Aula 04 - Vibrações Forçadas

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Mecânica Aplicada - UNIFACS Vibrações Mecânicas - UNIFACS 
Vibrações Forçadas – 1GL
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• Esta força é chamada: EXCITAÇÃO
• Tipos:
 Harmônicas;
 Não harmônicas e periódicas (onda quadrada);
 Não periódicas, com forma definida;
 Randômicas.
1. Introdução:
 Um sistema massa-mola está freqüentemente
sujeito a ação de uma força externa de alguma
natureza.
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2. Vibrações Forçadas Não-amortecidas:
 Equação Diferencial:
)t.(sen.Px.kx.m fo 
• Seja o sistema massa-mola sem amortecimento sujeito a uma 
força externa harmônica:
 P = força de excitação harmônica;
 Po = amplitude da força P;
 f = frequência de excitação.
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 Solução Homogênea da Equação Diferencial:
)t.cos(.B)t.(sen.A)t(xh  
 Solução Geral da Equação Diferencial:
)t(x)t(x)t(x ph 
 Solução Particular da Equação Diferencial:
)t.(sen.
.mk
P)t(x f2
f
o
p 
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 Considerando:
)t.(sen.X)t(x f
'
p 
• Xo – Deslocamento estático causado 
por uma força constante Po:
• r – Razão de frequências:
• X’ – Amplitude de xp(t):
k
PX oo 

 fr 
2
o'
r1
XX 
6
 Casos de Interesse em Função do “r”:
• r < 1 – (1 - r2) > 0 (positivo)  xp(t) está em fase com P;
• r > 1 – (1 - r2) < 0 (negativo)  xp(t) está defasado de 
radianos em relação com P;
• r = 1 – A amplitude torna-se infinita. Esta condição chama-
se ressonância. O movimento tem a forma harmônica mas a
amplitude aumenta linearmente com o tempo.
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3. Fator de Amplificação (MF):
1r p/ 
1r
1
X
XMF
1r p/ 
r1
1
X
XMF
2
o
'
2
o
'


• Indica o comportamento da amplitude no movimento forçado.
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4. Solução Completa do Movimento Forçado:
1.r p/ )t.cos(
2
t..X
)t.(sen.X)t(x
1;r p/ )t.(sen
1r
X)t.(sen.X)t(x
1;r p/ )t.(sen
r1
X)t.(sen.X)t(x
f
fo
f2
o
f2
o






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5. Vibrações Forçadas com Amortecimento
Viscoso:
 Equação Diferencial:
).(.... tsenPxkxcxm fo  
• Seja o sistema massa-mola-amortecedor sujeito a uma força 
externa harmônica:
 Solução Geral: )t(x)t(x)t(x ph 
 Solução Homogênea - Transiente:
).(..)( ..    tseneXtx dth
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 Solução Particular – Regime Permanente:
).cos(.).(.)( tNtsenMtx ffp  
• Representa a parte do movimento que vai ocorrer
continuamente enquanto a excitação persistir.
 
   
   222
222
2
..
..
..
..
ff
of
ff
of
cmk
Pc
N
cmk
Pmk
M






• Resolvendo a 
equação, temos:
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 Reescrevendo a Solução Particular:
  MNtg ; )t.(sen.NM(t)x f22p  
)t.(sen.X(t)x f
'
p  
       
  22
222222
'
1
..2
.
.
..21..
r
r
mk
c
tg
rr
X
cmk
PX
f
f
o
ff
o









1p/ ).(.).(..)( '..    tsenXtseneXtx fdt
 Solução Completa:
12
 Gráfico da Solução Completa:
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6. Fator de Amplificação (MF):
   222
'
..21
1
rrX
XMF
o 
• A amplitude X’ do movimento em regime permanente é uma 
consideração importante.
• Amplitude Máxima:
2
2
'
2.-1r com ;
1..2
1  o
máx
X
X
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7. Desbalanceamento Rotativo:
• O desbalanceamento rotativo é inerente de sistemas rotativos,
pois é virtualmente impossível coincidir o eixo do centro de
massa com o eixo de rotação.
 M = massa total do sistema;
 mo = massa excêntrica;
 e = excentricidade;
 f = freqüência de excitação.
)t.(sen..m.ex.kx.cx.M f
2
fo  
 Equação Diferencial:
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8. Força Transmitida e Transmissibilidade:
222
2
)..2()1(
)..2(1
rr
r
P
FT
o
T
R 



k
ωc
 tg(β
tsenXckxckxF
f
ff
.
) ;
).(..).( '22




• Força transmitida ao suporte:
• Força máxima:
• Transmissibilidade:
222
2
)..2()1(
)..2(1.
rr
rP
F oT 



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9. Oscilação de Suporte:
r..2
k
.c
)(tg
)t.(sen.).c(k.Yx.kx.cx.m
f
f
2
f
2



 
• Fonte de movimento forçado:
 Equação Diferencial:
 Solução:
2
222
22
r-1
.r2.)tg(p/ 
).(.
).().(
).(.
)(






 tsen
cmk
ckY
tx f
ff
f