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UNIFACS - Cursos de Engenharia Disciplina: Cálculo I AULA 4 : Limites no infinito e Limites Infinitos OBJETIVO: Calcular limites envolvendo o termo “infinito” Micro teoria: Nesta aula vamos comentar sobre limites onde aparece o termo “infinito”. O símbolo “∞” é utilizado em Matemática para denotar “algo muitíssimo grande”, ou seja, algo maior que qualquer número. Como não existe número real que seja maior que todos os outros, “∞” não é um número real, é um novo símbolo criado pelos matemáticos. Temos dois tipos de limites que usam o símbolo “∞” : Os Limites no Infinito e os Limites Infinitos. Simbolicamente, temos: 1) Limites no Infinito: 2) Limites Infinitos: 1) LIMITES NO INFINITO: Neste caso, as perguntas que fazemos são: “o que houve com a função no passado? ” “o que acontecerá com a função no futuro?”. Note que fazemos x→-∞ ou x→+∞, e a partir daí perguntamos o que acontece com valores da função f(x). Exemplo 1: . Veja na tabela a seguir o que acontece quando fazemos x → ∞. Pelo visto na tabela, nossa intuição diz que quando x → ∞ temos f(x) → 2 Pelo gráfico ao lado percebemos geometricamente o que ocorre com os valores f(x), quando x → ∞. Esses valores f(x) vão se aproximando cada vez mais da altura y=2. Nesse caso dizemos que a reta y=2 é uma assíntota horizontal do gráfico Exemplo 2: Veja o que acontece quando fazemos x → ∞ Logo, nossa intuição nos diz que quando x → ∞ temos f(x) → 3 Geometricamente percebemos o que ocorre com os valores f(x), quando x → ∞. Esses valores f(x) vão se aproximando cada vez mais da altura y=3. Dizemos que a reta y=3 é uma assíntota horizontal do gráfico. CÁLCULO DOS LIMITES: Vamos usar que quando x → ∞ então 1/x → 0 Exemplo 1: Exemplo 2: Exemplo 3: 2) LIMITES INFINITOS: Esses limites são conhecidos como do tipo “” onde k 0. Exemplo 1: Substituindo x por 2 teremos , valor que não existe! Mas, fazendo x se aproximar de 2 por valores menores que 2, o numerador é positivo, e o denominador fica negativo, e muito pequeno. Logo, o quociente ficará muito “grande”, negativamente. Resumindo: Pelo gráfico ao lado vemos o que ocorre com os valores f(x), quando x → 2. Esses valores f(x) vão decrescendo cada vez mais. Nesse caso dizemos que a reta x=2 é uma assíntota vertical do gráfico Exemplo 2: Substituindo x por 2 teremos , valor que não existe! Mas, fazendo x se aproximar de 2 por valores maiores que 2, o numerador é positivo, e o denominador fica positivo e muito pequeno. Assim, o quociente ficará muito grande, positivamente. Ou seja, . Pelo gráfico ao lado vemos o que ocorre com os valores f(x), quando x → 2. Esses valores f(x) vão crescendo cada vez mais. Logo, a reta x=2 é uma assíntota vertical do gráfico Exemplo 3: Calcule os limites e Solução: . Como o sinal do numerador é negativo, vamos estudar apenas o sinal do denominador x-3,quando x → 3− . Quando x está próximo de 3, pela esquerda (valores menores), x-3 é negativo. Como o numerador é também negativo, deduzimos que . Analogamente, Exercício: Calcule os limites e . Plan1 x 10 20 30 50 100 1,000 10,000 100,000 (2x+1)/x 2.1 2.05 2.0333333333 2.02 2.01 2.001 2.0001 2.00001 Plan1 x 10 20 30 50 100 1,000 10,000 100,000 (6x-1)/(2x+3) 2.5652173913 2.7674418605 2.8412698413 2.9029126214 2.9507389163 2.9950074888 2.999500075 2.9999500007
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