Aula 9 e 10 Medidas Resumo (parte 1)

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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Medidas Resumo (Parte 1)
Wesley de Jesus Silva
wjsilva.est.professor@gmail.com
Departamento de Estat´ıstica
Universidade de Bras´ılia
Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1)
I´ndice
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Tabelas e gra´ficos: Resumem os dados brutos. Informam
como os elementos observados se distribuem entre os valores
de uma varia´vel;
Medidas Resumo: Procuram resumir ainda mais as
informac¸o˜es atrave´s de um ou mais valores que representem
todo o conjunto de informac¸o˜es observadas;
Medidas Resumo: posic¸a˜o, variabilidade e separatrizes
(quantis).
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Medidas de posic¸a˜o
Exemplo hipote´tico: observou-se os retornos dia´rios de duas
carteiras de ac¸o˜es.
Varia´vel A: Retornos da carteira A;
Varia´vel B: Retornos da carteira B;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Pol´ıgonos de frequeˆncia das duas varia´veis
Figura: Pol´ıgonos de frequencia dos retornos das carteiras A e B
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Perguntas
1 Qual carteira apresenta maiores retornos?
2 Tal regra e´ uma regra geral?
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Medidas de posic¸a˜o
Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em
torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A;
Posic¸a˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais
medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central
Medidas de posic¸a˜o:
1 Me´dia;
2 Mediana;
3 Moda;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Medidas de posic¸a˜o
Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em
torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A;
Posic¸a˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais
medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central
Medidas de posic¸a˜o:
1 Me´dia;
2 Mediana;
3 Moda;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Medidas de posic¸a˜o
Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em
torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A;
Posic¸a˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais
medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central
Medidas de posic¸a˜o:
1 Me´dia;
2 Mediana;
3 Moda;
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Medidas de posic¸a˜o
Dizemos que os valores observados de B esta˜o concentrados em
torno de uma posic¸a˜o superior a`quela dos valores de A;
Posic¸a˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais
medidas de posic¸a˜o, isto e´, um valor central
Medidas de posic¸a˜o:
1 Me´dia;
2 Mediana;
3 Moda;
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Notac¸a˜o Matema´tica
Seja X uma varia´vel qualquer. Se existem N elementos na
populac¸a˜o, existem N valores de X : X1,X2, · · · ,XN ,
conhedicos ou na˜o;
Se X for mensurada em uma amostra de n elementos,
existira˜o n valores de X : x1, x2, · · · , xn, conhedicos;
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Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
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Propriedades das medidas de posic¸a˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Se X1,X2, · · · ,Xn sa˜o os n valores (distintos ou na˜o) observados
de X , a me´dia aritme´tica de X , X¯ , sera´
X¯ =
X1 + X2 + · · ·+ Xn
n
=
n∑
i=1
Xi
n
(1)
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Exemplo 1.1
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
Vamos calcular a me´dia deste conjunto.
X¯ =
2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 7
13
=
40
13
= 3.077
Outros exemplos
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Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Exemplo 1.1
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
Vamos calcular a me´dia deste conjunto.
X¯ =
2 + 2 + 3 + 2 + 4 + 5 + 3 + 3 + 3 + 2 + 1 + 3 + 7
13
=
40
13
= 3.077
Outros exemplos
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Medidas de dispersa˜o
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Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Mediana
Se as n observac¸o˜es de X forem ordenadas em ordem crescente, isto e´,
X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X(n)
onde:
X(1) = min{x1, x2, · · · , xn}
X(n) = max{x1, x2, · · · , xn}
A mediana sera´o valor que ocupa a posic¸a˜o central da sequeˆncia acima.
Mais formalmente, para n > 2, define-se1:
md(X ) =

X( n+12 )
se n ı´mpar ou
X
( n2 )
+X
( n2 +1)
2 se n par
1para n ≤ 2, md(X ) = X(1)
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Exemplo 1.2
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (ordenados)
1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (posic¸a˜o central)
X(1) = 1, X(2) = 2, X(3) = 2, X(4) = 2, X(5) = 2 X(6) = 3 X(7) = 3
X(8) = 3 X(9) = 3 X(10) = 3 X(11) = 4 X(12) = 5 X(13) = 7;
n e´ ı´mpar, portanto, X( 13+12 )
= X( 142 )
= X(7) = 3
Outros exemplos
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Medidas de dispersa˜o
Me´dia
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Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Exemplo 1.2
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (ordenados)
1 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 7 (posic¸a˜o central)
X(1) = 1, X(2) = 2, X(3) = 2, X(4) = 2, X(5) = 2 X(6) = 3 X(7) = 3
X(8) = 3 X(9) = 3 X(10) = 3 X(11) = 4 X(12) = 5 X(13) = 7;
n e´ ı´mpar, portanto, X( 13+12 )
= X( 142 )
= X(7) = 3
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Medidas de dispersa˜o
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Mediana
Moda
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1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
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Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Moda
Dados n (ou N) valores observados de X , a moda de X , mo(X ),
sera´ o valor de X mais frequente na amostra (ou na
populac¸a˜o)
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Exemplo 1.3
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
Qual o valor mais frequente na amostra?
O valor mais frequente e´ 3. Portanto, mo(X ) = 3
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Exemplo 1.3
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
Qual o valor mais frequente na amostra?
O valor mais frequente e´ 3. Portanto, mo(X ) = 3
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Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Medidas de posia˜o versus escala de mensurac¸a˜o
1 Nominal: moda;
2 Ordinal: moda, mediana;
3 Discreto: moda, mediana, me´dia;
4 Cont´ınuo: moda, mediana, me´dia;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Propriedades da Me´dia
Seja X uma varia´vel quantitativa. Qualquer transformac¸a˜o sobre X
define uma nova varia´vel. Dependendo da transformac¸a˜o, a me´dia
desta nova varia´vel e´ facilmente obtida a partir de X¯ , de acordo
com as propriedades abaixo:
Propriedade 1: Se Y = cX , enta˜o Y¯ = cX¯ ;
A regra e´ ana´loga para Y = Xc , pois
X
c = X .
1
c ;
Propriedade 2: Se Y = X + c , enta˜o Y¯ = X¯ + c ;
A regra e´ ana´loga para Y = X − c ;
Propriedade 3: Considere as varia´veis X e Y . Defina uma nova varia´vel
Z = X + Y . Enta˜o Z¯ = X¯ + Y¯ ;
Analogamente, se V = X1 + X2, · · · ,Xk (soma de k
varia´veis), enta˜o V¯ = X¯1 + X¯2 + · · ·+ X¯3.
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
Propriedades da Mediana e da Moda
As propriedades 1 e 2 sa˜o ana´logas para a Moda e para a Mediana:
Y = cX ⇒
md(Y ) = c ×md(X )
mo(Y ) = c ×mo(X );
Y = X + c ⇒
md(Y ) = md(X ) + c
mo(Y ) = mo(X ) + c ;
Observac¸a˜o
Y = cX equivale a multiplicar cada observac¸a˜o de X , Xi , pelo
nu´mero c. Interpretac¸a˜o e´ ana´loga para Y = X + c e Z = X + Y
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Exemplo hipote´tico: a massa (em kg) de 100 homens e 100
mulheres.
Varia´vel H: Peso dos homens;
Varia´vel M: Peso das mulheres;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
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Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Pol´ıgonos de frequeˆncia das duas varia´veis
Figura: Pol´ıgonos de frequencia dos retornos das carteiras A e B
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Perguntas
1 Qual varia´vel tem distribuic¸a˜o mais homogeˆnea?
2 Qual distribuic¸a˜o e´ mais “espalhada”??
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M.
Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o
dessa variavel e´ maior.
Dispersa˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de
dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno
de algum valor central ;
Medidas de dispersa˜o:
1 Amplitude total
2 Desvio me´dio absoluto;
3 Variaˆncia;
4 Desvio-padra˜o;
5 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´velM.
Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o
dessa variavel e´ maior.
Dispersa˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de
dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno
de algum valor central ;
Medidas de dispersa˜o:
1 Amplitude total
2 Desvio me´dio absoluto;
3 Variaˆncia;
4 Desvio-padra˜o;
5 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M.
Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o
dessa variavel e´ maior.
Dispersa˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de
dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno
de algum valor central ;
Medidas de dispersa˜o:
1 Amplitude total
2 Desvio me´dio absoluto;
3 Variaˆncia;
4 Desvio-padra˜o;
5 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M.
Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o
dessa variavel e´ maior.
Dispersa˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de
dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno
de algum valor central ;
Medidas de dispersa˜o:
1 Amplitude total
2 Desvio me´dio absoluto;
3 Variaˆncia;
4 Desvio-padra˜o;
5 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M.
Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o
dessa variavel e´ maior.
Dispersa˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de
dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno
de algum valor central ;
Medidas de dispersa˜o:
1 Amplitude total
2 Desvio me´dio absoluto;
3 Variaˆncia;
4 Desvio-padra˜o;
5 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Medidas de dispersa˜o
Dizemos distribuic¸a˜o de H e´ mais heterogeˆnea do que a varia´vel M.
Diz-se, tambe´m, que a variabilidade de H e´ maior, ou que a dispersa˜o
dessa variavel e´ maior.
Dispersa˜o
A` distribuic¸a˜o de uma varia´vel X esta´ associada uma ou mais medidas de
dispersa˜o, isto e´, um grau de “espalhamento” dos valores de X em torno
de algum valor central ;
Medidas de dispersa˜o:
1 Amplitude total
2 Desvio me´dio absoluto;
3 Variaˆncia;
4 Desvio-padra˜o;
5 Coeficiente de variac¸a˜o;
Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1)
Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Amplitude Total
E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo.
AT (X ) = X(n) − X(1) (2)
Ex.:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6
Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra?
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23
AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Amplitude Total
E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo.
AT (X ) = X(n) − X(1) (2)
Ex.:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6
Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra?
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23
AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Amplitude Total
E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo.
AT (X ) = X(n) − X(1) (2)
Ex.:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6
Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra?
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23
AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Amplitude Total
E´ a diferenc¸a entre o maior e o menor valor de X no grupo.
AT (X ) = X(n) − X(1) (2)
Ex.:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
AT (X ) = X(13) − X(1) = 7− 1 = 6
Mas e se adicionarmos um valor a mais na amostra?
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7 23
AT(X) = X(14) − X(1) = 23− 1 = 22
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Demais medidas de dispersa˜o
Dispersa˜o em torno do
valor central
Desvios com relac¸a˜o a`
me´dia
Va´rios desvios
(
Xi − X¯
)
, i = 1, · · · , n;
Pode-se pensar nas me´dias desses desvios, como um resumo dos
desvios observados:
n∑
i=1
(
Xi − X¯
)
n
=
n∑
i=1
Xi −
n∑
i=1
X¯
n
=
n∑
i=1
Xi
n
− nX¯
n
= X¯ − X¯ = 0 (3)
Na˜o da´ certo: valores abaixo da media (desvios negativos) anulam
valores acima (desvios positivos);
Resultado acima e´ geral. A me´dia dos desvios com relac¸a˜o x¯ e´
sempre igual a 0;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Exemplo 2.1
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
X¯ = 3.077
n∑
i=1
(
Xi − X¯
)
= (2− 3.077) + (2− 3.077) + (3− 3.077) + (2− 3.077)
+(4− 3.077) + (5− 3.077) + (3− 3.077)
+(3− 3.077) + (3− 3.077) + (2− 3.077)
+(1− 3.077) + (3− 3.077) + (7− 3.077)
= −1.077− 1.077− 0.077− 1.077 + 0.923 + 1.923− 0.077− 0.077
−0.077− 1.077− 2.077− 0.077 + 3.924
= −6.77 + 6.77
= 0
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Demais medidas de dispersa˜o
Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia,
eliminando-se o sinal dos desvios negativos;
Demais medidas de dispersa˜o:
1 Desvio me´dio absoluto;
2 Variaˆncia;
3 Desvio-padra˜o;
4 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absolutoVariaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Demais medidas de dispersa˜o
Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia,
eliminando-se o sinal dos desvios negativos;
Demais medidas de dispersa˜o:
1 Desvio me´dio absoluto;
2 Variaˆncia;
3 Desvio-padra˜o;
4 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Demais medidas de dispersa˜o
Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia,
eliminando-se o sinal dos desvios negativos;
Demais medidas de dispersa˜o:
1 Desvio me´dio absoluto;
2 Variaˆncia;
3 Desvio-padra˜o;
4 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Demais medidas de dispersa˜o
Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia,
eliminando-se o sinal dos desvios negativos;
Demais medidas de dispersa˜o:
1 Desvio me´dio absoluto;
2 Variaˆncia;
3 Desvio-padra˜o;
4 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Demais medidas de dispersa˜o
Medidas devem expressar desvios me´dios da me´dia,
eliminando-se o sinal dos desvios negativos;
Demais medidas de dispersa˜o:
1 Desvio me´dio absoluto;
2 Variaˆncia;
3 Desvio-padra˜o;
4 Coeficiente de variac¸a˜o;
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Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas resumo
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Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Se X1,X2, · · · ,Xn sa˜o as n observac¸o˜es da varia´vel X , o desvio
me´dio absoluto de X , dm(X ), e´ a me´dia dos mo´dulos dos desvios:
dm(X ) =
n∑
i=1
|Xi − X¯ |
n
(4)
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Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Exemplo 2.2
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
X¯ = 3.077
n∑
i=1
|Xi − X¯ | = |2− 3.077|+ |2− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077|
+|4− 3.077|+ |5− 3.077|+ |3− 3.077|
+|3− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077|
+|1− 3.077|+ |3− 3.077|+ |7− 3.077|
= 1.077 + 1.077 + 0.077 + 1.077 + 0.923 + 1.923 + 0.077 + 0.077
+0.077 + 1.077 + 2.077 + 0.077 + 3.924
= 13.54 (5)
De (5), temos:
dm(X ) =
n∑
i=1
|Xi − X¯ |
n
=
13.54
13
= 1.041 (6)
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Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Exemplo 2.2
Considere os valores abaixo:
2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7
X¯ = 3.077
n∑
i=1
|Xi − X¯ | = |2− 3.077|+ |2− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077|
+|4− 3.077|+ |5− 3.077|+ |3− 3.077|
+|3− 3.077|+ |3− 3.077|+ |2− 3.077|
+|1− 3.077|+ |3− 3.077|+ |7− 3.077|
= 1.077 + 1.077 + 0.077 + 1.077 + 0.923 + 1.923 + 0.077 + 0.077
+0.077 + 1.077 + 2.077 + 0.077 + 3.924
= 13.54 (5)
De (5), temos:
dm(X ) =
n∑
i=1
|Xi − X¯ |
n
=
13.54
13
= 1.041 (6)
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Variaˆncia
Se X1,X2, · · · ,XN sa˜o as N observac¸o˜es de X na populac¸a˜o, a
variaˆncia de X na populac¸a˜o, σ2 (ou σ2X ), e´ a me´dia dos
quadrados dos desvios com relac¸a˜o a X¯ :
σ2 =
N∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
N
(7)
Se X1,X2, · · · ,Xn e´ uma amostra de X , a variaˆncia de X na
amostra, S2 (ou S2X ), e´ dada por:
S2 =
n∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
n − 1 (8)
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Exemplo 2.3
Considere os seguintes valores: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7. Se esses valores sa˜o
observados na populac¸a˜o:
X¯ = 3.077
N∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
= (2− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2
+ (4− 3.077)2 + (5− 3.077)2 + (3− 3.077)2
+ (3− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2
+ (1− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (7− 3.077)2
= 1.16 + 1.16 + 0.006 + 1.16 + 0.852 + 3.698
+0.006 + 0.006 + 0.006 + 1.16 + 4.314 + 0.006 + 15.391
= 28.92308 (9)
Usando a equac¸a˜o (7) e o resultado na equac¸a˜o (9), temos:
σ2 =
N∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
N
=
28.92308
13
= 2.225 (10)
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Exemplo 2.3
Considere os seguintes valores: 2 2 3 2 4 5 3 3 3 2 1 3 7. Se esses valores sa˜o
observados na populac¸a˜o:
X¯ = 3.077
N∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
= (2− 3.077)2 + (2− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2
+ (4− 3.077)2 + (5− 3.077)2 + (3− 3.077)2
+ (3− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (2− 3.077)2
+ (1− 3.077)2 + (3− 3.077)2 + (7− 3.077)2
= 1.16 + 1.16 + 0.006 + 1.16 + 0.852 + 3.698
+0.006 + 0.006 + 0.006 + 1.16 + 4.314 + 0.006 + 15.391
= 28.92308 (9)
Usando a equac¸a˜o (7) e o resultado na equac¸a˜o (9), temos:
σ2 =
N∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
N
=
28.92308
13
= 2.225 (10)
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Exemplo 2.3
Se os valores acima sa˜o observados na amostra:
X¯ = 3.077
Usando o resultado na equac¸a˜o (9), temos
n∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
= 28.92308 (11)
Usando a equac¸a˜o (8) e o resultado em (11), temos:
S2 =
n∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
n − 1 =
28.92308
13− 1 = 2.410 (12)
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜oCoeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Desvio-padra˜o
Comparac¸o˜es dos exemplos acima:
dm(X ) = 1.041;
S2 = 2.410;
A escala de mensurac¸a˜o de S2, ao contra´rio de dm(X ), esta´ em
uma escala de mensurac¸a˜o diferente daquela em que X e´ definida.
Se os exemplos anteriores representam, por exemplo, n0 de filhos:
me´dia de X¯ = 3.077 filhos por pessoa;
desvio me´dio absoluto de dm(X ) = 1.041 filhos, variaˆncia de
S2 = 2.410 filhos2;√
S2 = 1.5525;
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Desvio-padra˜o
O desvio-padra˜o de X na populac¸a˜o, σ (ou σX ), e´ a raiz
quadrada de sua variaˆncia (σ2):
σ =
√
σ2 (13)
O desvio-padra˜o de X na amostra, S (ou SX ), e´ a raiz quadrada
de sua variaˆncia (S2):
S =
√
S2 (14)
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1)
Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do
nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta
(Y ):
1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568;
2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568;
Perguntas:
1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis?
2 O que ha´ de diferente?
3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o?
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do
nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta
(Y ):
1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568;
2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568;
Perguntas:
1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis?
2 O que ha´ de diferente?
3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o?
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do
nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta
(Y ):
1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568;
2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568;
Perguntas:
1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis?
2 O que ha´ de diferente?
3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o?
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Considere as seguintes estat´ısticas, hipote´ticas, a respeito do
nu´mero de pessoas por domic´ılio (X ) e a renda familiar per capta
(Y ):
1 X¯ = 2, 567 e SX = 3, 568;
2 Y¯ = R$ 450, 00 e SY = 3, 568;
Perguntas:
1 O que ha´ de semelhante entre as duas varia´veis?
2 O que ha´ de diferente?
3 Elas teˆm o mesmo grau de dispersa˜o?
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Denotado por cv(X ), e´ a raza˜o percentual entre o desvio-padra˜o e
a me´dia de X :
cv(X ) =
σ
X¯
na populac¸a˜o e
cv(X ) =
S
X¯
na amostra
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Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
1 Medidas resumo
2 Medidas de posic¸a˜o
Me´dia
Mediana
Moda
Propriedades das medidas de posic¸a˜o
3 Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1)
Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Propriedade 1: Se Y = cX , enta˜o
AT (Y ) = cAT (X );
dm(Y ) = |c |dm(X );
S2Y = c
2S2X (σ
2
Y = c
2σ2X );
SY = |c |SX (σY = |c |σX );
Propriedade 2: Se Y = X + c , enta˜o
AT (Y ) = AT (X );
dm(Y ) = dm(X );
S2Y = S
2
X (σ
2
Y = σ
2
X );
SY = SX (σY = σX );
Propriedade 3: Se n = N
S2 =
(
n
n − 1
)
σ2 (15)
Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1)
Medidas resumo
Medidas de posic¸a˜o
Medidas de dispersa˜o
Desvio me´dio absoluto
Variaˆncia
Desvio-padra˜o
Coeficiente de variac¸a˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Propriedades das medidas de dispersa˜o
Propriedade 4: Para a variaˆncia na populac¸a˜o:
σ2 =
N∑
i=1
(
Xi − X¯
)2
N
=
N∑
i=1
X 2i
N
− X¯ 2 (16)
Ou seja, a variaˆncia e´ igual a` me´dia dos quadrados menos
o quadrado da me´dia.
Propriedade 5: Para a variaˆncia na amostra (usando a propriedade 3):
S2 =
(
n
n − 1
)
σ2 =
(
n
n − 1
)
n∑
i=1
x2i
n
− x¯2
 (17)
Wesley J. Silva/Dpt. Estat´ıstica (UnB) Medidas Resumo (Parte 1)
	Medidas resumo
	Medidas de posição
	Média
	Mediana
	Moda
	Propriedades das medidas de posição
	Medidas de dispersão
	Desvio médio absoluto
	Variância
	Desvio-padrão
	Coeficiente de variação
	Propriedades das medidas de dispersão