AULA 4_Limites NO infinito.docx

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UNIFACS - Cursos de Engenharia
Disciplina: Cálculo I 
AULA 4 : Limites no infinito e Limites Infinitos
OBJETIVO: Calcular limites envolvendo o termo “infinito”
Micro teoria: Nesta aula vamos comentar sobre limites onde aparece o termo “infinito”. O símbolo “∞” é utilizado em Matemática para denotar “algo muitíssimo grande”, ou seja, algo maior que qualquer número. Como não existe número real que seja maior que todos os outros, “∞” não é um número real, é um novo símbolo criado pelos matemáticos.
Temos dois tipos de limites que usam o símbolo “∞” : Os Limites no Infinito e os Limites Infinitos.
Simbolicamente, temos:
1) Limites no Infinito: 			2) Limites Infinitos: 
1) LIMITES NO INFINITO: Neste caso, as perguntas que fazemos são: “o que houve com a função no passado? ” “o que acontecerá com a função no futuro?”.
Note que fazemos x→-∞ ou x→+∞, e a partir daí perguntamos o que acontece com valores da função f(x).
Exemplo 1: . Veja na tabela a seguir o que acontece quando fazemos x → ∞.
	Pelo visto na tabela, nossa intuição diz que quando x → ∞ temos f(x) → 2
Pelo gráfico ao lado percebemos geometricamente o que ocorre com os valores f(x), quando x → ∞. Esses valores f(x) vão se aproximando cada vez mais da altura y=2. 
 Nesse caso dizemos que a reta y=2 é uma assíntota horizontal do gráfico 
	
Exemplo 2: Veja o que acontece quando fazemos x → ∞
	Logo, nossa intuição nos diz que quando x → ∞ temos f(x) → 3
Geometricamente percebemos o que ocorre com os valores f(x), quando x → ∞. 
Esses valores f(x) vão se aproximando cada vez mais da altura y=3. 
Dizemos que a reta y=3 é uma assíntota horizontal do gráfico.
	
CÁLCULO DOS LIMITES: Vamos usar que quando x → ∞ então 1/x → 0
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
Exemplo 3: 
2) LIMITES INFINITOS: Esses limites são conhecidos como do tipo “” onde k 0.
Exemplo 1: 
	
Substituindo x por 2 teremos , valor que não existe!
Mas, fazendo x se aproximar de 2 por valores menores que 2, o numerador é positivo, e o denominador fica negativo, e muito pequeno. Logo, o quociente ficará muito “grande”, negativamente. Resumindo: 
Pelo gráfico ao lado vemos o que ocorre com os valores f(x), quando x → 2. Esses valores f(x) vão decrescendo cada vez mais. 
 Nesse caso dizemos que a reta x=2 é uma assíntota vertical do gráfico
	
Exemplo 2: 
	
Substituindo x por 2 teremos , valor que não existe!
Mas, fazendo x se aproximar de 2 por valores maiores que 2, o numerador é positivo, e o denominador fica positivo e muito pequeno. Assim, o quociente ficará muito grande, positivamente. Ou seja, .
Pelo gráfico ao lado vemos o que ocorre com os valores f(x), quando x → 2. Esses valores f(x) vão crescendo cada vez mais. 
 Logo, a reta x=2 é uma assíntota vertical do gráfico
	
Exemplo 3: Calcule os limites e 
Solução: . 
Como o sinal do numerador é negativo, vamos estudar apenas o sinal do denominador x-3,quando x → 3− . 
Quando x está próximo de 3, pela esquerda (valores menores), x-3 é negativo. Como o numerador é também negativo, deduzimos que . Analogamente, 
Exercício: Calcule os limites e .
Plan1
	x	10	20	30	50	100	1,000	10,000	100,000
	(2x+1)/x	2.1	2.05	2.0333333333	2.02	2.01	2.001	2.0001	2.00001
Plan1
	x	10	20	30	50	100	1,000	10,000	100,000
	(6x-1)/(2x+3)	2.5652173913	2.7674418605	2.8412698413	2.9029126214	2.9507389163	2.9950074888	2.999500075	2.9999500007