porto, ele seria um 
corpo extenso.
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Questão 6. 
Gabarito: Estima-se T=60 s para o período do carrossel. Assim,
ω=( 2π
T
)=0,1rad / s⇒ ac=ω2r=0,04 m / s2 e constante.
Habilidades:
 EF09MA11 - Resolver problemas por meio do estabelecimento de relações entre arcos, ângulos centrais e ângulos inscritos na 
circunferência, fazendo uso, inclusive, de softwares de geometria dinâmica.
 EM13MAT306 - Resolver e elaborar problemas em contextosque envolvem fenômenos periódicos reais (ondas sonoras, fases da lua, 
movimentos cíclicos, entre outros) e comparar suas representações com as funções seno e cosseno, no plano cartesiano, com ou sem 
apoio de aplicativos de álgebra e geometria.
 EM13MAT503 - Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática 
Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.
Questão 7. 
Gabarito: Olá, pessoal! Vamos analisar juntos este problema clássico de física, que envolve queda livre e choques inelásticos. É um tipo de 
questão muito comum em exames competitivos, que testa nossa compreensão de cinemática, dinâmica e conservação de energia (ou, no caso, 
dissipação de energia). Vamos resolvê-lo passo a passo, construindo o raciocínio juntos.
---
### Análise do Problema
Temos uma bolinha abandonada do repouso (v0=0) que cai sob a ação da gravidade (g=10 m/s2). Ela atinge uma placa e, a cada choque, 
perde parte de sua energia. A informação crucial é que o módulo da velocidade após o choque é 80 % do módulo da velocidade antes do 
choque. Isso significa que o coeficiente de restituição e=0,80. As velocidades para cima são positivas e para baixo são negativas.
Vamos abordar cada item da questão.
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### a) Construção do gráfico da velocidade em função do tempo
Para construir o gráfico v ( t ), precisamos determinar os instantes e as velocidades em pontos chave: os momentos de abandono, os 
momentos imediatamente antes e depois de cada choque, e os pontos de altura máxima (onde a velocidade é zero).
Lembramos que, durante o movimento de queda livre ou subida vertical, a aceleração é constante e igual a −g (considerando o sentido 
positivo para cima). Portanto, a função v ( t ) será uma linha reta com inclinação −g=−10 m/s2 entre os choques.
1. Primeiro trecho: Da largada ao primeiro choque
 Condições iniciais: No instante t=0, a bolinha é abandonada do repouso, então v (0 )=0.
 Velocidade antes do primeiro choque: O problema nos informa que a bolinha atinge a placa pela primeira vez com V=10 m/s. 
Como o movimento é para baixo, a velocidade é v1
−=−10 m/s.
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 **Cálculo do tempo do primeiro choque (t1):** Usamos a equação da cinemática v=v0+at .
v1
−=v (0 )−g t1
−10=0−10 t1
t1=1s
Neste trecho, o gráfico é uma linha reta de (0,0 ) a (1 ,−10 ).
2. Segundo trecho: Após o primeiro choque até a altura máxima
 **Velocidade após o primeiro choque (v1
+¿¿):** O módulo da velocidade após o choque é 80 % do módulo da velocidade antes do 
choque.
¿ v1
+¿∨¿0,80×∨v1
−∨¿¿
¿ v1
+¿∨¿0,80×∨−10∨¿¿
¿ v1
+¿∨¿8 m/s¿
Como a bolinha sobe, a velocidade é positiva: v1
+¿=8 m/s¿. Este é um salto vertical no gráfico no instante t1=1s, de −10 m/s para 
8 m/s.
 **Cálculo do tempo para atingir a altura máxima (t pico1):** A bolinha sobe até que sua velocidade se torne zero.
v=v1
+¿−g( t pico1−t1)¿
0=8−10( t pico1−1)
10( t pico1−1)=8
t pico1−1=0,8
t pico1=1,8 s
Neste trecho, o gráfico é uma linha reta de (1,8 ) a (1,8,0 ).
3. Terceiro trecho: Da altura máxima ao segundo choque
 **Velocidade antes do segundo choque (v2
−):** A bolinha cai da altura máxima. O tempo de subida é igual ao tempo de descida para a 
mesma altura. Portanto, a velocidade com que ela atinge a placa novamente terá o mesmo módulo da velocidade de subida, mas em 
sentido oposto.
¿ v2
−∨¿∨v1
+¿∨¿8 m/s¿.
Como o movimento é para baixo, v2
−=−8 m/s.
 **Cálculo do tempo do segundo choque (t2):** O tempo de descida é igual ao tempo de subida, que foi 0,8 s.
t2=t pico1+0,8=1,8+0,8=2,6 s
Neste trecho, o gráfico é uma linha reta de (1,8,0 ) a (2,6 ,−8 ).
4. Quarto trecho: Após o segundo choque até a altura máxima
 **Velocidade após o segundo choque (v2
+¿¿):**
¿ v2
+¿∨¿0,80×∨v2
−∨¿¿
¿ v2
+¿∨¿0,80×∨−8∨¿¿
¿ v2
+¿∨¿6,4 m/s¿
Como a bolinha sobe, v2
+¿=6,4 m/s¿. Outro salto vertical no gráfico no instante t2=2,6 s, de −8 m/s para 6,4 m/s.
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 **Cálculo do tempo para atingir a altura máxima (t pico2):**
0=6,4−10( t pico2−t2)
10( t pico2−2,6 )=6,4
t pico2−2,6=0,64
t pico2=3,24 s
Neste trecho, o gráfico é uma linha reta de (2,6,6,4 ) a (3,24,0 ).
5. Quinto trecho: Da altura máxima ao terceiro choque
 **Velocidade antes do terceiro choque (v3
−):**
¿ v3
−∨¿∨v2
+¿∨¿6,4 m/s¿.
Como o movimento é para baixo, v3
−=−6,4 m/s.
 **Cálculo do tempo do terceiro choque (t3):** O tempo de descida é igual ao tempo de subida, que foi 0,64 s.
t3=t pico2+0,64=3,24+0,64=3,88 s
Neste trecho, o gráfico é uma linha reta de (3,24,0 ) a (3,88 ,−6,4 ).
Resumo dos pontos para o gráfico:
 (0,0 )
 (1 ,−10 )
 (1,8 ) (salto)
 (1,8,0 )
 (2,6 ,−8 )
 (2,6,6,4 ) (salto)
 (3,24,0 )
 (3,88 ,−6,4 )
O gráfico deve ter a seguinte aparência:
 Linhas retas com inclinação constante de −10 m/s2.
 Saltos verticais nos instantes dos choques, onde a velocidade muda de negativa (antes) para positiva (depois), com o módulo reduzido em 
20 %.
(A figura do gráfico seria desenhada com base nesses pontos, como mostrado na solução típica de exames.)
---
### b) Determinação do módulo V 3 da velocidade logo após o terceiro choque
Já calculamos isso implicitamente na parte (a), mas vamos formalizar.
 Velocidade antes do primeiro choque: V 1
−=10 m/s (módulo).
 Velocidade após o primeiro choque: V 1
+¿=e×V 1
−=0,80×10=8 m/s¿.
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 Velocidade antes do segundo choque: V 2
−=V 1
+¿=8 m/s¿ (módulo, pois sobe e desce com a mesma velocidade).
 Velocidade após o segundo choque: V 2
+¿=e×V 2
−=0,80×8=6,4 m/s¿.
 Velocidade antes do terceiro choque: V 3
−=V 2
+¿=6,4 m/s¿ (módulo).
 **Velocidade após o terceiro choque (V 3):** V 3=e×V 3
−=0,80×6,4.
Vamos calcular:
V 3=0,80×6,4=5,12 m/s.
Portanto, o módulo da velocidade da bolinha logo após o terceiro choque é:
V 3=5,12 m/s
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### c) Estimativa do instante T a partir do qual a bolinha pode ser considerada em repouso sobre a placa
Para estimar o instante T em que a bolinha pode ser considerada em repouso, precisamos observar o padrão de diminuição das velocidades 
e dos tempos de voo.
Vamos listar os tempos de duração de cada salto (período entre um choque e o próximo) e as velocidades máximas de subida:
 1º salto:
 Velocidade de subida: v1
+¿=8 m/s¿.
 Tempo de subida/descida: Δt1=v1
+¿/g=8 /10=0,8 s¿.
 Duração total do voo: 2×0,8=1,6 s.
 Instante do 2º choque: t2=t1+1,6=1+1,6=2,6 s.
 2º salto:
 Velocidade de subida: v2
+¿=6,4 m/s¿.
 Tempo de subida/descida: Δt2=v2
+¿/g=6,4 /10=0,64 s¿.
 Duração total do voo: 2×0,64=1,28 s.
 Instante do 3º choque: t3=t2+1,28=2,6+1,28=3,88 s.
 3º salto:
 Velocidade de subida: v3
+¿=5,12 m/s¿.
 Tempo de subida/descida: Δt3=v3
+¿/g=5,12 /10=0,512s¿.
 Duração total do voo: 2×0,512=1,024 s.
 Instante do 4º choque: t 4=t3+1,024=3,88+1,024=4,904 s.
Observamos que as velocidades de subida formam uma progressão geométrica com razão e=0,8: 8,6.4,5 .12 ,….
Consequentemente, os tempos de subida/descida Δtn também formam uma progressão geométrica com razão e=0,8: 
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0.8,0 .64,0 .512 ,….
A duração total de cada voo 2 Δtn também segue essa progressão.
O tempo total T até a bolinha parar é a soma do tempo do primeiro trecho (t1) mais a soma das durações de todos os voos subsequentes.
T=t1+(2 Δt1+2 Δt2+2 Δt3+…)
T=t1+2( Δt1+Δt2+Δt3+…)
A soma dos tempos de subida/descida é uma série geométrica infinita:
S=Δt1+Δt1e+Δt1e
2+…
S=
Δt1
1−e
Onde Δt1=0,8 s e e=0,8.
S= 0,8
1−0,8
=0,8
0,2
=4 s.
Então, o tempo total de voo (excluindo a primeira queda) é 2S=2×4=8 s.
O tempo total T será:
T=t1+2S=1s+8 s=9 s.
No entanto, a pergunta pede para estimar o instante a partir do qual a bolinha pode ser considerada em repouso. Isso geralmente significa 
quando as oscilações se tornam insignificantes. Embora a matemática indique um tempo infinito para parar completamente, em termos 
práticos, quando as velocidades e alturas se tornam muito pequenas, podemos considerar que parou.
Vamos analisar a magnitudedas velocidades e tempos:
 V 1
+¿=8 m/s¿, Δt1=0,8 s
 V 2
+¿=6,4 m/s¿, Δt2=0,64 s
 V 3
+¿=5,12 m/s¿, Δt3=0,512s
 V 4
+¿=0,8×5,12=4,096 m/s¿, Δt 4=0,4096 s
 V 5
+¿=0,8×4,096≈3,277 m/s¿, Δt5≈0,3277 s
 V 6
+¿=0,8×3,277≈2,622 m/s¿, Δt6≈0,2622s
 V 7
+¿=0,8×2,622≈2,098 m/s¿, Δt7≈0,2098 s
 V 8
+¿=0,8×2,098≈1,678 m/s¿, Δt8≈0,1678 s
Os instantes dos choques são:
t1=1s
t2=2,6 s
t3=3,88 s
t 4=3,88+2×0,512=4,904 s
t5=4,904+2×0,4096=5,7232s
t6=5,7232+2×0,3277=6,3786 s
t7=6,3786+2×0,2622=6,903 s
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t8=6,903+2×0,2098=7,3226 s
t9=7,3226+2×0,1678=7,6582s
A partir de que ponto consideramos "em repouso"? Isso é um critério subjetivo. Geralmente, em problemas de concurso, busca-se um valor 
que seja uma boa aproximação ou que caia em um intervalo razoável.
Após alguns choques, a duração dos voos se torna bem pequena. Por exemplo, após o 8º choque, a velocidade de subida é V 8
+¿≈1,68 m/s¿, e o 
tempo de voo é de 2×0,168=0,336 s. A altura máxima atingida seria h=(V 8
+¿)2 /(2 g )=(1,68 )2 /20≈0,14 m ¿.
Se considerarmos que "em repouso" significa que a bolinha não sobe mais do que alguns centímetros e os choques são muito frequentes, 
podemos estimar o tempo.
O tempo total T é a soma de uma série infinita, que converge para 9 s. Na prática, atingir 9 s significa que a bolinha está virtualmente 
parada.
Vamos olhar para a contribuição dos últimos termos.
A soma total dos tempos de voo é 8 s.
Após 3 choques, o tempo total é 3,88 s.
Após 4 choques, o tempo total é 4,904 s.
Após 5 choques, o tempo total é 5,7232s.
Após 6 choques, o tempo total é 6,3786 s.
Após 7 choques, o tempo total é 6,903 s.
Após 8 choques, o tempo total é 7,3226 s.
Após 9 choques, o tempo total é 7,6582s.
Percebemos que a série está se aproximando do limite de 9 s.
A pergunta pede para estimar o instante T . Uma estimativa razoável é o valor para o qual a série converge, pois a partir desse ponto, as 
variações de velocidade e tempo são desprezíveis.
Portanto, o instante a partir do qual a bolinha pode ser considerada em repouso é o limite da soma dos tempos.
T=9 s
Habilidades:
 EF08CI13 - Representar os movimentos de rotação e translação da Terra e analisar o papel da inclinação do eixo de rotação da Terra em 
relação à sua órbita na ocorrência das estações do ano, com a utilização de modelos tridimensionais.
Questão 8. 
Gabarito: Aqui está uma solução detalhada para cada item da questão:
a) Equação de uma curva que contenha a trajetória da partícula:
As equações temporais dadas são:
1. X(t)={{MATH}}\sqrt{1+\cos ^{2}(t)-\operatorname{sen}^{2}(t)}
2. Y{{/MATH}}(t)=√2+2 sen2( t )
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Vamos simplificar a expressão para X(t) usando a identidade trigonométrica cos2(t) - sen2(t) = {{MATH}}\cos(2t):
X{{/MATH}}(t) = √1+cos(2 t )
Usando a identidade cos2(θ )=
1+cos(2θ )
2
, temos 1+cos(2 t )=2cos2(t).
Portanto, X(t) = √2cos2( t )=√2∨cos(t)|.
Como X(t) é a raiz quadrada de um número real, X(t) ≥0.
Agora, vamos simplificar a expressão para Y(t):
Y(t) = √2+2 sen2( t )
Podemos elevar ao quadrado ambas as expressões:
X(t)^2=2cos2(t)
Y(t)^2=2+2 sen2(t) = 2(1+sen2(t))
Usando a identidade trigonométrica sen2(t) = 1−cos2(t):
Y(t)^2=2(1+(1−cos2(t))) = 2(2−cos2(t))
Substituímos cos2(t) = 
X ( t )2
2
 na equação de Y(t)^2:
Y(t)^2=2(2−
X ( t )2
2
)=4−X (t)^2
Rearranjando, obtemos:
X(t)^2+Y (t)^2=4
Esta é a equação de um círculo centrado na origem (0,0) com raio R=2.
No entanto, a trajetória da partícula é restrita pelos domínios de X(t) e Y(t):
 X(t) = √2∨cos(t)| {{MATH}}\ge 0.
 Y{{/MATH}}(t) = √2(1+sen2( t )). Como sen2(t) ≥0, temos 1+sen2(t) ≥1. Assim, Y(t) ≥√2.
Portanto, a trajetória da partícula é um arco do círculo x2+ y2=4 no primeiro quadrante (x ≥0) e acima da linha y=√2.
Os pontos extremos desse arco são:
 Quando X(t)=0 :02+Y (t)^2=4 ⇒Y (t)=2 (já que Y(t) ≥√2). Isso ocorre quando cos(t)=0 , e sen2(t)=1, então Y(t)=√2(1+1)=2. 
Ponto: (0,2).
 Quando Y(t)=√2: X (t)^2+(√2)2=4 ⇒ X (t)^2+2=4 ⇒ X (t)^2=2 ⇒ X (t)=√2 (já que X(t) ≥0). Isso ocorre quando sen2(t)=
0 , e cos2(t)=1, então X(t)=√2(1)=√2. Ponto: (√2 ,√2).
A trajetória é um arco do círculo x2+ y2=4 conectando os pontos (√2 ,√2)e (0,2).
Resposta a): A equação de uma curva que contém a trajetória da partícula é {{MATH}}x^2+y^2=4.
---
b{{/MATH}}) O comprimento da curva formada por todos os pontos por onde a partícula passa:
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A curva é um arco de círculo de raio R=2.
O ponto (√2 ,√2) corresponde a um ângulo θ1=arctan ( √2
√2
)=arctan (1)= π
4
 radianos (ou 45∘).
O ponto (0,2) corresponde a um ângulo θ2=
π
2
 radianos (ou 90∘).
O comprimento do arco L é dado por L=RΔθ, onde Δθ=¿θ2−θ1∨¿.
L=2( π
2
−
π
4
)=2( 2π −π
4
)=2( π
4
)= π
2
 metros.
Resposta b): O comprimento da curva é 
π
2
 metros.
---
c) O tempo mínimo gasto pela partícula para trafegar por todos os pontos da curva do item anterior:
A partícula inicia seu movimento em algum t0. Vamos analisar a posição em {{MATH}}t=0:
X(0) = \sqrt{2}|\cos(0)| = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}
Y(0) = \sqrt{2(1+\operatorname{sen}^2(0))} = \sqrt{2(1+0)} = \sqrt{2}{{/MATH}}
Portanto, em t=0 , a partícula está no ponto (√2 ,√2).
Para que a partícula percorra a curva até (0,2), X(t) deve ir de √2a0 , eY (t) deve ir de √2 a 2.
Para X(t) diminuir de √2 para 0 ,∨cos(t)| deve ir de 1 para 0. Consideramos t ∈[0 , π /2], onde cos(t) ≥0, então X(t)=√2cos(t).
 X(t)=0 ⇒ √2cos(t)=0 ⇒ cos(t)=0. O menor t>0 para isso é t= π
2
.
 Em {{MATH}}t=\frac{\pi}{2}:
X(\pi/2) = \sqrt{2}|\cos(\pi/2)| = 0
Y(\pi/2) = \sqrt{2(1+\operatorname{sen}^2(\pi/2))} = \sqrt{2(1+1)} = \sqrt{4} = 2{{/MATH}}
Assim, a partícula atinge o ponto (0,2) em t= π
2
.
O tempo mínimo gasto para trafegar por todos os pontos da curva, do ponto inicial (√2 ,√2) ao ponto final (0,2) , éΔt= π
2
−0= π
2
 
segundos.
Resposta c): O tempo mínimo gasto é 
π
2
 segundos.
---
d) As coordenadas de dois pontos nos quais a velocidade da partícula é nula:
Primeiro, calculamos as componentes da velocidade.
Para t ∈[0 , π /2] , X (t)=√2cos(t) e Y(t)=√2(1+sen2( t )).
v x(t) = 
dX
dt
= d
dt
(√2cos(t)) = -√2 sen(t)
Página 12 de 16
v y(t) = 
dY
dt
= d
dt
(√2(1+sen2(t))^{1/2})=√2 ·
1
2
(1+sen2(t))^{-1/2}·(2 sen(t)cos(t))
v y(t) = 
√2 sen( t )cos( t )
√1+sen2( t )
A velocidade da partícula é nula quando v x(t)=0E v y(t)=0.
v x(t)=0 ⇒−√2 sen(t)=0 ⇒ sen(t)=0.
Os valores de t para os quais sen(t)=0 são t=kπ , onde k é um número inteiro.
Vamos verificar v y(t) para esses valores:
Se sen(t)=0, então v y(t) = 
√2(0 )cos( t )
√1+0
=0.
Portanto, a velocidade é nula em t=kπ .
Vamos encontrar as coordenadas da partícula nesses instantes:
 Para {{MATH}}t=0:
X(0) = \sqrt{2}|\cos(0)| = \sqrt{2}
Y(0) = \sqrt{2(1+\operatorname{sen}^2(0))} = \sqrt{2}{{/MATH}}
Ponto: (√2 ,√2).
 Para {{MATH}}t=\pi:
X(\pi) = \sqrt{2}|\cos(\pi)| = \sqrt{2}|-1| = \sqrt{2}
Y(\pi) = \sqrt{2(1+\operatorname{sen}^2(\pi))} = \sqrt{2(1+0)} = \sqrt{2}{{/MATH}}
Ponto: (√2 ,√2).
A partícula, devido ao termo |cos(t)| em X(t), executa um movimento de ida e volta ao longo do arco.
Ela parte de (√2 ,√2) em t=0 com velocidade nula, atinge (0,2) em t=π /2 (onde a velocidade não é nula, mas a componente v x muda 
de sinal, indicando uma inversão de sentido no movimento ao longo do eixo X), e retorna a (√2 ,√2) em t=π com velocidade nula. Esse 
ciclo se repete.
Apesar de haver dois instantes de tempo ( t=0 et=π ) em que a velocidade é nula, ambos correspondem ao mesmo ponto físico na 
trajetória: (√2 ,√2). Se a pergunta exige dois pontos distintos no espaço, há uma inconsistência, pois apenas um ponto é visitado com 
velocidade nula. Assumindo que a pergunta se refere a duas instâncias de tempo em que a partícula está no mesmo ponto com velocidade 
nula:
Resposta d): As coordenadas de dois pontos (em diferentes instantes de tempo) nos quais a velocidade da partícula é nula são (√2 ,√2) (em 
t=0 )e (√2 ,√2) (em t=π ).
---
e) O gráfico do módulo da força elétrica sofrida por uma segunda partícula de mesma carga,fixada na origem, em função do tempo:
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A carga da partícula móvel é q p=+4×10−4C .
A carga da segunda partícula fixa na origem é qo=+4×10−4C (mesma carga).
A constante de Coulomb é k=9×109 Nm
2
C2
.
A força elétrica entre as duas partículas é dada pela Lei de Coulomb: Fe=k
q pqo
r2
, onde r é a distância entre as partículas.
A partícula fixa está na origem (0,0). A partícula móvel está em (X(t), Y(t)).
A distância r é r=√X ( t )2+Y ( t )2.
Do item (a), sabemos que X(t)^2+Y (t)^2=4 .
Portanto, r2=4 , o que significa que r=2 metros. A distância entre as partículas é constante.
O módulo da força elétrica será:
| F_e |
| :---: |
| F_e |
O{{/MATH}} módulo da força elétrica é constante e igual a 360 N.
O gráfico do módulo da força elétrica |Fe∨¿ em função do tempo t será uma linha horizontal.
Resposta e):
O gráfico do módulo da força elétrica |Fe∨¿ em função do tempo t é uma linha horizontal em Fe=360N .
```
^ | | Fe (N) | 
360+−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−∨¿∨¿+−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−>t 
(s) | 0
```
---
**f) O gráfico da função Q do vetor força magnética Fm à qual estaria submetida a partícula, caso houvesse um campo magnético positivo e 
paralelo ao eixo Z, ortogonal ao plano X Y, onde Q(Fm) é definida por fases.**
A força magnética é dada por F
→
m=q ( v
→
×B
→
).
Carga da partícula q=+4×10−4C .
Campo magnético B
→
=B0 k
¿
, com B0>0.
Vetor velocidade v
→
=v x i
¿
+v y j
¿
.
{{MATH}}\vec{F}_m = q ((v_x \hat{i} + v_y \hat{j}) \times (B_0 \hat{k}))
\vec{F}_m = q B_0 (v_x (\hat{i} \times \hat{k}) + v_y (\hat{j} \times \hat{k}))
\vec{F}_m = q B_0 (v_x{{/MATH}} (-{{MATH}}\hat{j}) + v_y (\hat{i}))
\vec{F}_m = q B_0 (v_y \hat{i} - v_x \hat{j}{{/MATH}}).
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Seja Fmx=q B0 v y e Fmy=−qB0 v x.
A fase do vetor F
→
méϕ=arctan (
Fmy
Fmx
)=arctan (
−v x
v y
), considerando o quadrante correto.
Do item (d), para t {{MATH}}\in [0, \pi/2]:
v_x{{/MATH}}(t) = -√2 sen(t)
v y(t) = 
√2 sen( t )cos( t )
√1+sen2( t )
A função Q(Fm) é definida por intervalos de fase:
{{MATH}}Q=1 \text{ se } 0 \leq \text{fase} 0 e cos(t) > 0.
v x(t) = -√2 sen(t) 0.
Portanto, {{MATH}}F_{mx} = q B_0 v_y > 0.
F_{my} = -q B_0 v_x = -q B_0 (-\sqrt{2}\operatorname{sen}{{/MATH}}(t)) = q B0 √2 sen(t) > 0.
Como Fmx>0 e Fmy>0 , o vetor F
→
m
 está no primeiro quadrante.
A fase está no intervalo (0 , π /2).
Assim, para t ∈(0 , π /2) ,Q (Fm)=1.
Se considerarmos o limite t →0+¿ , a¿ fase se aproxima de π /4 , então Q{{MATH}}(F_m)=1.
5. **{{/MATH}}Em t=π /2:∗¿
Para {{MATH}}t=\pi/2: \operatorname{sen}(\pi/2)=1, \cos(\pi/2)=0.
v_x(\pi/2) = -\sqrt{2}\operatorname{sen}(\pi/2) = -\sqrt{2}{{/MATH}}. (Este é o limite pela esquerda, o v x é indefinido devido ao |cos(t)|, 
mas consideramos a trajetória)
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v y(π /2)=√2 sen(π /2)cos(π /2)
√1+sen2(π /2)
=√2(1)(0 )
√1+1
=0.
Então v
→
=−√2 i
¿
.
{{MATH}}F_{mx} = q B_0 v_y = q B_0 (0) = 0.
F_{my} = -q B_0 v_x = -q B_0 (-\sqrt{2}) = q B_0 \sqrt{2} > 0{{/MATH}}.
O vetor F
→
m
 é q B0 √2 j
¿
, apontando na direção positiva do eixo Y.
A fase é π /2.
Assim, em {{MATH}}t=\pi/2, Q(F_m)=2.
6. **{{/MATH}}Para t ∈(π /2 , π ):∗¿
Neste intervalo, X(t) = √2∨cos(t)| = -√2cos(t) (pois cos(t) 0 e cos(t) 0.
v y(t) = 
√2 sen( t )cos( t )
√1+sen2( t )
t 
(s) 0 pi/2 pi 3pi/2 2pi
```
 A linha pontilhada em t=0 , π ,2π ,… indica que a função Q(Fm) pode ser considerada indefinida nesses pontos (onde F
→
m=0). 
Assumindo que a função se estende por continuidade da direita para t=0 e da esquerda para t=π .
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 Para t ∈¿. (A bolinha fechada em t=0 e aberta em t=π /2).
 Para t=π /2 ,Q (Fm)=2. (A bolinha fechada em t=π /2).
 Para t ∈(π /2 , π ¿ ,Q (Fm)=3. (A bolinha aberta em t=π /2 e fechada em t=π ).
Este padrão se repete para t>π .
Resposta f): O gráfico da função Q(Fm) é uma função degrau periódica com período π , conforme ilustrado acima:
 Q(t) = 1 para t ∈ [k{{MATH}}\pi, k\pi + \pi/2)
 Q{{/MATH}}(t) = 2 para {{MATH}}t = k\pi + \pi/2
 Q{{/MATH}}(t) = 3 para t ∈ (kπ+π /2 ,(k+1)π ]
para qualquer inteiro k ≥0.
Habilidades:
 EM13CNT204 - Elaborar explicações, previsões e cálculos a respeito dos movimentos de objetos na Terra, no Sistema Solar e no Universo 
com base na análise das interações gravitacionais, com ou sem o uso de dispositivos e aplicativos digitais (como softwares de simulação e 
de realidade virtual, entre outros).
 EM13MAT314 - Resolver e elaborar problemas que envolvem grandezas determinadas pela razão ou pelo produto de outras (velocidade, 
densidade demográfica, energia elétrica etc.).
 EM13MAT503 - Investigar pontos de máximo ou de mínimo de funções quadráticas em contextos envolvendo superfícies, Matemática 
Financeira ou Cinemática, entre outros, com apoio de tecnologias digitais.