Probabilidade e Espaço Amostral

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Análise Combinatória, Probabilidades e Aplicações
Curso de Verão 2024 - IME/USP
Probabilidade
Aleatoriedade
Um experimento é dito aleatório quando, sob as mesmas condições iniciais, pode gerar diferentes
resultados.
Espaço amostral
O conjunto amostral, normalmente denotado por Ω é um conjunto que contém todos os resultados
posśıveis de um experimento aleatório.
No nosso contexto1, qualquer E ⊂ Ω é chamado de evento.
Exemplo 1: Num experimento de jogar uma moeda duas vezes, temos
Ω = {C,K}2 = {(C,C), (C,K), (K,C), (K,K)},
em que C representa cara e K representa coroa.
O evento em que as duas moedas têm resultados iguais é
E = {(C,C), (K,K)} ⊂ Ω
Exemplo 2: Um experimento consiste em jogar um dado 4 vezes e anotar seus resultados.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}4
O evento em que a soma dos resultados dos dados é igual a 5 é
E = {(1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1)} ⊂ Ω
Exemplo 3: Um experimento consiste em contar a quantidade de ligações que uma central
telefônica recebe em um dia.
Ω = {0, 1, 2, ...}
O evento em que o número de ligações é menor que 50 é
E = {0, 1, 2, ..., 49} ⊂ Ω
Probabilidade
Seja Ω um espaço amostral e P uma função de que leva qualquer evento E ⊂ Ω a um número real. P
é uma medida de probabilidade se
• (Axioma 1) 0 ≤ P (E) ≤ 1 para todo evento E
• (Axioma 2) P (Ω) = 1
1Contexto em que Ω é um conjunto discreto, o que acontecerá em todo este curso
1
• (Axioma 3) Se E1, E2, ... são eventos 2 a 2 disjuntos, então P (∪∞
i=1Ei) =
∑∞
i=1 P (Ei)
OBS: É posśıvel mostrar que o axioma 3 implica na sua versão finita:
(Axioma 3’) Se E1, E2, ..., En são eventos 2 a 2 disjuntos, então P (∪n
i=1Ei) =
∑n
i=1 P (Ei)
Mais do que isso, as duas versões são equivalente quando Ω é finito.
Principais Propriedades
Seja Ω um espaço amostral, A,B ∈ Ω dois eventos quaisquer e P uma medida de probabilidade. Vale
que
• (P1) P (Ac) = 1− P (A)
• (P2) P (∅) = 0
• (P3) Se A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B)
• (P4) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Demonstrações:
• (P1) P (Ac) = 1− P (A).
Por teoria dos conjuntos, sabemos que A ∪Ac = Ω e A ∩Ac = ∅. Portanto
1
Axioma 2
= P (Ω) = P (A ∪Ac)
Axioma 3
= P (A) + P (Ac)
e o resultado segue.
• (P2) P (∅) = 0
Vale que Ωc = ∅. Então
P (∅) (P1)
= 1− P (Ω)
Axioma 2
= 1− 1 = 0
• (P3) Se A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B)
Vale que (A ∩B) ∩ (Ac ∩B) = ∅ e (A ∩B) ∪ (Ac ∩B) = B. Portanto
P (B)
Axioma 3
= P (A ∩B) + P (Ac ∩B)
Além disso, se supormos A ⊂ B, teremos que A ∩B = A. Então:
P (B) = P (A) + P (Ac ∩B)
Axioma 1
≥ P (A)
• (P4) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)
Vamos 3 conjuntos: A ∩Bc, A ∩B e Ac ∩B. Os 3 conjuntos são 2 a 2 disjuntos e a união dos 3
é igual a A ∪B. Portanto
P (A ∩B)
Axioma 3
= P (A ∩Bc) + P (A ∩B) + P (Ac ∩B)
= [P (A ∩Bc) + P (A ∩B)] + [P (Ac ∩B) + P (A ∩B)]− P (A ∩B)
Axioma 3
= P (A) + P (B)− P (A ∩B)
2
Espaços amostrais equiprováveis
Podemos mostrar que a interpretação equiprovável também é uma medida de probabilidade. Seja um
Ω finito (|Ω|