Lista - Exercícios Resolvido (Eletromagnetismo)

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
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��������
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���
ELETRIZAÇÃO E FORÇA ELÉTRICA 
 
1. Um corpo eletrizado positivamente apresenta a quantidade de carga de 480 Cµ . Calcule o 
número de elétrons perdidos pelo corpo, inicialmente neutro. DADO: 191,6 10e −= ⋅ C. 
 
Resolução 
6
6 19 15
480 480 10
480 10 1,6 10 3 10
Q C C Q n e
n n elétrons
µ −
− −
= = ⋅ = ⋅
⋅ = ⋅ � = ⋅
 
 
2. Duas esferas idênticas de tamanhos desprezíveis, com cargas 3Q e Q, encontram-se no vácuo, 
separadas de uma distância d. Sobre cada uma delas age uma força F
�
, de interação 
eletrostática. Colocam-se as duas esferas em contato até que atinjam o equilíbrio eletrostático. 
Calcule a intensidade da força F
�
que age sobre as duas esferas quando separadas de uma 
distância d, em relação a intensidade de F
�
. 
 
Resolução: 
* Antes do contato: 
 
 
2
2 2
3 3Q Q QF k F k
d d
⋅
= � = 
 
* Após o contato: 
 
 
2
' '
2 2
2 2 4Q Q QF k F k
d d
⋅
= � = 
 
De 1 e 2 tem-se 
2
' '2
'
2
4
4 4
3 3 3
QkF F Fd FQF Fk
d
⋅
⋅
= � = � =
⋅
 
 
1 
d 
F
�
F
�3Q Q
d 
'F
�
'F
�2Q 2Q
2 
���
3. Considere dois pontos materiais A e B no vácuo, afastados de qualquer outro corpo. O ponto A 
é fixo e possui carga elétrica positiva Q+ . O ponto B executa movimento circular e uniforme 
com centro A e raio r, ele tem massa m e carga elétrica negativa –q. Desprezando-se as ações 
gravitacionais, determine a velocidade de B. É dada a constante eletrostática K. 
 
Resolução 
Como o movimento é circular e uniforme, a força elétrica está voltada para o centro, decorrendo 
que ela é uma força centrípeta: 
 
Força elétrica = Força centrípeta 
 
2
0 2
2
0 02
elet cp cp
Q q VF k F m Q m
r r
Q q m V Q qk V k
r r m r
⋅
= ⋅ � = ⋅ = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ = � = ⋅
⋅
 
 
 
4. Nos vértices de um triângulo eqüilátero de 3m de lado, estão colocadas as cargas 
7
1 2 4 10q q C
−
= = ⋅ e 73 1,0 10q C
−
= ⋅ . Calcule a intensidade da força resultante que atua em 3q . 
O meio é o vácuo. 
 
Resolução 
7
1 2
7
3
9 2 2
0
4,0 10
1,0 10
9 10 /
q q C
q C
k N m C
−
−
= = ⋅
= ⋅
= ⋅ ⋅
 
 
7 7
9
13 23 2
4 10 1 109 10
3
F F
− −
⋅ ⋅ ⋅
= = ⋅ 
5
13 23 4 10F F N
−
= = ⋅ 
2 2 2
13 23 13 232 cos 60F F F F F= + + ⋅ ⋅ ° 
54 3 10F N−= ⋅ 
 
 
 
 
23F
�
13F
�
3q
60º
3m 3m
3m
1q 2q
23F
�
13F
�
F
�
3q
60º
A 
+Q 
B 
-q 
r 
v
�
eletF
�
���
CAMPO ELÉTRICO 
 
1. Duas cargas puntiformes são fixadas nos pontos A e B distantes de um metro. Sendo a carga em 
A, 610AQ C−= e a carga em B, 64 10BQ C−= ⋅ , determine um ponto P, onde o vetor campo 
elétrico resultante seja nulo. 
Resolução 
 
 
2 2
6 6
2 2
2 2
(1 )
10 4.10 (1 ) 4(1 )
A B
A B
E E
Q Q
k k
X X
X X
X X
− −
=
=
−
= � − =
−
 
2 13 2 1 0
3
X X X m+ − = = (em relação ao ponto A sobre o segmento AB ), 
 
OBS: 1X m= − não convém, pois significa que o ponto P estaria à esquerda de A, onde AE
�
 e 
BE
�
 teriam mesma direção e sentidos iguais, não resultando um campo elétrico nulo. 
 
2. A figura mostra duas partículas carregadas de intensidade q mas de sinais contrários, separadas 
de uma distância d. Supondo-se que Z d� , mostre que o campo elétrico deste dipolo elétrico, 
em um ponto P , uma distância Z do ponto médio do dipolo e sobre o eixo que passa pelo centro 
das partículas é dado pela expressão 3
0
1 1
2
F
Zpiε
= . 
 
Resolução 
A intensidade E do campo elétrico em P é 
( ) ( ) 2 2
0 ( ) 0 ( )
2 2
0 0
1 1
4 4
1 14 4
2 2
q qE E E E
r r
q qE
z d z d
piε piε
piε piε
+ −
+ −
= − � = −
= −
� � � �
− +� � � �
� � � �
 
2 2
2
0
1 1
4 2 2
q d dE
Z z zpiε
− −� 	� � � �
= − − +
 �� � � �
� � � �
 �� 
 
 
1m 
P 
BE
�
AE
�
X 1-X 
AQ BQ
A B
1 
2 
���
A grandes distâncias como esta, temos 1
2
d
z
� 
 
Na equação 2 podemos então expandir as duas grandezas entre parênteses dessa equação pelo 
teorema binomial: 
21(1 ) 1
2!
n ny ny n y−� �+ = + + + − − − − −� �
� �
 
Obtendo-se para essas grandezas: 
2 21 1
2 (1!) 2 (1!)
d d
z z
� 	� � � �
+ + − − − − − − + − − − −
 �� � � �
� � � �� 
 
Logo, 2
0
1 1
4
q d dE
z z zpiε
� 	� � � �
= + + − − − − + + − − −� � � �
 �
� � � �� 
 
 
Os termos omitidos nas duas expressões da equação anterior envolvem d/z elevado a potências 
progressivamente mais altas. Como / 1d z� , as contribuições desses termos são progressivamente 
menores e para aproximamos E a grandes distâncias, podemos desprezá-los. Assim, em nossa 
aproximação podemos prescrever a equação anterior, como 
2 3
0 0
2 1
4 2
q d qdE
z z zpiε piε
= = 
O produto qd é a intensidade ρ de uma grandeza vetorial conhecida como o momento de dipolo 
elétrico ρ� do dipolo. 
Logo: 3
0
1
2
E
z
ρ
piε
= 
OBS: Adotamos como sentido de ρ� o da extremidade negativa para a extremidade positiva do 
dipolo. 
 
3. A figura seguinte mostra um anel fino de raio R com uma densidade linear 
de carga positiva uniforme λ ao redor da sua circunferência. Podemos 
imaginar o anel feito de plástico ou de algum material isolante, de modo 
que as cargas possam ser consideradas fixas. Qual o campo elétrico E� no 
ponto P, a uma distância Z do plano do anel ao longo do seu eixo central? 
 
 
 
� �
Resolução 
Seja ds o comprimento (de arco) de qualquer elemento diferencial do anel. Como λ é a carga por 
unidade de comprimento, o elemento possui uma intensidade de carga 
dq dsλ= ⋅ 
Esta carga diferencial cria um campo elétrico diferencial dE
�
no ponto P, que está a uma distância r 
do elemento. Tratando o elemento como um carga pontual, podemos expressar a intensidade de dE
�
 
como 
2 2
0 0
1 1
4 4
dq dsdE
r r
λ
piε piε
= = 
Da figura, podemos reescrever a equação anterior como 
( )2 20
1
4
dsdE
Z R
λ
piε
=
+
 
A figura nos mostra que dE
�
forma um ângulo com o eixo central (que tomamos como sendo o eixo 
Z) e possui componentes perpendiculares e paralelos a esse eixo. 
 
As componentes perpendiculares se cancelam e não precisamos mais considerá-las. Restam apenas 
as componentes paralelas. Todas elas possuem a mesma direção e sentido, portanto o campo 
elétrico resultante em P é a soma delas. 
 
A componente paralela de dE
�
mostrada na figura, possui intensidade cosdE θ . A figura também 
nos mostra que 
( )1/22 2
2
cos
Z
r Z R
θ = =
+
 
Logo: 
( )
( )
3/22 2
0
2
3/22 2
00
cos
4
cos
4
R
ZdE ds
Z R
ZE dE ds
Z R
pi
λθ
piε
λθ
piε
=
+
= =
+
� �
 
( )3/22 20
(2 )
4
Z RE
Z R
λ pi
piε
=
+
 
 
Como λ é a carga por comprimento do anel, o termo (2 )Rλ pi é a carga total q do anel. 
Então ( )3/22 204
qZE
Z Rpiε
=
+
 (Anel Carregado) 
�!�
4. A figura seguinte mostra um disco circular de plástico com raio R que possui uma carga 
superficial positiva de densidade uniforme σ na sua superfície superior. Qual o campo elétrico 
no ponto P, a uma distância Z do disco ao longo do seu eixo central? 
 
Resolução 
O disco será dividido em anéis planos concêntricos e depois calcular o 
campo elétrico no ponto P somando (ou seja, integrando) as contribuições de 
todos os anéis. A figura mostra um destes anéis, com raio r e espessura radial 
dr. Como σ é a carga por unidade de área, a carga sobre o anelé 
(2 ),dq dA rdrσ σ pi= = 
 
Onde dA é a área diferencial do anel. 
A expressão para o campo elétrico dE em P devido ao nosso anel plano será: 
( )3/22 20
2
4
Z rdrdE
Z r
σ pi
piε
=
+
 
Logo: ( )3/22 20
2
4
Z drdE
Z r
σ pi
ε
=
+
 
 
Integrando na variável r de 0r = até r R= . Observe que Z permanece constante durante este 
processo, assim 
( )
3/2
2 2
0 0
(2 )
4
RZE dE Z r r drσ
ε
−
= = +� � 
Para resolvermos esta integral, podemos reescrevê-la na forma 
mX dX� , fazendo 
2 2 3( );
2
X Z r m= + = − 
e (2 )dX r dr= . Para a integral reescrita temos 
1
1
m
m XX dX
m
+
=
+�
 
Então, 
2 2 1/2
0
0
( )
14
2
R
Z Z rE σ
ε
−
� 	
 �+
= 
 �
 �
−
� 
 
Substituindo os limites desta equação e reordenando, obtemos 
2 2
0
1
2
ZE
Z R
σ
ε
� �
= −� �
+� �
 (disco carregado) 
�"�
OBS: Se fizermos R → ∞ mantendo Z finito, o segundo termo entre parênteses da equação 
anterior tende a zero e esta equação se reduz a 
02
E σ
ε
= 
Este é o campo elétrico produzido por uma placa infinita com carga uniformemente distribuída 
sobre um dos lados de um isolante. 
 
 
FLUXO DE UM CAMPO ELÉTRICO – A LEI DE GAUSS 
 
1. Um campo elétrico não-uniforme dado por ˆ ˆ3,0 4,0E xi j= +� atravessa o cubo gaussiano 
mostrado na figura seguinte. (E é dado em Newtons por Coulomb e x em metros.) Qual o fluxo 
elétrico através da face direita, da face esquerda e da face superior? 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
FACE DIREITA: um vetor área A
�
 é sempre perpendicular à sua superfície e sempre aponta para 
fora da superfície gaussiano. Assim, o vetor dA
�
 para a face direita do cubo deve apontar no sentido 
positivo de x. Então, em notação com o vetor unitário, 
ˆdA dAi=
�
. 
Então 
2
2 2
ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( )
ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 )( ) (4,0)( ) )
(3,0 0) 3,0 3,0 (3,0)
9,0 1 9,0 4,0
9,0(4,0) 36 /
d
d
d d
E dA xi j dAi
x dA i i dA j i
xdA xdA dA
A A A m
m N m C
Φ = ⋅ = + ⋅
� 	= ⋅ + ⋅� 
= + = =
= Φ = = =
= Φ == Φ == ⋅
� �
�
� � �
�
��
 
 
FACE ESQUERDA: O vetor de área diferencial dA
�
 aponta no sentido negativo do eixo x, portanto 
ˆdA dAi= −
�
. Na face esquerda, 1,0x m= . Usando o mesmo procedimento da face direita, teremos 
212 /e N m CΦ = − ⋅ 
�#�
FACE SUPERIOR: O vetor de área diferencial dA
�
 aponta no sentido positivo do eixo y, logo 
ˆdA dAj=
�
. O fluxo Φ através da superfície superior é então 
 
2 2
2 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ(3,0 4,0 ) ( ) (3 )(1 ) (4,0)( )
(0 4,0 ) 4,0 4
4(4 ) 16 /
16 /
s
s
xi j dAj x A i j dA j j
dA dA A
m N m C
N m C
� 	Φ = + ⋅ = ⋅ + ⋅� 
+ = =
= � Φ = ⋅
= ⋅
� �
� �
 
 
2. A figura seguinte mostra uma seção de uma barra cilíndrica de plástico infinitamente longa, 
com uma densidade linear de carga positiva uniforme λ . Determine uma expressão para a 
intensidade do campo elétrico E
�
 a uma distância r do eixo da barra. 
 
Resolução 
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica fechada, 
composta de um cilindro circular de raio r e comprimento h, coaxial 
com a barra e duas tampas nas suas extremidades como partes da 
superfície. 
 Em todos os pontos da parte cilíndrica da superfície 
gaussiana, E
�
 de ter a mesma intensidade E e deve estar dirigida 
radialmente para fora ( para uma barra positivamente carregada). 
 O fluxo de E
�
 através desta superfície cilíndrica é então cosEA θΦ = 
 
(2 )cos0º (2 )E rh E rhpi piΦ = = 
Não há fluxo através das bases do cilindro, pois E
�
, sendo dirigido radialmente, é paralelo às 
bases do cilindro em todos os pontos. 
 
A carga envolta pela superfície é hλ , então a Lei de Gauss, 
 
0 ,envqε Φ = se reduz a 
0 (2 )E rh hε pi λ= 
Então 
02
E
r
λ
piε
= (linha de carga) 
 
�$��
POTENCIAL ELÉTRICO 
 
1. A figura seguinte mostra dois pontos i e f em um campo elétrico uniforme E� . Determine a 
diferença de potencial f iV V− movendo a carga de teste positiva 0q de i até f ao longo da 
trajetória icf mostrada na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Linha ic : em todos os pontos ao longo da linha ic , o deslocamento ds� da carga de teste é 
perpendicular a E
�
. Assim, o ângulo θ entre E
�
 e ds� é 90º e o produto escalar E ds⋅
� �
 é zero. A 
equação 
c
c i
i
V V E ds− = − ⋅�
� �
 
Nos diz então que os pontos i e c estão no mesmo potencial: 0c iV V− = 
 
Para a Linha cf, temos 45ºθ = e da equação 
,
(cos 45º )
(cos 45º ) ;
(cos 45º )
45º 45º
( )
f f
f i f i
i c
f
f i
c
f f
f i
c c
f i
f i
V V E ds V V E ds
V V E ds
V V E ds ds cf
d d
cf V V E
sen sen
V V Ed resposta
− = − ⋅ − = − ⋅
− = −
− = − =
= − = −
− = −
� �
�
� �
� �� �
�
 
 
 
 
 
 
 
�$$�
CAPACITÂNCIA 
 
1. Um capacitor 1C de 3,55 Fµ é carregado até que seus terminais fiquem à diferença de potencial 
0 6,30V V= . A bateria utilizada para carregar o capacitor é então removida e o capacitor é 
ligado, como na figura, a um capacitor 2C descarregado, com 2 8,95C Fµ= . Depois que a chave 
S é fechada, a carga escoa de 1C para 2C até que o equilíbrio seja atingido, com ambos os 
capacitores à mesma diferença de potencial V. (a) Qual é esta diferença de potencial comum? 
(b) Qual a energia armazenada no campo elétrico, antes e depois de fecharmos a chave S na 
figura. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
(a) A carga original 0q está agora dividida entre os dois capacitores ou 
0 1 2q q q= + 
Aplicando a relação q CV= a cada termo obtemos 
1 0 1 2C V C V C V= + 
Ou 10
1 2
(6,30 )(3,55 ) 1,79
3,55 8,95
C V FV V V
C C F F
µ
µ µ
= = =
+ +
 
(b) A energia armazenada inicialmente é 
2 6 2
1 0
1 1 (3,55 10 )(6,30 )
2 2
70,5
i
i
U C V F V
U jµ
−
= = ⋅
=
 
A energia final é 
 
2 2
1 2
2 6 6 2
1 2
1 1
2 2
1 1( ) (3,55 10 8,95 10 )(1,79)
2 2
20
f
f
f
U C V C V
U C C V F F
U jµ
− −
= +
= + = ⋅ + ⋅
=
 
C1 C2 
q0 
S
 
�$��
 
2. A figura seguinte mostra uma chapa dielétrica de espessura b e constante dielétrica k e 
introduzida entre as armaduras de um capacitor plano de área A e separação d. Antes da 
introdução do dielétrico, aplicou-se uma diferença de potencial 0V entre as armaduras do 
capacitor. A bateria foi então desligada e o dielétrico introduzido. Suponha que 
 
2
0115 ; 1,24 ; 0,78 , 2,61; 85,5eA cm d cm b cm k V V= = = = = 
(a) Calcule a capacitância 0C antes da introdução do dielétrico. (b) Qual a carga livre que aparece 
nas placas? (c) Calcule a intensidade do campo no interior do dielétrico. (d) Calcule a intensidade 
do campo no interior do dielétrico (e) Calcule a diferença de potencial entre as armaduras. (f) 
Calcule o valor da capacitância após a introdução do dielétrico. 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
(a) 
12 4 2
120
0 02
(8,85 10 / ).(115 10 ) 8,2 10
1,24 10
A F m mC C F
d m
ε − −
−
−
× ×
= = � = ×
×
 
 
(b) Para a carga livre nas placas 
12 10
0 0 (8,21 10 )(85,5 ) 7,02 10q C V F V C− −= = × = × 
 
(c) Aplicando a Lei de Gauss: 0 ek E dA qε ⋅ =�
��
� 
10
0 12 4 2
0
0
7,02 10
(8,85 10 / )(115 10 )
6.900 / 6,90 /
q CE
A F m m
E V m kV m
ε
−
− −
×
= =
× ×
= =
 
(d) Aplicando a equação 0 ek E dA qε ⋅ =�
��
� 
0 0
0
0
,
6,90 / 2,64 /
2,61
e e
e e
k E dA q k EA q
Eq kV mE kv m
k A k
ε ε
ε
⋅ = − − = −
= = = =
�
��
�
 
�$��
(e) 
0 (( ) )
(6.900 /)(0,012 0,0078 ) (2,640 / )(0,0078 )
52,3
V E ds E d b Eb
V V m m m V m m
V V
−
+
= = − +
= − +
=
�
 
 
(f) 
10
117,02 10 1,34 10 13,4
52,3
q CC F pF
V V
−
−
×
= = = × = 
 
 
DENSIDADE DE CORRENTE 
 
1. Um fio de alumínio, cujo diâmetro é de 25mm, é soldado à extremidade de um fio de cobre cujo 
diâmetro é de 1,8mm. No fio resultante, circula uma corrente constante de 1,3 ampéres. Qual a 
densidade de corrente em cada caso? 
* Para o alumínio: ij
A
= 
2 3 2 6 21 ( / 4)(2,5 10 ) 4,91 10
4
A d mpi pi − −= = × = × 
Logo: 5 26 2
1,3 2,6 10 /
4,91 10
Aj A m
m−
= = ×
×
 
* Para cobre: 6 22,54 10A m−= × 
5 2
6 2
1,3 5,1 10 /
2,54 10
i Aj A m
A m−
= = = ×
×
 
 
CIRCUITOS DE CORRENTE CONTÍNUA 
 
1. Dada a rede elétrica seguinte, calcular: (a) E1; (b) E2; (c) A tensão entre A e B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1r
1i
2i 2A
3A
2r
0,5Ω
0,5Ω
5,5Ω
1R
3R
2R
1E
3E
4,5V
2E
3,5Ω
1,0Ω
BA
3i
3r
α
β0,5Ω
�$��
Resolução 
(a) A rede apresentada possui n = 2 nós (A e B). Portanto, aplicando-se a 1º Lei de Kirchhoff 
para (n = 1)nós (= 2-1) =1 nó, tem-se: 1 2 3i i i+ = (Nó A) 3 33 2 , 5i i A� + = = 
(b) Aplicando-se a 2ª Lei de Kirchhoff na malha alfa ( )α , no sentido do percurso adotado: 
3 3 3 3 3 1 1 1 1 1
1
1
0
0,5 5 4,5 1 5 5,5 3 0,5 3 0
30
r i E r i R i E r i
E
E V
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
=
 
 
(c) Identicamente para a malha beta ( )β : 
3 3 3 3 3 2 2 2 2 2
2
2
0
0,5 5 4,5 1 5 3,5 2 0,5 2 0
20
r i E R i R i E r i
E
E V
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
⋅ + + ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
=
 
 
(d) Aplicando-se a Lei de Ohm generalizada no ramo central AB tem-se: 
3 3 3 3( ) 0 5(0,5 1) 4,5
12
AB A B
AB AB
AB
U V V i resistencias fcems fems
U i r R E U
U V
= − = ⋅ + −
= ⋅ + + − � = + +
=
� � �
 
 
CIRCUITOS RC 
 
1. Um resistor 6,2R M= Ω e um capacitor 2,4C Fµ= são ligados em série juntamente com uma 
bateria de 12V, de resistência interna desprezível. 
(a) Qual é a constante de tempo capacitiva deste circuito? (b) Em que instante depois de a 
bateria ser ligada a diferença de potencial nos terminais do capacitor é 5,6V? 
Resolução: 
(a) 6 6(6, 2 10 )(2,4 10 ) 15c cRC F sτ τ −= � × Ω × = 
(b) 1 ,cc
VqV
c
ε
ε
� �
= = −� �
� �
 tirando o valor t, e usando , ln 1 cc c
VRC tτ τ
ε
� �
= = − −� �
� �
 
5,6(15 ) ln 1 9,4
12
V
t t s
V
� �
= − Ω − =� �
� �
 
 
 
 
 
�$��
O CAMPO MAGNÉTICO 
 
CAMPO MAGNÉTICO DE UMA ESPIRA CIRCULAR 
 
1. Duas espiras circulares, concêntricas e coplanares, de raios 4 mpi e 5 mpi , são percorridas por 
correntes de intensidades 2A e 5A, conforme a figura. Calcular a intensidade do vetor indução 
magnética no centro das espiras, sendo 74 10 /T m Aµ pi −= ⋅ ⋅ e caracterize o vetor indução 
magnética criado por cada espira no centro 
 
 
 
Resolução 
1 1 2 24 , 2 , 5 , 5R m i A R m i Api pi= = = = 
Aplicando-se a regra da mão direita, vê-se que a corrente 1i , cria no centro das espiras um vetor 
indução magnética perpendicular ao plano da espira, com o sentido do plano para o observador, de 
intensidade 
7
1
1
1
7
1
4 10 2
2 2 4
10
iB
R
B T
µ pi
pi
−
−
⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅
=
 
 
A segunda espira cria, no centro das espiras, um vetor indução magnética perpendicular ao plano da 
espira com o sentido do observador para o plano, de intensidade 
7
72
2 2
2
4 10 5 2 10
2 2 5
iB B T
R
µ pi
pi
−
−
⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅
⋅
 
 
O vetor indução magnética resultante, no centro será perpendicular ao plano das espiras, “entrando” 
no plano (do observador para o plano) pois a intensidade de 2B
�
, é maior que a de 1B
�
. 
1 2B B B= +
� � �
 ou 7 7 72 1 2 10 10 10B B B B T
− − −
= − = ⋅ − = 
 
 
 
 
 
I2 = 5A 
O 
R1 
R2 i1 = 2A 
2A
 
1B
�
5A
 
2B
�
�$ �
CAMPO MAGNÉTICO EM TORNO DE UM CONDUTOR RETO 
 
1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias, 
com intensidade 2A e 4A , e separadas entre si de 0,20m. Calcule a intensidade do vetor 
indução magnética resultante no ponto P, indicado na figura. DADO: 74 10 /T m Aµ µ −= ⋅ ⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
O fio 1, cria em P, um vetor campo magnético entrando no plano do papel, de intensidade: 
7
61
1 1
1
4 10 2 4 10
2 2 0,1
iB B T
d
µ pi
pi pi
−
−
⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅
⋅
 
 
O fio 2 também cria, em P, um vetor indução magnética “entrando” no plano do papel, de 
intensidade: 
7
62
2 2
2
4 10 4 8 10
2 2 0,1
iB B T
d
µ pi
pi pi
−
−
⋅ ⋅ ⋅
= = = ⋅
⋅
 
Portanto, a intensidade do vetor indução magnética resultante será: 
6 6 5
1 2 4 10 8 10 1,2 10B B B B B T
− − −
= + � = ⋅ + ⋅ = ⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 cm 10 cm 
P 
1i
2A
2 4i A=
1i
1B
�
1 10d cm=
P
2i2B
�
P
2 10d cm=
�$!�
FORÇA SOBRE UMA CARGA MÓVEL EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME 
 
1. Uma carga 2q Cµ= , com velocidade 10 /v m s= , penetra numa região onde atua um CMU de 
intensidade 10B T= , conforme a figura. Os vetores v� e B
�
 formam um ângulo de 30º e estão 
contidos no plano (XZ). Determine o módulo, a direção e sentido da força magnética. 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
(a) A intensidade da força magnética é: 
6
4
2 10 10 10 30º
10
MAG MAG
MAG
F q V B sen F sen
F N
θ −
−
= ⋅ ⋅ ⋅ � = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
 
(b) A direção da força magnética é perpendicular ao plano formado por v� e B� (plano XZ). 
(c) O sentido é determinado pela regra da mão esquerda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FORÇA SOBRE UM CONDUTOR RETO EM UM CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME 
 
1. Um condutor na forma retangular, de dimensões 10cm e 20cm (ver figura) está totalmente 
imerso em um campo magnético uniforme de intensidade 0,5B T= . Calcule a intensidade da 
força que atua em cada ramo do condutor e o momento de rotação a que ele fica submetido, 
quando a intensidade da corrente for de 2A. 
θ
q 
Y 
X 
Z 
V
�
B
�
θ
Y 
X 
Z V
�
MAGF
�
�$"�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
Aplicando-se a regra da mão esquerda para determinar o sentido da força magnética, em cada ramo, 
tem-se: nos ramos AB e CD, as forças magnéticas têm intensidades nulas, pois as direções das 
correntes são paralelas às de B
�
; Nos ramos AD e BC, o ângulo entre B
�
 e i é igual a 90º, então 
90º 0,5 2 0, 2 0,2MAGF B i sen B i sen Nθ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =� � 
 
Pode-se ver, através da figura, que o condutor fica sujeito a um BINÁRIO DE FORÇAS. 
MAGM F d= ⋅ , onde 0,1d AB m= = 
20,2 0,1 2 10M M N m−= ⋅ � = ⋅ ⋅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B
�
D C
i i
10 cm A B 
20cm
B
�
D C
i
i
A B 
MAGF
�
MAGF
�
0, 2m
i i 
i 
�$#�
FORÇA ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS 
 
1. Dois fios longos, retos e paralelos, situados no vácuo, são percorridos por correntes contrárias, 
de intensidade 1 2i A= e 2 4i A= . A distância entre os fios é de 0,1m. 
(a) Os fios se atraem ou se repelem? 
(b) Com que força, para cada metro de comprimento do fio? 
(c) O que ocorrera se inverter o sentido da corrente 2i ? 
 
Resolução 
(a) Como as correntes têm sentido opostos, há repulsão. 
(b) A intensidade da força para cada metro do fio é: 
7
50 1 2 4 10 2 4 1 1,6 10
2 2 0,1MAG MAG
i iF F N
d
µ pi
pi pi
−
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= = = = ⋅
⋅
�(c) Invertendo o sentido da corrente 2i , têm-se ambas as correntes no mesmo sentido, 
ocasionando atração entre os fios. 
 
 
INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 
* Força eletromagnética induzida - ( )femi Ω 
 
1. Um condutor retilíneo e horizontal, C, de resistividade 61,6 10 cmρ −= ⋅ Ω ⋅ , área 20, 2A cm= de 
secção transversal constante e comprimento 10cm=� , move-se sem atrito sobre dois 
condutores paralelos e horizontais, 'A e 'B , de resistência elétrica desprezível, interligados por 
um amperímetro ideal. O conjunto está imerso num campo magnético uniforme e vertical, de 
intensidade 510B T−= . O condutor C tem velocidade constante 8 /V m s= . Determine: 
(a) A fe mi ; 
(b) A intensidade da corrente no amperímetro; 
(c) O peso do corpo suspenso, conforme a figura, que mantém a velocidade constante. 
 
 
 
 
 
����
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
(a) 5 1 610 10 1 8 10e B V e e V− − −= ⋅ ⋅ � = ⋅ ⋅ = ⋅� 
(b) 
6 5
6
5
101,6 10 8 10
0, 2
8 10 0,1
8 10
R R R
A
U eU Ri i i A
R R
ρ − −
−
−
= � = ⋅ ⋅ = ⋅ Ω
⋅
= � = = = =
⋅
�
 
(c) Para que a velocidade seja constante, 0RF = ou seja: 5 1
7 7
10 0,1 10
10 10
MAGF T
B i T T
T N P T Peso N
− −
− −
=
⋅ ⋅ = � ⋅ ⋅ =
= � = =
�
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LEI DE FARADAY 
 
1. A figura mostra uma espira condutora formada por um semicírculo de raio 0,20r m= e três 
segmentos retos, o semicírculo está localizado em um campo magnético uniforme B
�
que 
estar orientado para fora da página. A intensidade do campo é dada por 
A 
'A
'B
B
�
Corpo 
suspenso 
MAGF
�
T
�
��$�
24,0 2,0 3,0B t t= + + , com B em teslas e t em segundos. Uma bateria ideal com 2,0bat V=� 
está ligada à espira. A resistência da espira é de 2,0Ω . 
(a) Qual a intensidade e o sentido da indfem� induzida ao redor da espira pelo campo B
�
 em 
10t s= . 
(b) Qual a corrente na espira em 10t s= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução 
( )B
ind
d d BA dBA
dt dt dt
Φ
= = =� 
2
2
rA pi= 
[ ]
2
2
2 2
(4,0 2,0 3,0)
2
(0,20 )(8,0 2,0) 8,0(10) 2,0
2 2
10 5,2
ind
ind
ind
r d
t t
dt
r m
t
em t s V
pi
pi pi
= + +
= + = +
= ≈
�
�
�
 
 
(b) 5,152 2,0 1,6
2
res ind bat Vi i A
R R
− −
= = = ≈
Ω
� � �
 
 
 
CIRCUITOS RL 
 
1. Um solenóide possui uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,37Ω . Se ele for ligado a 
uma bateria, quanto tempo levará para que a corrente alcance metade do seu valor final de 
equilíbrio? 
 
 
/ 2r
bat�
����
Resolução 
A equação 1 L
t
i e
R
τε −� �
= −� �
� �
� �
 (subida da corrente) 
Nós mostra que a corrente i aumenta exponencialmente de zero até o seu valor final de equilíbrio 
/ R� . Seja 0t o tempo que a corrente i leva para alcançar metade do seu valor de equilíbrio, então, 
a equação anterior nos dá 
0 /1 1
2
Lte
R R
τ−
= −
� �
 
Explicitamos 0t cancelando R
�
, isolando 
A exponencial e tomando o logaritmo natural de cada lado. Encontramos 
3
0
0
53 10ln 2 ln 2 ln 2
0,37
0,10
L
L H
t
R
t s
τ
−×
= = =
Ω
=
 
 
2. Uma bobina tem uma indutância de 53mH e uma resistência de 0,35Ω . 
a. Se uma fem de 12V for aplicada entre as extremidades da bobina, quanta energia é 
armazenada no campo magnético depois de a corrente atingir o seu valor de equilíbrio? 
b. Após quantas constantes de tempo, metade desta energia de equilíbrio estará armazenada no 
campo magnético? 
 
Resolução 
(a) A corrente máxima é 12 34,3
0,35m
Vi A
R
= = =
�
 
A energia armazenada será: 
2 2 3 21 1 1 (53 10 ) (34,3 )
2 2 2
31
B B m
B
U Li U Li H A
U j
−
= � = = ⋅ ⋅
=
 
(b) Queremos saber em que instante t a relação 1
2B B
U U
∞
= 
( )
2 2
/
1 1 1 1
2 2 2 2
1
2
Lt
Li Li i i
e
R R
τ
∞ ∞
−
� �� �
= � =� � � �
� � � �
− =
⋅
� �
 
Cancelando / R� teremos / 11
2
Lte
τ−
= − 
����
Então: ln 0,293 1,2 L
L
t
t τ
τ
= − ≈ 
Portanto: A energia armazenada atinge a metade do seu valor máximo depois de decorridos 1,2 
constante de tempo. 
 
 
CORRENTE ALTERNADA 
 
1. Um resistor cuja resistência vale 50Ω é percorrido por uma corrente alternada que obedece 
a função: 
8 2 120i sen tpi= ⋅ ⋅ (unidades do SI) 
Determine: 
(a) A freqüência da corrente alternada; 
(b) A máxima intensidade de corrente; 
(c) O valor eficaz da corrente alternada; 
(d) O valor eficaz da ddp aplicada nos terminais do registro; 
(e) A potência dissipada pelo resistor. 
Resolução 
Comparando com MAXi i sen tω= ⋅ , temos: 
(a) 2120 / 2rad s f
T
pi
ω pi ω pi= = = (pulsação da corrente) 
120 / 2
60
rad s f
f Hz
ω pi pi= =
=
 
(b) 8 2MAXi A= 
(c) 8 2 8
2 2
MAX
ef ef ef
i Ai i i A= � = = 
(d) 50 8 400ef ef ef efU R i U A U V= ⋅ � = Ω⋅ = 
(e) 
2
400 8 3200
ef
ef ef ef
ef ef
U
P U i R i
R
P U i
P V A P W
= ⋅ = ⋅ =
= ⋅
= ⋅ =
 
 
P = Potência média dissipada 
 
����
CARGA PURAMENTE RESISTIVA 
 
1. Na figura seguinte, a resistência R é de 200 Ω e o dispositivo de fem alternada senoidal 
opera a uma amplitude 36m V=� e uma freqüência 60,0df Hz= . 
(a) Qual a diferença de potencial ( )RV t entre os terminais da resistência em função do tempo t, e 
qual é a amplitude RV de ( )RV t ? 
(b) Qual a corrente ( )Ri t na resistência e qual a amplitude RI de ( )Ri t ? 
 
 
 
Resolução: 
(a) ( ) ( ) 36,0R R mV t t V V= � = =� � 
Cálculo de 
( ) : ( ) ( )
2 2 (60 ) 120
(36,0 ) (120 )
R R m d
d d
R m d R
V t V t t sen t
f Hz
V sen t V V sen t
ω
ω pi pi pi
ω pi
= =
= = =
= � =
� �
�
 
 
(b) 
( ) 1
36,0 0,180
200
( )
(0,180 ) (120 )
R R d R
R
R R R
R R d R d
r
i I sen t I sen t
V VI I I A
R
i I sen t I sen t
i A sen t
ω φ ω
ω φ ω
pi
= − =
= � = =
Ω
= − =
=
 
 
 
CARGA PURAMENTE CAPACITIVA 
 
1. Na figura seguinte, a capacitância C é de 150 Fµ e o dispositivo de fem alternada senoidal 
opera a uma amplitude 36,0m V=� e a uma freqüência 60,0df Hz= . 
(a) Qual a diferença de potencial ( )CV t entre os terminais do capacitor e qual a amplitude CV de 
( )CV t ? 
(b) Qual a corrente ( )ci t no circuito em função do tempo e qual a amplitude CI de ( )CI t ? 
 
����
 
 
 
 
Resolução 
 
(a) 
( )( ) 36,0
( ) ( )
2 2 (60,0 ) 120
(36,0 ) (120 )
C t C m C m
C m d
d d
C
V t e V V V
V t t sen t
f Hz
V V sen t
ω
ω pi pi pi
pi
= = = =
= = ⋅
= = =
= ⋅
� � �
� �
 
(b) 
6
1 1
2 (2 ) (60,0 )(150 10 )
177
36,0 0,203
177
( / 2)
(0,203 ) (120 / 2)
C
d
C
C
C C C
C
C C d
C
X f C Hz F
X
V VI I I A
X
I I sen t
I A sen t
pi pi
ω pi
pi pi
−
= =
⋅ ⋅ ⋅
= Ω
= � = =
Ω
= ⋅ +
= +
 
 
 
CARGA PURAMENTE INDUTIVA 
 
1. Na figura a seguir, a indutância L vale 230mH e o dispositivo de fem alternada senoidal opera a 
uma amplitude 36,0m V=� e a uma freqüência 60,0df Hz= . 
(a) Qual a diferença de potencial ( )LV t entre os terminais do indutor e qual a amplitude LV de 
( )LV t ? 
(b) Qual a corrente ( )Li t no circuito em função do tempo e qual a amplitude LI de '( )LI t ? 
 
 
 
 
Resolução 
(a) 
( ) ( ) 36,0
( ) ( )
2 120 : (36,0 ) (120 )
L L m L m
L m d
d d L
V t t e V V V
V t t sen t
f Logo V V sen t
ω
ω pi pi pi
= = � = =
= = ⋅
= = = ⋅
� � �
� � 
�� �
 
(b) 
32 (2 )(60,0)(230 10 )
36,086,7 0,415
86,7
( / 2)
(0,415 ) (120 / 2)
L d
L
L L L
L
L L d
L
X f L Hz H
V VX I I A
X
I I sen t
i A sen t
pi pi
ω pi
pi pi
−
= = ×
= Ω = = =
Ω
= ⋅ −
= −
 
 
 
O CIRCUITO RLC EM SÉRIE 
 
1. Um circuito RLC em série, excitado por uma fem 120
rms V=� a uma freqüência 60,0df Hz= , 
contém uma resistência 200R = Ω , uma indutância com 800LX = Ω e uma capacitância com 
150CX = Ω . 
(a) Qual o fator de potência cosφ e qual a constante de fase φ do circuito? 
(b) Qual a taxa média MEDP com que se dissipa energia na resistência? 
 
Resolução 
(a) 
2 2 2 2( ) (200 ) (80 150 )
211,90
200
cos cos 0,944
211,90
cos 0,944 19,3º 19,3º
L CZ R X X
Z
R
Z
arc
φ φ
φ φ
= + − = Ω + Ω − Ω
= Ω
Ω
= = ≈
Ω
= = ± = ±
 
 
 
Tanto 19,3º+ quando 19,3º− possuem um cosseno de 0,944. Para determinamos qual sinal é o 
correto, temos que considerar se a corrente está adiantada ou atrasada em relação à fem aplicada. 
Como C LX X> , este circulo é principalmente capacitivo, com a corrente adiantada em relação 
fem. Assim, φ tem que ser negativa: 
19,3ºφ = − 
A equação: L CX Xtg
R
φ −= nos dá a resposta completa, com o sinal negativo. 
��!�
(b) 
2 2(120 ) (0,9438)
cos
211,90
64,1
rms
MED
MED
VP
Z
P W
φ= =
Ω
=
�
 
 
TRANSFORMADOR 
 
1. Um transformador em um poste de uma concessionária de energia opera com 8,5PV kV= no 
enrolamento primário e fornece a energia a um certo número de casas próximas com 120SV V= ; 
sendo estas duas tensões em valores eficazes. Suponha um transformador abaixador ideal, uma 
carga puramente resistiva e um fator de potência igual à unidade. 
(a) Qual razão entre o número de voltas /P SN N do transformador? 
(b) A taxa média de consumo de energia (ou dissipação) nas casas servidas pelo transformador é 
de 78kW. Quais as correntes eficazes no primário e no secundário do transformador? 
(c) Qual a carga resistiva SR no circuito secundário? Qual a carga resistiva correspondente PR 
no circuito primário? 
 
Resolução 
 
(a) S S
P P
V N
V N
= ou
38,5 10 7,083 71
120
71
P P
S S
P
S
N V V
N V V
N
N
×
= = = ≈
≈
 
 
(b) 
3
3
78 10 9,176
8,5 10
9,2
MED
P
P
P
P WI A
V V
I A
×
= =
×
≈
 
378 10 650 650
120
MED
S S
S
P WI A I A
V V
×
= = = = 
(c) 3
120 0,1846 0,18
650
8,5 10 926 930
9,176
S
S S
S
p
p p
p
V VR R
I A
V VR R
I A
= = = Ω ≈ Ω
×
= = = Ω ≈ Ω