Apostila de álgebra vetorial e matricial unisinos

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Universidade do Vale do Rio dos Sinos - UNISINOS
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas
Matema´tica
A´lgebra Vetorial e Matricial
Material Elaborado por:
Prof. Dr. Alexsandro Marian Carvalho
Prof. Dr. Vilarbo da Silva Ju´nior
Sa˜o Leopoldo
2014
1
Suma´rio
1 A´lgebra Matricial 3
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Matrizes Especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Operac¸o˜es com Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4 Exerc´ıcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.5 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.2 Definic¸a˜o e Ca´lculo de Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.3 Exerc´ıcos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.2.4 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.3 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.2 Definic¸o˜es e Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.3.3 Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss (MEG) - Escalonamento . . . . . . . . . . . . 44
1.3.4 Me´todo de Soluc¸a˜o via Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.3.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.3.6 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
.
2
Cap´ıtulo 1
A´lgebra Matricial
1.1 Matrizes
1.1.1 Introduc¸a˜o
E´ comum o recurso de tabelas para organizar informac¸o˜es diversas. No entanto, estes objetos na˜o
sa˜o, em geral, “manipula´veis”.
Figura 1.1: Tabelas diversas.
Para ultrapassar esta “limitac¸a˜o”, e´ usual recorrer a`s chamadas matrizes.
As matrizes na˜o so´ permitem uma simplificac¸a˜o no tratamento dos dados inclu´ıdos em tabelas,
como as regras alge´bricas para a manipulac¸a˜o de matrizes sa˜o semelhantes a`s regras de manipulac¸a˜o
de nu´meros reais.
Definic¸a˜o 1 Uma matriz e´ uma entidade matema´tica representada por uma tabela retangular de
elementos. Mais precisamente, dados n,m ∈ N chama-se matriz do tipo (ou ordem) m × n a
uma tabela retangular de n.m elementos distribu´ıdos por m-linhas e n-colunas preenchidas por seus
elementos:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn
 (1.1)
�
3
Notac¸a˜o: E´ usual recorrer a letras maiu´sculas (A,B,C,X, Y, . . .) para representar matrizes. No
caso de se pretender explicitar as entradas de uma matriz A de ordem m × n, e´ tambe´m usual
representar A da forma A = [aij]m×n com i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n, onde
• aij representa a entrada, ou elemento gene´rico de A
• i e´ o ı´ndice que representa a linha do elemento aij
• j e´ o ı´ndice que representa a coluna do elemento aij
• m× n representa a ordem da matriz. Leˆ-se “m por n”.
�
Observac¸a˜o 1
Representac¸o˜es: Para a representac¸a˜o expl´ıcita das matrizes vamos nos retringir ao uso de
pareˆnteses (A = ( )) ou colchetes (A = [ ]).
�
Vamos ilustrar os conceitos preliminares sobre a definic¸a˜o de matriz no exemplo abaixo.
Exemplo 1
A figura (1.2) e´ um grafo que representa a rede predato´ria em um ecossistema. Uma aresta
direcionada de i para j indica que i tem j como fonte de alimento.
Figura 1.2: Grafo de uma rede predato´ria.
Afim de dar um tratamento mais preciso a estes dados, podemos construir uma matriz A em que
seus elementos valem 1 caso i se alimente de j e 0 caso contra´rio, por exemplo a13 = 1 enquanto que
a15 = 0. Deste modo, somos levados a` matriz (chamada matriz de ve´rtices)
A =

0 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0

(1.2)
Neste caso, a matriz A tem 7 linhas e 7 colunas e assim sua ordem e´ 7× 7. O elemento a43 = 1,
ja´ a71 = 0. Notem que a11 = a22 = · · · a77 = 0, pois uma espe´cie (em geral) na˜o se alimenta de si
mesma.
�
4
1.1.2 Matrizes Especiais
Devido as caracter´ısticas particulares das matrizes que surgem na pra´tica, e´ relevante distribu´ı-las
em classes ou tipos especiais.
Definic¸a˜o 2 Matriz Linha.
Uma matriz A e´ denominada matriz linha quando possuir uma u´nica linha.
�
Notac¸a˜o: A = (aij)1×n.
Exemplo: A = (−8 3 5)1×3.
Definic¸a˜o 3 Matriz Coluna.
Uma matriz A e´ denominada matriz coluna quando possuir uma so´ coluna.
�
Notac¸a˜o: A = (aij)m×1.
Exemplo: A =
 39
1
.
Definic¸a˜o 4 Matriz Nula.
Uma matriz A e´ denominada matriz nula quando todos os seus elementos forem nulos, isto e´, se
aij = 0 ∀ i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n.
�
Notac¸a˜o: A = 0m×n.
Exemplo: 02×3 =
(
0 0 0
0 0 0
)
Definic¸a˜o 5 Matriz Quadrada.
Uma matriz A e´ uma matriz quadrada quando possuir o mesmo nu´mero de linhas e de colunas,
isto e´, m = n.
�
Notac¸a˜o:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann
 (1.3)
Diagonal Principal: Sa˜o os elementos de A onde i = j, evidenciados em negrito na matriz
(1.3).
Diagonal Secunda´ria: Sa˜o os elementos de A onde i+ j = n+1, evidenciados em letra romana
na matriz (1.3).
Exemplo:
A =
 2 3 45 7 0
10 −1 9
 ,
onde os elementos da diagonal principal sa˜o 2, 7 e 9, enquanto que os da diagonal secunda´ria sa˜o 4, 7
e 10.
5
Definic¸a˜o 6 Matriz Diagonal.
Uma matriz quadrada A e´ chamada de matriz diagonal quando todos os elementos que na˜o per-
tencem a` diagonal principal sa˜o nulos, isto e´, quando aij = 0 ∀ i 6= j ∈ {1, 2, . . . , n}.
�
Exemplo: A =
 2 0 00 1 0
0 0 3

Observac¸a˜o 2
Toda matriz quadrada nula e´ uma matriz diagonal.
�
Definic¸a˜o 7 Matriz Identidade.
Uma matriz diagonal A e´ chamada de matriz identidade quando os elementos da diagonal principal
forem todos iguais a um.
�
Notac¸a˜o: In.
Exemplo:
I2 =
(
1 0
0 1
)
I3 =
 1 0 00 1 0
0 0 1

Definic¸a˜o 8 Matriz Transposta.
Seja a matriz A = (aij)m×n, define-se a matriz transposta como sendo uma matriz B tal que
B = (bij)n×m e bij = aji, isto e´, e´ a matriz obtida a partir da matriz A pela troca de suas linhas pelas
colunas correspondentes.
�
Notac¸a˜o: B = At.
Exemplo: Dada a matriz A abaixo temos que
A =
(
2 3 0
−1 −2 1
)
⇒ At =
 2 −13 −2
0 1

Deste modo, se A e´ do tipo m × n, At e´ do tipo n ×m. Ale´m disso, note que a 1a linha de A
corresponde a` 1a coluna de At e a 2a linha de A corresponde a` 2a coluna de At.
Definic¸a˜o 9 Matriz Sime´trica.
Uma matriz quadrada A e´ denominada sime´trica quando At = A, ou seja, quando aij = aji.
�
Exemplo: A matriz
A =
 3 5 65 2 4
6 4 8

e´ sime´trica, pois a12 = a21 = 5, a13 = a31 = 6 e a23 = a32 = 4.
6
Definic¸a˜o 10 Matriz Triangular Superior.
Uma matriz quadrada A e´ uma matriz triangular superior quando os elementos abaixo da diagonal
principal sa˜o nulos, isto e´, aij = 0 quando i > j para todo i, j = 1, 2, · · · , n.
�
Exemplo: A =

1 2 3 4
0 5 6 7
0 0 −1 0
0 0 0 −2

Definic¸a˜o 11 Matriz Triangular Inferior.
Uma matriz quadrada A e´ uma matriz triangular inferior quando os elementos acima da diagonal
principal sa˜o nulos, isto e´,aij = 0 quando i < j para todo i, j = 1, 2, · · · , n.
�
Exemplo: A =
 1 0 0√3 8 0
7 −3 0

1.1.3 Operac¸o˜es com Matrizes
Ate´ aqui apresentamos alguns conceitos e tipos especiais de matrizes. Contudo, para futuras aplicac¸o˜es,
e´ deseja´vel desenvolver uma “aritme´tica de matrizes”, na qual as matrizes podem ser somadas,
subtra´ıdas e multiplicadas de alguma maneira u´til. Esta sec¸a˜o sera´ dedicada a desenvolver esta
aritme´tica.
Definic¸a˜o 12 Igualdade de Matrizes
Duas matrizes, A e B, de mesma ordem m× n, sa˜o iguais se, e somente se, todos os elementos
correspondentes, ou seja, todos os elementos que ocupam a mesma posic¸a˜o sa˜o iguais:
A = B ⇔ aij = bij,
∀ i = 1, 2, · · · ,m e j = 1, 2, · · ·n.
�
Exemplo 2
Determine, caso existam, os valores de b e c de modo que as matrizes
A =
(
2 0
−1 b
)
, B =
(
2 c
−1 3
)
sejam iguais.
Soluc¸a˜o: Utilizando a definic¸a˜o (12) temos
A = B ⇔
(
2 0
−1 b
)
=
(
2 c
−1 3
)
da onde sai que devemos ter c = 0 e b = 3.
�
7
Definic¸a˜o 13 Soma de Matrizes
Dadas as matrizes de mesma ordem A = [aij]m×n e B = [bij]m×n , chamamos de soma dessas
matrizes a matriz C = [cij]m×n obtida pela soma de todos os elementos correspondentes de A e B,
ou seja,
A+B = C ⇔ cij = aij + bij,
∀ i = 1, 2, · · · ,m e j = 1, 2, · · ·n.
�
Exemplo 3
Dadas as matrizes abaixo
A =
(
1 2 −1
5 3 4
)
, B =
 0 −4−7 5
2 5

Determine a matriz C = A+Bt.
Soluc¸a˜o: Utilizando a definic¸a˜o de soma (13), juntamente com a definic¸a˜o de matriz transposta
(8) temos
C = A+Bt =
(
1 + 0 2− 7 −1 + 2
5− 4 3 + 5 4 + 5
)
=
(
1 −5 1
1 8 9
)
.
�
Exemplo 4
Um laborato´rio farmaceˆutico produz um certo medicamento. Os custos relativos a` compra e
transporte de quantidades espec´ıficas das substaˆncias necessa´rias para a sua elaborac¸a˜o, adquiridas
em dois fornecedores distintos (1 e 2) sa˜o dados (em reais) respectivamente pelas seguintes matrizes.
M1 =

prec¸o
compra
custo
transporte
Substaˆncia a 3 15
Substaˆncia b 12 8
Substaˆncia c 5 2
, M2 =

prec¸o
compra
custo
transporte
Substaˆncia a 6 8
Substaˆncia b 9 9
Substaˆncia c 3 5

Determine a matriz que representa os custos totais de compra e de transporte de cada uma das
substaˆncias a, b e c.
Soluc¸a˜o: Ora, como a matriz M1 da´ os custos refereˆntes ao fornecedor 1 e a matriz M2 da´ os
custos refereˆntes ao fornecedor 2, segue que a matriz que representa os custos totais de compra e de
transporte de cada uma das substaˆncias a, b e c deve ser dada por A = M1 +M2, ou seja
A =
 3 + 6 15 + 812 + 9 8 + 9
5 + 3 2 + 5
 =
 9 2321 17
8 7
 .
�
Definic¸a˜o 14 Subtrac¸a˜o de Matrizes
Dadas as matrizes de mesma ordem A = [aij]m×n e B = [bij]m×n , chamamos de subtrac¸a˜o dessas
matrizes a matriz C = [cij]m×n obtida pela subtrac¸a˜o de todos os elementos correspondentes de A e
B, ou seja,
C = A−B ⇔ cij = aij − bij,
∀ i = 1, 2, · · · ,m e j = 1, 2, · · ·n.
�
8
Exemplo 5
Considere as matrizes A e B abaixo, e determine C = A−B.
A =
[
3 0
4 −7
]
, B =
[
1 2
0 −2
]
.
Soluc¸a˜o: Levando em conta a definic¸a˜o de substrac¸a˜o de matrizes (14) segue que
C =
[
3 0
4 −7
]
−
[
1 2
0 −2
]
=
[
3− 1 0− 2
4− 0 −7− (−2)
]
=
[
2 −2
4 −5
]
.
�
Definic¸a˜o 15 Produto por Escalar
Sejam A = (aij)m×n uma matriz e λ ∈ R um escalar, define-se a matriz produto por escalar
B = λ .A como sendo a matriz B = (bij)m×n, onde bij = λ.aij ∀ i = 1, 2, · · · ,m e j = 1, 2, · · ·n.
�
Exemplo 6
Dada a matriz A abaixo, determine B = λ.A, para λ = −3 (ou seja B = −3A)
A =
 1 03 −5
−1 7

Soluc¸a˜o: Levando em conta a definic¸a˜o (15),
B = −3.A =
 −3.1 −3.0−3.3 −3.(−5)
−3.(−1) −3.7
 =
 −3 0−9 15
3 −21

�
Exemplo 7
A tabela abaixo mostra a produc¸a˜o de trigo, cevada, milho e arroz em treˆs regio˜es, em uma
determinada e´poca do ano.
Trigo Cevada Milho Arroz
Regia˜o I 1200 800 500 700
Regia˜o II 600 300 700 900
Regia˜o III 1000 1100 200 450
Com os incentivos oferecidos, estima-se que a safra no mesmo per´ıodo do pro´ximo ano seja du-
plicada. Obtenha a matriz que representa a estimativa de produc¸a˜o para o pro´ximo ano.
Soluc¸a˜o: A correspondeˆncia entre a tabela acima e uma matriz (a qual chamaremos de A) deve
ser imediata. Assim, obter a matriz B que representa a estimativa de produc¸a˜o para o pro´ximo ano
consiste em realizar a operac¸a˜o matricial B = 2.A, isto e´,
B = 2.A =
 2.1200 2.800 2.500 2.7002.600 2.300 2.700 2.900
2.600 2.1100 2.200 2.450
 =
 2400 1600 1000 14001200 600 1400 1800
2000 2200 400 900

�
9
Observac¸a˜o 3
E´ importante reforc¸ar que as operac¸o˜es matriciais de soma de subtrac¸a˜o nem sempre esta˜o
definidas. De fato, conforme as definic¸o˜es (13) e (14), e´ poss´ıvel realizar tais operac¸o˜es somente
quando as matrizes envolvidas sa˜o de mesma ordem. Por outro lado, a operac¸a˜o de produto por
escalar (15) esta´ sempre definida.
�
Definic¸a˜o 16 Produto Matricial
O produto de duas matrizes, tais que o nu´mero de colunas da primeira matriz e´ igual ao nu´mero
de linhas da segunda, A = (aij)m×p e B = (bij)p×n e´ definido pela matriz C = (cij)m×n (notac¸a˜o
C = AB) em que seus elementos cij sa˜o calculados da seguinte forma:
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ aipbpj =
p∑
k=1
aikbkj, (1.4)
para i = 1, 2, . . . , n e j = 1, 2, . . . ,m.
�
A equac¸a˜o (1.4) esta´ dizendo que o elemento cij do produto e´ igual a` soma dos produtos dos
elementos da i-e´sima linha de A pelos elementos correspondentes da j-e´sima coluna de B.
O s´ımbolo
∑p
k=1 significa que estamos fazendo uma soma em que o ı´ndice k esta´ variando de
k = 1 ate´ k = p. Leˆ-se “somato´rio de k variando de 1 a p de aikbkj”.
A figura (1.3) ilustra o ca´lculo do elemento cij da matriz produto C = AB.
Observac¸a˜o 4
Dadas as matrizes A, B e C pode acontecer que:
• o produto AB esteja bem definido mas o produto BA na˜o o esteja;
• os produtos AB e BA estejam bem definidos mas tenham ordens distintas;
• os produtos AB e BA estejam bem definidos, tenham ordens iguais, mas ainda assim se verifique
AB 6= BA;
• AB = 0 na˜o implica necessariamente que alguma das matrizes A ou B seja nula;
• AB = AC e A 6= 0 na˜o implica necessariamente B = C.
�
Exemplo 8
Considerando as matrizes A e B dadas abaixo, determine (se poss´ıvel) AB e BA.
A =
 2 30 1
−1 4
 , B = [ 1 2 3−2 0 4
]
Soluc¸a˜o: Iniciamos com o ca´lculo do produto C = AB. A primeira coisa a ser feita e´ analisar
as ordens de A e B para verificar se tal produto esta´ bem definido. Com efeito, como a ordem a
primeira matriz A e´ 3×2 e a da segunda matriz B e´ 2×3, segue que o produto AB esta´ bem definido
10
Figura 1.3: Ilustrac¸a˜o do produto matricial.
pois (vide definic¸a˜o (16)) o nu´mero de colunas de A e´ igual ao nu´mero de linhas de B (p = 2). Deste
modo, a matriz produto C e´ de ordem 3× 3, ou seja
C = AB =
 c11 c12 c13c21 c22 c23
c31 c32 c33
 =
 −4 4 18−2 0 4
−9 −2 13
 ,
onde os elementos cij foram obtidos da seguinte forma (vide definic¸a˜o (16) e figura (1.3))
c11 = 2.1 + 3.(−2) = −4
c12 = 2.2 + 3.0 = 4
c13 = 2.3 + 3.4 = 18
c21 = 0.1 + 1.(−2) = −2
c22 = 0.2 + 1.0 = 0
c23 = 0.3 + 1.4 = 4
c31 = −1.1 + 4.(−2) = −9
c32 = −1.2 + 4.0 = −2
c33 = −1.3 + 4.4 = 13
Passamos agora ao ca´lculo de D = BA. Notem que neste caso a primeira matriz B e´ de ordem
2× 3, enquanto que a segunda matriz B e´ de ordem 3 × 2 e assim, pelo mesmo argumento do caso
anterior, o produto BA esta´ bem definido (p = 3) e a matriz produto D = BA e´ de ordem 2 × 2,
onde
D = BA =
[
d11 d12
d21 d22
]
=
[ −1 17
−8 10
]
,
e onde os elementos dij foram calculados da seguinte formad11 = 1.2 + 2.0 + 3.(−1) = −1
d12 = 1.3 + 2.1 + 3.4 = 17
d21 = −2.2 + 0.0 + 4.(−1) = −8
d22 = −2.3 + 0.1 + 4.4 = 10
Fica claro por este exemplo que AB 6= BA de acordo com a observac¸a˜o (4).
�
11
Exemplo 9
A matriz abaixo nos fornece as quantidades de vitaminas a, b e c obtidas em cada unidade dos
alimentos I e II.
A =
( a b c
Alimento I 4 3 0
Alimento II 5 0 1
)
Ao serem ingeridos 5 unidades do alimento I e 2 unidades do alimento II, determine a quantidade
consumida de cada tipo de vitamina.
Soluc¸a˜o: Notem que, intuitivamente, a quantidade de vitamina a consumida neste caso pode
ser calculada como 5.4 + 2.5 = 30 e assim, definindo a matriz V = (5 2) e´ razoa´vel imaginar que
a matriz responsa´vel por nos dar todas quantidades de vitaminas consumidas e´ C = V.A (que esta´
bem definida!), ou seja,
C = V.A = (5 2).
(
4 3 0
5 0 1
)
= (5.4 + 2.5 5.3 + 2.0 5.0 + 2.1) = (30 15 2).
Logo, sera˜o consumidas 30 unidades de vitamina a, 15 unidades de vitamina b e 2 unidades de
vitamina c.
�
Observac¸a˜o 5
• Dada uma matriz A quadrada de ordem n e k ∈ N0. Definem-se as poteˆncia de A recursiva-
mente, com A0 = In e A
k = AAk−1, isto e´ Ak = AA . . . A k-vezes o produto matricial.
• Dado um polinoˆmio de grau k, p(x) = ao+ a1x+ · · ·+ akxk, enta˜o podemos construir a matriz
p(A) = aoIn + a1A+ · · ·+ akAk.
�
Exemplo 10
Sejam o polinoˆmio p(x) = x2 + 2x− 11 e a matriz
A =
(
1 2
4 −3
)
Determine a matriz p(A).
Soluc¸a˜o: Pela observac¸a˜o (5) temos p(A) = A2 + 2A− 11I2, com
A2 = A.A =
(
1.1 + 2.4 1.2 + 2.(−3)
4.1 + (−3).4 4.2 + (−3)(−3)
)
=
(
9 −4
−8 17
)
Assim,
p(A) =
(
9 −4
−8 17
)
+ 2
(
1 2
4 −3
)
− 11
(
1 0
0 1
)
=
(
0 0
0 0
)
Logo, A e´ uma raiz do polinoˆmio, ja´ que p(A) = 02×2.
�
12
Exemplo 11
Revisitando o exemplo (1) da rede predato´ria, os seguintes questionamentos abaixo sa˜o relevantes.
(a) Qual espe´cie tem mais fontes de alimento direta? Como A mostra isto?
(b) Qual espe´cie e´ mais vezes fonte direta de alimento para outras espe´cies? Como mostra isso?
(c) Se a se alimenta de b e b se alimenta de c, dizemos que a tem c como fonte indireta de alimento.
Neste contexto, qual espe´cie tem mais fontes indiretas de alimento? [Dica: Determine A2.]
Soluc¸a˜o: (a) Por um processo de contagem diretamente da figura (1.2) vemos, por exemplo, que
a espe´cie 1 (Urso) tem 1 + 1 + 1 = 3 fontes de alimento diretas. Deste modo, parece razoa´vel que
para obter o nu´mero de fontes de elimento diretas de cada espe´cie, seja necessa´rio somar as linhas
da matriz A (1.2). A forma matricial de fazer isto e´ realizar o produto AC, onde C = [cij]7×1 com
cij = 1. Explicitamente,
AC =

0 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0

.

1
1
1
1
1
1
1

=

3
3
2
3
1
0
1

deste modo, as espe´cies que possuem mais fontes de alimento diretas sa˜o 1 (Urso), 2 (Raposa) e 4
(pa´ssaro) todas com 3 fontes de elimento diretas.
(b) Tambe´m por um processo de contagem diretamente da figura (1.2) vemos, por exemplo, que
a espe´cie 7 (Roedor) e´ 1 + 1 = 2 vezes fonte de alimento direta nesta rede. Assim, conclu´ımos que
o nu´mero de vezes que uma espe´cie e´ fonte de alimento direta para outras e´ obtida pela soma das
colunas da matriz A. Uma forma de fazer isto via operac¸o˜es matriciais e´ calculando o produto L.A,
onde L = [`ij]1×7, como `ij = 1. Mais precisamente,
L.A =
[
1 1 1 1 1 1 1
]
.

0 1 1 0 0 0 1
0 0 1 1 0 0 1
0 0 0 0 1 1 0
0 0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0

=
[
0 1 3 1 2 4 2
]
Logo, a espe´cie que e´ mais vezes fonte de alimento direta para outras e´ a 6 (plantas), sendo fonte
de alimento direta para 4 espe´cies.
(c) Analisando novamente a figura (1.2) percebemos, por exemplo, que a Raposa se alimenta do
Roedor, e o Roedor se alimenta da Planta e assim conclu´ımos que a Raposa se alimenta da Planta
indiretamente. Afim de determinar qual espe´cie tem mais fontes de elimento inderetas devemos
calcular A2 (vide observac¸a˜o (5)) e depois contar os alementos na˜o nulos de cada linha desta matriz,
ou seja,
A2 = A.A =

0 0 1 1 1 2 1
0 0 1 0 2 3 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 1 2 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0

.
Portanto, conclu´ımos que a espe´cie que tem mais fontes de alimento indiretas de primeira ordem
e´ o Urso, com 5 fontes de alimento desta classe.
�
13
No contexto dos nu´meros reais, e´ conhecido que todo o real na˜o nulo admite inverso, isto e´:
∀ a ∈ R \ {0} a1
a
=
1
a
a = 1,
sendo 1/a, o inverso de a, tambe´m denotado por a−1.
Um resultado ana´logo e´ va´lido para matrizes.
Definic¸a˜o 17 Matriz Inversa
Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invert´ıvel se existir uma matriz de mesma ordem B
tal que
AB = BA = In,
chama-se a B de inversa de A e a denotamos por B = A−1.
�
Exemplo 12
Mostre que A dada abaixo e´ invert´ıvel com sua inversa dada por A−1.
A =
(
2 5
1 3
)
, A−1 =
(
3 −5
−1 2
)
Soluc¸a˜o: Pela definic¸a˜o (17) devemos verificar se AA−1 = A−1A = I2. Com efeito,
AA−1 =
(
2 5
1 3
)
.
(
3 −5
−1 2
)
=
(
1 0
0 1
)
=
(
3 −5
−1 2
)
.
(
2 5
1 3
)
= A−1A
Logo, A e´ invert´ıvel e sua inversa e´ a matriz A−1 dada acima.
�
Teorema 1 Fo´rmula para Inversa de uma Matriz de ordem 2
A matriz
A =
(
a b
c d
)
e´ invert´ıvel se ad− bc 6= 0, e neste caso sua inversa e´ dada pela fo´rmula
A−1 =
1
ad− bc
(
d −b
−c a
)
(1.5)
�
Exemplo 13
Dadas as matrizes de ordem 2 A e B
A =
(
3 2
2 2
)
, B =
(
4 6
2 3
)
Encontre (caso seja poss´ıvel) A−1 e B−1.
Soluc¸a˜o: Pelo teorema (1) temos que verificar a condic¸a˜o de existeˆncia da inversa. Para a matriz
A temos ad− bc = 2 6= 0, assim existe A−1 sendo dada por
A−1 =
(
1 −1
−1 3/2
)
Por outro lado, a condic¸a˜o de existeˆncia da inversa aplicada a` matriz B nos da´ ad − bc = 0 de
onde vem que na˜o existe B−1.
�
14
1.1.4 Exerc´ıcos
Enfoque no Conceito
C1. O que e´ uma matriz? O que refere-se um elemento da matriz? O que nos diz a ordem de
uma matriz?
C2. Quais elementos da matriz esta˜o na diagonal principal? E quais esta˜o na diagonal secunda´ria?
Dica: Responda em termos da linha i e coluna j.
C3. Sobre quais condic¸o˜es duas ou mais matrizes sa˜o iguais?
C4. O que e´ uma matriz linha? E coluna? Deˆ exemplos.
C5. Qual a relac¸a˜o entre as matrizes diagonal e identidade?
C6. O que diferencia as matrizes triangulares superior e inferior?
C7. Ao multiplicar uma matriz por um escalar, qual o efeito sobre as entradas da matriz?
C8. Podemos somar duas matrizes quaisquer? E multiplicar?
C9. No que consiste a operac¸a˜o de transposic¸a˜o de uma matriz? Como denominamos uma matriz
que e´ igual a sua transposta?
C10. O que significa a inversa de uma matriz? Toda matriz de ordem 2 possui inversa?
Enfoque Nume´rico
N1. Escreva as matrizes definidas por
A = (aij)2×3 tal que aij = 2i+ 3j
B = (bij)3×3 tal que
bij =
{
i2, i = j
i+ j, i 6= j
N2. Dadas as matrizes
A =
[
0 4 −2
6 2 8
]
B =
[ −3 6 9
12 −6 0
]
C =
[
0 −1 0
1 −1 2
]
Calcule:
(a) A+B −C (b) 2A−B + 3C (c) 1
2
A− (1
3
B + C
)
(d) (A+B)t −Ct (e) Ct +A
15
N3. Calcule (se poss´ıvel)
(a)
[
5 −3
−1 4
]
·
[
3
2
]
(b)
[
1 3 5
]·
 20
3
 (c) [ 3 5−1 2
]
·
 1 6−2 1
4 0
 (d)
 32
1
·[ 0 −3 2 ]
N4. Sendo
A =
[
1 0
2 −1
]
B =
[
3 −2
1 4
]
C =
[
0 −3
−2 5
]
determine:
(a) ABC (b) (A+B)C (c) AB + Ct (d) A2 − (BC)t
N5. Sejam a matriz
M =
 1 0 32 1 1
0 1 2
e o polimoˆmio p(x) = −x3 + 4x2 − 4x+ 7.
Calcule a matriz p(M).
Dica: Vide observac¸a˜o (5).
N6. Resolva a equac¸a˜o matricial 2X −B + 1
3
At = 0, sendo
A =
[
0 −6
−6 0
]
B =
[
0 2
4 6
]
N7. Sendo
A =
[
1 −1
1 2
]
B =
[
14 0
8 2
]
determine a matriz X de modo que AX = B.
Dica: Utilize a inversa de A.
N8. Dadas as matrizes
A =
[
2 0
4 1
]
B =
[
0 7
1 −1
]
C =
[
2 6
1 3
]
determine suas inversas (se poss´ıvel).
16
Enfoque nas Propriedades
Marque verdadeiro (V) ou falso (F)
P1. (−A)t = −(At).
P2. (A+B)t = Bt + At.
P3. (k1A)(k2B) = (k1k2)AB.
P4. Se AB = 0, enta˜o A = 0 ou B = 0.
P5. (A+B)2 = A2 + 2AB +B2.
Enfoque Alge´brico
AG1. Mostre que as matrizes da forma
A =
[
1 1
y
y 1
]
em que y e´ um nu´mero real na˜o-nulo, verificam: A2 = 2A.
AG2. Uma matriz A e´ dita ortogonal se A−1 = At. Mostre que a matriz
A =
[
cos (θ) − sin (θ)
sin (θ) cos (θ)
]
e´ uma matriz ortogonal.
Dica: sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1.
Enfoque na Aplicac¸a˜o - OPCIONAL
A1. Ana e Beto esta˜o planejando comprar frutas para a pro´xima semana. Cada um deles quer
comprar algumas mac¸a˜s, tangerinas e laranjas. A tabela abaixo mostra o que eles pretendem com-
prar.
Mac¸a˜s Tangerinas Laranjas
Ana 6 3 10
Beto 4 8 5
Nas proximidades existem duas bancas de frutas - Sam e Te´o - cujos prec¸os esta˜o apresentados
na seguinte tabela
Sam Te´o
Mac¸as 1 1.5
Tangerina 4 3
Laranja 1 2
(a) Indique uma matriz que relaciona o quanto gastara˜o Ana e Beto para fazer suas compras em
cada uma das duas bancas.
(b) Em qual banca e mais vantajoso Ana realizar suas compras? E Beto?
17
A2. Podemos usar matrizes para transformar pontos. Em particular, tais transformac¸o˜es esta˜o
ligadas ao conceito de transformac¸a˜o linear - uma ideia poderosa em cieˆncia (F´ısica, Biologia, etc) e
engenharia (Computac¸a˜o, Ele´trica, etc). Por exemplo, o produto matricial[
xn
yn
]
=
[
cos (θ) − sin (θ)
sin (θ) cos (θ)
]
·
[
xo
yo
]
define uma rotac¸a˜o de aˆngulo θ de um ponto (xo, yo) em torno da origem, onde (xn, yn) refere-se ao
novo ponto - veja figura A.
Figura 1.4: (A) Ponto (xo, yo) rotacionado de um aˆngulo θ em torno da origem 0. (B) Retaˆngulo de
ve´rtices A, B, C e D.
No que segue, usaremos a operac¸a˜o entre matrizes para girar um retaˆngulo em torno da origem.
(a) Indique a transformac¸a˜o de rotac¸a˜o de um ponto (xo, yo) de um aˆngulo de 90
o em torno da
origem.
(b) Escreva as coordenadas dos ve´rtices (A,B,C e D) do retaˆngulo.
(c) Aplique a transformac¸a˜o indicada no item (a) para cada ve´rtice do retaˆngulo.
(d) Com base no item anterior, represente no plano cartesiano o efeito da transformac¸a˜o indica
no item (a) sobre o retaˆngulo.
A3. Um construtor tem contratos para construir 3 estilos de casa: moderno, mediterraˆneo e
colonial. A quantidade de material empregada em cada tipo de casa e´ dada pela tabela
Ferro Madeira Vidro Tinta Tijolo
Moderno 5 20 16 7 17
Mediterraˆneo 7 18 12 9 21
Colonial 6 25 8 5 13
Para cada um dos itens abaixo, apresente uma matriz associada.
(a) Se ele vai contruir 5,7 e 12 casas dos tipos modernos, mediterraˆneo e colonial, respectivamente,
quantas unidades de cada material sera˜o empregadas?
(b) Suponha agora que os prec¸os por unidade de ferro, madeira, vidro, tinta e tijolo sejam, res-
pectivamente, 15, 8, 5, 1 e 10 u.m. (unidades de moeda). Qual e´ o prec¸o unita´rio de cada tipo de casa?
(c) Qual o custo total do material empregado?
18
A4. Um psico´logo coloca um rato em um ambiente de treˆs compartimentos, como mostra a figura
(1.5). O rato foi treinado para selecionar uma porta aleatoriamente (com igual probabilidade) sempre
que tocarem um sinal, e dirigir-se atrave´s dela ao pro´ximo compartimento. Por exemplo, conforme
veˆ-se na figura a probabilidade de sair da sala 1 e ir para a sala 2 no pro´ximo passo e´ 1/2 (p12 = 1/2),
ou de ir da sala 2 para 3 e´ 2/3 (p23 = 2/3) e assim sucessivamente. Este processo nos leva a` matriz
de probabilidade de transic¸a˜o P = [pij]n×n, onde os pij representam a probabilidade de transic¸a˜o de
uma sala i para outra sala j e n refere-se ao nu´mero de compartimentos.
Figura 1.5: Rato no ambiente com treˆs compartimentos (salas).
(a) Com base no enunciado apresente a matriz de probabilidade de transic¸a˜o P .
(b) Calcule P 2.
(c) Associamos a probabilidade de encontrar o rato nos diferentes compartimentos ao vetor
x(k) = (x1(k) · · · xn(k)), onde a coordenada xi(k) indica a probabilidade do rato ocupar o com-
partimento i no tempo k. A dinaˆmica do estado pode ser determinada por x(k) = x(0)P k em que
x(0) representa o estado inicial. Sendo assim, suponha que o rato parte inicialmente da sala 2,
x(0) = [0 1 0], determine o vetor de estado no tempo k = 2, x(2) = x(0)P 2.
(d) De acordo com item anterior, qual a probabilidade de encontrar o rato na sala 2 em k = 2?
A5. Cinco tenistas - Davenport (D), Graf (G), Hingis (H), Seles (S) e Williams (W) - competem
em um torneio “todos-contra-todos” de turno u´nico. O grafo abaixo sumariza o resultado.
Figura 1.6: Um torneio “todos-contra-todos”.
Uma aresta (ligac¸a˜o) dirigida do ve´rtice (c´ırculo) i ao ve´rtice j significa que o jogador i ganhou do
jogador j. No que segue, atribuiremos uma notac¸a˜o bina´ria: 1 para vito´ria e 0 para derrota.
19
(a) Com base no grafo, preencha a tabela abaixo
D G H S W
D
G
H
S
W
e indique a matriz associada (no contexto do grafo chamamos de matriz de adjaceˆncia A).
(b) Podemos usar as poteˆncias de A para obter informac¸o˜es sobre as conexc¸o˜es de um grafo. Por
exemplo, o quadrado da matriz A indica o nu´mero de vito´rias indiretas. Com efeito, note que Willi-
ams possui duas vito´rias indiretas - porque venceu Hingis, que derrotou outras duas - ale´m disso Seles
tem apenas uma vitoria indireta (sobre Williams que derrotou Hingis). Neste contexto, determine A2.
(c) Um modo de contar o nu´mero de vito´rias de cada jogadora e´ fazer o produto AC, onde
C =

1
1
1
1
1

Desta maneira, indique a matriz associada ao nu´mero de vito´rias de cada jogadora.
(d) De acordo com o item anterior, podemos verificar que ha´ um empate entre os nu´mero de
vito´rias entre as jogadoras Davenport e Graf. Uma pergunta pertinente e´: as jogadoras que empata-
ram sa˜o igualmente fortes? Desde que uma jogadora possa na˜o ter derrotado todas as adversa´rias,
podemos encaminhar esta questa˜o calculando as vito´rias diretas e indiretas para cada jogadora, ou
seja, (A+ A2)C. Apresente a matriz que indique a “forc¸a” das jogadoras. Qual e´ mais forte?
Enfoque na Computac¸a˜o - OPCIONAL
O avanc¸a significativo dos computadores combinado com a capacidade de transfereˆncia de dados
via internet, nas u´ltimas de´cadas, tem criado um vasto conjunto de ferramentas para nos auxiliar em
problemas de cieˆncia e engenharia.
Um bem sucedido exemplo desta combinac¸a˜o e´ a ferramenta online (gratuita) denominada de
Mathics (veja www.mathics.net). Entre as possibilidades, o Mathics nos permite desenvolver muitas
das operac¸o˜es matema´ticas (nume´rica e alge´brica) exploradas neste curso. Nesta sec¸a˜o, convidamos
o leitor a se familiarizar com esta fanta´stica ferramenta.
Breve Tutorial para Operac¸o˜es Matriciais no Mathics
Seja a matriz
A =
 a11 a12 · · · a1m... ... ... ...
an1 an2 · · · anm

introduzimos no Mathics como A = {{a11, a12, · · · , a1m}, · · · , {an1, an2, · · · , anm}}. Por exemplo,
para inserir
A =
 1 −24 7
−9 0

20
no Mathics introduzida no campo superior {{1,−2}, {4, 7}, {−9, 0}} e pressione =, veja figura.
Figura 1.7: Print screen da inserc¸a˜o da matriz A na pa´gina do Mathics.
Perceba que o retorno (resultado da operac¸a˜o) esta˜o em negrito.
A tabela abaixo indica as principais operac¸o˜es matriciais.Operador Exemplo
Soma + A+B
Diferenc¸a − A−B
Multiplicac¸a˜o por escalar ∗ λ ∗ A
Produto · A.B
Transposta Transpose Transpose[A]
Inversa Inverse Inverse[A]
Como exemplo, retomamos o problema N4(d). Sendo assim, digite no campo superior da pa´gina
a seguinte expressa˜o:
{{1, 0}, {2,−1}}.{{1, 0}, {2,−1}} − Transpose [{{3,−2}, {1, 4}}.{{0,−3}, {−2, 5}}]
e pressione =. Na figura a seguir apresentamos o print screen da implementac¸a˜o deste exemplo
no Mathics. Reiteramos que o retorno da operac¸a˜o esta˜o em negrito.
Figura 1.8: Print screen da soluc¸a˜o do Problema N4(d) via Mathics.
Utilizando esta ferramenta, refac¸a os problemas: N1(d), N4(b), N8 e AG1.
21
1.1.5 Respostas
N1.
A =
[
5 8 11
7 10 13
]
B =
 1 3 43 4 5
4 5 9

N2.
(a)Ma =
[ −3 11 7
17 −3 6
]
(b)Mb =
[
3 −1 −13
3 7 22
]
(c)Mc =
[
1 1 −4
−2 4 2
]
(d)Md =
 −3 1711 −3
7 6

(e) Na˜o e´ poss´ıvel efetuar a operac¸a˜o
N3.
(a)Ma =
[
9
5
]
(b)Mb = [17] (c)Na˜o e´ poss´ıvel realizar a operac¸a˜o (d)Md =
 0 −9 60 −6 4
0 −3 2

N4.
(a)Ma =
[
4 −19
16 −55
]
(b)Mb =
[
4 −22
−6 6
]
(c)Mc =
[
3 −4
2 3
]
(d)Md =
[ −3 8
19 −16
]
N5. p(A) = 03×3
N6.
M =
[
0 2
1 3
]
N7.
M =
[
12 2
3−2 2
3
]
N8.
A−1 =
[
1
2
0
−2 1
]
B−1 =
[
1
7
1
1
7
0
]
C−1(Na˜o e´ poss´ıvel)
P1. (V) P2. (V) P3. (V) P4. (F) P5. (F)
A1.
(a)M =
[
28 38
41 40
]
A2. (a) [
xn
yn
]
=
[
0 −1
1 0
]
·
[
xo
yo
]
(b) A(0, 0), B(0, 1), C(2, 1) e D(2, 0).
(c) A′(0, 0), B′(−1, 0), C ′(−1, 2) e D′(0, 2).
A3.
(a)Ma =
[
146 526 260 158 388
]
(b)Mb =
 492528
465
 (c)Mc = [11736]
22
A4.
(a) P =
 0 12 121
3
0 2
3
1
3
2
3
0
 (b) P 2 =
 13 13 132
9
11
18
1
6
2
9
1
6
11
18
 (c) x(2) = [2
9
11
18
1
6
]
(d) p = 61.17%
A5.
(a) A =

0 1 0 1 1
0 0 1 1 1
1 0 0 1 0
0 0 0 0 1
0 0 1 0 0
(b) A2 =

0 0 2 1 2
1 0 1 1 1
0 1 0 1 2
0 0 1 0 0
1 0 0 1 0
(c) AC =

3
3
2
1
1
(d) (A+A2)C =

8
7
6
2
3

23
1.2 Determinantes
1.2.1 Introduc¸a˜o
Em geral estamos familiarizados com func¸o˜es do tipo f(x) = sin (x) e f(x) = x2, que associam
um nu´mero real f(x) a um valor real da varia´vel x. Como ambos x e f(x) tomam apenas valores
reais, tais func¸o˜es sa˜o descritas como func¸o˜es reais de uma varia´vel real. Nesta sec¸a˜o, vamos estudar
uma func¸a˜o especial que associa a cada matriz quadrada A um nu´mero real f(A) (denotado por
det (A)) chamado determinante da matriz A. Este tem aplicac¸o˜es importantes na teoria de sistemas
de equac¸o˜es lineares, ale´m de auxiliar na fo´rmula expl´ıcita da matriz inversa. Para fins pra´ticos,
o ca´lculo de determinantes tem relevaˆncia em ca´lculo de a´reas e volumes de figuras regulares, na
identificac¸a˜o de coˆnicas (para´bolas, el´ıpses, hipe´rboles,...), no ca´lculo dos n´ıves de energia de certos
sistemas f´ısicos, etc...
1.2.2 Definic¸a˜o e Ca´lculo de Determinantes
Definic¸a˜o 18 Dada uma matriz quadrada A de ordem n e´ poss´ıvel fazer corresponder um certo
nu´mero real denominado determinante da matriz A. Notac¸a˜o det (A)
�
Observac¸a˜o 6
Notac¸a˜o expl´ıcita para det (A) = |[aij]n×n|.
Quando estive´rmos trabalhando explicitamente com o quadrado de nu´meros A = [aij]n×n utiliza-
remos exclusivamente barras no lugar de pareˆnteses ou colchetes afim de representar o determinante
de uma matriz, isto e´,
det (A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ (1.6)
�
Existem va´rias maneiras de definir o determinante de uma matriz quadrada. Nossa proposta e´
apresenta´-lo via induc¸a˜o na ordem n da matriz A.
Para n = 1, temos A = [a11] e assim det (A) = |a11| = a11.
Exemplo 14
A = [5] ⇒ det (A) = |5| = 5
A = [−3] ⇒ det (A) = | − 3| = −3
�
Note que as barras verticais apresentadas acima na˜o tem significado de mo´dulo.
Para n = 2, temos
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
24
e assim temos, por definic¸a˜o que seu determinante e´
det (A) =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21 (1.7)
Portanto, o determinante de uma matriz de ordem 2 e´ dado pela diferenc¸a entre o produto dos
elementos da diagonal principal e o produto dos elmentos da diagonal secunda´ria.
Exemplo 15
Calcule o determinante da matriz abaixo
A =
(
3 5
−2 4
)
Soluc¸a˜o: Pela equac¸a˜o (1.7) temos
det (A) =
∣∣∣∣ 3 5−2 4
∣∣∣∣ = 3.4− 5.(−2) = 12 + 10 = 22
�
Exemplo 16
Dada a matriz de ordem 2 abaixo
A =
(
2 −1
5 −4
)
Determine:
(a) A− x I2.
(b) O polinoˆmio p(x) = det (A− x I2).
(c) Encontre x de modo que p(x) = 0.
(d) Verifique que p(A) = 02×2.
Soluc¸a˜o: (a) Utilizando a definic¸a˜o de I2 (7), de subtrac¸a˜o (14) e de produto por escalar (15)
temos
A− x I2 =
(
2 −1
5 −4
)
−
(
x 0
0 x
)
=
(
2− x −1
5 −4− x
)
(b) Pela equac¸a˜o (1.7) e item (a) temos
p(x) = det (A− x I2) =
∣∣∣∣ 2− x −15 −4− x
∣∣∣∣ = (2− x)(−4− x)− 5(−1) = x2 + 2x− 3
(c) Pelo item (b) p(x) = x2 + 2x− 3 = 0 pode ser resolvido pela fo´rmula de Baskara
x =
−2±√22 − 4.1.(−3)
2.1
=
−2±√16
2
⇒
Logo, x = 1 ou x = −3.
25
(d) Utilizando o item (b) e a observac¸a˜o (5) temos p(A) = A2 + 2A− 3I2, com
A2 = A.A =
(
2.2 + (−1).5 2.(−1) + (−1).(−4)
5.2 + (−4).5 5.(−1) + (−4).(−4)
)
=
( −1 2
−10 11
)
,
assim
p(A) =
( −1 2
−10 11
)
+ 2
(
2 −1
5 −4
)
− 3
(
1 0
0 1
)
=
(
0 0
0 0
)
Logo, p(A) = 02×2.
�
O ca´lculo do determinante de 3a ordem (isto e´, para n = 3) pode ser feito por meio de um
dispositivo pra´tico, denominado Regra de Sarrus.
Vejamos como aplicar essa regra para
A =
 a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33

1o passo: Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira:∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 a13
... a11 a12
a21 a22 a23
... a21 a22
a31 a32 a33
... a31 a32
∣∣∣∣∣∣∣∣
2o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal principal com os dois
produtos obtidos pela multiplicac¸a˜o dos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser
precedida do sinal positivo):
3o passo: Encontramos a soma do produto dos elementos da diagonal secunda´ria com os dois
produtos obtidos pelos elementos das paralelas a essa diagonal (a soma deve ser precedida do sinal
negativo):
26
Assim,
= +(a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32)− (a13a22a31 + a11a23a32 + a12a21a33) (1.8)
Exemplo 17
Dada a matriz de ordem 3 abaixo, calcule seu determinante pela regra de Sarrus.
A =
 1 −2 13 0 5
2 1 4

Soluc¸a˜o: Utilizando a te´cnica apresentada na equac¸a˜o (1.8),
det (A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −2 1 ... 1 −2
3 0 5
... 3 0
2 1 4
... 2 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = +(0− 20 + 3)− (0 + 5− 24) = 2
�
Exemplo 18
Resolva, em R, a equac¸a˜o ∣∣∣∣∣∣
x 4 −2
x− 1 x 1
1 x+ 1 3
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ x 32 1
∣∣∣∣
Soluc¸a˜o: O primeiro membro representa um determinante de uma matriz A de ordem 3, que
pode ser calculado via regra de Sarrus. Com efeito,
det (A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
x 4 −2 ... x 4
x− 1 x 1 ... x− 1 x
1 x+ 1 3
... 1 x+ 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= +(3x2 + 4− 2(x− 1)(x+ 1))− (−2x+ x(x+ 1) + 12(x− 1))
= 3x2 + 4− 2(x2 − 1) + 2x− x2 − x− 12x+ 12 = −11x+ 18
Ja´ o segundo membro da mesma representa o determinante de uma matriz B de ordem 2, que
pode ser calculado por (1.7), isto e´,
det (B) =
∣∣∣∣ x 32 1
∣∣∣∣ = x− 6
Igualando det (A) = det (B) : . −11x+ 18 = x− 6 ⇒ x = 2, ou seja S = {2}.
�
27
Exemplo 19
A quantidade f´ısica chamada momento de ine´rcia, de grande relevaˆncia em engenharia civ´ıl, esta´
para os corpos em movimento de rotac¸a˜o, assim como a massa dos mesmos esta´ para o movimentode
translac¸a˜o. Para corpos que giram em torno de certos eixos, e´ necessa´rio definir a matriz de ine´rcia
(ou tensor de ine´rcia), denotada por I. Os elementos da diagonal da matriz de ine´rcia I = [aij]n×n
sa˜o quantidades necessariamente positivas chamadas momento de ine´rcia, enquanto que os elementos
fora da diagonal sa˜o chamados de produtos de ine´rcia. Da teoria de matrizes de ine´rcia sabe-se que
os momentos principais de ine´rcia sa˜o as soluc¸o˜es reais da equac¸a˜o det (I − λIn) = 0, onde In e´ a
matriz identidade de ordem n.
Figura 1.9: Placa homogeˆnea na forma de triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles.
Dada a placa homogeˆnea na forma de triaˆngulo retaˆngulo iso´sceles de lado a e massa m (e
densidade superficial σ = 2m/a2) (figura (1.9)). Determine seus momentos principais de ine´rcia,
sabendo que a matriz de ine´rcia associada e´ dada por
I = α
 2 −1 0−1 2 0
0 0 4
 ,
onde α = ma2/12.
Soluc¸a˜o: Pelo exposto no texto acima, devemos encontrar os valores de λ de modo que det (I − λI3) =
0. Inicialmente, note que
I − λI3 =
 2α −1α 0−1α 2α 0
0 0 4α
−
 λ 0 00 λ 0
0 0 λ
 =
 2α− λ −1α 0−1α 2α− λ 0
0 0 4α− λ

Como queremos det (I − λI3) = 0, devemos aplicar a regra de Sarrus,
det (I − λI3) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2α− λ −α 0 ... 2α− λ −α
−α 2α− λ 0 ... −α 2α− λ
0 0 4α− λ ... 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= (2α− λ)2(4α− λ)− α2(4α− λ) = (4α− λ)[(2α− λ)2 − α2] = 0,
28
de onde vem que ou (4α− λ) = 0⇒ λ1 = 4α, ou (2α− λ)2 − α2 = 0 : . 2α− λ = ±α ⇒ λ2 = 3α e
λ3 = α.
Finalmente, levando em considerac¸a˜o que α = ma2/12, temos que os momentos principais de
ine´rcia desta placa triangular sa˜o
λ1 =
ma2
3
λ2 =
ma2
4
, λ3 =
ma2
12
�
Afim de apresentarmos uma expressa˜o que permita calcular o determinante de uma matriz de
ordem n (em geral n > 3), note que podemos agrupar na equac¸a˜o (1.8) os termos a11, a12 e a13 isto
e´, os elementos da 1a linha, e coloca´-los em evideˆncia. Deste modo, podemos escrever
det (A) = a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31),
ou, utilizando a equac¸a˜o (1.7)
det (A) = a11
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣− a12 ∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣+ a13 ∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣ =
= a11 det (A11)− a12 det (A12) + a13 det (A13),
onde podemos observar que
det (A11) e´ o determinante da matriz que se obte´m eliminando, em A, a 1
a linha e a 1a coluna;
det (A12) e´ o determinante da matriz que se obte´m eliminando, em A, a 1
a linha e a 2a coluna;
det (A13) e´ o determinante da matriz que se obte´m eliminando, em A, a 1
a linha e a 3a coluna.
Assim, de modo geral, o determinante da matriz quadrada de ordem n pode ser obtido pelo
teorema abaixo.
Teorema 2 Teorema de Laplace ou Me´todo do Cofator.
O determinante de uma matriz quadrada de ordem n (A = [aij]n×n), onde n ≥ 2, pode ser
calculado por
det (A) = ai1(−1)i+1 det (Ai1) + ai2(−1)i+2 det (Ai2) + · · ·+ ain(−1)i+n det (Ain) =
=
n∑
k=1
aik4ik (1.9)
(que e´ a expansa˜o de cofatores pela i-e´sima linha), e tambe´m por
det (A) = a1j(−1)1+j det (A1j) + a2j(−1)2+j det (A2j) + · · ·+ anj(−1)n+j det (Anj) =
=
n∑
k=1
akj4kj (1.10)
(que e´ a expansa˜o de cofatores pela j-e´sima coluna), onde o termo 4ij = (−1)i+j det (Aij) e´
definido como o (i, j)-cofator de A e Aij e´ uma matriz de ordem (n−1) obtida de A pela eliminac¸a˜o
da linha i e coluna j.
�
29
Observac¸a˜o 7
Note que cada parcela das equac¸o˜es (1.9) e (1.10) sa˜o precedidas pelos elementos da linha ou
coluna que permanece fixa no processo, assim e´ sempre conveniente escolher fixar a linha ou coluna
que conte´m (caso existam) o maior nu´mero de zeros.
�
Exemplo 20
Revisitando o exemplo (17), calcule o determinante de A utilizando o teorema de Laplace (2) de
duas maneiras distintas, a primeira fixando uma linha e a segunda uma coluna, onde
A =
 1 −2 13 0 5
2 1 4

Soluc¸a˜o: Inicialmente vamos escolher fixar uma linha, note que a linha 2 conte´m um 0 e assim,
pela observac¸a˜o (7), e´ a mais conveniente. Utilizando a equac¸a˜o (1.9)
det (A) =
∣∣∣∣∣∣
1 −2 1
3 0 5
2 1 4
∣∣∣∣∣∣ = 3421 + 0422 + 5423 = 3421 + 5423,
onde cada cofator 421 e 423 sa˜o
421 = (−1)2+1 det (A21) = −
∣∣∣∣ −2 11 4
∣∣∣∣ = −(−8− 1) = 9
423 = (−1)2+3 det (A23) = −
∣∣∣∣ 1 −22 1
∣∣∣∣ = −(1 + 4) = −5
Logo,
det (A) = 3.9 + 5.(−5) = 27− 25 = 2
exatamente como no exemplo (17).
Passamos agora a fixar uma coluna, novamente note que a coluna 2 comte´m um 0 assim, pela
observac¸a˜o (7), e´ a mais conveniente. Utilizando a equac¸a˜o (1.10)
det (A) =
∣∣∣∣∣∣
1 −2 1
3 0 5
2 1 4
∣∣∣∣∣∣ = −2412 + 0422 + 1432 = −2412 +432,
onde cada cofator 412 e 432 sa˜o
412 = (−1)1+2 det (A12) = −
∣∣∣∣ 3 52 4
∣∣∣∣ = −(12− 10) = −2
432 = (−1)3+2 det (A32) = −
∣∣∣∣ 1 13 5
∣∣∣∣ = −(5− 3) = −2
Logo,
det (A) = −2.(−2) + (−2) = 2
exatamente como no exemplo (17).
�
30
Exemplo 21
Calcule o determinante da matriz de ordem 4 abaixo
A =

2 3 −1 3
1 1 1 3
5 0 3 4
3 1 7 −1

Soluc¸a˜o: Perceba que a linha 3 conte´m um zero, logo vamos escolheˆ-la como fixa ao aplicar o
teorema de Laplace, ou seja,
det (A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −1 3
1 1 1 3
5 0 3 4
3 1 7 −1
∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5431 + 0432 + 3433 + 4434 = 5431 + 3433 + 4434,
onde cada cofator 431, 433 e 434 e´ dado por (calculados via regra de Sarrus)
431 = (−1)3+1 det (A31) = (+1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
3 −1 3 ... 3 −1
1 1 3
... 1 1
1 7 −1 ... 1 7
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= −3− 3 + 21− 3− 63− 1 = −52
433 = (−1)3+3 det (A33) = (+1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 3
... 2 3
1 1 3
... 1 1
3 1 −1 ... 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= −2 + 27 + 3− 9− 6 + 3 = 16
434 = (−1)3+4 det (A34) = (−1)
∣∣∣∣∣∣∣∣
2 3 −1 ... 2 3
1 1 1
... 1 1
3 1 7
... 3 1
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
= −(14 + 9− 1 + 3− 2− 21) = −2
Logo,
det (A) = 5.(−52) + 3.16 + 4.(−2) = −220.
�
Teorema 3 Propriedades dos Determinantes.
1. Se A = [aij]n×n e´ uma matriz triangular superior (inferior), enta˜o det (A) = a11.a22 . . . ann;
2. det (A) = 0, quando A possui uma linha ou coluna nula;
3. det (A) = 0, quando A possui duas linhas ou duas colunas mu´ltiplas uma da outra;
4. det (λ.A) = λn. det (A), para λ ∈ R e A de ordem n;
5. det (A.B) = det (A). det (B);
6. det (A) = det (At);
7. Se B e´ obtida de A pela troca de duas linhas ou duas colunas, enta˜o det (B) = − det (A);
31
8. A e´ invert´ıvel se, e somente se, det (A) 6= 0;
9. Se A e´ invert´ıvel, enta˜o
det (A−1) =
1
det(A)
;
10. Se B e´ obtida pela multiplicac¸a˜o de uma linha (ou coluna) de A por λ, enta˜o det (B) =
λ. det (A).
�
Exemplo 22
Calcule o determinante da matriz abaixo, utilizando as propriedades listadas no teorema (3).
A =
 0 0 10 5 2
3 −1 4

Soluc¸a˜o: Note que podemos transformar a matriz A em uma matriz B que seja triangular
superior pela troca das linhas 1 e 3, isto e´
B =
 3 −1 40 5 2
0 0 1

Assim, utilizando as propriedades (7) e (1) do teorema (3), segue que
det (A) = − det (B) = −3.5.1 = −15,
que pode ser conferido pela aplicac¸a˜o da regra de Sarrus.
�
32
1.2.3 Exerc´ıcos
Enfoque no Conceito
C1. O que e´ o determinante de uma matriz? Podemos calcular o determinante de qualquer ma-
triz?
C2. No que consiste a regra de Sarrus? Ela pode ser aplicada a qualquer matriz? Justifique.
C3. No que consiste o teorema de Laplace?
C4. Explique por que o determinante de uma matriz n × n com uma linha (coluna) de zeros deve
ser zero.
C5. Indique uma fo´rmula para o deteminante de uma matriz n × n diagonal. Use esta fo´rmula
para calcular o determinante de uma matriz identidade de ordem n.
Enfoque Nume´rico
N1. Dada a matriz A (2× 2), para cada item, calcule det(A).
(a) A =
[ −2 5
1 7
]
(b) A =
[ −1 −4
2 8
]
(c) A =
[ √
2 2
√
3√
6 5
]
(d) A =
[
pi ln (2)
e−2 1
]
N2. Dada a matriz A (3× 3), para cada item, calculedet(A).
(a) A =
 1 −2 91 1 1
3 −5 3
 (b) A =
 7 −1 0−8 4 −3
2 −1 0
 (c) A =
 log (3) −2 30 2
3
1
0 0 3

(d) A =
 1 −2 12
3
e
√
5 cos
(
pi
3
)
0 0 0

N3. Dada a matriz A (4× 4), para cada item, calcule det(A).
(a) A =

1 2 0 4
5 6 0 8
9 10 0 12
4 3 0 1
 (b) A =

0 1 2 3
2
3
1 3 0
3 4 −1
2
0
1 1 0 1
 (c) A =

1 1 1 1
2 3 2 1
3 1 1 2
1 2 1 3

(d) A =

e 0 0 0
0 pi 0 0
0 0 ln (7) 0
0 0 0 sin
(
pi
4
)

N4. Dada a matriz M =

−5 2 3 −1 7
3 1 1 8 −4
0 −2 0 0 0
1 −1 −1 2 9
4 3 2 1 −1
, determine:
(a) M32 (b) det(M32) (c) 432 (d) det (M)
N5. Dada a matriz B =
 2 3 14 1 2
3 2 1
, determine:
(a) det(B) (b) det(4B) (c) det(B2) (d) det(Bt) (e) det(B−1)
33
N6. Calcule o determinante de cada uma das matrizes abaixo:
(a) A =
[
3
2
− x 2
1 4− x
]
(b) B =
 −x 1 −20 1− x 4
−1 4 2− x
 (c) C =

−x 0 1 −1
−2 −x 0 3
3 1 −x 2
1 1 1 −x

N7. Calcule o valor de x ∈ R, nas seguintes igualdades:
(a)
∣∣∣∣ 3x −123 2x
3
∣∣∣∣ = 0 (b)
∣∣∣∣∣∣
2x 0 1
3x x 1
x 0 x− 1
∣∣∣∣∣∣ = 0 (c)
∣∣∣∣∣∣
1 1 3
x x 4
0 x 2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 2x 41 x
∣∣∣∣
N8. Dada a matriz K =
[
1 1
1 0
]
, calcule:
(a) K − xI2 (b) det(K − xI2) (c) Os valores de x que satisfazem det(K − xI2) = 0.
Enfoque nas Propriedades
Marque verdadeiro (V) ou falso (F)
P1. det(A+B) = det(A) + det(B)
P2. det(AB) = det(BA)
P3. det(At) = det(A)
P4. det(kA) = k det(A)
P5. det(A−1) = 1
det(A)
Considere A e B matrizes n× n invert´ıveis e k um escalar.
Enfoque Alge´brico
AG1. Prove que as matrizes
A =
[
a b
0 c
]
B =
[
d e
0 f
]
comutam (AB = BA) se, e somente se, ∣∣∣∣ b a− ce d− f
∣∣∣∣ = 0
AG2. Mostre que
det
 1 1 1a b c
a2 b2 c2
 = (a− b)(b− c)(c− a)
O determinante indicado anteriormente e´ um caso particular do famoso determinante de Vander-
monde.
34
AG3. Afirmamos que uma matriz A preserva a a´rea se det(A) = 1. Use o teorema de Laplace
para mostrar que a matriz
A =
 sin θ cos θ 0− cos θ sin θ 0
0 0 1

preserva a a´rea para qualquer valor de θ.
Dica: sin2 (θ) + cos2 (θ) = 1.
AG4. Um teorema importante, afirma que, se P (λ) = det(A − λI) e´ o polinoˆmio caracter´ıstico
da matriz A, enta˜o P (A) = 0. Esse e´ o ce´lebre Teorema de Cayley-Hamilton. Tal teorema pode ser
usado para determinar poteˆncias e inversas de matrizes.
Sendo assim, seja
A =
[
a b
c d
]
a) Mostre que P (λ) = λ2 − (a+ d)λ+ ad− cb.
b) Dado P (A) = 0, demonstre que A2 = (a+ d)A− (ad− cb)I.
c) Mostre que A3 = (a+ d)2A− (ad− cb)A− (a+ d)(ad− cb)I (dica: A3 = AA2).
d) Conclua que A−1 = 1
ad−cdb [(a+ d)I − A], desde que ad− cb 6= 0 (lembre-se AA−1 = I).
Enfoque na Aplicac¸a˜o - OPCIONAL
A1. Na figura dada,
Figura 1.10: Triaˆngulo de ve´rtices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3).
a a´rea do triaˆngulo ABC pode ser expressa como
A`rea(ABC) = A`rea(ADEC) + A`rea(CEFB)− A`rea(ADFB).
Usando isto e o fato conhecido que a a´rea de um trape´zio e´ 1
2
da altura vezes a soma dos lados
paralelos, e´ poss´ıvel mostrar que
A`rea(ABC) =
1
2
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 1
x2 y2 1
x3 y3 1
∣∣∣∣∣∣
(a) Use o u´ltimo resultado para encontrar a a´rea do triaˆngulo de va´rtices A(4, 0), B(3, 3), C(−2, 1).
(b) Represente no plano cartesiano o triaˆngulo.
35
A2. Podemos usar o determinante para determinar a inversa de uma matriz. Sendo assim, seja
A uma matriz n× n invert´ıvel, enta˜o a matriz inversa
A−1 =
1
det (A)
 411 · · · 41n... ... ...
4n1 · · · 4nn

t
onde 4ij = (−1)i+j det (Aij) e´ o cofator associado a submatriz Aij. Esta te´cnica e´ denominada de
inversa de uma matriz usando a adjunta (tranposta da matriz de cofatores). Por exemplo, se A e´
uma matriz 3× 3 invert´ıvel, a inversa seria dada por
A−1 =
1
det (A)
 411 412 413421 422 423
431 432 433
t .
No que segue, faremos uso desta te´cnica para determinar a inversa de uma matriz. Considere uma
matriz
A =
 3 2 −11 6 3
2 −4 0

(a) Calcule det (A).
(b) Calcule os cofatores 411,412,413,421,422,423,431,432,433.
(c) Determine A−1.
A3. A Histo´ria nos mostra que as pessoas sempre transmitiram informac¸o˜es por meio de co´digos.
Por vezes, a intenc¸a˜o e´ encobrir a mensagem que esta´ sendo enviada, como no caso em que cada
letra de uma palavra e´ trocada por outra diferente, de acordo com uma regra de substituic¸a˜o. Estes
fascinantes co´digos sa˜o objetos de estudo do campo da criptografia. Neste contexto, uma maneira
de codificar uma mensagem e´ atrave´s de multiplicac¸a˜o por matrizes. Vamos associar as letras do
alfabeto aos nu´meros, segundo a correspondeˆncia abaixo:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que a nossa mensagem seja “VIDA”. Podemos formar uma matriz 2× 2 assim[
V I
D A
]
,
que usando a correspondeˆncia nume´rica fica
M =
[
21 9
4 1
]
.
Agora seja C uma matriz 2× 2 invers´ıvel, por exemplo,
C =
[
1 −1
2 1
]
.
Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C (matriz chave para o co´digo), obtendo MC,[
21 9
4 1
] [
1 −1
2 1
]
=
[
39 −12
6 −3
]
.
Transmitimos esta nova matriz (na pra´tica, envia-se a cadeia de nu´meros 39, 12, 6,−3). Quem recebe
a mensagem decodifica-a atrave´s da multiplicac¸a˜o pela inversa (MC)C−1 = M e posterior transcric¸a˜o
36
dos nu´meros para letras.
Neste contexto, perceba que uma mensagem so´ podera´ ser decodificada se a matriz chave de
co´digo admitir inversa. Em geral, podemos afirmar que uma matriz admite inversa sempre que
det (C) 6= 0. Sendo assim, dadas as matrizes chave para os co´digos, verifique se as mensagens podem
ser decodificadas. Em caso afirmativo, use a chave para traduzir a mensagem.
(a) C =
[ −1 −2
3 6
]
, mensagem: −4,−8, 23, 46.
(b) C =
[
5 4
3 2
]
, mensagem: 38, 30, 137, 104.
A4. O peˆndulo e´ um dos problemas de mecaˆnica oscilato´ria que mais possui aplicac¸o˜es no estudo das
engenharias (ele´trica, mecaˆnica, materiais, etc). U´til por possuir um comportamento ana´logo a di-
versos sistemas, por exemplo, como: circuitos ele´tricos (RLC, RL, etc), pontes suspensas (oscilac¸o˜es
forc¸adas), propriedade de materiais (dilatac¸a˜o, calor espec´ıfico, etc), entre outros. Este problema
Figura 1.11: Peˆndulo.
consiste em descrever a dinaˆmica de um corpo de massa m preso a uma haste de comprimento L
que oscila em torno da posic¸a˜o de equ´ıbrio, veja figura. Considerando um modelo de peˆndulo onde
se leva em conta uma forc¸a resistiva (devido ao atrito com o ar) caracterizada por uma constante
γ e que oscile com uma frequeˆncia angular ω, com base nas Leis da Newton e a teoria de Sistemas
Lineares, somos levados a matriz
A =
[
0 1
−ω2 −γ
]
que esta˜o associada as varia´veis dinaˆmicas acelerac¸a˜o e velocidade angular.
(a) Mostre que o polinoˆmio caracter´ıstico associado a esta matriz, P (λ) = det(A− λI), e´ dado por
P (λ) = λ2 + γλ+ ω2.
(b) Mostre que os valores de λ que satisfazem a equac¸a˜o P (λ) = 0 sa˜o dados por
λ± =
−γ ±√γ2 − 4ω2
2
.
(c) Qual e´ a relac¸a˜o que deve existir entre as constantes γ e ω de modo que as soluc¸o˜es λ+ e λ−
sejam:
(i) reais distintas.
(ii) reais e iguais.
(iii) na˜o reais (complexas).
Obs.: Vale salientar que estas relac¸o˜es ditam o comportamento da dinaˆmica do peˆndulo simples
amortecido.
37
Enfoque na Computac¸a˜o - OPCIONAL
O avanc¸o significativo dos computadores combinado com a capacidade de transfereˆncia de dados
via internet, nas u´ltimas de´cadas, tem criado um vasto conjunto de ferramentas para nos auxiliar em
problemas de cieˆncia e engenharia. Um bem sucedido exemplo desta combinac¸a˜o e´ a ferramenta on-
line (gratuita)denominada de Mathics (veja www.mathics.net). Entre as possibilidades, o Mathics
nos permite desenvolver muitas das operac¸o˜es matema´ticas (nume´rica e alge´brica) exploradas neste
curso. Nesta sec¸a˜o, convidamos o leitor a se familiarizar com esta fanta´stica ferramenta.
Breve Tutorial para Determinantes no Mathics
Seja a matriz
A =
 a11 a12 · · · a1n... ... ... ...
an1 an2 · · · ann

introduzimos no Mathics o det (A) como
Det[{{a11, a12, · · · , a1n}, · · · , {an1, an2, · · · , ann}}].
Por exemplo, para calcular o determinante da matriz
A =
 2 −1 23 4 5
0 1 3

no Mathics no campo superior introduza Det[{{2,−1, 2}, {3, 4, 5}, {0, 1, 3}}] e pressione =, veja fi-
gura.
Figura 1.12: Print screen do ca´lculo do detA no Mathics.
Perceba que o retorno (resultado da operac¸a˜o) esta˜o em negrito.
Utilizando esta ferramenta, refac¸a os problemas: N1(b), N2(a), N3(c) e N4(d).
Breve Tutorial para Resolver Equac¸o˜es no Mathics
Seja a equac¸a˜o f(x) = g(x), encaminhamos a soluc¸a˜o da equac¸a˜o anterior no Mathics como
Solve[f(x) == g(x), x].
Por exemplo, para resolver a equac¸a˜o x2 + x − 1 = 0 no campo superior do Mathics introduza
Solve[xˆ2 + x− 1 == 0, x] e pressione =, veja a figura.
Perceba que o retorno (resultado da operac¸a˜o) esta´ em negrito.
A tabela abaixo indica as principais operac¸o˜es entre escalares (a e b)
38
Figura 1.13: Print screen do ca´culo das ra´ızes da equac¸a˜o x2 + x− 1 = 0 no Mathics.
Operador Exemplo
Soma + a+ b
Diferenic¸a˜o − a− b
Produto ∗ a ∗ b
Raza˜o / a/b
Poteˆncia ˆ aˆb
Combine este tutorial e o anterior para resolver, novamente, o problema N6(c).
39
1.2.4 Respostas
N1.
(a) −19 (b) 0 (c) −√2 (d) pi − e−2 ln (2)
N2.
(a) −64 (b) −15 (c) 2 log (3) (d) 0
N3.
(a) 0 (b) 109
6
(c) −6 (d) epi ln (7) sin (pi
4
)
N4.
(a)

−5 3 −1 7
3 1 8 −4
1 −1 2 9
4 2 1 −1
 (b) −1840 (c) 1840 (d) −3680
N5. (a) 5 (b) 320 (c) 25 (d) 5 (e) 1
5
N6.
(a) x2 − 11
2
x+ 4 (b) −x3 + 3x2 + 16x− 6 (c) x4 − 7x2 − 2x+ 8
N7.
(a) x ∈ Ø (b) x ∈ {0, 3
2
} (c) x ∈ {2}
N8.
(a)
[
1− x 1
1 −x
]
(b) x2 − x− 1 (c) x ∈ {1−
√
5
2
, 1+
√
5
2
}
P1. (F) P2. (V) P3. (V) P4. (F) P5. (V)
A1.
(a) 17
2
u.a.
A2.
(a) 64 (b) 411 = 12,412 = 6,413 = −16,421 = 4,422 = 2,423 = 16,431 = 12,432 =
−10,433 = 16
(c)
 316 116 3163
32
1
32
− 5
32−1
4
1
4
1
4

A3.
(a) Na˜o e´ poss´ıvel decodificar. (b) “GATO”
40
1.3 Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
1.3.1 Introduc¸a˜o
Nesta sec¸a˜o focaremos no problema que consiste na resoluc¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es lineares. A
aplicac¸a˜o da teoria das matrizes e determinantes estudadas ao longo das u´ltimas sec¸o˜es revelar-se-a´ de
fundamental importaˆncia para este estudo. Sistemas de equac¸o˜es lineares aparecem com frequeˆncia
em matema´tica (carcterizac¸a˜o de nu´cleo e imagem de transformac¸o˜es lineares), em f´ısica (ana´lise de
sistemas dinaˆmicos), engenharia ele´trica (circuitos ele´tricos), engenharia civil (teoria de elementos
finitos), etc...
Inicia-se esta exposic¸a˜o com algumas definic¸o˜es.
1.3.2 Definic¸o˜es e Generalidades
Definic¸a˜o 19 Uma equac¸a˜o linear em n varia´veis x1, x2, . . . , xn e´ uma equac¸a˜o da forma
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn = b, (1.11)
em que a1, a2, . . . , an sa˜o constantes reais denominadas coeficientes das inco´gnitas x1, x2, . . . , xn
e b e´ um nu´mero real chamado termo independente.
�
Exemplo 23
As equac¸o˜es
x+ 3y = 7, y =
1
2
x+ 3z + t+ 1, x1 − 2x2 − 3x3 + x4 =
√
3
sa˜o lineares. Observe que uma equac¸a˜o linear na˜o envolve quaisquer produtos ou ra´ızes de varia´veis.
Todas as varia´veis ocorrem na primeira poteˆncia (sa˜o monoˆmios de grau 1) e na˜o aparecem como
argumento de func¸o˜es trigonome´tricas, logar´ıtmicas ou exponenciais. As equac¸o˜es
x+ 3
√
y = 5, 3x+ 2y − z + xz = 4, y = sin (x),
sa˜o na˜o-lineares.
�
Definic¸a˜o 20 Um sistema de equac¸o˜es lineares (SEL) ou simplesmente sistema linear e´ um
conjunto de equac¸o˜es lineares, ou seja, e´ um conjunto de equac¸o˜es da forma
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
...
...
am1x1 + am2x2 + . . .+ amnxn = bm,
(1.12)
em que aij e bi sa˜o constantes reais, para i = 1, 2, . . . ,m e j = 1, 2, . . . , n. Uma soluc¸a˜o para este
sistema e´ uma n-upla de nu´meros reais ordenados (x1, x2, . . . , xn), que satisfac¸a simultaneamente as
m equac¸o˜es do sistema em (1.12).
�
41
Usando o produto de matrizes que definimos na sec¸a˜o (1.1), o sistema linear acima pode ser
escrito em notac¸a˜o matricial Ax = b,
Definic¸a˜o 21 A notac¸a˜o matricial associada ao sistema de equac¸o˜es lineares (1.12) e´ a equac¸a˜o
matricial
Ax = b ⇔

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn


x1
x2
...
xn
 =

b1
b2
...
bm
 (1.13)
A matriz A = [aij]m×n e´ chamda matriz dos coeficientes, x = [xi]n×1 e´ a matriz das
inco´gnitas enquanto que b = [bj]m×1 e a matriz dos termos independentes.
�
Observac¸a˜o 8
Se b = 0m×1, isto e´, se b1 = b2 = . . . = bm = 0, o SEL diz-se homogeˆneo. Quando o SEL e´
homogeˆneo a n-upla (0, 0, . . . , 0) e´ sempre uma soluc¸a˜o admiss´ıvel, chamada soluc¸a˜o trivial. Quando
existem, as demais soluc¸o˜es sa˜o chamadas na˜o-triviais.
�
Definic¸a˜o 22
A matriz [A|b] obtida acrescentando-se a` matriz A uma coluna final com os elementos de b, e´
chamada de matriz ampliada do sistema linear. Explicitamente,
a11 a12 · · · a1n ... b1
a21 a22 · · · a2n ... b2
...
...
. . .
...
...
am1 am2 · · · amn ... bm
 (1.14)
�
Vamos ilustrar os conceitos gerais apresentados acima, sobre sistemas de equac¸o˜es lineares, no
exemplo abaixo.
Exemplo 24
A figura (1.14) mostra uma placa no formato de um disco circular que tem sua metade superior
submetida a um potencial ele´trico constante de −10V , enquanto que sua metade inferior esta sob um
potencial ele´trico de +10V . Com o passar do tempo, o potencial ele´trico em cada ponto do interior
da placa alcanc¸ara´ um equil´ıbrio eletrosta´tico.
A soluc¸a˜o “completa” (para todos os pontos internos da placa) requer te´cnicas de ca´lculo dife-
rencial e integral. Como alternativa, podemos aproximar a situac¸a˜o sobrepondo a` placa uma malha
com um nu´mero finito de pontos de intersec¸a˜o (neste caso 4 - me´todo dos elementos finitos), como
mostra a figura (1.14).
Neste caso, o i-e´simo potencial ele´trico interno vi = me´dia aritme´tica dos potenciais ele´tricos
adjacentes.
Posto isto, responda.
42
Figura 1.14: Placa no formato de um disco circular.
(a) Baseado na exposic¸a˜o dos para´grafos acima, obtenha um sistema de equac¸o˜es lineares (na
forma padra˜o) nas varia´veis v1, v2, v3 e v4.
(b) Apresente o SEL do item (a) em notac¸a˜o matricial.
(c) Indique a matriz ampliada associada.
Soluc¸a˜o: (a) Pela que foi exposta acima e, baseando-nos na figura (1.14), temos que
v1 = (−10− 10 + v3 + v2)/4
v2 = (−10 + v1 + v4 − 10)/4
v3 = (v1 + 10 + 10 + v4)/4
v4 = (v2 + v3 + 10 + 10)/4
Assim, reorganizando o sistema de equac¸o˜es lineares acima de modo que o mesmo possa ser
colocado no formato pardra˜o (1.12), temos
4v1 − v2 − v3 + 0v4 = −20
−v1 + 4v2 + 0v3 − v4 = −20
−v1 + 0v2 + 4v3 − v4 = 20
0v1 − v2 − v3 + 4v4 = 20,
como quer´ıamos.
(b) A notac¸a˜o matricial Ax = b (1.13) e´ imediata, resultando em
4 −1 −1 0
−1 4 0 −1
−1 0 4 −1
0 −1 −1 4


v1
v2
v3
v4
 =

−20
−20
20
20

(c) Por fim, a matriz ampliada (1.14) vem a ser dada por
4 −1 −1 0 ... −20
−1 4 0 −1 ... −20
−1 0 4 −1 ... 20
0 −1 −1 4 ... 20

�
43
Classificac¸a˜o dos Sistemas Lineares
Os sistemas lineares sa˜o classificados,quanto ao nu´mero de soluc¸o˜es ou consisteˆncia de suas soluc¸o˜es,
da seguinte forma:
Figura 1.15: Fluxograma de consisteˆncia das soluc¸o˜es de um SEL.
Observac¸a˜o 9
As nomenclaturas apresentadas no fluxograma (1.15) recebem as seguintes siglas: Sistema Poss´ıvel
e Determinado (SPD), Sistema Poss´ıvel e Indeterminado (SPI) e Sistema Imposs´ıvel (SI).
�
Crite´rios pra´ticos para este tipo de classificac¸a˜o de sistemas de equac¸o˜es lineares e interpretac¸o˜es
geome´tricas sera˜o dadas na pro´xima sec¸a˜o, onde vamos apresentar algumas te´cnicas de soluc¸o˜es para
tais sistemas.
1.3.3 Me´todo da Eliminac¸a˜o de Gauss (MEG) - Escalonamento
Nosso objetivo e´ desenvolver um procedimento sistema´tico para resolver sistemas de equac¸o˜es linea-
res. Tal procedimento e´ baseado na ideia de reduzir a matriz ampliada de um sistema a uma outra
matriz ampliada que seja suficientemente simples a ponto de permitir visualizar a soluc¸a˜o.
Motivac¸a˜o: Considere o sistema de equac¸o˜es lineares nas varia´veis x, y e z
2x+ y − z = 1
y + z = 1
2z = 4,
Note que na˜o e´ necessa´rio o conhecimento de te´cnicas de soluc¸a˜o de SEL para sistemas desta
natureza pois, como vemos, a u´ltima equac¸a˜o fornece imediatamente que z = 2, substituindo este
valor de z na segunda equac¸a˜o temos y+2 = 1⇒ y = −1, agora com estes valores de y e z na primeira
equac¸a˜o temos 2x + (−1) − 2 = 1 ⇒ x = 2. Assim, este tipo de SEL pode ser resolvido por um
processo de substituic¸a˜o ascendente (retro-soluc¸a˜o) e, neste caso, a soluc¸a˜o fica x = 2, y = −1, z = 2.
Logo, como existe a soluc¸a˜o e e´ u´nica, segue que o SEL e´ SPD.
Observe que a matriz ampliada deste SEL e´ 2 1 −1
... 1
0 1 1
... 1
0 0 2
... 4
 ,
e a mesma esta´ no formato que chamamos de escalonada ou no formato escada conforme a
definic¸a˜o abaixo. Assim, se for poss´ıvel desenvolver uma sequeˆncia de passos que transforme uma
matriz ampliada qualquer em outra que tenha o formato deste exemplo, enta˜o a soluc¸a˜o do SEL
revelar-se-a´.
44
Definic¸a˜o 23 Uma matriz A = [aij]m×n esta´ na forma escalonada quando satisfaz as seguintes
condic¸o˜es:
• Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) ocorrem abaixo das linhas na˜o nulas;
• O pivoˆ (1o elemento na˜o nulo de uma linha) de cada linha na˜o nula ocorre a` direita do pivoˆ
da linha anterior.
�
Exemplo 25
As matrizes  1 1 10 −1 2
0 0 5
 ,
 1 3 −1 50 0 −5 15
0 0 0 0
 ,
sa˜o escalonadas (ou esta˜o no formato escada), enquanto que as matriz 0 0 00 1 0
0 0 1
 ,
 2 0 1 00 0 0 2
0 1 0 3
 ,
na˜o esta˜o em tal formato.
�
Algoritmo MEG:
Objetivo: Transformar a matriz ampliada do SEL em uma outra que seja escalonada e equiva-
lente a` matriz ampliada original.
Como Fazer? Aplicando operac¸o˜es elementares (definic¸a˜o (24)) sobre as linhas da matriz am-
pliada.
Definic¸a˜o 24 Operac¸o˜es elementares sobre as linhas de matrizes.
1. Multiplicac¸a˜o da linha Li por um nu´mero real α 6= 0 (indica-se escrevendo αLi);
2. Troca da ordem da linha Li com a linha Lj (indica-se escrevendo Li ↔ Lj);
3. Substituic¸a˜o de uma linha Li por Li+βLj, para qualquer β ∈ R (indica-se escrevendo Li+βLj).
�
Algoritmo
1. Escrever a matriz aumentada do SEL;
2. Localizar a coluna mais a` esquerda que na˜o tenha todas as entradas nulas;
3. Se necessa´rio, trocar linhas de forma a que a entrada da primeira linha correspondente a` coluna
mencionada na al´ınea anterior seja diferente de zero;
4. Somar mu´ltiplos apropriados da primeira linha a`s restantes linhas de forma a que todas as
entradas debaixo da entrada na˜o nula se anulem;
5. Fixar a primeira linha e repetir o procedimento para a submatriz que resta;
6. O MEG termina quando a matriz estiver escalonada;
7. A soluc¸a˜o (caso exista) e´ encontrada via substituic¸a˜o ascendente confome ilustrada no exemplo
da motivac¸a˜o.
45
Exemplo 26
Resolva cada um dos sistemas de equac¸o˜es lineares de duas equac¸o˜es e duas inco´gnitas via MEG
e interprete geometricamente a natureza de suas soluc¸o˜es.
(a)
{
2x+ y = 4
−x+ 2y = 3, , (b)
{
2x+ y = 4
8x+ 4y = 12,
, (c)
{
2x+ y = 4
8x+ 4y = 16
Soluc¸a˜o: Iniciamos pelo sistema (a). Veja que a notac¸a˜o matricial (Ax = b) e matriz ampliada
associadas ao mesmo sa˜o, respectivamente,[
2 1
−1 2
] [
x
y
]
=
[
4
3
]
,
[
2 1
... 4
−1 2 ... 3
]
Vamos procurar como pivoˆ da 1a linha um elemento na˜o nulo da primeira coluna na˜o nula (se
for o caso, podemos usar a troca de linhas para “trazeˆ-lo” para a primeira linha). Como o primeiro
elemento da primeira coluna e´ igual a 2 ele sera´ o primeiro pivoˆ. Agora, precisamos “zerar” o outro
elemento da 1a coluna, que e´ a coluna do pivoˆ, para isto, substitu´ımos a 2a linha pela adic¸a˜o da 1a
com 2 vezes a 2a, assim [
2 1
... 4
−1 2 ... 3
]
(L1)
(L1 + 2L2)
∼
[
2 1
... 4
0 5
... 10
]
,
que esta´ escalonada (definic¸a˜o (23)). Logo, o sistema equivalente e´{
2x+ y = 4
5y = 10
que, da segunda equac¸a˜o sai y = 2 e substituindo na primeira 2x+ 2 = 4 : . x = 1. Assim, a soluc¸a˜o
geral do SEL e´
x =
[
x
y
]
=
[
1
2
]
Como a soluc¸a˜o e´ u´nica segue que o SEL e´ SPD.
Analogamente para o sistema (b) vem que a notac¸a˜o matricial (Ax = b) e matriz ampliada
associadas ao mesmo sa˜o, respectivamente,[
2 1
8 4
] [
x
y
]
=
[
4
12
]
,
[
2 1
... 4
8 4
... 12
]
Novamente o primeiro elemento na˜o nulo da primeira coluna na˜o nula e´ igual a 2 que sera´ o
primeiro pivoˆ. Agora, precisamos “zerar” o outro elemento da 1a coluna, que e´ a coluna do pivoˆ,
para isto, substitu´ımos a 2a linha pela adic¸a˜o de (−4) vezes a 1a com a 2a, assim[
2 1
... 4
8 4
... 12
]
(L1)
((−4)L1 + L2) ∼
[
2 1
... 4
0 0
... −4
]
,
que esta´ escalonada (definic¸a˜o (23)). Logo, o sistema equivalente e´{
2x+ y = 4
0y = −4
Como este sistema equivalente na˜o possui soluc¸a˜o (pois na˜o existe y ∈ R tal que 0y = −4) segue
que o SEL e´ SI.
46
Por fim, o sistema (c) tem a notac¸a˜o matricial (Ax = b) e matriz ampliada associadas dadas,
respectivamente, por [
2 1
8 4
] [
x
y
]
=
[
4
16
]
,
[
2 1
... 4
8 4
... 16
]
Exatamente como nos casos anteriores o primeiro elemento na˜o nulo da primeira coluna na˜o nula
e´ igual a 2 que sera´ o primeiro pivoˆ. Agora, precisamos “zerar” o outro elemento da 1a coluna, que
e´ a coluna do pivoˆ, para isto, substitu´ımos a 2a linha pela adic¸a˜o de (−4) vezes a 1a com a 2a, assim[
2 1
... 4
8 4
... 16
]
(L1)
((−4)L1 + L2) ∼
[
2 1
... 4
0 0
... 0
]
,
que esta´ escalonada (definic¸a˜o (23)). Logo, o sistema equivalente e´{
2x+ y = 4
0y = 0
e assim a segunda equac¸a˜o e´ va´lida para ∀x, y ∈ R de modo que o SEL e´ SPI (possui infinitas
soluc¸o˜es).
Afim de expressar tais soluc¸o˜es podemos, por exemplo, isolar y da primeira equac¸a˜o y = 4− 2x.
Logo, a soluc¸a˜o geral deste SEL pode ser escrita como
x =
[
x
y
]
=
[
x
4− 2x
]
, x ∈ R,
neste contexto x e´ chamado de varia´vel livre ou graus de liberdade.
Interpretac¸a˜o Geome´trica:
Notem que, cada equac¸a˜o dos sistemas (a), (b) e (c) representa uma reta no Plano Cartesiano
xy. Para cada ponto destas retas, temos associado um par (x, y) que satisfaz a primeira ou a
segunda equac¸a˜o, ou seja, e´ soluc¸a˜o de uma ou outra. Logo, o conjunto soluc¸a˜o do SISTEMA em
cada caso dar-se-a´, enta˜o, quando confrontarmos estas soluc¸o˜es com as soluc¸o˜es da equac¸a˜o. Isto e´,
correspondera´ ao conjunto intersec¸a˜o de soluc¸o˜es das duas retas (equac¸o˜es).
Conforme vemos na figura (1.16) as retas possuem apenas um ponto de intersec¸a˜o (comum a
ambas), de modo que o sistema tem soluc¸a˜o u´nica ((x, y) = (1, 2)) e assim e´ SPD. Ja´ na figura (1.17)na˜o existem pontos de intersec¸a˜o e, deste modo, o sistema na˜o possui soluc¸a˜o ou seja e´ SI. Final-
mente, na figura (1.18) temos que as retas esta˜o uma sobreposta a outra e assim possuem infinitos
pontos de intersec¸a˜o, logo o sistema e´ SPI.
Resumindo, para sistemas de equac¸o˜es lineares de duas inco´gnitas com duas equac¸o˜es, tem-se a
seguinte tabela que sumariza as concluso˜es obtidas destes exemplos.
Retas Classificac¸a˜o do Sistema
Concorrentes Poss´ıvel e Determinado
Coincidentes Poss´ıvel e Indeterminado
Paralelas Imposs´ıvel
�
47
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
9
9
10
11
12
13
y
Figura 1.16: Retas do sistema (a).
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
9
9
10
11
12
13
y
Figura 1.17: Retas do sistema (b).
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
x
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
9
9
10
11
12
13
y
Figura 1.18: Retas do sistema (c).
Exemplo 27
Dado o sistema de equac¸o˜es lineares abaixo,
x1 + x2 − 2x3 = 0
2x1 + 2x2 − 3x3 = 2
3x1 − x2 + 2x3 = 12
(a) Coloque-o em notac¸a˜o matricial (Ax = b) e apresente a matriz ampliada associada.
(b) Aplique o me´todo da eliminac¸a˜o de Gauss (ou escalonamento) para obter (caso exista) a
soluc¸a˜o geral deste SEL.
Soluc¸a˜o: (a) A notac¸a˜o matricial e matriz ampliada associadas ao SEL sa˜o, respectivamente, 1 1 −22 2 −3
3 −1 2
 x1x2
x3
 =
 02
12
 ,
 1 1 −2
... 0
2 2 −3 ... 2
3 −1 2 ... 12
 .
(b) No desenvolvimento abaixo, as operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada
esta˜o indicadas ao lado da mesma, sendo assim 1 1 −2
... 0
2 2 −3 ... 2
3 −1 2 ... 12
 (L1)(−2L1 + L2)
(−3L1 + L3)
∼
 1 1 −2
... 0
0 0 1
... 2
0 −4 8 ... 12
 (L2 ↔ 14L3) ∼
48
 1 1 −2
... 0
0 −1 2 ... 3
0 0 1
... 2
 ,
que esta´ escalonada. Logo, o sistema equivalente e´
x1 + x2 − 2x3 = 0
−x2 + 2x3 = 3
x3 = 2
Assim, x3 = 2 substituindo na segunda equac¸a˜o −x2 + 2.2 = 3 : . x2 = 1 e com estes valores na
primeira equac¸a˜o x1 + 1− 2.2 = 0 : . x1 = 3. Portanto, a soluc¸a˜o geral do SEL e´
x =
 x1x2
x3
 =
 31
2

Como a soluc¸a˜o e´ u´nica, segue que o SEL e´ SPD.
�
Exemplo 28
Dado o sistema de equac¸o˜es lineares abaixo,
x+ 3y + 13z = 9
y + 5z = 2
−2y − 10z = −8
(a) Coloque-o em notac¸a˜o matricial (Ax = b) e apresente a matriz ampliada associada.
(b) Aplique o me´todo da eliminac¸a˜o de Gauss (ou escalonamento) para obter (caso exista) a
soluc¸a˜o geral deste SEL.
Soluc¸a˜o: (a) A notac¸a˜o matricial e matriz ampliada associadas ao SEL sa˜o, respectivamente,
 1 3 130 1 5
0 −2 −10
 xy
z
 =
 92
−8
 ,
 1 3 13
... 9
0 1 5
... 2
0 −2 −10 ... −8
 .
(b) Como o pivoˆ da 1a linha e´ igual a 1 e os outros elementos da 1a coluna sa˜o iguais a zero, na˜o
ha´ nada o que fazer na 1a eliminac¸a˜o. As demais operac¸o˜es elementares esta˜o indicadas ao lado da
matriz ampliada, sendo assim 1 3 13
... 9
0 1 5
... 2
0 −2 −10 ... −8
 (L1)(L2)
(2L2 + L3)
∼
 1 3 13
... 9
0 1 5
... 2
0 0 0
... −4

que esta´ escalonada. Logo, o sistema equivalente e´
x+ 3y + 13z = 9
y + 5z = 2
0z = −4
que na˜o possui soluc¸a˜o pois na˜o existem x, y, z ∈ R tais que 0z = −4. Sendo assim, o SEL e´ SI.
�
49
Exemplo 29
Dado o sistema de equac¸o˜es lineares abaixo,
3z − 9w = 6
5x+ 15y − 10z + 40w = −45
x+ 3y − z + 5w = −7
(a) Coloque-o em notac¸a˜o matricial (Ax = b) e apresente a matriz ampliada associada.
(b) Aplique o me´todo da eliminac¸a˜o de Gauss (ou escalonamento) para obter (caso exista) a
soluc¸a˜o geral deste SEL.
Soluc¸a˜o: (a) A notac¸a˜o matricial e matriz ampliada associadas ao SEL sa˜o, respectivamente,
 0 0 3 −95 15 −10 40
1 3 −1 5


x
y
z
w
 =
 6−45
−7
 ,
 0 0 3 −9
... 6
5 15 −10 40 ... −45
1 3 −1 5 ... −7
 .
(b) No desenvolvimento abaixo, as operac¸o˜es elementares sobre as linhas da matriz ampliada
esta˜o indicadas ao lado da mesma, sendo assim 0 0 3 −9
... 6
5 15 −10 40 ... −45
1 3 −1 5 ... −7
 (L1 ↔ L3) ∼
 1 3 −1 5
... −7
5 15 −10 40 ... −45
0 0 3 −9 ... 6
 (L1)(−5L1 + L2)
(L3)
∼
 1 3 −1 5
... −7
0 0 −5 15 ... −10
0 0 3 −9 ... 6
 (L1)(L2)
(3L2 + 5L3)
∼
 1 3 −1 5
... −7
0 0 −5 15 ... −10
0 0 0 0
... 0

que esta´ escalonada. Logo, o sistema equivalente e´
x+ 3y − z + 5w = −7
−5z + 15w = −10
0w = 0
A matriz ampliada deste sistema possui duas colunas sem pivoˆs. As varia´veis que na˜o esta˜o
associadas a pivoˆs podem ser consideradas varia´veis livres, isto e´, podem assumir valores arbitra´rios.
Como, quaisquer que sejam x, y, z, w ∈ R e´ verdade que 0w = 0, segue que o SEL e´ SPI.
Afim de expressar as infinitas soluc¸o˜es deste SEL, vamos utilizar a segunda equac¸a˜o para escrever
z = 2 + 3w, substituindo este resultado na primeira equac¸a˜o temos x+ 3y − (2 + 3w) + 5w = −7 : .
x = −5− 3y − 2w para y, w ∈ R. Em notac¸a˜o matricial,
x =

x
y
z
w
 =

−5− 3y − 2w
y
2 + 3w
w
 =

−5
0
2
0
+ y

−3
1
0
0
+ w

−2
0
3
1
 ,
para y, w ∈ R, que sa˜o as varia´veis livres da soluc¸a˜o .
�
50
Observac¸a˜o 10
Em geral, a matriz ampliada na sua forma escalonada e´ suficiente para inferir a respeito da
natureza da soluc¸a˜o do sistema. Para sistemas que tem natureza de soluc¸a˜o SPD, a u´ltima linha da
matriz ampliada escalonada e´ da forma [0 0 0 a | b] com a 6= 0 e b ∈ R. Quando e´ SPI, temos na
u´ltima linha (e antecedentes se for o caso) [0 0 0 0 | 0]. Quando o SEL for SI temos a u´ltima linha
na˜o nula [0 0 0 0 | a] com a 6= 0. Verifique estas observac¸o˜es nos exemplos anteriores.
�
Para encerrarmos esta parte do texto, vamos revisitar o exemplo (24).
Exemplo 30
(a) Aplique o MEG sobre o SEL do exemplo (24) para inferior a respeito da natureza. Caso o
mesmo seja poss´ıvel, expresse sua soluc¸a˜o.
(b) Os valores dos potenciais ele´tricos encontrados no item (a) esta˜o de acordo com os valores
apresentados na figura (1.14)? Justifique.
Soluc¸a˜o: (a) Utilizando a matriz ampliada do exemplo (24) e aplicando o MEG,
4 −1 −1 0 ... −20
−1 4 0 −1 ... −20
−1 0 4 −1 ... 20
0 −1 −1 4 ... 20

(L1)
(L1 + 4L2)
(L1 + 4L3)
(L4)
∼

4 −1 −1 0 ... −20
0 15 −1 −4 ... −100
0 −1 15 −4 ... 60
0 −1 −1 4 ... 20

(L1)
(L2)
(L2 + 15L3)
(L2 + 15L4)
∼

4 −1 −1 0 ... −20
0 15 −1 −4 ... −100
0 0 224 −64 ... 800
0 0 −16 56 ... 200

(L1)
(L2)
(L3)
(16L3 + 224L4)
∼

4 −1 −1 0 ... −20
0 15 −1 −4 ... −100
0 0 224 −64 ... 800
0 0 0 11520
... 57600

que esta´ na forma escalonada. Pela observac¸a˜o (10) o SEL e´ SPD pois temos na u´ltima linha
[0 0 0 11520
... 57600]. O sistema de equac¸o˜es equivalente assume a forma
4v1 − v2 − v3 = −20
15v2 − v3 − 4v4 = −100
224v3 − 64v4 = 800
11570v4 = 57600
Da u´ltima equac¸a˜o temos v4 = 5, substituindo este valor na terceira equac¸a˜o 224v3−64.5 = 800 : .
v3 = 5, com estes dois valores na segunda equac¸a˜o 15v2 − 5 − 4.5 = −100 : . v2 = −5, por fim com
estes treˆs valores na primeira equac¸a˜o 4v1 − (−5)− 5 = −20 : . v1 = −5. Em notac¸a˜o matricial
x =

v1
v2
v3
v4
 =

−5
−5
5
5

(b) Estes valores de potenciais ele´tricos encontrados no item (a) sa˜o razoa´veis com a configurac¸a˜o
apresentada na figura (1.14) pois todos valores encontrados sa˜o maiores do que −10V e menores
do que +10V . Ale´m disso, note que os potenciais ele´tricos v1 e v2 sa˜o negativos o que e´ coerente
com o fato de estarem posicionados pro´ximos ao lado